如下这个递推公式是否能直接解出来，如果不能，或者有没有更简洁的递推公式？
好的，咱们来聊聊您提出的这个递推公式。您给的公式是：
$a_{n+1} = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n}$
我们先来分析一下它。
1. 能否直接解出来？
这个问题有点意思，因为“直接解出来”这个说法本身就带点主观性。如果我们的目标是找到一个形式上封闭的、不依赖于前一项的表达式来表示 $a_n$，比如 $a_n = f(n)$ 这样的形式，那么对于这个具体的递推公式，直接写出一个简洁的封闭形式是比较困难的。
为什么这么说呢？
非线性项： 这个公式里有 $1/a_n$ 这一项。这种包含倒数或者高次项的非线性递推式，往往比线性的（比如 $a_{n+1} = 2a_n + 3$）要难“解”。线性递推式我们有通用的方法，比如特征方程法。
变化的不确定性： 即使我们知道 $a_0$，每一步的计算都会涉及除法和加法。这种运算的组合，不像简单的线性组合那样容易看出一个明确的模式。
但是，我们也可以说，在某种意义上，“它是可以直接解出来”的。
迭代求解： 如果我们知道初始值 $a_0$，我们就可以一步步地计算出 $a_1, a_2, a_3, dots$ 直到我们想要的 $a_n$。这是一种“解”的方式，虽然不是封闭形式的。
收敛性分析： 我们可以通过分析这个递推式的性质来了解它的行为。例如，它会收敛到一个固定的值吗？如果收敛，收敛到哪个值？
2. 分析收敛性
我们不妨先看看它收敛到哪里。假设它收敛到一个极限值 $L$，那么当 $n o infty$ 时，$a_n o L$ 并且 $a_{n+1} o L$。将这个代入递推公式：
$L = frac{L}{2} + frac{1}{L}$
现在我们来解这个方程：
$L frac{L}{2} = frac{1}{L}$
$frac{L}{2} = frac{1}{L}$
$L^2 = 2$
$L = pm sqrt{2}$
所以，如果这个序列收敛，它要么收敛到 $sqrt{2}$，要么收敛到 $sqrt{2}$。
那它到底收敛到哪个值？ 这取决于初始值 $a_0$。
如果 $a_0 > 0$：
由于 $a_n$ 加上它的倒数的一半，如果 $a_n$ 是正的，那么 $a_{n+1}$ 也会是正的。
我们也可以证明（需要一点微积分或者不等式知识，比如均值不等式），当 $a_n > 0$ 时，$a_{n+1} ge sqrt{2}$。
根据均值不等式，$frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n} ge 2 sqrt{frac{a_n}{2} cdot frac{1}{a_n}} = 2 sqrt{frac{1}{2}} = 2 frac{1}{sqrt{2}} = sqrt{2}$。
当 $a_n ge sqrt{2}$ 时，我们来看 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的关系：
$a_{n+1} a_n = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n} a_n = frac{1}{a_n} frac{a_n}{2} = frac{2 a_n^2}{2a_n}$。
如果 $a_n ge sqrt{2}$，那么 $a_n^2 ge 2$，所以 $2 a_n^2 le 0$。因为 $a_n > 0$，所以 $a_{n+1} a_n le 0$。这意味着序列是递减的。
一个递减的有下界的序列（下界是 $sqrt{2}$），一定会收敛。所以，当 $a_0 > 0$ 时，序列收敛到 $sqrt{2}$。
如果 $a_0 < 0$：
同理，如果 $a_n < 0$，那么 $a_{n+1} = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n}$ 也会是负的。
并且，如果设 $b_n = a_n$，那么 $b_{n+1} = a_{n+1} = (frac{b_n}{2} + frac{1}{b_n}) = frac{b_n}{2} + frac{1}{b_n}$。
所以，当 $a_0 < 0$ 时，序列的绝对值收敛到 $sqrt{2}$，并且因为是负数，所以收敛到 $sqrt{2}$。
如果 $a_0 = 0$：
公式中出现 $1/a_0$，所以 $a_0$ 不能是 0。
这个递推公式其实有一个非常著名的名字：牛顿迭代法（Newton's Method）求解平方根的一个特例。
如果我们想要求解方程 $f(x) = x^2 C = 0$ 的根，根据牛顿迭代法，更新公式是：
$x_{n+1} = x_n frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
对于 $f(x) = x^2 2$，我们有 $f'(x) = 2x$。代入牛顿迭代公式：
$x_{n+1} = x_n frac{x_n^2 2}{2x_n}$
$x_{n+1} = x_n (frac{x_n^2}{2x_n} frac{2}{2x_n})$
$x_{n+1} = x_n (frac{x_n}{2} frac{1}{x_n})$
$x_{n+1} = x_n frac{x_n}{2} + frac{1}{x_n}$
$x_{n+1} = frac{x_n}{2} + frac{1}{x_n}$
这正是您给出的那个递推公式！它用来求解方程 $x^2 2 = 0$ 的根，也就是 $sqrt{2}$（或 $sqrt{2}$）。
所以，从这个角度看，它是“直接解出来”的，因为我们知道它收敛的“解”就是 $sqrt{2}$（或者 $sqrt{2}$），而且收敛速度非常快（二次收敛）。
3. 有没有更简洁的递推公式？
这个问题也很有意思。通常来说，对于“求解 $sqrt{2}$”这个任务而言，这个公式已经非常简洁且高效了。
简洁性： 公式本身只有除法、加法和常数项，结构非常简单。
效率： 牛顿迭代法以其快速收敛而闻名。对于求解平方根这类问题，它比很多其他迭代方法都更快。
如果“更简洁”是指能找到一个封闭形式的 $a_n = f(n)$ 这样的表达式，那就不太可能了。 因为正如前面提到的，这种非线性递推式很难转化为一个简单的初等函数形式。
可能您想问的是有没有其他“同样有效”或“另一种形式”的递推公式？
确实有其他方法可以逼近 $sqrt{2}$，但它们可能不一定“更简洁”：
二分法： 如果我们知道 $sqrt{2}$ 在某个区间内，比如 $[1, 2]$，我们可以不断二分这个区间，找到一个足够精确的近似值。但这不是一个直接的递推公式来计算 $a_n$ 的值本身，而是用来寻找解的区间。
其他迭代方法： 有些方法可能基于不同的数学原理，但往往在收敛速度或公式复杂度上不如牛顿法。
总而言之：
1. 直接解出（封闭形式）： 很难写出一个简单的封闭形式 $a_n = f(n)$。
2. 直接解出（收敛性）： 这个递推公式是牛顿迭代法求解 $x^2 2 = 0$ 的特例，所以它直接指向了 $sqrt{2}$（或 $sqrt{2}$）。从知道它收敛到具体数值的角度看，它是可以直接“解”的。
3. 更简洁的递推公式： 对于“求 $sqrt{2}$”这个任务而言，它已经非常简洁且高效了。从“找到一个不需要迭代就能知道 $a_n$ 值的封闭形式”来看，不存在更简洁（或者说不存在这种形式）的公式。
希望这个解释足够详细！您这个公式在数值计算领域非常有名，也是了解迭代方法的一个绝佳例子。
$a_{n+1} = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n}$
我们先来分析一下它。
1. 能否直接解出来？
这个问题有点意思，因为“直接解出来”这个说法本身就带点主观性。如果我们的目标是找到一个形式上封闭的、不依赖于前一项的表达式来表示 $a_n$，比如 $a_n = f(n)$ 这样的形式，那么对于这个具体的递推公式，直接写出一个简洁的封闭形式是比较困难的。
为什么这么说呢？
非线性项： 这个公式里有 $1/a_n$ 这一项。这种包含倒数或者高次项的非线性递推式，往往比线性的（比如 $a_{n+1} = 2a_n + 3$）要难“解”。线性递推式我们有通用的方法，比如特征方程法。
变化的不确定性： 即使我们知道 $a_0$，每一步的计算都会涉及除法和加法。这种运算的组合，不像简单的线性组合那样容易看出一个明确的模式。
但是，我们也可以说，在某种意义上，“它是可以直接解出来”的。
迭代求解： 如果我们知道初始值 $a_0$，我们就可以一步步地计算出 $a_1, a_2, a_3, dots$ 直到我们想要的 $a_n$。这是一种“解”的方式，虽然不是封闭形式的。
收敛性分析： 我们可以通过分析这个递推式的性质来了解它的行为。例如，它会收敛到一个固定的值吗？如果收敛，收敛到哪个值？
2. 分析收敛性
我们不妨先看看它收敛到哪里。假设它收敛到一个极限值 $L$，那么当 $n o infty$ 时，$a_n o L$ 并且 $a_{n+1} o L$。将这个代入递推公式：
$L = frac{L}{2} + frac{1}{L}$
现在我们来解这个方程：
$L frac{L}{2} = frac{1}{L}$
$frac{L}{2} = frac{1}{L}$
$L^2 = 2$
$L = pm sqrt{2}$
所以，如果这个序列收敛，它要么收敛到 $sqrt{2}$，要么收敛到 $sqrt{2}$。
那它到底收敛到哪个值？ 这取决于初始值 $a_0$。
如果 $a_0 > 0$：
由于 $a_n$ 加上它的倒数的一半，如果 $a_n$ 是正的，那么 $a_{n+1}$ 也会是正的。
我们也可以证明（需要一点微积分或者不等式知识，比如均值不等式），当 $a_n > 0$ 时，$a_{n+1} ge sqrt{2}$。
根据均值不等式，$frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n} ge 2 sqrt{frac{a_n}{2} cdot frac{1}{a_n}} = 2 sqrt{frac{1}{2}} = 2 frac{1}{sqrt{2}} = sqrt{2}$。
当 $a_n ge sqrt{2}$ 时，我们来看 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的关系：
$a_{n+1} a_n = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n} a_n = frac{1}{a_n} frac{a_n}{2} = frac{2 a_n^2}{2a_n}$。
如果 $a_n ge sqrt{2}$，那么 $a_n^2 ge 2$，所以 $2 a_n^2 le 0$。因为 $a_n > 0$，所以 $a_{n+1} a_n le 0$。这意味着序列是递减的。
一个递减的有下界的序列（下界是 $sqrt{2}$），一定会收敛。所以，当 $a_0 > 0$ 时，序列收敛到 $sqrt{2}$。
如果 $a_0 < 0$：
同理，如果 $a_n < 0$，那么 $a_{n+1} = frac{a_n}{2} + frac{1}{a_n}$ 也会是负的。
并且，如果设 $b_n = a_n$，那么 $b_{n+1} = a_{n+1} = (frac{b_n}{2} + frac{1}{b_n}) = frac{b_n}{2} + frac{1}{b_n}$。
所以，当 $a_0 < 0$ 时，序列的绝对值收敛到 $sqrt{2}$，并且因为是负数，所以收敛到 $sqrt{2}$。
如果 $a_0 = 0$：
公式中出现 $1/a_0$，所以 $a_0$ 不能是 0。
这个递推公式其实有一个非常著名的名字：牛顿迭代法（Newton's Method）求解平方根的一个特例。
如果我们想要求解方程 $f(x) = x^2 C = 0$ 的根，根据牛顿迭代法，更新公式是：
$x_{n+1} = x_n frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
对于 $f(x) = x^2 2$，我们有 $f'(x) = 2x$。代入牛顿迭代公式：
$x_{n+1} = x_n frac{x_n^2 2}{2x_n}$
$x_{n+1} = x_n (frac{x_n^2}{2x_n} frac{2}{2x_n})$
$x_{n+1} = x_n (frac{x_n}{2} frac{1}{x_n})$
$x_{n+1} = x_n frac{x_n}{2} + frac{1}{x_n}$
$x_{n+1} = frac{x_n}{2} + frac{1}{x_n}$
这正是您给出的那个递推公式！它用来求解方程 $x^2 2 = 0$ 的根，也就是 $sqrt{2}$（或 $sqrt{2}$）。
所以，从这个角度看，它是“直接解出来”的，因为我们知道它收敛的“解”就是 $sqrt{2}$（或者 $sqrt{2}$），而且收敛速度非常快（二次收敛）。
3. 有没有更简洁的递推公式？
这个问题也很有意思。通常来说，对于“求解 $sqrt{2}$”这个任务而言，这个公式已经非常简洁且高效了。
简洁性： 公式本身只有除法、加法和常数项，结构非常简单。
效率： 牛顿迭代法以其快速收敛而闻名。对于求解平方根这类问题，它比很多其他迭代方法都更快。
如果“更简洁”是指能找到一个封闭形式的 $a_n = f(n)$ 这样的表达式，那就不太可能了。 因为正如前面提到的，这种非线性递推式很难转化为一个简单的初等函数形式。
可能您想问的是有没有其他“同样有效”或“另一种形式”的递推公式？
确实有其他方法可以逼近 $sqrt{2}$，但它们可能不一定“更简洁”：
二分法： 如果我们知道 $sqrt{2}$ 在某个区间内，比如 $[1, 2]$，我们可以不断二分这个区间，找到一个足够精确的近似值。但这不是一个直接的递推公式来计算 $a_n$ 的值本身，而是用来寻找解的区间。
其他迭代方法： 有些方法可能基于不同的数学原理，但往往在收敛速度或公式复杂度上不如牛顿法。
总而言之：
1. 直接解出（封闭形式）： 很难写出一个简单的封闭形式 $a_n = f(n)$。
2. 直接解出（收敛性）： 这个递推公式是牛顿迭代法求解 $x^2 2 = 0$ 的特例，所以它直接指向了 $sqrt{2}$（或 $sqrt{2}$）。从知道它收敛到具体数值的角度看，它是可以直接“解”的。
3. 更简洁的递推公式： 对于“求 $sqrt{2}$”这个任务而言，它已经非常简洁且高效了。从“找到一个不需要迭代就能知道 $a_n$ 值的封闭形式”来看，不存在更简洁（或者说不存在这种形式）的公式。
希望这个解释足够详细！您这个公式在数值计算领域非常有名，也是了解迭代方法的一个绝佳例子。
网友意见
设 ，那么 ，并且 。我们有 ，所以 ，其中 是一个 次多项式。它有递推公式 。
下面用EGF 解这个递推方程。可得PDE 。换元 ，得 。这个方程在满足ODE 的曲线上可以变为 。所以现在只需解上面的ODE。我们有 ，其中 ，所以PDE的通解是 。代入初始条件 可得 ，所以 。
令 ，那么
。但我们知道 是个 次多项式，所以 。因此
。
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