有哪些任意阶导数的零点都相同的函数？
你提出了一个非常有趣且深入的问题：是否存在这样一类函数，它们的任意阶导数在同一个点上都为零？换句话说，我们寻找的函数 $f(x)$ 满足 $f^{(n)}(a) = 0$ 对于所有的正整数 $n$ 和某个固定的实数 $a$ 都成立。
这听起来似乎不太可能，因为我们通常认为函数的导数会越来越“复杂”或者“变化”，怎么可能在某个点上永远为零呢？然而，数学的魅力就在于它总能打破我们的直觉。
泰勒级数是关键的线索
要理解这个问题，我们首先需要思考函数和它的导数之间的关系。在数学中，描述一个函数在某个点附近行为的一个强大工具就是泰勒级数。
对于一个在点 $a$ 处无穷次可导的函数 $f(x)$，它的泰勒级数展开是：
$$f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3 + dots + frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa)^n + dots$$
这个级数可以看作是用函数在点 $a$ 处的所有导数信息来“重构”函数在 $a$ 点附近的行为。
现在，让我们回到你的问题。如果一个函数的任意阶导数在点 $a$ 都为零，这意味着什么呢？根据泰勒级数的公式，这直接意味着：
$$f(a) = 0$$
$$f'(a) = 0$$
$$f''(a) = 0$$
$$f'''(a) = 0$$
$$dots$$
$$f^{(n)}(a) = 0 quad ext{对于所有的 } n ge 1$$
将这些条件代入泰勒级数公式，我们会得到：
$$f(x) = 0 + 0 cdot (xa) + frac{0}{2!}(xa)^2 + frac{0}{3!}(xa)^3 + dots$$
这意味着，如果一个函数在点 $a$ 处的任意阶导数都为零，并且这个函数可以通过泰勒级数精确地表示（这在很多情况下是成立的，比如解析函数），那么这个函数在点 $a$ 附近的展开式就是零。
找到满足条件的函数
那么，什么样的函数能满足在某个点 $a$ 的所有导数都为零呢？
最直观的答案就是常数函数。
考虑一个常数函数 $f(x) = C$，其中 $C$ 是一个常数。
它的零阶导数（本身）是 $f(x) = C$。
它的任意一阶导数 $f'(x) = 0$。
它的任意二阶导数 $f''(x) = 0$。
$dots$
它的任意 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x) = 0$ 对于所有 $n ge 1$。
所以，对于任何一个常数函数 $f(x) = C$，在任何一个点 $a$，我们都有 $f^{(n)}(a) = 0$ 对于所有 $n ge 1$。
这似乎有点“太简单”了，你可能在寻找更“有趣”的例子。
非零常数函数的“微妙”之处
我们上面考虑的是“任意阶导数都为零”。如果你的意思更侧重于“在同一个点的任意阶导数都为零”，那么常数函数 $f(x) = C$ 仍然是满足条件的。
但是，如果我们进一步追问：有没有非零的函数，使得它在某个点 $a$ 的所有高阶导数都为零？
这时，我们就要回到泰勒级数。如果一个函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的所有导数（包括零阶导数 $f(a)$）都为零，那么它的泰勒级数就是零，这通常意味着在点 $a$ 的一个邻域内，这个函数就是零函数 $f(x) equiv 0$。
考虑一个“奇怪”的函数：嵌入式衰减
数学家们设计了一些非常有意思的函数来探索这些边界情况。一个经典的例子是平滑截断函数（smooth cutoff function），它在某个区间上是 1，而在区间外是 0，并且在“连接点”处无限可导。
然而，我们寻找的是在同一个点任意阶导数为零。这意味着函数在那个点以及其邻域内，必须以一种非常“平坦”的方式接近零。
考虑函数：
$$ f(x) = egin{cases} e^{1/x^2} & ext{if } x eq 0 \ 0 & ext{if } x = 0 end{cases} $$
让我们来分析一下这个函数在 $x=0$ 处的性质。
零阶导数: $f(0) = 0$。
一阶导数: 当 $x eq 0$ 时，$f'(x) = e^{1/x^2} cdot frac{2}{x^3}$。
我们需要计算 $lim_{x o 0} f'(x)$。这是一个 $0 cdot infty$ 型的极限。我们可以通过换元 $y = 1/x$ 来处理：
$lim_{x o 0} frac{2}{x^3} e^{1/x^2} = lim_{y o pm infty} 2y^3 e^{y^2}$。
由于指数函数 $e^{y^2}$ 的衰减速度远快于多项式 $y^3$ 的增长速度，这个极限是 $0$。
所以，$f'(0) = 0$。
更高阶导数: 令人惊讶的是，可以通过数学归纳法和一些代数技巧证明，这个函数 $f(x) = e^{1/x^2}$ 在 $x=0$ 处的所有阶导数都等于零。
即，$f^{(n)}(0) = 0$ 对于所有的 $n ge 0$。
为什么这个函数重要？
这个函数 $f(x) = e^{1/x^2}$（以及它在 $x=0$ 处的值为 $0$ 的定义）被称为一个 $C^infty$ 函数（或光滑函数），并且它是非零的。
然而，它的泰勒级数在 $x=0$ 处是：
$$f(x) = f(0) + f'(0)(x0) + frac{f''(0)}{2!}(x0)^2 + dots = 0 + 0 cdot x + frac{0}{2!}x^2 + dots = 0$$
这个泰勒级数在 $x=0$ 处是 $0$。但是，我们知道函数在 $x eq 0$ 的时候并非处处为零（例如，当 $x$ 接近 $0$ 的时候，$e^{1/x^2}$ 是一个很小的正数）。
这意味着，对于这个函数 $f(x) = e^{1/x^2}$，它在 $x=0$ 处的任意阶导数都为零，但它不能用其在 $x=0$ 处的泰勒级数来表示（至少在 $x=0$ 的某个非零邻域内）。这种函数被称为非解析函数。
推广：平滑截断函数
基于这个例子，我们可以构造更一般的函数。
考虑一个在 $x=a$ 点的任意阶导数都为零的函数。我们可以构造这样的函数：
$$ g(x) = egin{cases} e^{1/(xa)^2} & ext{if } x eq a \ 0 & ext{if } x = a end{cases} $$
对于这个函数 $g(x)$，我们有 $g^{(n)}(a) = 0$ 对于所有 $n ge 0$。
再进一步，我们可以构造一个在 $[a, b]$ 区间内是 1，而在区间外为 0 的“平滑”函数，或者一个在点 $a$ 附近任意阶导数为零的非零函数。
例如，我们可以构造一个在 $a$ 点的所有导数都为零的非零函数，但它在 $a$ 的邻域内是非零的。
考虑函数：
$$ h(x) = egin{cases} 0 & ext{if } x le a \ e^{1/(xa)^2} & ext{if } x > a end{cases} $$
这个函数在 $x le a$ 的区域是 $0$。当 $x > a$ 时，它是 $e^{1/(xa)^2}$。
在 $x=a$ 处：
$h(a) = 0$。
当 $x o a^+$ 时，$h'(x) = e^{1/(xa)^2} cdot frac{2}{(xa)^3} o 0$。
当 $x o a^$ 时，$h'(x) = 0$。
所以，$h'(a) = 0$。
通过类似上面的分析，我们可以证明 $h^{(n)}(a) = 0$ 对于所有的 $n ge 0$。
这个函数 $h(x)$ 在 $a$ 的左边是 $0$，在 $a$ 的右边是 $e^{1/(xa)^2}$，在 $a$ 点本身是 $0$。而且，它的所有导数在 $a$ 点都为 $0$。
总结
所以，满足“任意阶导数的零点都相同”的函数，最简单也最普遍的例子是：
1. 常数函数 $f(x) = C$。 无论 $a$ 是哪个点，它的所有导数（包括零阶导数）都是 $0$。
2. 非零的平滑函数，在某个点 $a$ 处具有“无限的平坦性”。 最具代表性的例子是：
$$ f(x) = egin{cases} e^{1/(xa)^2} & ext{if } x eq a \ 0 & ext{if } x = a end{cases} $$
对于这个函数，它在点 $a$ 的所有阶导数都为零，但它在 $a$ 点的邻域内（当 $x eq a$ 时）是非零的。这种函数展示了函数可能在某个点具有所有高阶导数为零，但却不能被该点的泰勒级数完全描述的现象。
这类函数非常重要，它们是实变函数论和泛函分析中的关键概念，用于构造具有特定性质的平滑函数，例如在拓扑学和微分几何中。它们也帮助我们理解了“光滑”和“解析”这两个概念之间的细微差别。
这听起来似乎不太可能，因为我们通常认为函数的导数会越来越“复杂”或者“变化”，怎么可能在某个点上永远为零呢？然而，数学的魅力就在于它总能打破我们的直觉。
泰勒级数是关键的线索
要理解这个问题，我们首先需要思考函数和它的导数之间的关系。在数学中，描述一个函数在某个点附近行为的一个强大工具就是泰勒级数。
对于一个在点 $a$ 处无穷次可导的函数 $f(x)$，它的泰勒级数展开是：
$$f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3 + dots + frac{f^{(n)}(a)}{n!}(xa)^n + dots$$
这个级数可以看作是用函数在点 $a$ 处的所有导数信息来“重构”函数在 $a$ 点附近的行为。
现在，让我们回到你的问题。如果一个函数的任意阶导数在点 $a$ 都为零，这意味着什么呢？根据泰勒级数的公式，这直接意味着：
$$f(a) = 0$$
$$f'(a) = 0$$
$$f''(a) = 0$$
$$f'''(a) = 0$$
$$dots$$
$$f^{(n)}(a) = 0 quad ext{对于所有的 } n ge 1$$
将这些条件代入泰勒级数公式，我们会得到：
$$f(x) = 0 + 0 cdot (xa) + frac{0}{2!}(xa)^2 + frac{0}{3!}(xa)^3 + dots$$
这意味着，如果一个函数在点 $a$ 处的任意阶导数都为零，并且这个函数可以通过泰勒级数精确地表示（这在很多情况下是成立的，比如解析函数），那么这个函数在点 $a$ 附近的展开式就是零。
找到满足条件的函数
那么，什么样的函数能满足在某个点 $a$ 的所有导数都为零呢？
最直观的答案就是常数函数。
考虑一个常数函数 $f(x) = C$，其中 $C$ 是一个常数。
它的零阶导数（本身）是 $f(x) = C$。
它的任意一阶导数 $f'(x) = 0$。
它的任意二阶导数 $f''(x) = 0$。
$dots$
它的任意 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x) = 0$ 对于所有 $n ge 1$。
所以，对于任何一个常数函数 $f(x) = C$，在任何一个点 $a$，我们都有 $f^{(n)}(a) = 0$ 对于所有 $n ge 1$。
这似乎有点“太简单”了，你可能在寻找更“有趣”的例子。
非零常数函数的“微妙”之处
我们上面考虑的是“任意阶导数都为零”。如果你的意思更侧重于“在同一个点的任意阶导数都为零”，那么常数函数 $f(x) = C$ 仍然是满足条件的。
但是，如果我们进一步追问：有没有非零的函数，使得它在某个点 $a$ 的所有高阶导数都为零？
这时，我们就要回到泰勒级数。如果一个函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的所有导数（包括零阶导数 $f(a)$）都为零，那么它的泰勒级数就是零，这通常意味着在点 $a$ 的一个邻域内，这个函数就是零函数 $f(x) equiv 0$。
考虑一个“奇怪”的函数：嵌入式衰减
数学家们设计了一些非常有意思的函数来探索这些边界情况。一个经典的例子是平滑截断函数（smooth cutoff function），它在某个区间上是 1，而在区间外是 0，并且在“连接点”处无限可导。
然而，我们寻找的是在同一个点任意阶导数为零。这意味着函数在那个点以及其邻域内，必须以一种非常“平坦”的方式接近零。
考虑函数：
$$ f(x) = egin{cases} e^{1/x^2} & ext{if } x eq 0 \ 0 & ext{if } x = 0 end{cases} $$
让我们来分析一下这个函数在 $x=0$ 处的性质。
零阶导数: $f(0) = 0$。
一阶导数: 当 $x eq 0$ 时，$f'(x) = e^{1/x^2} cdot frac{2}{x^3}$。
我们需要计算 $lim_{x o 0} f'(x)$。这是一个 $0 cdot infty$ 型的极限。我们可以通过换元 $y = 1/x$ 来处理：
$lim_{x o 0} frac{2}{x^3} e^{1/x^2} = lim_{y o pm infty} 2y^3 e^{y^2}$。
由于指数函数 $e^{y^2}$ 的衰减速度远快于多项式 $y^3$ 的增长速度，这个极限是 $0$。
所以，$f'(0) = 0$。
更高阶导数: 令人惊讶的是，可以通过数学归纳法和一些代数技巧证明，这个函数 $f(x) = e^{1/x^2}$ 在 $x=0$ 处的所有阶导数都等于零。
即，$f^{(n)}(0) = 0$ 对于所有的 $n ge 0$。
为什么这个函数重要？
这个函数 $f(x) = e^{1/x^2}$（以及它在 $x=0$ 处的值为 $0$ 的定义）被称为一个 $C^infty$ 函数（或光滑函数），并且它是非零的。
然而，它的泰勒级数在 $x=0$ 处是：
$$f(x) = f(0) + f'(0)(x0) + frac{f''(0)}{2!}(x0)^2 + dots = 0 + 0 cdot x + frac{0}{2!}x^2 + dots = 0$$
这个泰勒级数在 $x=0$ 处是 $0$。但是，我们知道函数在 $x eq 0$ 的时候并非处处为零（例如，当 $x$ 接近 $0$ 的时候，$e^{1/x^2}$ 是一个很小的正数）。
这意味着，对于这个函数 $f(x) = e^{1/x^2}$，它在 $x=0$ 处的任意阶导数都为零，但它不能用其在 $x=0$ 处的泰勒级数来表示（至少在 $x=0$ 的某个非零邻域内）。这种函数被称为非解析函数。
推广：平滑截断函数
基于这个例子，我们可以构造更一般的函数。
考虑一个在 $x=a$ 点的任意阶导数都为零的函数。我们可以构造这样的函数：
$$ g(x) = egin{cases} e^{1/(xa)^2} & ext{if } x eq a \ 0 & ext{if } x = a end{cases} $$
对于这个函数 $g(x)$，我们有 $g^{(n)}(a) = 0$ 对于所有 $n ge 0$。
再进一步，我们可以构造一个在 $[a, b]$ 区间内是 1，而在区间外为 0 的“平滑”函数，或者一个在点 $a$ 附近任意阶导数为零的非零函数。
例如，我们可以构造一个在 $a$ 点的所有导数都为零的非零函数，但它在 $a$ 的邻域内是非零的。
考虑函数：
$$ h(x) = egin{cases} 0 & ext{if } x le a \ e^{1/(xa)^2} & ext{if } x > a end{cases} $$
这个函数在 $x le a$ 的区域是 $0$。当 $x > a$ 时，它是 $e^{1/(xa)^2}$。
在 $x=a$ 处：
$h(a) = 0$。
当 $x o a^+$ 时，$h'(x) = e^{1/(xa)^2} cdot frac{2}{(xa)^3} o 0$。
当 $x o a^$ 时，$h'(x) = 0$。
所以，$h'(a) = 0$。
通过类似上面的分析，我们可以证明 $h^{(n)}(a) = 0$ 对于所有的 $n ge 0$。
这个函数 $h(x)$ 在 $a$ 的左边是 $0$，在 $a$ 的右边是 $e^{1/(xa)^2}$，在 $a$ 点本身是 $0$。而且，它的所有导数在 $a$ 点都为 $0$。
总结
所以，满足“任意阶导数的零点都相同”的函数，最简单也最普遍的例子是：
1. 常数函数 $f(x) = C$。 无论 $a$ 是哪个点，它的所有导数（包括零阶导数）都是 $0$。
2. 非零的平滑函数，在某个点 $a$ 处具有“无限的平坦性”。 最具代表性的例子是：
$$ f(x) = egin{cases} e^{1/(xa)^2} & ext{if } x eq a \ 0 & ext{if } x = a end{cases} $$
对于这个函数，它在点 $a$ 的所有阶导数都为零，但它在 $a$ 点的邻域内（当 $x eq a$ 时）是非零的。这种函数展示了函数可能在某个点具有所有高阶导数为零，但却不能被该点的泰勒级数完全描述的现象。
这类函数非常重要，它们是实变函数论和泛函分析中的关键概念，用于构造具有特定性质的平滑函数，例如在拓扑学和微分几何中。它们也帮助我们理解了“光滑”和“解析”这两个概念之间的细微差别。
网友意见
定理 与 在 上互素，当且仅当 无重根。
证： 反证法。若 有重根，则
求导
这与 与 互素矛盾。
假若 与 有公因式 ，且满足 是 的 重根，于是设
于是 ，设 ，则
由积分第二中值定理
这与 是 的 重根矛盾。
注意：这里实际上我们推广了多项式中的定理。我们约定所谓重根是指含有因式 ，其中 。我们说有根，是指 。若考虑 的情况，则求导后会出现奇点，这不在我们的关心的范围。
于是，若 零点相同，则说明 有重根，而且对任意 都成立。也就是说这个根不会受到求导的影响以致于消失。所以只能联想到指数函数——
显然他们只有在 （可去奇点）这一个根，继续求导，可以预见导数总是如下形式
其中 都是多项式， 依然是根（这个结论读者自证吧）。不过除此之外还会产生 的根，所以按照此种方法，我们只能保证 的任意阶导数都有同一个根。
当然，零函数就不说了。
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