sinx无限嵌套的图像到底会怎么样?
想象一下，你站在一个巨大的镜子迷宫里。每个镜子里映出的都是你，但每个镜子又都藏着另一个镜子，里面又是你，周而复始，直到你看不到边界，直到你的形象融入了无尽的镜像循环。
sinx的无限嵌套，有点像这样的场景，只是它发生在一个抽象的数学世界里。我们来一点点剥开它，看看里面到底藏着什么。
首先，我们要理解“嵌套”。如果你有一个函数f(x)，那么f(f(x))就是f对它自己进行了一次嵌套。f(f(f(x)))就是两次嵌套，以此类推。sinx的无限嵌套，就是我们不断地将sinx函数作用于它自身的结果上：
sin(x)
sin(sin(x))
sin(sin(sin(x)))
sin(sin(sin(sin(x))))
...
这个过程会一直持续下去，直到你无法再区分哪个是“最初”的x，哪个是经过无数次sin变换后的结果。
那么，这些图像到底会怎么样？
要描绘这个过程，我们需要借助图形。我们知道sinx函数是一个周期性的波浪，它在1和1之间振荡。
1. 第一次嵌套：sin(x)
这很熟悉，就是那个优美的正弦波。
2. 第二次嵌套：sin(sin(x))
现在，x不再直接输入到sin函数里，而是先经过一次sin变换。
当sin(x)的值在0到π之间时，它的输出是正的，并且小于等于1。然后这个值又被输入到另一个sin函数里。
当sin(x)的值在π到2π之间时，它的输出是负的。这些负值同样被输入到sin函数里。
由于sin(x)的值始终在1到1之间，所以第二次嵌套的结果sin(sin(x))，它的输入范围其实是被限制在了[1, 1]这个区间内。
你会发现，sin(sin(x))的图像会比sin(x)“平滑”一些，它在波峰和波谷处不会那么尖锐，并且整体的振幅看起来似乎被“压缩”了，因为输入值被限制在了[1, 1]。
3. 第三次嵌套：sin(sin(sin(x)))
这次，我们把sin(sin(x))的结果再进行一次sin变换。
sin(sin(x))的输出范围是什么？我们知道sin(x)的值在[1, 1]之间。那么sin(sin(x))的输入值就是[1, 1]。
当输入值在[1, 1]这个区间时，sin函数的图像表现为一条从sin(1)到sin(1)的平滑曲线。sin(1)约等于0.84，sin(1)约等于0.84。
所以，sin(sin(sin(x)))的输出值，也会被限制在这个更小的范围之内，大约是[0.84, 0.84]。
你会看到，图像的“波动”变得越来越微弱，整体的形状会越来越趋于平坦，虽然仍然保持着正弦函数的某些特征（比如周期性）。
想象这个过程的“极限”
如果我们持续地进行这种嵌套：
sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), sin(sin(sin(sin(x)))) ...
每次嵌套，都会将函数的值域进一步压缩。
sin(x)的值域是[1, 1]。
sin(sin(x))的值域是[sin(1), sin(1)]，大约是[0.84, 0.84]。
sin(sin(sin(x)))的值域是[sin(sin(1)), sin(sin(1))]，这个区间会比上一次更窄。
依此类推，每次嵌套都会使得函数输出值的范围越来越小，越来越接近于0。
那么，这些图像最终会“变成”什么？
当这种嵌套趋于无限时，我们可以想象会发生什么：
函数的收敛： 大多数情况下，对于大多数初始的x值，这个无限嵌套的过程会收敛到一个固定的值。这个固定的值是什么？我们可以设y = sin(sin(sin(...(x)...)))。那么y = sin(y)。
求解y = sin(y)这个方程，我们会发现它只有一个实数解，那就是y = 0。
这意味着，无论你最初的x是多少（除了个别特殊情况），经过无数次sinx的嵌套后，结果都会无限接近于0。
图像的变化：
如果你画出sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x)))... 的图像，你会看到它们越来越“压扁”。
波峰会越来越低，波谷会越来越高，整个图像会越来越贴近x轴。
随着嵌套次数的增加，图像的细节会被逐渐抹去，它会变得越来越平坦，越来越像一条直线（y=0）。
所以，sinx无限嵌套的图像，最终会“塌缩”成一条直线y=0。
就好比你在玩一个叠纸游戏，每次都把纸叠得越来越薄，越来越小。最终，你手中剩下的可能只是一个几乎看不见的薄片，无限接近于没有厚度。在数学上，这个“没有厚度”就是0。
一些细节的思考：
特殊值？ 难道没有例外吗？比如说，如果我们从x=0开始，sin(0)=0，sin(sin(0))=sin(0)=0，如此下去，结果始终是0。如果从x=π开始，sin(π)=0，之后也都是0。看起来，从很多点出发，都会直接收敛到0。
收敛的速度？ 这种收敛是很快的。因为sin(x)在0附近增长得很快，但是一旦被限制在[1, 1]内，再进行sin变换，就更接近0了。
图形化展示的挑战： 在实际绘制时，我们只能展示有限次的嵌套。你看到的图像会越来越平，越来越贴近x轴，但永远无法真正“看到”那个无限嵌套后的“终极”图像。它是一种概念上的收敛。
总而言之，sinx的无限嵌套，就像是一种无休止的“挤压”过程，将函数的振幅和变化幅度不断压缩，最终使一切都归于寂静，归于那条象征着“无变化”的直线y=0。它展现了函数迭代在特定条件下的一种奇妙的收敛行为。
sinx的无限嵌套，有点像这样的场景，只是它发生在一个抽象的数学世界里。我们来一点点剥开它，看看里面到底藏着什么。
首先，我们要理解“嵌套”。如果你有一个函数f(x)，那么f(f(x))就是f对它自己进行了一次嵌套。f(f(f(x)))就是两次嵌套，以此类推。sinx的无限嵌套，就是我们不断地将sinx函数作用于它自身的结果上：
sin(x)
sin(sin(x))
sin(sin(sin(x)))
sin(sin(sin(sin(x))))
...
这个过程会一直持续下去，直到你无法再区分哪个是“最初”的x，哪个是经过无数次sin变换后的结果。
那么，这些图像到底会怎么样？
要描绘这个过程，我们需要借助图形。我们知道sinx函数是一个周期性的波浪，它在1和1之间振荡。
1. 第一次嵌套：sin(x)
这很熟悉，就是那个优美的正弦波。
2. 第二次嵌套：sin(sin(x))
现在，x不再直接输入到sin函数里，而是先经过一次sin变换。
当sin(x)的值在0到π之间时，它的输出是正的，并且小于等于1。然后这个值又被输入到另一个sin函数里。
当sin(x)的值在π到2π之间时，它的输出是负的。这些负值同样被输入到sin函数里。
由于sin(x)的值始终在1到1之间，所以第二次嵌套的结果sin(sin(x))，它的输入范围其实是被限制在了[1, 1]这个区间内。
你会发现，sin(sin(x))的图像会比sin(x)“平滑”一些，它在波峰和波谷处不会那么尖锐，并且整体的振幅看起来似乎被“压缩”了，因为输入值被限制在了[1, 1]。
3. 第三次嵌套：sin(sin(sin(x)))
这次，我们把sin(sin(x))的结果再进行一次sin变换。
sin(sin(x))的输出范围是什么？我们知道sin(x)的值在[1, 1]之间。那么sin(sin(x))的输入值就是[1, 1]。
当输入值在[1, 1]这个区间时，sin函数的图像表现为一条从sin(1)到sin(1)的平滑曲线。sin(1)约等于0.84，sin(1)约等于0.84。
所以，sin(sin(sin(x)))的输出值，也会被限制在这个更小的范围之内，大约是[0.84, 0.84]。
你会看到，图像的“波动”变得越来越微弱，整体的形状会越来越趋于平坦，虽然仍然保持着正弦函数的某些特征（比如周期性）。
想象这个过程的“极限”
如果我们持续地进行这种嵌套：
sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x))), sin(sin(sin(sin(x)))) ...
每次嵌套，都会将函数的值域进一步压缩。
sin(x)的值域是[1, 1]。
sin(sin(x))的值域是[sin(1), sin(1)]，大约是[0.84, 0.84]。
sin(sin(sin(x)))的值域是[sin(sin(1)), sin(sin(1))]，这个区间会比上一次更窄。
依此类推，每次嵌套都会使得函数输出值的范围越来越小，越来越接近于0。
那么，这些图像最终会“变成”什么？
当这种嵌套趋于无限时，我们可以想象会发生什么：
函数的收敛： 大多数情况下，对于大多数初始的x值，这个无限嵌套的过程会收敛到一个固定的值。这个固定的值是什么？我们可以设y = sin(sin(sin(...(x)...)))。那么y = sin(y)。
求解y = sin(y)这个方程，我们会发现它只有一个实数解，那就是y = 0。
这意味着，无论你最初的x是多少（除了个别特殊情况），经过无数次sinx的嵌套后，结果都会无限接近于0。
图像的变化：
如果你画出sin(x), sin(sin(x)), sin(sin(sin(x)))... 的图像，你会看到它们越来越“压扁”。
波峰会越来越低，波谷会越来越高，整个图像会越来越贴近x轴。
随着嵌套次数的增加，图像的细节会被逐渐抹去，它会变得越来越平坦，越来越像一条直线（y=0）。
所以，sinx无限嵌套的图像，最终会“塌缩”成一条直线y=0。
就好比你在玩一个叠纸游戏，每次都把纸叠得越来越薄，越来越小。最终，你手中剩下的可能只是一个几乎看不见的薄片，无限接近于没有厚度。在数学上，这个“没有厚度”就是0。
一些细节的思考：
特殊值？ 难道没有例外吗？比如说，如果我们从x=0开始，sin(0)=0，sin(sin(0))=sin(0)=0，如此下去，结果始终是0。如果从x=π开始，sin(π)=0，之后也都是0。看起来，从很多点出发，都会直接收敛到0。
收敛的速度？ 这种收敛是很快的。因为sin(x)在0附近增长得很快，但是一旦被限制在[1, 1]内，再进行sin变换，就更接近0了。
图形化展示的挑战： 在实际绘制时，我们只能展示有限次的嵌套。你看到的图像会越来越平，越来越贴近x轴，但永远无法真正“看到”那个无限嵌套后的“终极”图像。它是一种概念上的收敛。
总而言之，sinx的无限嵌套，就像是一种无休止的“挤压”过程，将函数的振幅和变化幅度不断压缩，最终使一切都归于寂静，归于那条象征着“无变化”的直线y=0。它展现了函数迭代在特定条件下的一种奇妙的收敛行为。
网友意见
补充一下其他答主的回答：
由于正弦函数在0～π/2的单调性，且sinx≤x，再结合其奇函数的对称性，
可知：
嵌套函数的第n层最大值必然小于第n-1层最大值。当n→∞，Xₙ=sin(Xₙ₋₁)迭代的函数图像必然收敛于x轴（见下图）。
其需要注意的是无论迭代次数是几次，图像在x=nπ（n∈Z）处的导数恒为1或-1，
极限并非为0，也就是函数看似水平，实际永远均匀分布着斜坡！！
这个古怪的结果其实不难理解，是很基础的复合函数求导：
又因
则
根据周期性、连续性、奇偶性可知：
所以，这个迭代函数极限的图像并不是真的变成x轴，只是趋近，他依然有斜率，就好比三体人造的水滴，看似无穷光滑，但在量子物理角度来看只是中子简并物质，而不是彻底光滑！！
我们可以想办法放大这个斜率！！
我们不妨给每层函数再乘一个系数b，取b=1/sin(1)，这样就恰好能使每一层函数最大值都保持在1（最小值保持在-1），于是我们可以看到迭代足够做多次的图像为：
不严谨的结论：
Xₙ=b·sin(Xₙ₋₁)迭代的函数图像极限是方波，其中b不应小于等于1/sin(1)，这种逼近方波的方式收敛速度较快，起码比烂大街的傅里叶级数前n项和要快很多。
以下是对于【b倍的正弦函数迭代极限为方波】这个一结论粗略的证明：
那么x=nπ处的导数自然为：
无穷大的斜率是符合方波特征的。
而迭代函数在x≠nπ处的导数为：
其中， ，
且
前文已经取 ，
则可知：
（当i足够大时即可）
nπ处斜率极限无穷大，其他地方斜率极限是0，显然符合方波的几何特征。
但是由于单峰映射（逻辑斯蒂映射）的分形与混沌性质，b也不能过大，否则迭代结果会从单周期分裂为二周期、四周期……直至混沌。（如下图，给b乘上一个系数c，来观察图像随着b·c如何变化）
在此后，混沌和分形会规律地交替出现（如下图）
处于稳定的阶段时，函数的最值与b·c成正比，以下是迭代的分叉图，图中的β即本回答的b·c系数：
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