随机变量服从正态分布，同时这个正态分布的均值也服从正态分布。这是什么分布？
这涉及到一个“混合分布”的概念，更具体地说，在这种情况下，它描述的是一个混合正态分布 (Mixture Normal Distribution)，但它又与我们通常理解的“混合正态”有所不同，因为它不是由几个独立的正态分布的加权平均构成，而是参数本身具有随机性。
让我们拆解一下这个问题，一层一层地剥开它的含义：
1. “随机变量服从正态分布”
这是最基础的描述。我们有一个随机变量，我们称它为 $X$。知道它服从正态分布，意味着我们可以用两个参数来描述它：
均值（Mean）：代表了分布的中心位置，我们通常用 $mu$ 来表示。
方差（Variance）：代表了分布的离散程度，我们通常用 $sigma^2$ 来表示。
所以，我们可以写成 $X sim N(mu, sigma^2)$。这意味着 $X$ 的概率密度函数（PDF）是一个高斯函数：
$f_X(x | mu, sigma^2) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$
注意这里的关键点：概率密度函数是依赖于 $mu$ 和 $sigma^2$ 这两个参数的。
2. “同时这个正态分布的均值也服从正态分布”
这就是问题的核心，它引入了参数的随机性。前面我们假设 $mu$ 是一个确定的值，但现在我们被告知，这个 $mu$ 本身不是一个固定的数值，而是另一个随机变量。
我们姑且称这个“均值的均值”的分布为 $M$。所以，这里的描述是：
$mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$
这意味着：
$mu$ 的期望值是 $mu_0$。
$mu$ 本身存在一个方差，即 $sigma_0^2$。 $mu$ 的值会围绕着 $mu_0$ 波动。
问题来了：方差 $sigma^2$ 呢？
问题中只提到了均值服从正态分布，而没有提及方差。在实际建模中，方差可以有几种情况：
方差是固定的 ($sigma^2$ 是一个常数)：如果方差是一个固定的已知值，那么我们的模型就只包含 $mu$ 的随机性。
方差也服从某种分布：理论上，方差 $sigma^2$ 也可以是另一个随机变量，比如服从伽马分布（Gamma distribution）或其他分布，这样模型会更复杂。
在没有明确说明的情况下，最常见和最简单的假设是：方差 $sigma^2$ 是一个固定的常数。我们暂且采用这个假设来分析。
3. 那么，结合起来是什么分布？
我们有一个变量 $X$，它的分布是 $X sim N(mu, sigma^2)$，但是 $mu$ 本身是一个随机变量， $mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$。
当我们讨论一个随机变量的分布时，我们实际上是在寻找它的边缘概率密度函数 (Marginal Probability Density Function, PDF)，也就是我们忽略掉中间参数（这里是 $mu$）的影响后，直接描述 $X$ 的概率分布。
要得到 $X$ 的边缘 PDF，我们需要对给定 $mu$ 的 PDF（条件 PDF）关于 $mu$ 的分布进行积分：
$f_X(x) = int_{infty}^{infty} f_X(x | mu) f_{mu}(mu) dmu$
其中：
$f_X(x | mu) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$ 是在给定 $mu$ 时 $X$ 的条件 PDF。
$f_{mu}(mu) = frac{1}{sqrt{2pisigma_0^2}} e^{frac{(mumu_0)^2}{2sigma_0^2}}$ 是 $mu$ 的 PDF。
我们来做这个积分（这是一个标准的贝叶斯推断中的计算）：
$f_X(x) = int_{infty}^{infty} left( frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}} ight) left( frac{1}{sqrt{2pisigma_0^2}} e^{frac{(mumu_0)^2}{2sigma_0^2}} ight) dmu$
为了简化积分，我们可以把指数部分合并：
$frac{(xmu)^2}{2sigma^2} frac{(mumu_0)^2}{2sigma_0^2}$
$= frac{1}{2} left( frac{x^2 2xmu + mu^2}{sigma^2} + frac{mu^2 2mumu_0 + mu_0^2}{sigma_0^2} ight)$
$= frac{1}{2} left( frac{sigma_0^2(x^2 2xmu + mu^2) + sigma^2(mu^2 2mumu_0 + mu_0^2)}{sigma^2sigma_0^2} ight)$
$= frac{1}{2sigma^2sigma_0^2} left( (sigma_0^2 + sigma^2)mu^2 2(sigma_0^2x + sigma^2mu_0)mu + (sigma_0^2x^2 + sigma^2mu_0^2) ight)$
这是一个关于 $mu$ 的二次型。我们可以将其配方，凑成 $mu$ 的高斯分布指数形式。
令 $A = sigma_0^2 + sigma^2$
令 $B = sigma_0^2x + sigma^2mu_0$
令 $C = sigma_0^2x^2 + sigma^2mu_0^2$
表达式变为 $frac{1}{2sigma^2sigma_0^2} (Amu^2 2Bmu + C)$
我们知道，高斯分布的指数形式是 $frac{(mu ext{mean})^2}{2 imes ext{variance}}$。
考虑 $(mu mu_{ ext{new}})^2 = mu^2 2mu_{mu_{ ext{new}}} + mu_{ ext{new}}^2$
我们将 $Amu^2 2Bmu + C$ 整理成 $(mu mu_{ ext{new}})^2$ 的形式。
$mu^2 2frac{B}{A}mu + frac{C}{A}$
所以，$mu_{ ext{new}} = frac{B}{A} = frac{sigma_0^2x + sigma^2mu_0}{sigma_0^2 + sigma^2}$
新的方差 $sigma_{ ext{new}}^2$ 对应于 $frac{1}{2sigma^2sigma_0^2} imes frac{1}{A} (mu mu_{ ext{new}})^2$ 的系数，或者更直接地，从指数项的结构可以推导出，将 $Amu^2 2Bmu + C$ 配方后，会得到一个与 $mu$ 无关的常数项，以及 $(mu mu_{ ext{new}})^2 / sigma_{ ext{integrated}}^2$ 这样的项。
更直观地理解：这个积分实际上是在计算一个条件概率分布的期望。当 $mu$ 随机时， $X$ 的分布的均值实际上变成了 $E[mu] = mu_0$，但由于 $mu$ 本身有方差，它会“拉伸” $X$ 的分布。
经过推导（这里不再详细展开每一个代数步骤，因为会非常冗长，但这是概率论中的一个标准结果），结果是：
$X$ 的边缘分布仍然是一个正态分布。
让我们计算它的均值和方差：
1. $X$ 的均值（期望值）：
$E[X] = E[E[X|mu]]$
因为 $E[X|mu] = mu$，所以
$E[X] = E[mu]$
而 $mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$，所以 $E[mu] = mu_0$。
因此，$E[X] = mu_0$。
2. $X$ 的方差：
$Var(X) = E[Var(X|mu)] + Var(E[X|mu])$
$Var(X|mu) = sigma^2$ (这是给定的，方差是固定的)。
$E[Var(X|mu)] = E[sigma^2] = sigma^2$ (因为 $sigma^2$ 是常数)。
$E[X|mu] = mu$
$Var(E[X|mu]) = Var(mu)$
而 $mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$，所以 $Var(mu) = sigma_0^2$。
因此，$Var(X) = sigma^2 + sigma_0^2$。
结论：
在这种设定下（即原始变量 $X$ 的方差 $sigma^2$ 是固定的常数，而其均值 $mu$ 服从均值为 $mu_0$、方差为 $sigma_0^2$ 的正态分布），最终得到的 $X$ 的边缘分布仍然是一个正态分布。
这个最终的正态分布的参数是：
均值：$mu_0$
方差：$sigma^2 + sigma_0^2$
所以，我们可以写成 $X sim N(mu_0, sigma^2 + sigma_0^2)$。
这个模型在统计学和机器学习中非常常见，它被称为“贝叶斯框架下的线性模型”或“随机效应模型”的一个简单例子。
举个更贴近生活的例子：
想象一下，你想测量全国所有成年男性的平均身高。
第一次想法：有一个固定的平均身高 $mu$，然后每个男性的身高 $X$ 是服从 $N(mu, sigma^2)$ 的。
现实情况：你可能不确定全国的平均身高到底是多少。你估计全国平均身高 $mu$ 本身也可能在一个范围内波动，比如你认为平均身高 $mu$ 大概率在 175 厘米左右，但它可能偏高也可能偏低，这种不确定性可以用一个正态分布来描述，比如 $mu sim N(175, 5^2)$ （均值为 175cm，标准差为 5cm，即方差为 25）。同时，即使你知道了全国平均身高 $mu$，每个人的身高 $X$ 仍然会围绕这个平均身高有自己的分散度，这个分散度（方差 $sigma^2$）可以看作是固定的，比如 7cm 的标准差，方差就是 49。
那么，从你（作为一个观察者）的角度来看，你随机抽取一个成年男性，他的身高 $X$ 的分布是什么样的？
根据上面的推导，你的抽取到的身高的平均值就是你对全国平均身高的估计的平均值 $mu_0 = 175$cm。
但是，你抽取到的身高的方差会比单纯的个体差异（$sigma^2$）更大，因为它还包含了你对全国平均身高不确定性的贡献（$sigma_0^2$）。
所以，你抽到的任何一个人身高的方差就是 $sigma^2 + sigma_0^2$。
总结一下，这个分布不是一个“新的、特殊的名字”的分布，它本质上仍然是正态分布，只是它的参数（尤其是均值）具有随机性，而我们最终计算出来的是这个随机变量的边缘分布，恰好也是一个正态分布，其均值是参数均值的均值，方差是参数方差与原分布方差之和。
这种结构在贝叶斯统计中是基石，它允许我们建模不确定性，并将这种不确定性传递到我们感兴趣的变量上。它也避免了在仅有确定性参数时模型可能过于僵化的缺点。
让我们拆解一下这个问题，一层一层地剥开它的含义：
1. “随机变量服从正态分布”
这是最基础的描述。我们有一个随机变量，我们称它为 $X$。知道它服从正态分布，意味着我们可以用两个参数来描述它：
均值（Mean）：代表了分布的中心位置，我们通常用 $mu$ 来表示。
方差（Variance）：代表了分布的离散程度，我们通常用 $sigma^2$ 来表示。
所以，我们可以写成 $X sim N(mu, sigma^2)$。这意味着 $X$ 的概率密度函数（PDF）是一个高斯函数：
$f_X(x | mu, sigma^2) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$
注意这里的关键点：概率密度函数是依赖于 $mu$ 和 $sigma^2$ 这两个参数的。
2. “同时这个正态分布的均值也服从正态分布”
这就是问题的核心，它引入了参数的随机性。前面我们假设 $mu$ 是一个确定的值，但现在我们被告知，这个 $mu$ 本身不是一个固定的数值，而是另一个随机变量。
我们姑且称这个“均值的均值”的分布为 $M$。所以，这里的描述是：
$mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$
这意味着：
$mu$ 的期望值是 $mu_0$。
$mu$ 本身存在一个方差，即 $sigma_0^2$。 $mu$ 的值会围绕着 $mu_0$ 波动。
问题来了：方差 $sigma^2$ 呢？
问题中只提到了均值服从正态分布，而没有提及方差。在实际建模中，方差可以有几种情况：
方差是固定的 ($sigma^2$ 是一个常数)：如果方差是一个固定的已知值，那么我们的模型就只包含 $mu$ 的随机性。
方差也服从某种分布：理论上，方差 $sigma^2$ 也可以是另一个随机变量，比如服从伽马分布（Gamma distribution）或其他分布，这样模型会更复杂。
在没有明确说明的情况下，最常见和最简单的假设是：方差 $sigma^2$ 是一个固定的常数。我们暂且采用这个假设来分析。
3. 那么，结合起来是什么分布？
我们有一个变量 $X$，它的分布是 $X sim N(mu, sigma^2)$，但是 $mu$ 本身是一个随机变量， $mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$。
当我们讨论一个随机变量的分布时，我们实际上是在寻找它的边缘概率密度函数 (Marginal Probability Density Function, PDF)，也就是我们忽略掉中间参数（这里是 $mu$）的影响后，直接描述 $X$ 的概率分布。
要得到 $X$ 的边缘 PDF，我们需要对给定 $mu$ 的 PDF（条件 PDF）关于 $mu$ 的分布进行积分：
$f_X(x) = int_{infty}^{infty} f_X(x | mu) f_{mu}(mu) dmu$
其中：
$f_X(x | mu) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$ 是在给定 $mu$ 时 $X$ 的条件 PDF。
$f_{mu}(mu) = frac{1}{sqrt{2pisigma_0^2}} e^{frac{(mumu_0)^2}{2sigma_0^2}}$ 是 $mu$ 的 PDF。
我们来做这个积分（这是一个标准的贝叶斯推断中的计算）：
$f_X(x) = int_{infty}^{infty} left( frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{frac{(xmu)^2}{2sigma^2}} ight) left( frac{1}{sqrt{2pisigma_0^2}} e^{frac{(mumu_0)^2}{2sigma_0^2}} ight) dmu$
为了简化积分，我们可以把指数部分合并：
$frac{(xmu)^2}{2sigma^2} frac{(mumu_0)^2}{2sigma_0^2}$
$= frac{1}{2} left( frac{x^2 2xmu + mu^2}{sigma^2} + frac{mu^2 2mumu_0 + mu_0^2}{sigma_0^2} ight)$
$= frac{1}{2} left( frac{sigma_0^2(x^2 2xmu + mu^2) + sigma^2(mu^2 2mumu_0 + mu_0^2)}{sigma^2sigma_0^2} ight)$
$= frac{1}{2sigma^2sigma_0^2} left( (sigma_0^2 + sigma^2)mu^2 2(sigma_0^2x + sigma^2mu_0)mu + (sigma_0^2x^2 + sigma^2mu_0^2) ight)$
这是一个关于 $mu$ 的二次型。我们可以将其配方，凑成 $mu$ 的高斯分布指数形式。
令 $A = sigma_0^2 + sigma^2$
令 $B = sigma_0^2x + sigma^2mu_0$
令 $C = sigma_0^2x^2 + sigma^2mu_0^2$
表达式变为 $frac{1}{2sigma^2sigma_0^2} (Amu^2 2Bmu + C)$
我们知道，高斯分布的指数形式是 $frac{(mu ext{mean})^2}{2 imes ext{variance}}$。
考虑 $(mu mu_{ ext{new}})^2 = mu^2 2mu_{mu_{ ext{new}}} + mu_{ ext{new}}^2$
我们将 $Amu^2 2Bmu + C$ 整理成 $(mu mu_{ ext{new}})^2$ 的形式。
$mu^2 2frac{B}{A}mu + frac{C}{A}$
所以，$mu_{ ext{new}} = frac{B}{A} = frac{sigma_0^2x + sigma^2mu_0}{sigma_0^2 + sigma^2}$
新的方差 $sigma_{ ext{new}}^2$ 对应于 $frac{1}{2sigma^2sigma_0^2} imes frac{1}{A} (mu mu_{ ext{new}})^2$ 的系数，或者更直接地，从指数项的结构可以推导出，将 $Amu^2 2Bmu + C$ 配方后，会得到一个与 $mu$ 无关的常数项，以及 $(mu mu_{ ext{new}})^2 / sigma_{ ext{integrated}}^2$ 这样的项。
更直观地理解：这个积分实际上是在计算一个条件概率分布的期望。当 $mu$ 随机时， $X$ 的分布的均值实际上变成了 $E[mu] = mu_0$，但由于 $mu$ 本身有方差，它会“拉伸” $X$ 的分布。
经过推导（这里不再详细展开每一个代数步骤，因为会非常冗长，但这是概率论中的一个标准结果），结果是：
$X$ 的边缘分布仍然是一个正态分布。
让我们计算它的均值和方差：
1. $X$ 的均值（期望值）：
$E[X] = E[E[X|mu]]$
因为 $E[X|mu] = mu$，所以
$E[X] = E[mu]$
而 $mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$，所以 $E[mu] = mu_0$。
因此，$E[X] = mu_0$。
2. $X$ 的方差：
$Var(X) = E[Var(X|mu)] + Var(E[X|mu])$
$Var(X|mu) = sigma^2$ (这是给定的，方差是固定的)。
$E[Var(X|mu)] = E[sigma^2] = sigma^2$ (因为 $sigma^2$ 是常数)。
$E[X|mu] = mu$
$Var(E[X|mu]) = Var(mu)$
而 $mu sim N(mu_0, sigma_0^2)$，所以 $Var(mu) = sigma_0^2$。
因此，$Var(X) = sigma^2 + sigma_0^2$。
结论：
在这种设定下（即原始变量 $X$ 的方差 $sigma^2$ 是固定的常数，而其均值 $mu$ 服从均值为 $mu_0$、方差为 $sigma_0^2$ 的正态分布），最终得到的 $X$ 的边缘分布仍然是一个正态分布。
这个最终的正态分布的参数是：
均值：$mu_0$
方差：$sigma^2 + sigma_0^2$
所以，我们可以写成 $X sim N(mu_0, sigma^2 + sigma_0^2)$。
这个模型在统计学和机器学习中非常常见，它被称为“贝叶斯框架下的线性模型”或“随机效应模型”的一个简单例子。
举个更贴近生活的例子：
想象一下，你想测量全国所有成年男性的平均身高。
第一次想法：有一个固定的平均身高 $mu$，然后每个男性的身高 $X$ 是服从 $N(mu, sigma^2)$ 的。
现实情况：你可能不确定全国的平均身高到底是多少。你估计全国平均身高 $mu$ 本身也可能在一个范围内波动，比如你认为平均身高 $mu$ 大概率在 175 厘米左右，但它可能偏高也可能偏低，这种不确定性可以用一个正态分布来描述，比如 $mu sim N(175, 5^2)$ （均值为 175cm，标准差为 5cm，即方差为 25）。同时，即使你知道了全国平均身高 $mu$，每个人的身高 $X$ 仍然会围绕这个平均身高有自己的分散度，这个分散度（方差 $sigma^2$）可以看作是固定的，比如 7cm 的标准差，方差就是 49。
那么，从你（作为一个观察者）的角度来看，你随机抽取一个成年男性，他的身高 $X$ 的分布是什么样的？
根据上面的推导，你的抽取到的身高的平均值就是你对全国平均身高的估计的平均值 $mu_0 = 175$cm。
但是，你抽取到的身高的方差会比单纯的个体差异（$sigma^2$）更大，因为它还包含了你对全国平均身高不确定性的贡献（$sigma_0^2$）。
所以，你抽到的任何一个人身高的方差就是 $sigma^2 + sigma_0^2$。
总结一下，这个分布不是一个“新的、特殊的名字”的分布，它本质上仍然是正态分布，只是它的参数（尤其是均值）具有随机性，而我们最终计算出来的是这个随机变量的边缘分布，恰好也是一个正态分布，其均值是参数均值的均值，方差是参数方差与原分布方差之和。
这种结构在贝叶斯统计中是基石，它允许我们建模不确定性，并将这种不确定性传递到我们感兴趣的变量上。它也避免了在仅有确定性参数时模型可能过于僵化的缺点。
网友意见
如果是独立的，你的这个例子仅仅是两个正态分布随机变量的和而已，结果仍为正态分布，均值和方差分布相加即可。
等于你要的是两个符合正态分布的随机变量之和吧。
其中 是相关系数，独立的话取 0。由于这里的第二个正态分布等于是对“误差项”的建模，一般确实会假设它跟其他东西独立。
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