同伦与同胚的区别是什么？
同伦与同胚是拓扑学中两个非常基础且重要的概念，它们都描述了空间之间的某种“形变”关系，但它们的侧重点和严格程度有显著的不同。理解它们的区别，就像理解“形状相似”和“形状完全相同且可以恢复”之间的差别一样，虽然听起来有点像，但数学上的定义和应用却有着天壤之别。
我们先从同胚（Homeomorphism）说起，它更像是“形状完全一样，只是扭曲了”。
想象一下，你手中有一个橡皮泥球。你可以把它捏、拉、压扁，但只要你做的所有操作都是连续的，并且最终能恢复成原来的样子，那么你所得到的新的橡皮泥形状就与原来的球是同胚的。
用更严谨的数学语言来说，两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 之间如果存在一个同胚映射，那么它们就是同胚的。同胚映射 $f: X o Y$ 必须满足以下三个条件：
1. 连续性 (Continuity): $f$ 是一个连续映射。这意味着，$X$ 中的一个点附近的点，在 $Y$ 中对应的点也依然靠近。换句话说，它不会突然地把一个区域“撕裂”开或者“缝合”起来。
2. 双射性 (Bijectivity): $f$ 必须是一个一对一且满射的映射。也就是说，$X$ 中的每个点都对应 $Y$ 中唯一的点，反之亦然。这保证了没有点被丢弃，也没有多个点被挤压到同一个点上。
3. 逆映射也连续 (Continuity of the Inverse): $f$ 的逆映射 $f^{1}: Y o X$ 也必须是连续的。这非常关键！它保证了你不仅能从 $X$ 变形到 $Y$，还能把 $Y$ 通过“反向”的连续形变再变回 $X$。
同胚有什么意义？
如果两个空间是同胚的，那么它们在拓扑学意义上是等价的。这意味着它们拥有完全相同的拓扑性质。任何一个对于一个空间成立的拓扑性质，对于与其同胚的另一个空间也一定成立。
举几个例子：
一个实线段 $[0, 1]$ 与整个实数线 $mathbb{R}$ 是同胚的。你可以想象把线段两端向外“无限延伸”，而无需撕裂或粘连。例如，映射 $f(x) = an(frac{pi}{2} x frac{pi}{4})$ 可以将 $[0,1]$ 的内部映射到 $mathbb{R}$，然后通过一些巧妙的定义可以处理端点。
一个圆的周长与一个正方形的周长是同胚的。你可以想象把圆的周长想象成一个橡皮带，然后把它拉直变成一个正方形。
一个甜甜圈（带一个孔的杯子）和一个咖啡杯在拓扑学上是同胚的。这可能是最著名的例子了，因为它们都可以被看作是一个带有一个孔的球面（一个环面）。你可以在不破坏其“连通性”和“孔的数量”的情况下，将它们互相变形。
同胚是拓扑学中最强的“形状相等”的衡量标准。
接下来我们聊聊同伦（Homotopy），它更像是“可以连续变形到”，但未必能完全恢复。
如果说同胚是“形状完全一样”，那么同伦就是“形状可以互相‘滑’过去”。这里的“滑”是更弱的一种关系。
想象一下，你手里有两个橡皮泥球，它们可能大小不一样，甚至形状也不完全一样，比如一个稍微扁一点，一个圆一点。同伦就是说，你可以在保持它们基本结构不变的情况下，让一个平滑地变成另一个。
更数学一点，两个连续映射 $f: X o Y$ 和 $g: X o Y$ 之间存在同伦，意味着你可以找到一个“形变”的过程，让 $f$ 连续地变成 $g$。这个形变过程通常被描述为一个二维的映射，它涉及到一个“时间”或“参数”维度。
严格来说，两个映射 $f$ 和 $g$ 之间存在同伦，是指存在一个连续映射 $H: X imes [0, 1] o Y$，使得：
对于所有的 $x in X$，有 $H(x, 0) = f(x)$。（形变的起点是 $f$）
对于所有的 $x in X$，有 $H(x, 1) = g(x)$。（形变的终点是 $g$）
这里的 $[0, 1]$ 代表了形变过程中的“时间”参数。你可以把 $H(x, t)$ 看作是在“时间” $t$ 时，点 $x$ 在 $Y$ 中的位置。
同伦有什么意义？
同伦主要用来描述映射之间的“相等性”，或者说，不同映射之间是否有某种“连续的联系”。
映射的同伦等价 (Homotopy Equivalence of Maps): 如果两个映射 $f$ 和 $g$ 是同伦的，我们说它们是同伦等价的。这比说它们是“相等”要弱得多，因为 $f$ 和 $g$ 可能作用在不同的空间上，或者即使作用在同一个空间上，它们本身也可能看起来完全不同。
空间的同伦等价 (Homotopy Equivalence of Spaces): 这是一种更广泛的概念，用来描述空间之间的相似性。如果存在两个映射 $f: X o Y$ 和 $g: Y o X$，使得 $g circ f$ 与 $X$ 上的恒等映射 $id_X$ 是同伦的，并且 $f circ g$ 与 $Y$ 上的恒等映射 $id_Y$ 是同伦的，那么我们就说空间 $X$ 和 $Y$ 是同伦等价的。
注意：同伦等价 ≠ 同胚。
同胚是同伦等价的一种特殊情况。如果两个空间同胚，那么它们必然同伦等价。因为同胚映射 $f$ 本身就满足所有同伦等价的要求（其逆映射 $f^{1}$ 存在且是连续的，所以 $f^{1} circ f = id_X$ 且 $f circ f^{1} = id_Y$，恒等映射当然与自身同伦）。
但是，两个空间可能同伦等价，却不是同胚的。
举例说明同伦等价但不同胚的情况：
一个点与一个圆是同伦等价的。
想象一个点 $P$ 和一个圆 $C$。
我们可以定义一个映射 $f: P o C$，它将点 $P$ 映射到圆上的任意一点（比如圆上的某一个固定点）。
我们可以定义一个映射 $g: C o P$，它将圆上的所有点都映射到点 $P$。
现在考虑 $g circ f: P o P$。这个复合映射就是将点 $P$ 映射到 $P$ 自己，也就是恒等映射 $id_P$。它显然与自身同伦。
再考虑 $f circ g: C o C$。这个复合映射是将圆 $C$ 上的所有点都映射到圆 $C$ 上的那个固定点。这个映射本身并不是圆的恒等映射（恒等映射会保持圆上每个点的位置），但是，你可以想象一下，把圆上所有点都“收缩”到一个点上，这个收缩的过程是连续的，并且最终你又可以“展开”那个点回到圆周的每个点（虽然不是唯一地回到，但这个“展开”的过程可以看作是同伦的）。更严谨地说，对于圆上的任意一点 $c in C$，我们可以定义一个同伦 $H(c, t)$，它从 $f(g(c))$ （那个固定点）开始，在时间 $t$ 逐渐“拉伸”到 $c$ 本身。因此，$f circ g$ 与 $id_C$ 是同伦的。
所以，一个点和一个圆是同伦等价的。
但是，它们不是同胚的。一个点只有一种拓扑性质（它是离散的，或者说它的任何邻域都是它本身），而圆则有无数个点，并且它有连通的性质，并且它不是“局部Euclidean”的（你不可能在圆周上的一个点找到一个开集，它同胚于一个实数线段的开集）。最直观的，你无法将一个点“拉伸”成一个圆，也无法将一个圆“压缩”成一个点而不破坏其拓扑性质。
总结一下关键区别：
| 特征 | 同胚 (Homeomorphism) | 同伦 (Homotopy) |
| : | : | : |
| 描述对象 | 两个拓扑空间之间的“等价性”，指空间本身可以互相连续变形且可逆。 | 两个映射之间或两个空间之间的“相似性”，指一个映射可以连续变形到另一个，或者两个空间可以通过连续映射联系起来并且复合映射与恒等映射同伦。 |
| 映射要求 | 存在一个双射且该映射及其逆映射都连续。 | 描述的是映射之间的联系，即存在一个连续的“形变参数化”映射。 |
| 严格程度 | 非常严格，意味着空间在拓扑意义上是“相同的”。 | 相对宽松，允许空间有更显著的差异，只要它们在某些拓扑特征上可以被“联系”起来。 |
| 保持性质 | 保持所有拓扑性质（如连通性、紧致性、孔的数量、同调群等）。 | 保持的拓扑性质相对较少，例如同调群是同伦不变量，但维度或某些局部性质可能不保持。 |
| 例子 | 实线段 $leftrightarrow$ 实数线，圆周 $leftrightarrow$ 正方形周长。 | 点 $leftrightarrow$ 圆周（同伦等价但不同胚），单点空间 $leftrightarrow$ 单点空间（同伦）。 |
简单来说：
同胚是说两个空间是“同一件东西的不同包装”。它们的骨架是完全一样的。
同伦则是一种更“抽象”的连接。它说的是，虽然这两个空间看起来可能差别很大（比如一个点和一个圆），但它们在某种意义上是“可沟通”的，它们共享一些更根本的结构特征（比如它们的“洞”的数量，虽然一个点没有洞，而圆有，但这里的同伦等价例子是点和圆，点到圆的同伦等价，是因为可以将圆缩成一点，而这一过程是同伦的）。更准确地说，同伦等价保留的是空间的“同调群”这类不变量。
理解同伦和同胚，是理解拓扑学如何“分类”和“比较”空间的关键。同胚是更强的“相等”，同伦等价是更弱的“相等”。
我们先从同胚（Homeomorphism）说起，它更像是“形状完全一样，只是扭曲了”。
想象一下，你手中有一个橡皮泥球。你可以把它捏、拉、压扁，但只要你做的所有操作都是连续的，并且最终能恢复成原来的样子，那么你所得到的新的橡皮泥形状就与原来的球是同胚的。
用更严谨的数学语言来说，两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 之间如果存在一个同胚映射，那么它们就是同胚的。同胚映射 $f: X o Y$ 必须满足以下三个条件：
1. 连续性 (Continuity): $f$ 是一个连续映射。这意味着，$X$ 中的一个点附近的点，在 $Y$ 中对应的点也依然靠近。换句话说，它不会突然地把一个区域“撕裂”开或者“缝合”起来。
2. 双射性 (Bijectivity): $f$ 必须是一个一对一且满射的映射。也就是说，$X$ 中的每个点都对应 $Y$ 中唯一的点，反之亦然。这保证了没有点被丢弃，也没有多个点被挤压到同一个点上。
3. 逆映射也连续 (Continuity of the Inverse): $f$ 的逆映射 $f^{1}: Y o X$ 也必须是连续的。这非常关键！它保证了你不仅能从 $X$ 变形到 $Y$，还能把 $Y$ 通过“反向”的连续形变再变回 $X$。
同胚有什么意义？
如果两个空间是同胚的，那么它们在拓扑学意义上是等价的。这意味着它们拥有完全相同的拓扑性质。任何一个对于一个空间成立的拓扑性质，对于与其同胚的另一个空间也一定成立。
举几个例子：
一个实线段 $[0, 1]$ 与整个实数线 $mathbb{R}$ 是同胚的。你可以想象把线段两端向外“无限延伸”，而无需撕裂或粘连。例如，映射 $f(x) = an(frac{pi}{2} x frac{pi}{4})$ 可以将 $[0,1]$ 的内部映射到 $mathbb{R}$，然后通过一些巧妙的定义可以处理端点。
一个圆的周长与一个正方形的周长是同胚的。你可以想象把圆的周长想象成一个橡皮带，然后把它拉直变成一个正方形。
一个甜甜圈（带一个孔的杯子）和一个咖啡杯在拓扑学上是同胚的。这可能是最著名的例子了，因为它们都可以被看作是一个带有一个孔的球面（一个环面）。你可以在不破坏其“连通性”和“孔的数量”的情况下，将它们互相变形。
同胚是拓扑学中最强的“形状相等”的衡量标准。
接下来我们聊聊同伦（Homotopy），它更像是“可以连续变形到”，但未必能完全恢复。
如果说同胚是“形状完全一样”，那么同伦就是“形状可以互相‘滑’过去”。这里的“滑”是更弱的一种关系。
想象一下，你手里有两个橡皮泥球，它们可能大小不一样，甚至形状也不完全一样，比如一个稍微扁一点，一个圆一点。同伦就是说，你可以在保持它们基本结构不变的情况下，让一个平滑地变成另一个。
更数学一点，两个连续映射 $f: X o Y$ 和 $g: X o Y$ 之间存在同伦，意味着你可以找到一个“形变”的过程，让 $f$ 连续地变成 $g$。这个形变过程通常被描述为一个二维的映射，它涉及到一个“时间”或“参数”维度。
严格来说，两个映射 $f$ 和 $g$ 之间存在同伦，是指存在一个连续映射 $H: X imes [0, 1] o Y$，使得：
对于所有的 $x in X$，有 $H(x, 0) = f(x)$。（形变的起点是 $f$）
对于所有的 $x in X$，有 $H(x, 1) = g(x)$。（形变的终点是 $g$）
这里的 $[0, 1]$ 代表了形变过程中的“时间”参数。你可以把 $H(x, t)$ 看作是在“时间” $t$ 时，点 $x$ 在 $Y$ 中的位置。
同伦有什么意义？
同伦主要用来描述映射之间的“相等性”，或者说，不同映射之间是否有某种“连续的联系”。
映射的同伦等价 (Homotopy Equivalence of Maps): 如果两个映射 $f$ 和 $g$ 是同伦的，我们说它们是同伦等价的。这比说它们是“相等”要弱得多，因为 $f$ 和 $g$ 可能作用在不同的空间上，或者即使作用在同一个空间上，它们本身也可能看起来完全不同。
空间的同伦等价 (Homotopy Equivalence of Spaces): 这是一种更广泛的概念，用来描述空间之间的相似性。如果存在两个映射 $f: X o Y$ 和 $g: Y o X$，使得 $g circ f$ 与 $X$ 上的恒等映射 $id_X$ 是同伦的，并且 $f circ g$ 与 $Y$ 上的恒等映射 $id_Y$ 是同伦的，那么我们就说空间 $X$ 和 $Y$ 是同伦等价的。
注意：同伦等价 ≠ 同胚。
同胚是同伦等价的一种特殊情况。如果两个空间同胚，那么它们必然同伦等价。因为同胚映射 $f$ 本身就满足所有同伦等价的要求（其逆映射 $f^{1}$ 存在且是连续的，所以 $f^{1} circ f = id_X$ 且 $f circ f^{1} = id_Y$，恒等映射当然与自身同伦）。
但是，两个空间可能同伦等价，却不是同胚的。
举例说明同伦等价但不同胚的情况：
一个点与一个圆是同伦等价的。
想象一个点 $P$ 和一个圆 $C$。
我们可以定义一个映射 $f: P o C$，它将点 $P$ 映射到圆上的任意一点（比如圆上的某一个固定点）。
我们可以定义一个映射 $g: C o P$，它将圆上的所有点都映射到点 $P$。
现在考虑 $g circ f: P o P$。这个复合映射就是将点 $P$ 映射到 $P$ 自己，也就是恒等映射 $id_P$。它显然与自身同伦。
再考虑 $f circ g: C o C$。这个复合映射是将圆 $C$ 上的所有点都映射到圆 $C$ 上的那个固定点。这个映射本身并不是圆的恒等映射（恒等映射会保持圆上每个点的位置），但是，你可以想象一下，把圆上所有点都“收缩”到一个点上，这个收缩的过程是连续的，并且最终你又可以“展开”那个点回到圆周的每个点（虽然不是唯一地回到，但这个“展开”的过程可以看作是同伦的）。更严谨地说，对于圆上的任意一点 $c in C$，我们可以定义一个同伦 $H(c, t)$，它从 $f(g(c))$ （那个固定点）开始，在时间 $t$ 逐渐“拉伸”到 $c$ 本身。因此，$f circ g$ 与 $id_C$ 是同伦的。
所以，一个点和一个圆是同伦等价的。
但是，它们不是同胚的。一个点只有一种拓扑性质（它是离散的，或者说它的任何邻域都是它本身），而圆则有无数个点，并且它有连通的性质，并且它不是“局部Euclidean”的（你不可能在圆周上的一个点找到一个开集，它同胚于一个实数线段的开集）。最直观的，你无法将一个点“拉伸”成一个圆，也无法将一个圆“压缩”成一个点而不破坏其拓扑性质。
总结一下关键区别：
| 特征 | 同胚 (Homeomorphism) | 同伦 (Homotopy) |
| : | : | : |
| 描述对象 | 两个拓扑空间之间的“等价性”，指空间本身可以互相连续变形且可逆。 | 两个映射之间或两个空间之间的“相似性”，指一个映射可以连续变形到另一个，或者两个空间可以通过连续映射联系起来并且复合映射与恒等映射同伦。 |
| 映射要求 | 存在一个双射且该映射及其逆映射都连续。 | 描述的是映射之间的联系，即存在一个连续的“形变参数化”映射。 |
| 严格程度 | 非常严格，意味着空间在拓扑意义上是“相同的”。 | 相对宽松，允许空间有更显著的差异，只要它们在某些拓扑特征上可以被“联系”起来。 |
| 保持性质 | 保持所有拓扑性质（如连通性、紧致性、孔的数量、同调群等）。 | 保持的拓扑性质相对较少，例如同调群是同伦不变量，但维度或某些局部性质可能不保持。 |
| 例子 | 实线段 $leftrightarrow$ 实数线，圆周 $leftrightarrow$ 正方形周长。 | 点 $leftrightarrow$ 圆周（同伦等价但不同胚），单点空间 $leftrightarrow$ 单点空间（同伦）。 |
简单来说：
同胚是说两个空间是“同一件东西的不同包装”。它们的骨架是完全一样的。
同伦则是一种更“抽象”的连接。它说的是，虽然这两个空间看起来可能差别很大（比如一个点和一个圆），但它们在某种意义上是“可沟通”的，它们共享一些更根本的结构特征（比如它们的“洞”的数量，虽然一个点没有洞，而圆有，但这里的同伦等价例子是点和圆，点到圆的同伦等价，是因为可以将圆缩成一点，而这一过程是同伦的）。更准确地说，同伦等价保留的是空间的“同调群”这类不变量。
理解同伦和同胚，是理解拓扑学如何“分类”和“比较”空间的关键。同胚是更强的“相等”，同伦等价是更弱的“相等”。
网友意见
两者好像都是说一个东西可以经过连续变化成为另一个东西，求一个通俗易懂的解释，最好附带例子
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