问题

如下这个递推公式是否能直接解出来,如果不能,或者有没有更简洁的递推公式?

回答
好的,咱们来聊聊您提出的这个递推公式。您给的公式是:

$a_{n+1} = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n}$

我们先来分析一下它。

1. 能否直接解出来?

这个问题有点意思,因为“直接解出来”这个说法本身就带点主观性。如果我们的目标是找到一个形式上封闭的、不依赖于前一项的表达式来表示 $a_n$,比如 $a_n = f(n)$ 这样的形式,那么对于这个具体的递推公式,直接写出一个简洁的封闭形式是比较困难的。

为什么这么说呢?

非线性项: 这个公式里有 $1/a_n$ 这一项。这种包含倒数或者高次项的非线性递推式,往往比线性的(比如 $a_{n+1} = 2a_n + 3$)要难“解”。线性递推式我们有通用的方法,比如特征方程法。
变化的不确定性: 即使我们知道 $a_0$,每一步的计算都会涉及除法和加法。这种运算的组合,不像简单的线性组合那样容易看出一个明确的模式。

但是,我们也可以说,在某种意义上,“它是可以直接解出来”的。

迭代求解: 如果我们知道初始值 $a_0$,我们就可以一步步地计算出 $a_1, a_2, a_3, dots$ 直到我们想要的 $a_n$。这是一种“解”的方式,虽然不是封闭形式的。
收敛性分析: 我们可以通过分析这个递推式的性质来了解它的行为。例如,它会收敛到一个固定的值吗?如果收敛,收敛到哪个值?

2. 分析收敛性

我们不妨先看看它收敛到哪里。假设它收敛到一个极限值 $L$,那么当 $n o infty$ 时,$a_n o L$ 并且 $a_{n+1} o L$。将这个代入递推公式:

$L = frac{L}{2} + frac{1}{L}$

现在我们来解这个方程:

$L frac{L}{2} = frac{1}{L}$
$frac{L}{2} = frac{1}{L}$
$L^2 = 2$
$L = pm sqrt{2}$

所以,如果这个序列收敛,它要么收敛到 $sqrt{2}$,要么收敛到 $sqrt{2}$。

那它到底收敛到哪个值? 这取决于初始值 $a_0$。

如果 $a_0 > 0$:
由于 $a_n$ 加上它的倒数的一半,如果 $a_n$ 是正的,那么 $a_{n+1}$ 也会是正的。
我们也可以证明(需要一点微积分或者不等式知识,比如均值不等式),当 $a_n > 0$ 时,$a_{n+1} ge sqrt{2}$。
根据均值不等式,$frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n} ge 2 sqrt{frac{a_n}{2} cdot frac{1}{a_n}} = 2 sqrt{frac{1}{2}} = 2 frac{1}{sqrt{2}} = sqrt{2}$。
当 $a_n ge sqrt{2}$ 时,我们来看 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的关系:
$a_{n+1} a_n = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n} a_n = frac{1}{a_n} frac{a_n}{2} = frac{2 a_n^2}{2a_n}$。
如果 $a_n ge sqrt{2}$,那么 $a_n^2 ge 2$,所以 $2 a_n^2 le 0$。因为 $a_n > 0$,所以 $a_{n+1} a_n le 0$。这意味着序列是递减的。
一个递减的有下界的序列(下界是 $sqrt{2}$),一定会收敛。所以,当 $a_0 > 0$ 时,序列收敛到 $sqrt{2}$。

如果 $a_0 < 0$:
同理,如果 $a_n < 0$,那么 $a_{n+1} = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n}$ 也会是负的。
并且,如果设 $b_n = a_n$,那么 $b_{n+1} = a_{n+1} = (frac{b_n}{2} + frac{1}{b_n}) = frac{b_n}{2} + frac{1}{b_n}$。
所以,当 $a_0 < 0$ 时,序列的绝对值收敛到 $sqrt{2}$,并且因为是负数,所以收敛到 $sqrt{2}$。

如果 $a_0 = 0$:
公式中出现 $1/a_0$,所以 $a_0$ 不能是 0。

这个递推公式其实有一个非常著名的名字:牛顿迭代法(Newton's Method)求解平方根的一个特例。

如果我们想要求解方程 $f(x) = x^2 C = 0$ 的根,根据牛顿迭代法,更新公式是:

$x_{n+1} = x_n frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

对于 $f(x) = x^2 2$,我们有 $f'(x) = 2x$。代入牛顿迭代公式:

$x_{n+1} = x_n frac{x_n^2 2}{2x_n}$
$x_{n+1} = x_n (frac{x_n^2}{2x_n} frac{2}{2x_n})$
$x_{n+1} = x_n (frac{x_n}{2} frac{1}{x_n})$
$x_{n+1} = x_n frac{x_n}{2} + frac{1}{x_n}$
$x_{n+1} = frac{x_n}{2} + frac{1}{x_n}$

这正是您给出的那个递推公式!它用来求解方程 $x^2 2 = 0$ 的根,也就是 $sqrt{2}$(或 $sqrt{2}$)。

所以,从这个角度看,它是“直接解出来”的,因为我们知道它收敛的“解”就是 $sqrt{2}$(或者 $sqrt{2}$),而且收敛速度非常快(二次收敛)。

3. 有没有更简洁的递推公式?

这个问题也很有意思。通常来说,对于“求解 $sqrt{2}$”这个任务而言,这个公式已经非常简洁且高效了。

简洁性: 公式本身只有除法、加法和常数项,结构非常简单。
效率: 牛顿迭代法以其快速收敛而闻名。对于求解平方根这类问题,它比很多其他迭代方法都更快。

如果“更简洁”是指能找到一个封闭形式的 $a_n = f(n)$ 这样的表达式,那就不太可能了。 因为正如前面提到的,这种非线性递推式很难转化为一个简单的初等函数形式。

可能您想问的是有没有其他“同样有效”或“另一种形式”的递推公式?

确实有其他方法可以逼近 $sqrt{2}$,但它们可能不一定“更简洁”:

二分法: 如果我们知道 $sqrt{2}$ 在某个区间内,比如 $[1, 2]$,我们可以不断二分这个区间,找到一个足够精确的近似值。但这不是一个直接的递推公式来计算 $a_n$ 的值本身,而是用来寻找解的区间。
其他迭代方法: 有些方法可能基于不同的数学原理,但往往在收敛速度或公式复杂度上不如牛顿法。

总而言之:

1. 直接解出(封闭形式): 很难写出一个简单的封闭形式 $a_n = f(n)$。
2. 直接解出(收敛性): 这个递推公式是牛顿迭代法求解 $x^2 2 = 0$ 的特例,所以它直接指向了 $sqrt{2}$(或 $sqrt{2}$)。从知道它收敛到具体数值的角度看,它是可以直接“解”的。
3. 更简洁的递推公式: 对于“求 $sqrt{2}$”这个任务而言,它已经非常简洁且高效了。从“找到一个不需要迭代就能知道 $a_n$ 值的封闭形式”来看,不存在更简洁(或者说不存在这种形式)的公式。

希望这个解释足够详细!您这个公式在数值计算领域非常有名,也是了解迭代方法的一个绝佳例子。

网友意见

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设 ,那么 ,并且 。我们有 ,所以 ,其中 是一个 次多项式。它有递推公式 。

下面用EGF 解这个递推方程。可得PDE 。换元 ,得 。这个方程在满足ODE 的曲线上可以变为 。所以现在只需解上面的ODE。我们有 ,其中 ,所以PDE的通解是 。代入初始条件 可得 ,所以 。

令 ,那么
。但我们知道 是个 次多项式,所以 。因此

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