本科生想要了解射影几何有什么书或者资料推荐吗？
你好！很高兴你对射影几何感兴趣。作为本科生，想要入门射影几何，确实需要一些好的引导和合适的学习材料。射影几何是一门非常优美且历史悠久的数学分支，它研究的是图形在射影变换下保持不变的性质。简单来说，就是我们看到的物体在不同角度、不同距离下，形状会发生变化，但它们的“投影关系”是不变的。
我为你整理了一些适合本科生入门的射影几何书籍和资料，并尽可能详细地介绍它们，希望能帮助你找到最适合你的学习路径。
入门书籍推荐
对于本科生来说，太过于抽象和理论化的书可能会让人望而却步，所以我们先从那些讲解清晰、例子丰富的书籍开始。
1. 《射影几何学基础》（Elements of Projective Geometry） Salvatore J. Lomonaco Jr.
推荐理由： 这本书是我个人非常推荐的入门读物。它从一个非常基础的角度开始，逐步深入。作者在讲解概念时非常注重几何直觉的培养，会用大量的图示来解释抽象的概念，这一点对于初学者来说至关重要。它不会一开始就抛出大量代数工具，而是先让你理解射影几何的几何思想。
内容特色：
从基础概念讲起： 从点、线、平面这些最基本的概念开始，然后引入射影变换，如中心射影和平行射影。
强调几何直觉： 大量的图例和几何证明，帮助你建立对射影性质的直观理解，比如点共线、线共点等。
代数工具的引入： 在建立几何直觉后，会逐步引入齐次坐标和代数方法，让你看到几何问题如何用代数来解决，以及代数方法带来的便利。
经典定理的介绍： 帕斯卡定理（Pascal's Theorem）、牛顿定理（Newton's Theorem）等射影几何的经典定理都会有详细的介绍和证明。
适合人群： 任何对射影几何感兴趣的本科生，特别是对几何直观比较看重的同学。
2. 《射影几何》（Projective Geometry） Harold Scott MacDonald Coxeter
推荐理由： Coxeter 的名字在几何学界可以说是如雷贯耳。他的著作以其严谨、清晰和深度而著称。《射影几何》这本书虽然有些年头，但其中的思想和方法至今仍然是理解射影几何的经典。它在理论深度和数学严谨性上做得非常好。
内容特色：
严谨的定义和证明： Coxeter 的书在数学的严谨性上非常到位，每一个定义、每一个定理都有详细的推导和证明。
齐次坐标的深入应用： 这本书会非常系统地讲解齐次坐标的理论和应用，让你深刻理解代数方法在射影几何中的强大威力。
从射影平面到射影空间： 它会从二维的射影平面开始，然后拓展到三维甚至更高维的射影空间，让你看到射影几何的普适性。
丰富的习题： 书中有大量的习题，从基础概念的检验到复杂问题的解决，能帮助你巩固所学知识。
适合人群： 已经有一定数学基础，希望深入理解射影几何的严谨性和理论体系的同学。这本书的难度会比 Lomonaco 的稍高一些，但绝对是值得花时间啃读的经典。
3. 《代数射影几何》（Algebraic Projective Geometry） Susan Landau
推荐理由： 如果你对代数几何或者计算机图形学中的射影变换感兴趣，那么这本书会是一个很好的选择。它更多地从代数的角度来阐述射影几何，特别是利用向量空间和线性代数工具。
内容特色：
代数方法为主： 强调使用向量空间、线性映射等代数工具来研究射影几何。
与计算机图形学的关联： 书中会涉及一些与计算机图形学相关的应用，例如三维透视变换，这使得学习内容更加生动和实用。
清晰的逻辑结构： 尽管是代数方法，但作者的讲解依然清晰，逻辑性很强。
适合人群： 对代数方法更感兴趣，或者希望了解射影几何在计算机图形学等领域的应用的同学。
辅助学习资料
除了书籍，一些在线资源和课程也能提供很好的补充。
1. MIT OpenCourseware (OCW) 的相关课程：
推荐理由： MIT 的很多数学课程都公开了讲义、视频和作业，这是非常宝贵的免费资源。你可以搜索与“几何”、“射影几何”、“计算几何”等相关的课程。这些课程的讲义通常非常系统，并且会跟随视频讲解，能帮助你更好地理解书本内容。
如何寻找： 在 MIT OCW 网站上搜索关键词，例如“Geometry”, "Projective Geometry", "Computational Geometry"。找到相关的课程，下载讲义和视频。
好处： 可以让你接触到世界一流大学的教学内容，了解不同的讲解角度和侧重点。
2. 在线数学论坛和社区：
推荐理由： 在学习过程中遇到难题时，能够向他人请教是非常重要的。一些在线数学论坛（如 Math StackExchange）是很好的资源。你可以在上面搜索别人问过的类似问题，也可以提出自己的疑问。
如何使用： 仔细阅读你正在学习的内容，尝试自己解决问题。如果遇到困难，先尝试查找资料，如果实在解决不了，再去论坛提问。提问时，要清晰地描述你的问题和困惑，并说明你已经做了哪些尝试。
3. 维基百科和在线百科全书：
推荐理由： 对于一些特定的概念、定理或历史人物，维基百科可以提供快速的概览和背景信息。但要注意，维基百科虽然信息量大，但并非所有内容都经过严格的数学审校，所以最好将其作为初步了解的工具，进一步的深入学习还是需要依赖专业书籍。
好处： 快速了解基本概念，查找相关历史背景，找到更多延伸阅读的方向。
学习路径建议
1. 先建立几何直觉： 强烈建议从 Lomonaco 的《射影几何学基础》这类更侧重几何直观的书籍开始。先通过大量的图示和几何证明来理解点共线、线共点、对偶性等核心概念。
2. 逐步引入代数工具： 在对射影几何有了基本认识后，再开始学习 Coxeter 的《射影几何》或者 Landau 的《代数射影几何》。掌握齐次坐标、射影变换的矩阵表示等代数工具，这会让你对射影几何有更深刻、更强大的理解。
3. 结合实践： 如果你对计算机图形学有兴趣，可以尝试用编程实现一些射影变换，例如在二维或三维空间中对点和线进行变换。这会加深你对概念的理解，并看到射影几何的实际应用。
4. 多做练习： 数学学习离不开大量的练习。书中的习题是检验你理解程度的最好方式。遇到不会的题目，不要轻易放弃，尝试从不同的角度去分析和解决。
5. 查阅参考资料： 遇到不理解的概念或定理，不要害怕去查阅其他书籍或在线资源。有时候，换一个角度的讲解会豁然开朗。
6. 思考对偶性： 射影几何一个非常重要的思想是对偶性。例如，在射影平面中，“点共线”和“线共点”是相互对偶的。理解和应用对偶性是掌握射影几何的关键之一。
一些需要注意的点
数学基础： 射影几何对线性代数（向量空间、矩阵、线性变换）有一定要求。如果你对线性代数还不够熟悉，可以先复习一下相关内容。
耐心和毅力： 学习任何一门数学分支都需要耐心和毅力。射影几何中有一些抽象的概念，可能需要反复思考和练习才能真正掌握。
几何直觉的重要性： 射影几何不仅仅是代数运算，更重要的是培养一种几何直觉，一种对图形变换性质的敏感性。
希望这些推荐和建议能帮助你开启射影几何的学习之旅！祝你学习愉快，收获满满！
我为你整理了一些适合本科生入门的射影几何书籍和资料，并尽可能详细地介绍它们，希望能帮助你找到最适合你的学习路径。
入门书籍推荐
对于本科生来说，太过于抽象和理论化的书可能会让人望而却步，所以我们先从那些讲解清晰、例子丰富的书籍开始。
1. 《射影几何学基础》（Elements of Projective Geometry） Salvatore J. Lomonaco Jr.
推荐理由： 这本书是我个人非常推荐的入门读物。它从一个非常基础的角度开始，逐步深入。作者在讲解概念时非常注重几何直觉的培养，会用大量的图示来解释抽象的概念，这一点对于初学者来说至关重要。它不会一开始就抛出大量代数工具，而是先让你理解射影几何的几何思想。
内容特色：
从基础概念讲起： 从点、线、平面这些最基本的概念开始，然后引入射影变换，如中心射影和平行射影。
强调几何直觉： 大量的图例和几何证明，帮助你建立对射影性质的直观理解，比如点共线、线共点等。
代数工具的引入： 在建立几何直觉后，会逐步引入齐次坐标和代数方法，让你看到几何问题如何用代数来解决，以及代数方法带来的便利。
经典定理的介绍： 帕斯卡定理（Pascal's Theorem）、牛顿定理（Newton's Theorem）等射影几何的经典定理都会有详细的介绍和证明。
适合人群： 任何对射影几何感兴趣的本科生，特别是对几何直观比较看重的同学。
2. 《射影几何》（Projective Geometry） Harold Scott MacDonald Coxeter
推荐理由： Coxeter 的名字在几何学界可以说是如雷贯耳。他的著作以其严谨、清晰和深度而著称。《射影几何》这本书虽然有些年头，但其中的思想和方法至今仍然是理解射影几何的经典。它在理论深度和数学严谨性上做得非常好。
内容特色：
严谨的定义和证明： Coxeter 的书在数学的严谨性上非常到位，每一个定义、每一个定理都有详细的推导和证明。
齐次坐标的深入应用： 这本书会非常系统地讲解齐次坐标的理论和应用，让你深刻理解代数方法在射影几何中的强大威力。
从射影平面到射影空间： 它会从二维的射影平面开始，然后拓展到三维甚至更高维的射影空间，让你看到射影几何的普适性。
丰富的习题： 书中有大量的习题，从基础概念的检验到复杂问题的解决，能帮助你巩固所学知识。
适合人群： 已经有一定数学基础，希望深入理解射影几何的严谨性和理论体系的同学。这本书的难度会比 Lomonaco 的稍高一些，但绝对是值得花时间啃读的经典。
3. 《代数射影几何》（Algebraic Projective Geometry） Susan Landau
推荐理由： 如果你对代数几何或者计算机图形学中的射影变换感兴趣，那么这本书会是一个很好的选择。它更多地从代数的角度来阐述射影几何，特别是利用向量空间和线性代数工具。
内容特色：
代数方法为主： 强调使用向量空间、线性映射等代数工具来研究射影几何。
与计算机图形学的关联： 书中会涉及一些与计算机图形学相关的应用，例如三维透视变换，这使得学习内容更加生动和实用。
清晰的逻辑结构： 尽管是代数方法，但作者的讲解依然清晰，逻辑性很强。
适合人群： 对代数方法更感兴趣，或者希望了解射影几何在计算机图形学等领域的应用的同学。
辅助学习资料
除了书籍，一些在线资源和课程也能提供很好的补充。
1. MIT OpenCourseware (OCW) 的相关课程：
推荐理由： MIT 的很多数学课程都公开了讲义、视频和作业，这是非常宝贵的免费资源。你可以搜索与“几何”、“射影几何”、“计算几何”等相关的课程。这些课程的讲义通常非常系统，并且会跟随视频讲解，能帮助你更好地理解书本内容。
如何寻找： 在 MIT OCW 网站上搜索关键词，例如“Geometry”, "Projective Geometry", "Computational Geometry"。找到相关的课程，下载讲义和视频。
好处： 可以让你接触到世界一流大学的教学内容，了解不同的讲解角度和侧重点。
2. 在线数学论坛和社区：
推荐理由： 在学习过程中遇到难题时，能够向他人请教是非常重要的。一些在线数学论坛（如 Math StackExchange）是很好的资源。你可以在上面搜索别人问过的类似问题，也可以提出自己的疑问。
如何使用： 仔细阅读你正在学习的内容，尝试自己解决问题。如果遇到困难，先尝试查找资料，如果实在解决不了，再去论坛提问。提问时，要清晰地描述你的问题和困惑，并说明你已经做了哪些尝试。
3. 维基百科和在线百科全书：
推荐理由： 对于一些特定的概念、定理或历史人物，维基百科可以提供快速的概览和背景信息。但要注意，维基百科虽然信息量大，但并非所有内容都经过严格的数学审校，所以最好将其作为初步了解的工具，进一步的深入学习还是需要依赖专业书籍。
好处： 快速了解基本概念，查找相关历史背景，找到更多延伸阅读的方向。
学习路径建议
1. 先建立几何直觉： 强烈建议从 Lomonaco 的《射影几何学基础》这类更侧重几何直观的书籍开始。先通过大量的图示和几何证明来理解点共线、线共点、对偶性等核心概念。
2. 逐步引入代数工具： 在对射影几何有了基本认识后，再开始学习 Coxeter 的《射影几何》或者 Landau 的《代数射影几何》。掌握齐次坐标、射影变换的矩阵表示等代数工具，这会让你对射影几何有更深刻、更强大的理解。
3. 结合实践： 如果你对计算机图形学有兴趣，可以尝试用编程实现一些射影变换，例如在二维或三维空间中对点和线进行变换。这会加深你对概念的理解，并看到射影几何的实际应用。
4. 多做练习： 数学学习离不开大量的练习。书中的习题是检验你理解程度的最好方式。遇到不会的题目，不要轻易放弃，尝试从不同的角度去分析和解决。
5. 查阅参考资料： 遇到不理解的概念或定理，不要害怕去查阅其他书籍或在线资源。有时候，换一个角度的讲解会豁然开朗。
6. 思考对偶性： 射影几何一个非常重要的思想是对偶性。例如，在射影平面中，“点共线”和“线共点”是相互对偶的。理解和应用对偶性是掌握射影几何的关键之一。
一些需要注意的点
数学基础： 射影几何对线性代数（向量空间、矩阵、线性变换）有一定要求。如果你对线性代数还不够熟悉，可以先复习一下相关内容。
耐心和毅力： 学习任何一门数学分支都需要耐心和毅力。射影几何中有一些抽象的概念，可能需要反复思考和练习才能真正掌握。
几何直觉的重要性： 射影几何不仅仅是代数运算，更重要的是培养一种几何直觉，一种对图形变换性质的敏感性。
希望这些推荐和建议能帮助你开启射影几何的学习之旅！祝你学习愉快，收获满满！
网友意见
我是题主，这是我两年前（大概）的提问。先感谢大家的回答。
古典的射影几何一般在解析几何或者高等几何的教材中出现，通常都会介绍（实）射影平面的模型，一次和二次曲线，极点极线调和点列的一些原理。因为介绍得不是很深，而且也没有什么后续知识衔接，所以我问了这个问题。
实际上，现在来看如果希望在之后进一步了解射影空间的几何，一个可以考虑的方向是Griffiths的《代数曲线》，当然需要会一些基本的复变函数和拓扑知识。里面还是会介绍一些P^2上代数曲线的知识，有不少经典的结果，比如代数曲线的相交数，也有Hurwitz公式和Riemann Roch定理这样的知识。当然这本书本身不是很代数。
之所以考虑C上的代数曲线，一般来讲也是因为代数闭域上的代数簇有充分好的性质。
当然，对于C上代数曲线的一些经典结果，在R上也可以有一些应用，一个例子是https://www.zhihu.com/question/52089484/answer/129942946。
相应的也有一些更偏代数的书，比如Fulton的书似乎就是如此。我没有读过。
另一个方向则是Yuhang Liu提到的射影微分几何。这一部分我完全不了解了。
当然，其实也还有比较初等的几何读物，不需要什么微分几何或者代数几何的知识，感觉作为兴趣读物还是不错的。比如Geometry of Surfaces和The Four Pillars of Geometry，参见https://www.zhihu.com/question/29054752/answer/43275691。
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