在四维或更高维的空间中，该如何定义转动？

在四维或更高维的空间中定义转动，确实是一个既有趣又充满挑战的问题。与我们熟悉的二维平面（绕一个点转动）或三维空间（绕一条轴转动）相比，高维空间的转动概念需要更精细的数学描述。

核心思想的演变：

二维平面 (2D): 我们可以想象一个二维平面，任何一个物体在这个平面上的转动都是绕着一个点进行的。这个点就是转动的中心。转动的描述可以用一个角度来表示。
三维空间 (3D): 在三维空间中，转动不再是绕一个点，而是绕着一条线进行的。这条线被称为转动的轴。描述一个转动需要指定这个轴的方向（例如用一个单位向量表示）以及转动的角度。这可以通过欧拉角、四元数或旋转矩阵来表示。

现在，我们把目光投向四维或更高维的空间。

四维空间 (4D) 中的转动：

在四维空间（我们通常用 $mathbb{R}^4$ 表示）中，转动就变得更加复杂了。不再是绕一个点或一条轴，而是绕着一个二维的平面进行的。

为什么是平面呢？想象一下，在三维空间中，如果你想让一个物体保持其在某个方向上的位置不变，你会选择一个轴。所有在轴上的点都不动，而轴外的点围绕轴旋转。

在四维空间中，如果你想让某个“方向”保持不变，你可以想象引入一个“平面”。在这个平面上的所有点都不会移动，而所有不在这个平面上的点都会围绕这个平面进行旋转。

如何精确定义四维转动？

1. 旋转平面 (Plane of Rotation):
在 $mathbb{R}^4$ 中，一个二维平面是由两个正交的、单位的向量定义的。例如，如果我们有一个四维空间，我们可以选择基向量 $e_1, e_2, e_3, e_4$。
一个旋转平面可以由两个正交的基向量定义，例如 $e_1e_2$ 平面，或者更一般地，由两个正交的单位向量 $u$ 和 $v$ 定义的平面。
在一个 $e_1e_2$ 平面上的转动，意味着 $e_3$ 和 $e_4$ 方向上的分量保持不变。反之，在一个 $e_3e_4$ 平面上的转动，意味着 $e_1$ 和 $e_2$ 方向上的分量保持不变。

2. 双转动 (Double Rotation) / 旋转对 (Rotation Pair):
一个关键的概念是，在四维空间中，任何一个转动都可以被分解成两个独立转动的组合。这两个转动发生在两个相互正交的二维平面上。
例如，在一个四维空间中，我们可以定义两个相互正交的平面：一个平面由 $e_1$ 和 $e_2$ 定义（我们称之为 $P_1$），另一个平面由 $e_3$ 和 $e_4$ 定义（我们称之为 $P_2$）。
一个四维转动可以看作是：
在 $P_1$ 平面上进行一次转动（由一个角度 $alpha$ 定义）。
在 $P_2$ 平面上进行另一次转动（由一个角度 $eta$ 定义）。
这两个转动是独立的，它们的角度可以不同。

3. 数学工具：

复数和四元数 (Complex Numbers and Quaternions):
在二维平面上的转动，我们可以用复数乘法来表示。一个复数 $z = x + iy$ 在平面上可以看作是一个点 $(x, y)$。乘以一个复数 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 就实现了绕原点旋转 $ heta$ 角。
在四维空间中，四元数是一个更强大的工具。四元数可以写成 $q = a + bi + cj + dk$，其中 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = 1$，并且 $ij = k$, $jk = i$, $ki = j$, $ji = k$, $kj = i$, $ik = j$。
四元数提供了描述三维空间转动的一种紧凑且有效的方法（使用单位四元数）。
对于四维转动，我们可以使用双四元数 (Biquaternions) 或更抽象的克利福代数 (Clifford Algebra) 中的元素来表示。
在克利福代数中，我们可以选择 $n$ 个正交的基向量 $e_1, e_2, ldots, e_n$。例如在四维空间 $mathbb{R}^4$ 中，我们有 $e_1, e_2, e_3, e_4$ 满足 $e_i e_j + e_j e_i = 0$ 对于 $i eq j$，以及 $e_i^2 = 1$ (对于实克利福代数）。
在克利福代数中，二重向量（或双向量）的形式为 $e_i e_j$ （当 $i < j$ 时）。例如，在 $mathbb{R}^4$ 中，我们有 $e_1e_2, e_1e_3, e_1e_4, e_2e_3, e_2e_4, e_3e_4$ 六个这样的二重向量，它们张成了六个二维的旋转平面。
一个四维转动可以由一个克利福代数中的元素 $R$ 来表示，它具有形式 $R = cos(alpha) + sin(alpha) e_1e_2 + cos(eta) + sin(eta) e_3e_4$ 的组合（这是概念性的，更精确的表示是 $R = (cos(alpha/2) + sin(alpha/2)e_1e_2)(cos(eta/2) + sin(eta/2)e_3e_4)$ 这样的元素乘积）。
更普遍地说，一个四维转动对应于克利福代数中的一个二重向量 (bivector) $B = sum_{i
旋转群 SO(4):
在三维空间中，所有三维转动构成了特殊正交群 $SO(3)$。
在四维空间中，所有四维转动构成了特殊正交群 $SO(4)$。
一个重要的性质是 $SO(4)$ 同构于 $SO(3) imes SO(3)$ 的一个非平凡覆盖（具体来说，是 $SU(2) imes SU(2)$ 的李代数同构于 $so(4)$ 的李代数，而 $SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的双覆盖）。
这意味着任何一个四维转动可以看作是两个独立的三维转动的组合。
我们可以想象在 $mathbb{R}^4$ 中选取一组固定坐标系。那么一个四维转动可以被看作是：
在 $e_1e_2$ 平面上的转动 (由角度 $alpha$ 定义)。
在 $e_3e_4$ 平面上的转动 (由角度 $eta$ 定义)。
这种 $SO(3) imes SO(3)$ 的结构解释了为什么四维转动可以看作是两个独立转动的组合。你可以想象在四维空间中，有两个“方向”独立的转动可以同时发生。

高维空间 (n > 4) 中的转动：

当维度 $n$ 变得更高时，转动的定义变得更加复杂。

旋转群 SO(n): 在 $n$ 维欧几里得空间中，所有的转动构成了特殊正交群 $SO(n)$。
转动基元 (Elementary Rotations): 在任意维度 $n$ 中，转动都可以被看作是一系列基本转动的组合。基本转动发生在二维平面上。
平面定义：在 $n$ 维空间中，一个二维平面由两个相互正交的基向量定义。一个 $n$ 维空间中有 $inom{n}{2}$ 个这样的基本平面。
转动的分解：任何一个 $n$ 维转动都可以分解为在这些基本平面上的基本转动的组合。然而，与四维不同的是，这些基本转动不一定是完全独立的。
李群和李代数：高维转动的精确数学描述通常依赖于李群（如 $SO(n)$）及其李代数（$so(n)$）的理论。
$so(n)$ 的李代数是所有反对称矩阵的向量空间，其维度为 $inom{n}{2}$。
一个 $n$ 维转动可以通过指数映射（exponential map）从李代数中的一个元素（对应于一个“生成转动的量”）映射到李群中的一个元素（一个具体的转动）。
生成转动的量：在 $n$ 维空间中，我们可以用一组 $inom{n}{2}$ 个“生成转动的量”来描述任何转动。这些量对应于在每一个二维平面上的转动强度。
例如，在 $mathbb{R}^5$ 中，我们有 $inom{5}{2} = 10$ 个基本转动平面 ($e_1e_2, e_1e_3, ldots, e_4e_5$)，因此需要10个角度来描述一个一般的转动。

总结一下高维转动的关键点：

1. 基本单元是二维平面: 无论在多少维空间，转动的最基本形式都是绕着一个二维平面进行的。
2. 多重独立转动的叠加 (四维的特殊性): 在四维空间中，转动表现为两个独立的二维平面上的转动的组合。这使得四维转动可以用两个三维转动的组合来理解（通过 $SO(4) cong SO(3) imes SO(3)$）。
3. 高维则更复杂: 在五维或更高维空间中，转动是多个二维平面上的基本转动的组合，但这些基本转动不再是完全独立的，而是受制于整体的反对称性结构。
4. 数学工具是关键: 理解高维转动离不开克利福代数、李群理论等先进的数学工具。

形象的比喻 (局限性):

虽然我们无法在三维空间中“可视化”四维或更高维的转动，但我们可以尝试用一些类比来帮助理解：

四维转动就像同时转动两个独立的陀螺: 想象你有两个陀螺，它们是独立的，可以各自以不同的速度旋转。四维转动有点像这样，一个转动“事件”可以包含在两个相互正交的平面上同时发生转动。
想象在一个四维“立方体” (超立方体) 上转动: 如果你在一个超立方体上想象一个物体，你可以想象它在一些“平面”上旋转，同时在另外一些“平面”上不旋转。

总而言之，在四维或更高维的空间中，转动是通过绕着二维平面进行的，并且可以用多个基本转动（发生在二维平面上）的组合来描述。四维空间具有一种特殊的对称性，允许其转动被分解为两个独立的转动。随着维度的增加，这种组合变得更加复杂，但其核心都是在二维平面上的基本旋转操作。

网友意见

　　这个问题非常好，牵扯到了线性子空间的唯一性表达的问题，在这里就给大家分享一下格拉斯曼代数(Grassmann Algebra)中描述的“楔乘”运算的奥秘。

　　这个回答较为冗长，是我用心写的，希望读者们能耐心读完。如果能够完全看懂，你会有很大的收获。

线性代数中的子空间表示

　　作为理工科专业的学生，相信大家都应该在《线性代数》(数学专业的《高等代数》中去掉多项式那一部分)学过线性空间，并且引入了一个很重要的概念——线性子空间。

　　在相关的教材里，n维线性空间V的m维线性子空间S的定义方式，通常是给出m个线性无关的向量作为基向量，然后通过对它们线性组合得到：

　　然而这样得到的子空间会让人觉得不够完美：如果能找出另一组向量作为基向量，只要它和能够互相线性表示(教材上称为“等价基向量组”)，那同样也可以定义V的子空间S。

　　同一个子空间S，居然有那么多种定义方式，判断两组基是否等价也不方便，有没有办法用唯一的一个量定义同一个子空间呢？

楔乘运算的引入

　　幸运的是，数学家确实找到了唯一表示的方法。这里需要引入关于向量的新的运算，称为“楔乘”，用符号“∧”表示，而且它有着很特别的几何意义，即“有向测度”。

　　什么是“测度”呢？你可以理解成“占空”的大小。比如一维测度即是“长度”，它反映了一段线段放在数轴上的占空；二维的测度是“面积”，它反映一个闭合的多边形放在平面坐标系中的占空；三维的测度则是“体积”，它反映了一个闭合多面体放在了三维空间中的占空。

　　而“有向”则是要求测度不仅要有大小，还要有方向。一维的有向测度可以理解成一个向量；二维的有向测度则是多边形不仅有面积，还要有朝向；我们能想象的三维空间中的三维有向测度即是一个可正可负的有符号的体积，当三个向量排列为右手坐标系旋转方向相同时为正，反之为负。

　　对于两个向量α和β，定义它们之间的楔乘α∧β：把这两个向量的起始位置放在一点，用它们作为两边，张成一个平行四边形的“有向测度”。要求它们之间满足性质：

　　这也不难解释，由于平行四边形有正反两面，我们定义一个面的有向测度为正，那它的另一个面的有向测度即为负。

　　对于三个向量α，β和γ，我们也可以定义它们的楔乘α∧β∧γ：把三个向量的起始位置放在一点，用它们作为棱，张成一个平行六面体的“有向测度”。要求它们满足性质：

　　也就是说，只要它们的重新排列是奇排列，那就要加负号，表示有向测度相反；重新排列是偶排列，则有向测度不变。

　　上面的运算可以推广到任意n维空间的任意m维向量，而且要求它们满足“反交换率”，即在楔乘运算中，任意两个向量互换位置，最后的结果要反向。

　　在这个性质的要求下，楔乘运算中只要有任意两个向量平行，它们的结果就变成0，对应的几何意义是平行向量张成的平行四边形，平行六面体或平行超多面体的测度必然是0。

　　楔乘运算还需要满足结合率，可以理解为张成多面体的有向测度与结合方式无关：

　　上面定义的楔乘运算，我们还要求它满足对加法和数乘的线性性质：

　　不难验证，这个线性性质也是几何中有向测度的运算必须满足的条件。利用这个性质，不难验证，在多个向量的楔乘运算中，如果这些个向量线性相关，它们的楔乘结果也会变成0。

　　建议读者牢记楔乘加粗的内容再看后面的推导，因为这些推导需要用到楔乘的这些性质。

子空间的唯一表示

　　有了楔乘运算，我们就可以在n维空间中，通过对m个基向量作楔乘运算来实现它的m维子空间的唯一表示了。我们以四维空间为例，验证用四维空间中的二维子空间的楔乘运算的唯一性。

　　设α和β是四维空间中的两个线性无关的向量，在以α和β为基向量的子空间中，我们任选两个线性无关的向量ξ和η，它们满足：

　　计算ξ与η的楔乘，并利用楔乘运算的性质：

　　由此可见，ξ∧η与α∧β只差一个倍数，因而定义子空间的基向量的楔乘运算在数值倍数的意义下是唯一的。

　　相比用向量组表示线性子空间，楔乘运算有否丢失线性子空间的必要信息呢？

　　利用楔乘的分配率和线性无关的性质，可以证明，如果两个子空间不相同，则它们各自基向量的楔乘也是不同的。因而楔乘运算已经充分表示了子空间的必要信息。

正交基下的楔乘运算

　　在四维空间中，假设有单位正交基向量组，利用楔乘运算的性质，计算下面的两个向量的楔乘：

　　其中，和是楔乘结果的基，它们的线性组合系数表示出四维空间中的二维子空间的信息。

　　由此可见，四维空间中的二维子空间的有着6个方向分量。不难证明，在n维空间中，用楔乘表示的m维子空间有个分量。

　　在张量分析和多重线性代数相关的学科中，n维空间中的m个向量的楔乘结果称为n维m阶反对称张量，它们的更多运算及其性质可以参见相关的资料。我们也不妨把这些基向量的楔乘称为“n维m阶反对称基张量”。

正交补运算

　　在三维空间中，假设有正交基向量组，也使用楔乘定义由下面两个向量张成的二维子空间：

　　由此可见，在三维空间中两个向量的楔乘只有3个分量，如果对三维空间中的2阶反对称基张量定义它的正交补运算：

　　正交补运算也满足线性性质，它的本质就是与一个子空间内的向量都垂直的向量组成的空间。不难发现，三维空间中的“叉积”，本质上即是“楔乘”的正交补：

　　正交补运算也可以拓展到任意的n维m阶反对称基张量，得到的结果是n维n - m阶反对称基张量，例如在二维空间中，正交补运算的定义如下：

　　在四维空间中正交补运算这样定义：

　　不难从中找到规律：单位正交基的一部分向量的楔乘的正交补运算由它的补集楔乘得到，而且原对称张量与它的正交补中的向量的左右组合必须是偶排列。

　　需要特别强调的是，正交补运算都是基于单位正交基定义的，需要先针对单位正交基定义正交补运算，然后才能对一般的基向量定义正交补。

行列式的本质

　　同济大学的《线性代数》被无数网友吐槽为“烂书”，有个重要原因是那本书一开始就讲行列式的计算，完全不讲它的意义，让人觉得就像学文科一样。

　　有了楔乘工具，我们可以找到行列式的几何意义。在n维空间中构造n个向量：

　　其中是n维空间中的单位正交基。对这些向量做楔乘，并根据楔乘的性质做展开，去掉有相同基向量作契乘的项，再合并同类项，即可得出：

　　注意到表示n维空间中的一个单位超立方体的测度，而表示由构成的平行2n超多面体的n维测度。

　　由此可见，行列式的几何意义就是在n维空间中由n个向量构成的平行2n超多面体的n维测度与n单位超多面体的测度比值。

用反射变换定义旋转变换

　　回到题主的问题，很多网友用线性代数里的正交矩阵对“转动”这个线性变换做了说明，这里从另一个角度来看“转动”。在任意维空间中，都可以定义“反射变换”，对应的矩阵为：

　　在上式中，是一个n×n单位矩阵，u是一个长度为1的n维向量，必须写为列向量，从而确保也是一个n×n的矩阵。这样F即可实现一个反射变换：把任意向量与u平行的分量反向，而与u垂直的分量保持不变，我们不妨把u称为反射的法向量。

　　我们在日常生活中不难发现：如果两面镜子经过两次反射看一个物体，物体的虚像的虚像会发生旋转，旋转角度恰好是两面镜子夹角的两倍。

　　利用这个关系，我们可以导出三维空间中的旋转变换矩阵，设是一个三维空间中的单位向量(即 )，则围绕ω旋转角度θ的矩阵可以写为：

四维空间中的旋转

　　在四维空间中，我们也可以利用两次反射来定义旋转变换。设这两次反射对应的法向量分别为和，它们的夹角为θ/2，则表示的二维子空间中，所有的向量都旋转了角度θ，我们不妨把这个二维子空间称为旋转的赤道平面。

　　我们把赤道平面对应的方向在四维空间中用二阶反对称基向量方向表示为：

　　前面定义了正交补运算，我们不妨把与表示的二维子空间垂直的二维子空间称为为轴平面，设它对应的二阶反对称张量为：

　　其中，根据正交补运算的性质，有：

　　其中c是常数。为了类似于三维空间用单位向量作为轴，选择适当的c，确保四维空间中的轴平面满足：

　　构造一个4×4的反对称矩阵：

　　利用两次反射构造旋转，最终在四维空间中的旋转矩阵为：

　　其中是4×4单位矩阵，由于这个公式的推导过于繁琐和冗长，故没有写出，有兴趣的读者可以试着自己推导。

总结

　　通过讨论高维线性空间中的子空间表示和旋转变换，我们定义了楔乘，但这里的介绍仅是皮毛。楔乘运算的定义来源于格拉斯曼代数(Grassmann Algebra)，如果大家有兴趣，可以查阅相关的资料寻找它更多的性质。

　　楔乘运算在微分流形，张量分析等前沿几何学科中有着重要应用。我在这些领域中也做过不少研究，是我作为职业科研人员的研究方向的一部分，如果有读者对这些内容有兴趣，欢迎找我讨论。

追更：

　　很多读者会觉得这里定义的楔乘与微分流形教材上的定义完全不一样，甚至找不到共同点。实际上，它们的本质是相同的，我专门在另一个回答中做了说明，希望大家能看懂。

这个公式里的∧符号是什么意思？

本回答以代数推演旋转群为主，了解超立方体，四维球体等几何物体，建议先阅读另一个回答：

人类如何感受到四维空间？

旋转群

为简便起见，以欧式坐标系的原点为转动的中心。用表示质点的旋转变换：

旋转变换相对平移和放缩是线性的，即，因此可以用矩阵表示旋转变换。

一个刚体旋转后，大小不变，形状不变，因此内积不变：

所以旋转矩阵是正交阵，且旋转后体积不变，排除镜像后，得到特殊正交群（Special Orthogonal Group）:

旋转群的自由度（李代数）

旋转群作为李群具有光滑性质，利用光滑性和正交性进行一阶微分，得到反对称分量：

不妨令，将看作是关于时间 t 变化的函数，设定初值，求解微分方程可得：

当 t 很小时，，其物理含义可看作旋转的瞬时角速度

但实际上，旋转群只对乘法封闭，一阶近似展开只在转动量很小时才有意义。是旋转群对应的李代数，表示李群单位元局部的切空间。不同于实数域的指数映射，李群乘法一般不能转化成李代数的加法，参考 Baker–Campbell–Hausdorff 公式。但对于匀速转动的情况，根据自反性，有：因此，远离单位元的李代数也是有意义的，三维情况下，向量的方向表示旋转轴，模长表示旋转大小。

由反对称性可知，李代数在n维空间的自由度为，因此

一维没有平凡的旋转，自由度为0，对应的李代数
二维旋转的自由度为1，对应李代数
三维旋转的自由度为3，对应李代数
四维旋转的自由度为 6，对应李代数

常用带上三角的向量表示反对称阵，这样可以用矩阵乘法表示叉乘：

旋转中的不动点

在旋转过程中保持不动的点，应位和特征向量共线，且对应特征值为1，表示没有伸缩。根据特征值的定义，如果存在旋转不动点，那么就有而另一方面，

因此可得到以下结论：

一维没有旋转
在二维空间，上式退化为恒等式，只有旋转中心是不动点
在奇数维空间（3维及以上），至少存在一个旋转轴，不动点空间至少有一维
偶数维空间的完全旋转也只有旋转中心是不动点
n 维空间有多个旋转平面，由于复数根共轭出现，旋转平面至多有个

二维旋转

用极坐标表示旋转：

我们得到了二维旋转阵的一种参数化形式：

容易求得它的两个复特征值：

，

这里可以把二维旋转看成是特殊的四维旋转，中间过程进入了四维空间。

初识四元数

注意到和以下式子同构：

这种和旋轴相关的群是特殊酉群，

相当于一个四维球表面，有四个极点：

，，，

四元数由一维实部和三维虚部组成，满足以下运算规则：

模长为 1 的四元数是单元四元数，二维旋转矩阵的特征值分解也可以用单位四元数表示：

三维旋转

三维旋转只有3个自由度，而旋转矩阵却有9个耦合的分量，用一个三维的向量可以紧凑地表示这个旋转，其中表示旋转角度，单位向量表示旋转轴。下面尝试建立三维情况下，旋转矩阵和轴角的联系。

从旋转向量到旋转矩阵

Rodrigues 公式（三维几何）

指数映射（李代数）

映射得到的旋转矩阵形式，与几何法一致，这说明李代数正是旋转向量

利用三维反对称阵乘幂的周期性： ,

SO(3)的伴随性

先证明第一个等式：

再证明：

几何意义可以联系魔方角块的旋转：

进一步类比二维旋转阵的特征值分解，其四元数表示的几何意义。

从旋转矩阵到旋转向量

旋转向量是旋转矩阵的对数映射，但通过泰勒级数计算，收敛性和精度都很差。一般通过求解旋转矩阵的特征向量确定旋转轴，而模长可以通过求迹确定：

利用反对称性和伴随性： , ，有：

四元数和三维旋转

工程上通过四元数计算三维旋转，因为用旋转向量压缩旋转矩阵有以下缺点：

旋转角度和旋转方向相互耦合，调整方向后，需要统一归约到合适的模长；
旋转角度的周期性会导致奇异性，模长为时，方向不唯一；
相互转换进行了（反）三角函数计算，引入计算误差；
浮点数分布不均匀，代替实数会引入数值误差，因此需要限定合适范围；
两种旋转的中间态难以确定，而四元数可以自然地进行球面线性插值。

对于旋转向量，把它减半后放入四元数的三个虚部，并视为李代数。经指数映射后，得到对应的李群。由于四元数对乘法运算的封闭性，结果仍然是四元数。

这个单位四元数相当于三维旋转，而且解耦了旋转角和旋转轴。和复数类似，四元数可看作模长和一个单元四元数的数量积，模长表示伸缩，单元四元数表示四维球面的纯旋转。

类似的伴随性，一个纯虚四元数分别左乘、右乘两个共轭的单位四元数，结果仍然是一个纯虚四元数，三维旋转可用四元数的乘法表示：，其中是表示三维坐标的纯虚四元数，是单位四元数。这就是为什么要把旋转角度减半的原因。

单位四元数和三维旋转矩阵都是由一个向量经指数映射变换后的得到，封装了三角函数，应该存在有理变换关系。下面推导这个联系：

四元数与的乘法是线性运算，左乘和右乘都可以写成矩阵形式：

令，，其中

所以，

球极投影可视化四元数

Visualizing quaternions, an explorable video series 是 Eater （3Blue1Brown 的作者之一）开发的可视化工具，读者可以访问这个网站进行交互。

以二维旋转阵的特征值分解为例。

四维旋转

旋转矩阵的行列式是特征值的乘积，因为复根会成对出现，所以四维旋转阵的四个特征值分别是 , ：

特征值为时，，没有任何旋转。
特征值为，绕一个固定不动的平面旋转。
一般的四维旋转，有两个正交的旋转平面，没有固定平面，唯一的固定点是原点。任何向量可以正交分解到这个特征平面，第一个分量旋转，第二个分量旋转，因此总旋转角是之间的一个数。
如果有重根，就是等斜旋转(isoclinic rotation)；

自由度分配

考虑更一般的四元数乘法，如果和无关，提供了6个自由度，那么

就是一般的四维旋转矩阵，它一般有4个不同的复特征值，两两共轭。单独左乘或右乘相当于做等斜旋转。如果，那么

观察发现，确实有两个互相垂直的 "平面"。另一方面，

这说明可以进一步分解成单旋转。

因为，所以

，可以得到四维的 Rodrigues 公式：

对于任意的，都可以凑出两组模长为1的分量：

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怎样在四个月内健康减重20斤？

好的，我们来聊聊如何在四个月内，健康地减掉大约20斤体重。这绝对是一个可以实现的目标，但关键在于科学的方法和持之以恒的执行。我们要做的不是“饿瘦”，而是“聪明地瘦”，让身体在享受健康生活方式的同时，也能悄悄地变轻盈。首先，明确一下“健康减重”的含义。一般而言，每周减重12斤是比较理想和可持续的速度。.............
陈明仁在四平的表现是否被夸大了？

在东北战场上，尤其是四平战役中，陈明仁将军的表现一直是一个备受关注的焦点。围绕着他对这场战役的贡献，尤其是他是否“功勋卓著”还是“被过度渲染”，存在着不同的解读和争论。要客观地评价陈明仁在四平的表现，我们需要深入到当时的具体情况，梳理他的作为，并对照历史文献和各方观点，才能尽量避免简单化的判断。首先.............
出身在四线城市，父母不能给你事业带来任何帮助，你还心存感恩吗？

这个问题触及了我内心深处最柔软也最坚实的部分。我来自一个四线城市，父母的职业或许平凡，经济条件也算不上优越，他们确实无法在我的事业上给予我实质性的“帮助”，比如资金支持、人脉牵线、或者直接安排一个光鲜亮丽的职位。但要问我是否心存感恩，答案是肯定的，而且是发自肺腑的，甚至是越发觉得深沉的。感恩，于我而.............
我在四线城市，年收入15w左右，男朋友情人节给我发199是不是觉得我很容易满足？

这个问题嘛，放在四线城市，年收入15万的背景下，你男朋友情人节发你199块钱，你心里会泛起一丝丝嘀咕，觉得他是不是觉得你“很容易满足”？这事儿，说起来可就有点意思了，得好好掰扯掰扯。首先啊，咱们得承认，这个“容易满足”的点，其实是个挺模糊的概念。它不像身高体重那样有明确的数字，更多的是一种感觉，一种.............
诸葛亮在四川有着怎样的地位？

在四川这片沃土上，诸葛亮的名字早已不仅仅是一个历史人物的符号，他更像是一位深入骨髓的精神图腾，其地位之高，甚至可以说渗透到了四川人民的方方面面，从文化、信仰，到地域认同，无不打下深深的烙印。“蜀汉之父”，历史记忆的根基首先，从历史本身而言，诸葛亮是蜀汉政权的实际奠基人和核心支柱。他辅佐刘备，在四川建.............
四川理科生想在四川范围内大学就业语文老师哪些学校的哪些专业可以报考？

你好！很高兴为你解答关于四川理科生报考语文教师的问题。首先，我要明确一点，理科生在四川省内想成为一名大学语文老师，通常需要通过考研这条路来提升学历和专业背景，直接本科毕业报考大学语文老师岗位的机会相对较少。大学语文老师的岗位，尤其是公办高校，对专业背景和学历的要求通常比较高，一般会要求硕士或博士学.............
邢立达团队在四川发现肉食性恐龙足迹，并用「野比大雄」命名，有哪些信息值得关注？

关于“邢立达团队在四川发现肉食性恐龙足迹并用‘野比大雄’命名”的说法，目前并没有可靠证据或权威科研论文支持这一消息。以下是对相关背景和可能误解的详细分析： 1. 邢立达及其研究团队的背景邢立达是中国地质大学（北京）的古生物学家，专注于恐龙足迹化石的研究，尤其以在亚洲地区发现的大量恐龙足迹而闻.............
为什么物理不在四大天坑专业之一?

说起“天坑专业”，大家脑子里可能立刻会跳出计算机、电子信息、金融、法律这些热门词汇。可奇怪的是，在这些自带光环的专业里，总也少见物理的身影。这事儿挺让人琢磨的，毕竟物理作为科学的基石，好像怎么也应该在“牛掰”行列里占据一席之地吧？今天咱就掰扯掰扯，为啥物理这么“低调”，没能挤进那几大天坑？首先得明白.............
如何看待网民在四行仓库拍摄日军合影？

网民在四行仓库拍摄日军合影这一事件，在我看来，是一个非常复杂且令人深思的现象，涉及历史认知、民族情感、道德判断以及网络文化等多个层面。理解这一行为需要从多个角度进行剖析。事件的背景与性质：首先，我们要明确事件发生的地点——四行仓库。四行仓库是著名的抗日战争纪念地，是“八百壮士”浴血奋战、保家卫国之地.............