sinx求导为什么是cosx？
咱们就从最基础的定义出发，一点一点剥开它。
导数的定义：变化率的极限
首先得明白什么是导数。导数的本质，就是函数在某一点的瞬时变化率。你可以想象一下，如果你在开车，导数就是你车子在某个时刻的速度。
数学上，我们怎么衡量这个“变化率”呢？最直接的想法是看函数值在两个点之间的变化量除以这两个点之间的横坐标变化量，也就是平均变化率。
假设我们要求函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数，我们选取另一个点 $x_0 + h$（这里的 $h$ 是一个很小的数值）。那么，在这两点之间的平均变化率就是：
$$ frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{(x_0 + h) x_0} = frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} $$
这个式子表示了从 $x_0$ 到 $x_0 + h$ 这段区间内，函数值的平均变化速度。
但是，我们想要的是瞬时变化率，也就是当第二个点无限接近第一个点的时候，这个平均变化率趋近的值。换句话说，就是让 $h$ 趋近于 0。这就引出了导数的极限定义：
$$ f'(x_0) = lim_{h o 0} frac{f(x_0 + h) f(x_0)}{h} $$
如果这个极限存在，我们就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，导数就是这个极限值。对于任意一个 $x$，我们都可以用这个定义来求出导函数 $f'(x)$。
回归 sin(x)：用定义来求导
现在，我们把这个定义应用到 $f(x) = sin(x)$ 上。我们要计算：
$$ (sin(x))' = lim_{h o 0} frac{sin(x + h) sin(x)}{h} $$
看到 $sin(x+h)$，你可能会想到三角函数的和角公式：
$$ sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B $$
将这个公式代入到我们的极限表达式中：
$$ (sin(x))' = lim_{h o 0} frac{(sin x cos h + cos x sin h) sin x}{h} $$
接下来，我们对分子进行一下变形，把含有 $sin x$ 的项凑在一起：
$$ (sin(x))' = lim_{h o 0} frac{sin x (cos h 1) + cos x sin h}{h} $$
然后，我们可以把这个分数拆开：
$$ (sin(x))' = lim_{h o 0} left( sin x frac{cos h 1}{h} + cos x frac{sin h}{h} ight) $$
因为 $sin x$ 和 $cos x$ 相对于 $h$ 来说是常数，我们可以把它们提到极限符号外面：
$$ (sin(x))' = sin x lim_{h o 0} frac{cos h 1}{h} + cos x lim_{h o 0} frac{sin h}{h} $$
至此，我们遇到了两个关键的极限：
1. $$ lim_{h o 0} frac{sin h}{h} $$
2. $$ lim_{h o 0} frac{cos h 1}{h} $$
这两个极限值是多少？
这两个极限是三角函数求导的基石，它们的推导也需要一些技巧，通常涉及到几何证明或者使用泰勒展开。
极限 1: $ lim_{h o 0} frac{sin h}{h} = 1 $
这个极限的证明通常会用到夹逼定理（也叫三明治定理）。想象一个单位圆，一个很小的角度 $h$（通常取弧度制）。我们可以通过比较三个区域的面积：一个小的三角形、一个扇形和一个大的三角形来证明。
当 $h$ 趋近于 0 时，这个比值会趋近于 1。你可以把它理解为：当角度非常小时，弦的长度（近似于 $sin h$）和弧的长度（等于 $h$）几乎是一样的。
极限 2: $ lim_{h o 0} frac{cos h 1}{h} = 0 $
这个极限也可以通过上面的和角公式和第一个极限来推导：
$$ lim_{h o 0} frac{cos h 1}{h} = lim_{h o 0} frac{ (1 cos h)}{h} $$
我们知道 $1 cos h = 2 sin^2(h/2)$。所以：
$$ lim_{h o 0} frac{2 sin^2(h/2)}{h} $$
为了利用第一个极限，我们调整一下：
$$ lim_{h o 0} frac{2 sin(h/2) sin(h/2)}{h} = lim_{h o 0} left( frac{sin(h/2)}{h/2} cdot sin(h/2) ight) $$
当 $h o 0$ 时，$h/2 o 0$。所以 $frac{sin(h/2)}{h/2} o 1$，而 $sin(h/2) o sin(0) = 0$。
所以，整个极限的值就是 $1 cdot 0 = 0$。
最终的答案
现在，我们把这两个极限值代回到我们的导数表达式中：
$$ (sin(x))' = sin x cdot (0) + cos x cdot (1) $$
$$ (sin(x))' = 0 + cos x $$
$$ (sin(x))' = cos x $$
总结一下过程：
1. 利用导数的定义： 将 $sin(x)$ 代入极限公式。
2. 运用三角恒等式： 使用 $sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h$ 来展开。
3. 重新组合与拆分： 将表达式改写成两个涉及基本三角函数极限的形式。
4. 利用关键极限： 知道 $lim_{h o 0} frac{sin h}{h} = 1$ 和 $lim_{h o 0} frac{cos h 1}{h} = 0$ 是至关重要的。
5. 代入计算： 将极限值代回，得到最终结果 $cos x$。
换个角度理解（几何意义）：
你也可以从正弦函数和余弦函数的图形以及它们的几何意义来感受一下。
正弦函数 $y = sin(x)$： 在图像上，它的斜率（也就是导数）在 $x=0$ 处是最大的正值（接近 1），这对应于 $cos(0) = 1$。当 $x$ 增大到 $pi/2$ 时，正弦函数的图像变成水平的了，斜率为 0，这对应于 $cos(pi/2) = 0$。当 $x$ 继续增大到 $pi$ 时，正弦函数在下降，斜率是负的，这对应于 $cos(pi) = 1$。这种“斜率变化”的模式，正好和余弦函数的函数值是吻合的。
“导数是变化率”的直观理解： 想象一下一个在单位圆上匀速转动的点，它的纵坐标就是 $sin(t)$，横坐标就是 $cos(t)$。当这个点的角度是 $t$ 时，它的速度向量方向是切线方向，大小是角速度（假设是 1）。纵坐标（$sin(t)$）的变化率（导数）就是这个速度向量在 y 方向上的分量，而这个分量正好是 $cos(t)$。
所以，$sin(x)$ 的导数是 $cos(x)$，不仅仅是一个孤立的公式，它是基于极限定义和三角函数性质严谨推导出来的结果，并且与函数图形的几何变化率有着深刻的联系。
网友意见
直接把sin,cos定义为某微分方程的两个特解，则问题的回答就是: 显然。
或者将二者定义为虚指数的虚实部，且虚指数用级数定义。则问题的回答是：显然。
对级数逐项求导，则上述两种定义的等价性是显然的。
以上为理解正余弦（乃至一般三角函数）的最佳出发点。
不幸的是，很多人用三角形来定义三角函数，这是严重过时的和极为笨拙的。由此无端制造出一些本可以避免的困惑，比如sin求导为什么是cos, 三角函数的和差公式为何是这样，如何理解欧拉公式，或者函数为什么可以用三角函数展开等等。
难道三角函数不该用三角形定义吗？不该。
那为什么中学数学教科书使用三角形定义三角函数？因为教科书没编写好，这是全人类的大损失大悲哀。我再展开多说几句。世界各国中学数学教学格局基本源自19世纪后期20世界初期的欧洲，那时候第二次工业革命促使欧洲开始普及全民中等教育，包括初等数学教育。这里面就有三角学和三角函数知识。那时候基于傅里叶分析的信息处理还不是那么重要，另一方面我怀疑大航海或者炮兵计算对三角学的强调影响很大，因此编写教科书用三角形定义三角函数并教授如何使用三角函数来解三角形。然而时过境迁，现如今如果你在实践中需要使用三角函数，十有八九和傅里叶分析（用于信息处理）有关，绝大多数时候和解三角形无关，因此本文开头的定义才是最佳出发点。可叹的是，大航海时代定下的教法至今还在拖信息时代人才培养的后腿，这就是我所谓人类的大损失大悲哀。
那么如何改教科书？多学复数，引入级数定义的虚指数，然后定义正余弦。定义级数只需要直观的极限观念，反正中学也会涉及一点点。通过复数几何意义介绍正余弦与角度关系。三角形方面的应用作为选读内容。
此外，应该直接废除三角函数这一名称，确保学生摆脱对三角形的心理依赖。将三角函数改名为“谐函数”。sin叫做奇谐函数，cos叫做偶谐函数。
和 是一对恋人，满足
我们就从这个恒等式出发。
为了减小函数名字对于读者的干扰，我们换一下符号，就当我们不认识这两个函数，但是它们满足：
对 求导：
这说明两向量正交：，由解析几何的知识可知（当然从线性代数的知识也可以）：
我们不妨就让 ，反正试着玩呗，于是立即就会有：
这两个函数太好玩了，求导过后互换了身体，简直就是数学版的《你的名字》……
设定初值
也就是说他们是一阶线性常微分方程组的解
注意到
我们选择的恰巧是弧长参数！
唯一性可由常微的知识可知，不妨我们就令
其实与其说我“证明”，不如说我“重新定义”了正、余弦函数。通过微分方程的角度去理解正、余弦函数虽然不是很初等，但是追根溯源的话，这也是欧拉引入弧长参数时所考虑的因素，为了数学的简洁、美观。（这么一想觉得欧拉在大气层~）
甲：这也在你的计算中吗，JoJo!!!
乙：欧拉欧拉欧拉欧拉……
顺便说一下，如果第二个方程求导没有负号，那么这个方程的解就是大名鼎鼎的双曲正、余弦函数：
讲个简单直观的思路，正弦的函数图像会画吧，导数的几何意义是曲线某点处切线的斜率。
你再看看sinX的图像，它每一点处切线的斜率是什么？斜率其实就是tanα（图像切线角度的正切值），平行于x轴的图像切线的斜率为零，45度角的切线的斜率为1......
再把每个点斜率的坐标连起来，看看是个什么图像？
我们也可以从物理意义上来理解正弦和余弦，一个单摆的左右振动，就就可以描述成正弦图像，从初始状态开始，单摆从一侧开始下落，初始速度为0，加速度最大为a，摆到中间位置时，速度达到最大值v，加速度为0；继续向右摆，达到最高点，速度回到0，加速度最大为a，周而复始，周期为2π。
如果正弦是速度v，余弦就是加速度a，速度为0的时候，加速度最大，速度最大的时候 ，加速度为0，对速度求导，就会得到加速度。
v=Δy/Δt=sint；a=Δy²/Δt=cost。
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