一堆n维空间的由m个点组成的点集，m大于n，我们只知道它们之间的距离，能否判断所在空间的维数？
一个由 $m$ 个点组成的点集，分布在 $n$ 维空间中，而我们只知道这些点之间的两两距离，并且已知点数 $m$ 大于空间维数 $n$。在这种情况下，我们是否能够判断出这个空间到底是多少维的呢？答案是：在某些情况下，可以，但并非总是能够精确地确定空间维数。 这其中涉及到一些数学上的判断方法，需要我们对点集和它们之间的距离关系进行深入的分析。
我们不妨想象一下，就像我们手里有一堆乐高积木，我们不知道它们最初是按照说明书搭成什么模型的，也不知道积木的总数和每个积木的形状。我们只知道拿出一对积木，测量它们之间“距离”的大小（这里的距离，我们理解为从一个积木的中心到另一个积木中心的直线距离）。如果积木的数量远远多于模型的“维度”（比如我们知道模型是三维的，但我们有几百个积木），我们能否根据这些距离信息推断出模型是三维的呢？
核心思想：距离信息蕴含着空间结构
点集之间的距离信息，实际上编码了这些点在空间中的相对位置关系。一个高维空间允许点之间有更多的“自由度”来相互远离或靠近，而低维空间则会限制这种自由度。因此，距离矩阵（即所有点对之间距离构成的矩阵）往往包含着关于嵌入空间维度的线索。
利用降维技术的思路
既然我们拥有的是距离信息，而不是直接的点坐标，那么最直接的思路就是尝试将这些距离信息“还原”成点坐标，或者直接从距离信息中提取维度信息。这里，一些经典的降维技术就派上了用场，特别是那些可以直接从距离矩阵进行操作的方法。
1. 多维尺度分析 (Multidimensional Scaling, MDS)
MDS 是一个非常适合处理距离数据的降维技术。它的基本思想是：给定一个距离矩阵，找到一组低维度的嵌入点（坐标），使得这些嵌入点之间的距离尽可能地接近原始的距离矩阵。
如何操作？
首先，我们需要构建一个 $m imes m$ 的距离矩阵 $D$，其中 $D_{ij}$ 表示点 $i$ 和点 $j$ 之间的距离。
MDS 的一个重要变种是经典 MDS (Classical MDS)，也称为主坐标分析 (Principal Coordinate Analysis, PCoA)。它基于一个核心概念：距离的平方与点坐标的内积有关。通过一系列矩阵运算，可以将距离矩阵转化为一个表示点坐标内积的矩阵 $B$。
$B$ 矩阵的秩（rank）就与点集能够被精确表示的最小维度有关。具体来说，$B$ 矩阵的秩等于原始点集所在的流形（manifold）的维度。
MDS 的关键在于通过对矩阵 $B$ 进行特征值分解。特征值的大小反映了各个维度上信息的“方差”或者说“重要性”。在低维度空间中，这些特征值会随着维度的增加而迅速衰减。
判断维度的方法：
计算 $B$ 矩阵的特征值。
观察特征值的衰减模式。通常，前几个特征值会比较大，而后面的特征值会非常接近于零（由于测量误差、噪声或实际维度限制）。
我们可以通过设定一个阈值，或者观察特征值“拐点”的位置来估计空间的维度。比如，如果特征值序列呈现“陡降”现象，即前面几个特征值显著大于后面的特征值，那么我们就可以推断出空间的维度就对应着那些具有显著大小的特征值数量。
如果我们将点集嵌入到一个 $k$ 维空间中，那么理论上最多会有 $k$ 个非零特征值（不考虑数值误差）。
为什么有效？
MDS 能够“重构”出点集的低维表示。如果点集确实位于一个 $n$ 维空间中，那么在进行 MDS 时，我们应该能够找到一个 $n$ 维的嵌入，使得重构误差最小。如果强行将其嵌入到比真实维度低的维度时，重构误差会显著增大。
2. 相似性矩阵和本征值/本征向量 (Eigenvalues/Eigenvectors)
本质上，经典 MDS 的核心就是对一个从距离矩阵导出的相似性矩阵进行特征值分解。这个过程可以被看作是一种主成分分析 (PCA) 的变体，只是输入是距离而不是协方差。
如何操作？
从距离矩阵 $D$ 出发，可以计算出一个中心化的内积矩阵 $B$。这个矩阵的元素 $B_{ij}$ 反映了点 $i$ 和点 $j$ 在经过中心化处理后的坐标向量的点积。
对 $B$ 进行特征值分解：$B = U Lambda U^T$，其中 $Lambda$ 是一个对角矩阵，包含特征值， $U$ 是对应的特征向量矩阵。
判断维度的方法：
特征值的大小直接反映了对应特征向量方向上的方差大小。在降维任务中，我们通常保留那些具有最大特征值的方向。
如果空间是 $n$ 维的，并且点集充分“占据”了这 $n$ 个维度，那么我们应该会观察到 $n$ 个显著大于零的特征值，而其余特征值则趋近于零。
通过绘制特征值随维度的排序图（也称为“碎石图”或 Scree plot），可以观察到特征值下降的斜率。当斜率从明显下降变为平缓时，通常意味着后面的维度不再包含太多信息，可以认为是噪声或处于较低的维度。
为什么有效？
高维空间提供了更多的自由度来分散点。当我们将点投影到低维空间时，这种分散程度（方差）会被压缩。具有最大方差的方向对应于点集在空间中分布最广的维度。如果点集确实位于一个 $n$ 维空间，那么这些 $n$ 个维度应该对应着最大的方差，从而产生显著的特征值。
挑战和局限性
虽然上述方法提供了判断空间维数的途径，但我们必须认识到其中的挑战和局限性：
噪声和测量误差： 在实际应用中，我们测量到的距离往往不是精确的，会包含噪声和误差。这些误差会影响特征值的计算，使得原本为零的特征值变得很小但非零，或者使得本应显著的特征值变小。这就需要我们采用更鲁棒的方法来判断“拐点”或设定合适的阈值。
点集的分布特性： 如果点集非常“聚集”在某个低维子空间中，即使它们嵌入在一个高维空间里，也可能只表现出低维度的特征。反之，如果点集非常稀疏且分散，可能需要更高的维度来描述。
“点”的定义： 我们讨论的是点集，但如果这些“点”实际上是具有一定大小和形状的物体，那么距离的定义会变得复杂，对结果也会产生影响。我们假设的是点到点的欧氏距离。
$m$ 和 $n$ 的关系： 已知 $m > n$ 是一个重要前提。如果 $m le n$，那么我们可能有无限多种方式来嵌入这些点，甚至无法确定真实的维度。但当 $m$ 远远大于 $n$ 时，点集就更有可能“暴露”其真实的低维结构。
数据量不足： 如果 $m$ 相对于真实的维度 $n$ 来说仍然很小，那么点集可能没有充分展开其在高维空间中的结构，此时从距离信息中推断维度也会变得困难。
具体步骤和注意事项
为了实践，我们可以遵循以下步骤：
1. 构建距离矩阵 $D$： 确保 $D_{ij}$ 是点 $i$ 和点 $j$ 之间的欧氏距离，并且 $D_{ii} = 0$，$D_{ij} = D_{ji}$。矩阵的大小为 $m imes m$。
2. 数据预处理（可选，但推荐）： 如果存在明显的测量误差，可以考虑对距离矩阵进行一些平滑或纠错处理。
3. 应用经典 MDS (PCoA)：
计算双中心化矩阵 $B = frac{1}{2} J D^2 J$，其中 $D^2$ 是 $D$ 的逐元素平方，$J = I frac{1}{m}mathbf{1}mathbf{1}^T$ 是中心化矩阵，$I$ 是单位矩阵，$mathbf{1}$ 是全 1 向量。
对 $B$ 进行特征值分解。
4. 分析特征值：
计算所有特征值 $lambda_1 ge lambda_2 ge dots ge lambda_m$。理论上，在欧氏空间中，这些特征值应该是非负的。
绘制特征值与维度序号的图（Scree plot）。
寻找特征值序列的“肘部”或“拐点”。例如，可以计算相邻特征值的比值，当比值迅速增大时，可能预示着维度的结束。
也可以设置一个阈值，比如将所有大于某个小正数的特征值对应的维度计算在内。这个阈值需要根据具体问题的性质和允许的误差来设定。
5. 解释结果：
如果发现只有 $k$ 个特征值显著大于零，并且这些特征值解释了绝大部分的“方差”（即它们之和占总特征值之和的比例很高），那么我们可以推断点集所在的（或可被近似表示的）空间维度是 $k$。
需要注意的是，这里的 $k$ 是从数据中估计出来的“有效维度”，它可能等于真实的嵌入空间维数 $n$，也可能小于或大于 $n$（取决于数据性质和噪声）。
总结
给定一个由 $m$ 个点组成的点集，其中 $m > n$，且只知道它们之间的距离，我们可以尝试使用 MDS 等技术来判断所在空间的维数。 这通常是通过分析从距离矩阵导出的相似性矩阵的特征值来实现的。具有显著大小的特征值数量可以指示空间的有效维度。然而，由于噪声、数据分布以及点数量的限制，这个判断可能不是绝对精确的，而是给出对空间维数的一个估计值。在实际操作中，需要仔细分析特征值的衰减模式，并根据具体情况选择合适的判断标准。
我们不妨想象一下，就像我们手里有一堆乐高积木，我们不知道它们最初是按照说明书搭成什么模型的，也不知道积木的总数和每个积木的形状。我们只知道拿出一对积木，测量它们之间“距离”的大小（这里的距离，我们理解为从一个积木的中心到另一个积木中心的直线距离）。如果积木的数量远远多于模型的“维度”（比如我们知道模型是三维的，但我们有几百个积木），我们能否根据这些距离信息推断出模型是三维的呢？
核心思想：距离信息蕴含着空间结构
点集之间的距离信息，实际上编码了这些点在空间中的相对位置关系。一个高维空间允许点之间有更多的“自由度”来相互远离或靠近，而低维空间则会限制这种自由度。因此，距离矩阵（即所有点对之间距离构成的矩阵）往往包含着关于嵌入空间维度的线索。
利用降维技术的思路
既然我们拥有的是距离信息，而不是直接的点坐标，那么最直接的思路就是尝试将这些距离信息“还原”成点坐标，或者直接从距离信息中提取维度信息。这里，一些经典的降维技术就派上了用场，特别是那些可以直接从距离矩阵进行操作的方法。
1. 多维尺度分析 (Multidimensional Scaling, MDS)
MDS 是一个非常适合处理距离数据的降维技术。它的基本思想是：给定一个距离矩阵，找到一组低维度的嵌入点（坐标），使得这些嵌入点之间的距离尽可能地接近原始的距离矩阵。
如何操作？
首先，我们需要构建一个 $m imes m$ 的距离矩阵 $D$，其中 $D_{ij}$ 表示点 $i$ 和点 $j$ 之间的距离。
MDS 的一个重要变种是经典 MDS (Classical MDS)，也称为主坐标分析 (Principal Coordinate Analysis, PCoA)。它基于一个核心概念：距离的平方与点坐标的内积有关。通过一系列矩阵运算，可以将距离矩阵转化为一个表示点坐标内积的矩阵 $B$。
$B$ 矩阵的秩（rank）就与点集能够被精确表示的最小维度有关。具体来说，$B$ 矩阵的秩等于原始点集所在的流形（manifold）的维度。
MDS 的关键在于通过对矩阵 $B$ 进行特征值分解。特征值的大小反映了各个维度上信息的“方差”或者说“重要性”。在低维度空间中，这些特征值会随着维度的增加而迅速衰减。
判断维度的方法：
计算 $B$ 矩阵的特征值。
观察特征值的衰减模式。通常，前几个特征值会比较大，而后面的特征值会非常接近于零（由于测量误差、噪声或实际维度限制）。
我们可以通过设定一个阈值，或者观察特征值“拐点”的位置来估计空间的维度。比如，如果特征值序列呈现“陡降”现象，即前面几个特征值显著大于后面的特征值，那么我们就可以推断出空间的维度就对应着那些具有显著大小的特征值数量。
如果我们将点集嵌入到一个 $k$ 维空间中，那么理论上最多会有 $k$ 个非零特征值（不考虑数值误差）。
为什么有效？
MDS 能够“重构”出点集的低维表示。如果点集确实位于一个 $n$ 维空间中，那么在进行 MDS 时，我们应该能够找到一个 $n$ 维的嵌入，使得重构误差最小。如果强行将其嵌入到比真实维度低的维度时，重构误差会显著增大。
2. 相似性矩阵和本征值/本征向量 (Eigenvalues/Eigenvectors)
本质上，经典 MDS 的核心就是对一个从距离矩阵导出的相似性矩阵进行特征值分解。这个过程可以被看作是一种主成分分析 (PCA) 的变体，只是输入是距离而不是协方差。
如何操作？
从距离矩阵 $D$ 出发，可以计算出一个中心化的内积矩阵 $B$。这个矩阵的元素 $B_{ij}$ 反映了点 $i$ 和点 $j$ 在经过中心化处理后的坐标向量的点积。
对 $B$ 进行特征值分解：$B = U Lambda U^T$，其中 $Lambda$ 是一个对角矩阵，包含特征值， $U$ 是对应的特征向量矩阵。
判断维度的方法：
特征值的大小直接反映了对应特征向量方向上的方差大小。在降维任务中，我们通常保留那些具有最大特征值的方向。
如果空间是 $n$ 维的，并且点集充分“占据”了这 $n$ 个维度，那么我们应该会观察到 $n$ 个显著大于零的特征值，而其余特征值则趋近于零。
通过绘制特征值随维度的排序图（也称为“碎石图”或 Scree plot），可以观察到特征值下降的斜率。当斜率从明显下降变为平缓时，通常意味着后面的维度不再包含太多信息，可以认为是噪声或处于较低的维度。
为什么有效？
高维空间提供了更多的自由度来分散点。当我们将点投影到低维空间时，这种分散程度（方差）会被压缩。具有最大方差的方向对应于点集在空间中分布最广的维度。如果点集确实位于一个 $n$ 维空间，那么这些 $n$ 个维度应该对应着最大的方差，从而产生显著的特征值。
挑战和局限性
虽然上述方法提供了判断空间维数的途径，但我们必须认识到其中的挑战和局限性：
噪声和测量误差： 在实际应用中，我们测量到的距离往往不是精确的，会包含噪声和误差。这些误差会影响特征值的计算，使得原本为零的特征值变得很小但非零，或者使得本应显著的特征值变小。这就需要我们采用更鲁棒的方法来判断“拐点”或设定合适的阈值。
点集的分布特性： 如果点集非常“聚集”在某个低维子空间中，即使它们嵌入在一个高维空间里，也可能只表现出低维度的特征。反之，如果点集非常稀疏且分散，可能需要更高的维度来描述。
“点”的定义： 我们讨论的是点集，但如果这些“点”实际上是具有一定大小和形状的物体，那么距离的定义会变得复杂，对结果也会产生影响。我们假设的是点到点的欧氏距离。
$m$ 和 $n$ 的关系： 已知 $m > n$ 是一个重要前提。如果 $m le n$，那么我们可能有无限多种方式来嵌入这些点，甚至无法确定真实的维度。但当 $m$ 远远大于 $n$ 时，点集就更有可能“暴露”其真实的低维结构。
数据量不足： 如果 $m$ 相对于真实的维度 $n$ 来说仍然很小，那么点集可能没有充分展开其在高维空间中的结构，此时从距离信息中推断维度也会变得困难。
具体步骤和注意事项
为了实践，我们可以遵循以下步骤：
1. 构建距离矩阵 $D$： 确保 $D_{ij}$ 是点 $i$ 和点 $j$ 之间的欧氏距离，并且 $D_{ii} = 0$，$D_{ij} = D_{ji}$。矩阵的大小为 $m imes m$。
2. 数据预处理（可选，但推荐）： 如果存在明显的测量误差，可以考虑对距离矩阵进行一些平滑或纠错处理。
3. 应用经典 MDS (PCoA)：
计算双中心化矩阵 $B = frac{1}{2} J D^2 J$，其中 $D^2$ 是 $D$ 的逐元素平方，$J = I frac{1}{m}mathbf{1}mathbf{1}^T$ 是中心化矩阵，$I$ 是单位矩阵，$mathbf{1}$ 是全 1 向量。
对 $B$ 进行特征值分解。
4. 分析特征值：
计算所有特征值 $lambda_1 ge lambda_2 ge dots ge lambda_m$。理论上，在欧氏空间中，这些特征值应该是非负的。
绘制特征值与维度序号的图（Scree plot）。
寻找特征值序列的“肘部”或“拐点”。例如，可以计算相邻特征值的比值，当比值迅速增大时，可能预示着维度的结束。
也可以设置一个阈值，比如将所有大于某个小正数的特征值对应的维度计算在内。这个阈值需要根据具体问题的性质和允许的误差来设定。
5. 解释结果：
如果发现只有 $k$ 个特征值显著大于零，并且这些特征值解释了绝大部分的“方差”（即它们之和占总特征值之和的比例很高），那么我们可以推断点集所在的（或可被近似表示的）空间维度是 $k$。
需要注意的是，这里的 $k$ 是从数据中估计出来的“有效维度”，它可能等于真实的嵌入空间维数 $n$，也可能小于或大于 $n$（取决于数据性质和噪声）。
总结
给定一个由 $m$ 个点组成的点集，其中 $m > n$，且只知道它们之间的距离，我们可以尝试使用 MDS 等技术来判断所在空间的维数。 这通常是通过分析从距离矩阵导出的相似性矩阵的特征值来实现的。具有显著大小的特征值数量可以指示空间的有效维度。然而，由于噪声、数据分布以及点数量的限制，这个判断可能不是绝对精确的，而是给出对空间维数的一个估计值。在实际操作中，需要仔细分析特征值的衰减模式，并根据具体情况选择合适的判断标准。
网友意见
先规定一些记号。记点集 ，已知的距离为 ， 能等距嵌入的欧氏空间的最小维数记为 . 题主的问题相当于是问，一个有限的度量空间是否能等距嵌入欧氏空间，如果能，维数是多少。先放结论. 定义m+1阶矩阵 ，则
- 至少可以嵌入 维欧氏空间；
- 如果 ，那么 ;
- .
我们先来看一些最简单的情况。首先，如果平面上已知两个点和第三个点到两点的距离，那么找到第三个点的方法，就是分别以这两个点为圆心、已知的距离为半径画圆，交点至多两个，就是我们要的。如果这些点的距离满足三角不等式的话，那么一定有交点。进一步，如果已知是三个点的话，那么就改为画球，三个球的交点即为所求。这个观察告诉我们：如果前面若干个点已知，那么多加一个点，升高一维一定有解。因此利用归纳法很容易证明，嵌入的存在性是没问题的，并且还有不等式：
若 是 与 的无交并，那么 . 特别地， .
但也许这些点位置比较好，不需要m-1那么多维数。这时我们需要第二个观察。再来看三个点的情形，如果三点共线，比如 顺次共线，那么必然有 。但是如果我们没有意识到共线，直接用海伦公式算三个点构成的三角形面积：
（其中 ），那么有一项等于零，因此 . 这就启发我们寻找高维的海伦公式，如果算出来高维体积等于零，那么低一维就够了。而这个公式是现成的——Cayley–Menger determinant：欧氏空间中这m个点张成的单形的m-1维体积满足 .
这个公式的证明很容易，就是利用m-1个向量张成的体积是这m-1个向量的行列式这一事实，然后做一通矩阵变形。具体证明过程就不摆出来了吧。根据这个公式以及证明过程我们就能得到后两个结论。
最后做一点注记。在实际生活中，因为有测量误差的存在，给一个行列式基本上都不等于零。因此我们可以考虑去估计误差。这时如何定义误差就是工业上很重要的问题。比如有一件板材，随机测量上面的若干点。如果直接计算的话，这些点都有可能不能嵌入三维欧氏空间了。但是相差一个小误差的情况下，这些点基本上是在一个二维平面上的。但是如果这个误差过大，就意味着板材不够平，从而有可能不合格。那么如何定义这样的误差就很重要了。前面的公式也许可以给一些方向，但是肯定不能直接用，因为计算一个超大矩阵的行列式基本上是不可接受的。
而在数学上，我们其实更关心无限个点的问题，如果这些点是连续的那么可以理解为黎曼流形的等距嵌入的问题。但是更像这个问题的风味的是离散的情况。这个时候同样可以允许一定的误差，那就基本上是Gromov提出的粗嵌入问题，嵌入的对象可以是欧氏空间，或者是可分Hilbert空间，或者是某些Banach空间。这种粗嵌入问题在几何群论里面有很多应用。
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