如何用代码画出一只齿轮？
好的，咱们不整那些花里胡哨的AI范儿，就来聊聊怎么用代码“画”出一只实实在在的齿轮。这篇文章，咱们就当是老朋友聊技术，一点一点把它给掰开了揉碎了说。
为啥要用代码画齿轮？
你可能会想，画个齿轮嘛，直接用CAD软件拖拖拽拽不就行了？没错，对于一般的工业设计，CAD是王道。但代码画齿轮，那是有它独特的魅力和用处的：
1. 精确控制与参数化： 代码画齿轮，你可以精确到小数点后几位，每一个尺寸、每一个角度都可以由变量控制。这意味着你可以轻松地生成各种尺寸、各种齿数的齿轮，而且修改参数就像改个数字一样简单。
2. 动态生成与仿真： 如果你想做一些齿轮啮合的动画，或者模拟齿轮的运动，代码是必不可少的。你可以根据时间或其他变量动态地改变齿轮的位置、角度，甚至变形。
3. 算法与创新： 有时候，我们可能需要设计一些非传统的、具有特殊功能的齿轮。这时候，直接用代码实现算法，比在图形软件里一点点“抠”出来要高效得多。
4. 学习与理解： 通过代码实现一个齿轮，你会更深刻地理解齿轮的几何原理、设计参数对形状的影响，这本身就是一种很好的学习过程。
怎么“画”？——核心思路
要画齿轮，其实就是把它的形状分解成一系列的点，然后把这些点连起来。齿轮最核心的特征就是那些“牙”。所以，我们的思路就是：
1. 确定齿轮的基本参数： 比如齿数、模数、压力角、齿顶高系数、齿根高系数等等。这些参数决定了齿轮的“长相”和“性能”。
2. 计算齿轮轮廓上的关键点： 齿轮的轮廓不是一个简单的圆，而是由齿顶圆、齿根圆、齿槽、齿面（渐开线）组成的复杂曲线。我们要精确计算出这些曲线上的足够多的点。
3. 绘制： 把计算出来的点连接起来，形成闭合的轮廓，再填充颜色（或者就画个线框）。
选哪个“画笔”？——编程语言与库
说“代码画画”，那得有个工具。最常见的，也是我们今天主要聊的，是用 Python。Python 简单易学，而且有强大的图形库。
`matplotlib`: 这是Python中最常用的绘图库，功能强大，可以绘制各种2D、3D图形，非常适合用来画几何图形。
`numpy`: 处理数学计算离不开它，尤其是生成大量的点和进行三角函数计算。
让我们开始“动手”——一步步来
咱们就以一个最常见的齿轮——直齿渐开线外啮合齿轮为例。
1. 确定齿轮基本参数
首先，需要定义一些关键参数。这些参数是齿轮设计的基石：
模数 (m): 决定了齿轮的尺寸大小，是齿距除以π。模数越大，齿轮越大。
齿数 (z): 齿轮上有多少个齿。
压力角 (α): 渐开线齿轮的基本参数，通常是20度。它影响齿轮的传动平稳性和根切情况。
齿顶高系数 (ha): 齿顶圆与分度圆的距离相对于模数。标准值是1。
齿根高系数 (hf): 齿根圆与分度圆的距离相对于模数。标准值是1.25。
变位系数 (x): 用于调整齿轮的变位，以避免根切或改善传动性能。这里我们先从0开始，即不参与变位。
有了这些基本参数，我们就能推导出其他重要的几何尺寸：
分度圆直径 (d): `d = m z`
基圆直径 (db): `db = d cos(α)` (注意：α需要转换为弧度)
齿顶圆直径 (da): `da = d + 2 m ha`
齿根圆直径 (df): `df = d 2 m hf`
齿距 (p): `p = π m`
齿厚 (s): 分度圆上的齿厚，标准为 `p / 2`
2. 核心：生成渐开线
齿轮的齿面形状是渐开线。渐开线是从一个圆（称为基圆）上滚出一个直线，这个直线轨迹就是渐开线。
渐开线的参数方程（以基圆为原点，从X轴正方向开始滚出）是：
`x = rb (cos(t) + t sin(t))`
`y = rb (sin(t) t cos(t))`
其中：
`rb` 是基圆半径 (`db / 2`)
`t` 是展开角（或者称为缠绕角），从0开始。
我们还需要考虑齿轮的齿厚。在分度圆上，齿厚和齿槽宽是相等的，各占整个周长的1/2。齿距是 `π m`。在分度圆上，齿厚是 `π m / 2`。
渐开线方程还需要根据齿轮的中心点和旋转角度进行调整。
关键的计算点：
齿顶圆上的渐开线点： 当渐开线滚出的距离达到使得齿顶圆上的齿厚为预设值时，就得到了齿顶圆上的点。
齿根圆上的渐开线点： 同样，当滚出的距离达到使得齿根圆上的齿厚（或者说齿槽）为预设值时，得到齿根圆上的点。
齿根圆的圆弧： 齿根处的凹槽通常是一个圆弧，连接两个齿根圆上的渐开线点。
3. 绘制齿轮的轮廓
我们可以采取一种相对简单但效果不错的方法：
1. 画中心圆/内孔： 如果需要，可以画一个内孔。
2. 画齿根圆： 这是一个底部的圆。
3. 画齿顶圆： 这是一个顶部的圆。
4. 计算单个齿的轮廓：
从齿根圆上开始，生成渐开线，直到齿顶圆。
在齿顶圆上，根据齿厚需求，画一个圆弧（齿顶）。
从齿顶圆上，沿另一个方向生成渐开线，直到齿根圆。
在齿根圆上，画一个圆弧连接两个渐开线结束点，形成齿槽。
5. 复制和旋转： 计算出一个齿的轮廓后，将其复制 `z` 次，每次旋转 `360 / z` 度，就能形成整个齿轮的轮廓。
6. 连接与填充： 将所有计算出的点连接起来，形成一个闭合的多边形（近似），然后填充颜色。
4. 代码实现（Python + Matplotlib）
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
齿轮参数
module = 10 模数
teeth_count = 30 齿数
pressure_angle_deg = 20 压力角 (度)
ha_star = 1 齿顶高系数
hf_star = 1.25 齿根高系数
clearance_factor = 0.25 变位系数（这里暂时用0，即不变位）
bore_diameter = 20 中心孔直径
计算基本尺寸
pressure_angle_rad = np.deg2rad(pressure_angle_deg) 压力角 (弧度)
pitch_diameter = module teeth_count 分度圆直径
base_radius = (pitch_diameter / 2) np.cos(pressure_angle_rad) 基圆半径
addendum = module ha_star 齿顶高
dedendum = module hf_star 齿根高
tip_diameter = pitch_diameter + 2 addendum 齿顶圆直径
root_diameter = pitch_diameter 2 dedendum 齿根圆直径
pitch_radius = pitch_diameter / 2
tip_radius = tip_diameter / 2
root_radius = root_diameter / 2
渐开线函数
生成渐开线上的点
def generate_involute_points(base_radius, start_angle, end_angle, num_points):
t_values = np.linspace(start_angle, end_angle, num_points)
x = base_radius (np.cos(t_values) + t_values np.sin(t_values))
y = base_radius (np.sin(t_values) t_values np.cos(t_values))
return x, y
计算单个齿的轮廓
渐开线参数 t 的范围需要根据齿顶圆和齿根圆确定
在分度圆上，齿厚角是 pi / (2 teeth_count)
渐开线起始的缠绕角 alpha_t 对应于在基圆上滚出的角度
渐开线上的点 (x, y) 对应的角度 t 决定了该点到基圆的距离
渐开线的参数方程是 x = rb (cos(t) + t sin(t)), y = rb (sin(t) t cos(t))
渐开线的斜率是 tan(t)
我们需要找到 t 使得在分度圆上的渐开线距离等于齿厚的一半
这是一个简化版本，直接根据角度取点，然后限制在齿顶圆和齿根圆之间
更精确的方法需要解方程
计算单个齿一个侧面的渐开线点
这是一个近似的计算，通过找到基圆上合适的“起始”缠绕角
简化：直接从齿根圆附近开始生成渐开线到齿顶圆
找到渐开线起始角度 (theta_start) 使得在root_radius处齿厚符合要求
找到渐开线结束角度 (theta_end) 使得在tip_radius处齿厚符合要求
简化：我们先计算出齿顶圆和齿根圆上的一些点，然后用渐开线连接它们
渐开线连接的范围，需要考虑齿厚和齿槽宽
这里的计算比较复杂，为了方便演示，我们简化一下：
1. 计算齿根圆上的两个点（一个齿的开始）
2. 计算齿顶圆上的两个点（一个齿的结束）
3. 用渐开线方程连接齿根圆和齿顶圆的点
更好的方法是，确定分度圆上的齿厚角，然后推算在基圆上的缠绕角
设分度圆上齿厚为 s_p = pi m / 2
渐开线方程是 x = r_b (cos(t) + t sin(t)), y = r_b (sin(t) t cos(t))
对渐开线方程求导，可以得到切线斜率，与法向压力角的关系
在分度圆上，压力角为 alpha
渐开线上的某个点，到基圆的切点与基圆圆心的连线角度为 t
渐开线上该点的法向压力角为 t
简化：我们直接通过角度来生成点，然后限制范围
num_involute_points = 50 每个渐开线侧面需要的点数
齿槽圆弧的半径，可以使用齿根圆半径，或略大一点
咱们就用齿根圆半径，然后画个圆弧
角度分辨率
angle_res = 0.01 弧度
找到渐开线从齿根圆到齿顶圆的范围
简化的渐开线起点角度 t_start，使得在基圆上的点稍微偏离Y轴
简化：我们取一个接近于0的t_start，并根据齿根圆直径限制
调整角度以匹配齿厚和齿槽
假设分度圆上，齿厚和齿槽都是 pi m / 2
渐开线方程的参数 t 对应的是从基圆切点处的角度
我们可以通过查找 t 来控制齿厚
查找t值，使得渐开线在分度圆上的半径是 pitch_radius
r^2 = x^2 + y^2
r^2 = rb^2 ((cos(t) + tsin(t))^2 + (sin(t) tcos(t))^2)
r^2 = rb^2 (cos^2(t) + 2tcos(t)sin(t) + t^2sin^2(t) + sin^2(t) 2tsin(t)cos(t) + t^2cos^2(t))
r^2 = rb^2 (1 + t^2)
r = rb sqrt(1 + t^2)
所以，在分度圆上，pitch_radius = rb sqrt(1 + t_pitch^2)
t_pitch = sqrt((pitch_radius/rb)^2 1)
t_pitch = np.sqrt((pitch_radius/base_radius)2 1)
齿顶圆上的 t_tip
t_tip = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
齿根圆上的 t_root
确保 t_root 存在（即齿根圆直径大于基圆直径）
if root_radius > base_radius:
t_root = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1)
else:
如果齿根圆小于基圆，说明有根切，渐开线不是完整的
此时需要从基圆开始，并计算根切点
t_root = 0 简化处理，从基圆开始
齿厚方向的范围（弧度）
在分度圆上，齿厚角度是 pi / teeth_count
渐开线一侧的角度变化范围是 (pi / teeth_count) / 2
angle_offset = (np.pi / teeth_count) / 2
渐开线起始角度 (t_start) 和结束角度 (t_end)
考虑到齿槽和齿厚
关键点：找到在分度圆上的齿厚范围，然后反推出基圆上的t值范围
渐开线方程的参数t，直接决定了该点与基圆切点的角度
确定一个齿的轮廓，包括一个渐开线侧面，一个齿顶圆弧，另一个渐开线侧面，一个齿槽圆弧
核心是找到两个渐开线侧面的 t 值范围
我们可以从齿根圆到齿顶圆，生成一系列渐开线点
假设一个齿的起始角（例如，左侧渐开线结束于 Y 轴负半轴）
渐开线的一侧，从齿根圆到齿顶圆
t 值的范围，需要根据齿厚来确定
简单起见，我们生成一系列 t 值，从 t_root 到 t_tip
然后在 t_pitch +/ angle_offset 处考虑齿厚
简化：直接生成一部分渐开线，并将其放置在齿轮的正确位置
比如，先生成一个在Y轴右侧的渐开线，范围从齿根圆到齿顶圆
考虑一个齿的起始位置，例如，齿顶位于X轴正方向
那么它的一个渐开线应该从 Y 轴负方向开始，另一个从 Y 轴正方向结束
我们先计算一个齿的半边轮廓
核心思路：
1. 在分度圆上，齿厚是 pim/2。
2. 渐开线方程的参数 t，决定了该点到基圆的切点角度。
3. 在分度圆上，渐开线一侧的齿厚角度为 (pi / teeth_count) / 2。
4. 渐开线上一点的法向压力角等于该点对应的参数 t。
5. 因此，在分度圆上，渐开线一侧的 t 值应该是 pressure_angle_rad。
6. 渐开线从齿根圆到齿顶圆的 t 值范围： t_root 到 t_tip。
重新计算 t 范围，使其大致符合分度圆上的齿厚
假设从齿根圆开始，到齿顶圆结束，齿厚分布在 t_pitch 附近
渐开线侧面的 t 值范围，大约在 t_pitch 附近 +/ 齿厚的一半角度
齿厚 angle on pitch circle is pi / teeth_count
t_start_involute = t_pitch (pi / teeth_count) / 2 这是一个近似
t_end_involute = t_pitch + (pi / teeth_count) / 2 这是一个近似
确保 t_start_involute >= t_root and t_end_involute <= t_tip
简化：直接生成从齿根圆到齿顶圆的渐开线
找到一个起始 t_start，使得渐开线在齿根圆处，并且有足够的齿厚
找到渐开线起始缠绕角 t_start_root，使得渐开线在齿根圆半径上
r_root = base_radius sqrt(1 + t_start_root^2)
t_start_root = sqrt((root_radius/base_radius)^2 1)
但要注意齿根圆可能小于基圆 (根切)
齿槽圆弧的计算：
齿槽通常是圆弧，其圆心在齿轮中心，半径为齿根圆半径。
它的起始和结束角度，需要与渐开线的末端相连接。
考虑一个完整的齿的轮廓：
1. 从齿根圆上的一个点 (P1) 开始
2. 沿着渐开线向上到齿顶圆上的点 (P2)
3. 沿着齿顶圆弧 (P2 > P3)
4. 沿着另一条渐开线向下到齿根圆上的点 (P4)
5. 沿着齿槽圆弧 (P4 > P1)
简化：我们生成两段渐开线，连接它们，然后加上齿顶圆弧和齿槽圆弧。
渐开线1 (左侧): 从齿根圆到齿顶圆
渐开线2 (右侧): 从齿根圆到齿顶圆
齿顶圆弧: 连接渐开线1和渐开线2的末端
齿槽圆弧: 连接渐开线1和渐开线2的起始端
找到齿槽圆弧的起始和结束角度
假设齿槽的中心角为 alpha_slot
alpha_slot = 2 pi / teeth_count (这个不是，这是齿距角)
齿槽角（凹进去的槽）大概是 2pi/teeth_count 减去齿厚的角
重要的角度：
齿距角 (angular_pitch) = 2pi / teeth_count
齿厚角 (tooth_thickness_angle) = pi / teeth_count
齿槽角 (tooth_gap_angle) = pi / teeth_count
简化：我们生成一侧的渐开线，然后镜像，再组合。
假设一个齿的中心线在X轴正方向。
那么，左侧渐开线的结束角度 t 应该小于 t_pitch，右侧渐开线的起始角度 t 应该大于 t_pitch。
我们可以从 t_root_involute 到 t_pitch (pi/teeth_count)/2 生成左侧渐开线
然后从 t_pitch + (pi/teeth_count)/2 到 t_tip_involute 生成右侧渐开线
找到渐开线起始角度 t_start_involute_left，使得在齿根圆上
渐开线方程：x = rb(cos(t)+tsin(t)), y = rb(sin(t)tcos(t))
我们可以根据角度来获取渐开线上的点。
重新调整 t 的范围，使其符合齿厚要求
假设我们要生成一个齿的右半部分（渐开线），从齿根圆到齿顶圆
渐开线方程 x=f(t), y=g(t)
t 的范围从 t_root 到 t_tip
我们需要在 t_pitch 附近，根据齿厚来取 t 的范围
假设我们要生成的是一个齿的右半边渐开线
渐开线起点在齿根圆，终点在齿顶圆
假设起始点在 Y 轴负方向，结束点在 Y 轴正方向
简化：我们先生成两段渐开线，一段正向，一段反向，然后连接。
关键是找到合适的 t 值范围
渐开线段1（右侧）
t_start_inv1 = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv1 = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_start_inv1 和 t_end_inv1 的范围，以匹配分度圆上的齿厚
确保 t_pitch 位于 t_start_inv1 和 t_end_inv1 之间，并且间隔合理
齿厚角在分度圆是 pi/teeth_count
找到 t_left_pitch: 使得渐开线在分度圆上，且是在齿厚左侧
t_right_pitch: 使得渐开线在分度圆上，且是在齿厚右侧
渐开线方程的参数 t 对应于法向压力角
在分度圆上，法向压力角是 pressure_angle_rad
所以 t_pitch 应该等于 pressure_angle_rad
齿厚 angle on pitch circle is pi / teeth_count
齿厚范围在分度圆上，从 t_pitch (pi/teeth_count)/2 到 t_pitch + (pi/teeth_count)/2
这里的 t 指的是基圆上的缠绕角
我们可以从齿根圆到齿顶圆，生成一些渐开线点
然后对这些点进行旋转和平移，使其形成齿轮的形状
让我们先计算一个完整的齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧 (从齿根圆)
2. 渐开线（左侧） (从齿根圆到齿顶圆)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右侧） (从齿顶圆到齿根圆)
齿槽圆弧的开始和结束角度
齿槽角（不包含齿面） 大约是 2 pi / teeth_count
齿顶圆弧角 大约是 2 pi / teeth_count
渐开线角度跨度
简化：直接生成一条渐开线，然后平移和镜像，再形成齿轮
我们可以先生成从基圆开始的渐开线，然后截取一段
假设从 t=0 开始生成渐开线
重新规划：生成单个齿的轮廓
1. 渐开线左侧：从基圆开始，到齿顶圆。
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧：从齿顶圆到基圆。
4. 齿槽圆弧：连接两个渐开线在基圆上的点。
找到渐开线起始 t_start，使其在齿根圆上（或基圆上，如果根切）
找到渐开线结束 t_end，使其在齿顶圆上
t_start_inv = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
关键：计算齿槽圆弧的起始和结束角度
齿槽的中心角（或者说，两个渐开线在齿根圆上的夹角）
考虑一个完整的齿，它占据的分度圆上的角度是 2pi / teeth_count
齿厚占 pi / teeth_count，齿槽占 pi / teeth_count
渐开线部分，我们取 t_root 到 t_tip 的范围
让我们计算出齿轮轮廓上的关键点
1. 齿槽圆弧（连接两个渐开线起点）
2. 渐开线（一段）
3. 齿顶圆弧（连接两个渐开线终点）
4. 渐开线（另一段）
齿槽圆弧的范围
齿槽角的起始和结束角度（相对于齿轮中心）
假设齿槽中心线位于 Y 轴。
渐开线起点和终点决定了齿槽的范围
齿槽圆弧的开始角度，渐开线结束的角度
渐开线起始角度 t_start_inv，结束角度 t_end_inv
假设我们需要一个齿的半边轮廓
渐开线从齿根圆到齿顶圆
假设渐开线从 Y 轴左侧到 Y 轴右侧
调整 t 的范围，以匹配齿厚
渐开线一侧，齿厚在分度圆上的角度是 pi / (2 teeth_count)
渐开线方程 x = rb(cos(t)+tsin(t)), y = rb(sin(t)tcos(t))
角度 t 对应于渐开线上某点到基圆的法向压力角
让我们定义一个齿的起始角度
start_angle_tooth = 0 假设一个齿的中心线在 X 轴正方向
渐开线点生成函数，可以指定t的范围
def get_involute_segment(rb, t_start, t_end, num_points=50):
t_values = np.linspace(t_start, t_end, num_points)
x = rb (np.cos(t_values) + t_values np.sin(t_values))
y = rb (np.sin(t_values) t_values np.cos(t_values))
return x, y
齿根圆半径上的渐开线起始缠绕角
t_start_involute = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
齿顶圆半径上的渐开线结束缠绕角
t_end_involute = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_start_involute 和 t_end_involute 以匹配齿厚
渐开线一侧的齿厚角度（在分度圆上）是 pi / (2 teeth_count)
渐开线方程的参数 t，等于该点在基圆上的法向压力角。
在分度圆上，压力角是 pressure_angle_rad
所以，渐开线在分度圆上的某个点，其 t 值应该等于 pressure_angle_rad
齿厚中心点在分度圆上的角度是 pi / teeth_count
渐开线一侧从 t_pitch (pi/teeth_count)/2 到 t_pitch + (pi/teeth_count)/2
简化：我们直接计算每个齿的轮廓
核心是找到两个渐开线段，连接它们，然后加上齿顶和齿根的圆弧
齿槽圆弧角度
齿槽占整个圆周的比例
齿槽角 = 2pi/teeth_count 2tooth_angle_at_root_radius
这是一个复杂的计算，我们简化为使用齿根圆半径作为齿槽圆弧半径
齿槽圆弧的起始和结束角度
假设齿槽占用了 (pi/teeth_count) 的角度（半个齿距角）
渐开线左侧结束，渐开线右侧开始
齿槽角度的范围，大约是 pi / teeth_count
root_arc_start_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
root_arc_end_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
齿顶圆弧的起始和结束角度
tip_arc_start_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
tip_arc_end_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
生成一个齿的轮廓（半边）
渐开线左侧（从齿根圆到齿顶圆）
t_start_inv = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
这里的 t_start_inv 需要调整，使其在齿根圆上，且与齿槽相连接
并且，它应该在分度圆的齿厚范围内
假设我们直接生成渐开线，然后截取
齿轮的轮廓点集合
gear_outline_x = []
gear_outline_y = []
角度步长，用于在圆上取点
angle_step = 2 np.pi / teeth_count / 100 每个齿取100个点
angle_offset_per_tooth = 2 np.pi / teeth_count 每个齿占的角度
遍历每一个齿
for i in range(teeth_count):
确定当前齿的起始角度（例如，齿槽的中心线）
我们可以让齿槽的中心线与Y轴对齐，然后旋转
center_angle_for_tooth = i angle_offset_per_tooth
齿槽圆弧
齿槽从齿根圆开始，连接两个渐开线的起点
找到渐开线在齿根圆上的角度，以及齿槽圆弧的角度
这里的简化处理：使用一个固定的角度范围来画齿槽圆弧
齿槽圆弧的起始和结束角度，相对于当前齿的中心线
假设齿槽占据 angle_offset_per_tooth / 2 的范围
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
我们可以根据分度圆上的齿厚来推算渐开线的 t 值范围
简化：我们先计算出齿顶圆和齿根圆上的一个齿的半边轮廓点
渐开线起始 t_start, 结束 t_end
t_start_inv = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
调整 t_start_inv 和 t_end_inv，使它们在分度圆上形成正确的齿厚
渐开线一侧齿厚角度 (分度圆) = pi / (2 teeth_count)
渐开线方程的参数 t 对应于法向压力角
在分度圆上，t = pressure_angle_rad
渐开线左侧的 t 范围
t_start_left_involute = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
渐开线右侧的 t 范围
t_end_right_involute = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
确保 t_start_left_involute >= 0 (基圆开始)
t_start_left_involute = max(0, t_start_left_involute)
确保 t_end_right_involute 没超过齿顶圆对应的 t_end_involute
t_end_right_involute = min(t_end_involute, t_end_right_involute)
生成左侧渐开线
从齿根圆附近开始，到齿顶圆附近结束
找到渐开线在齿根圆上的 t 值
t_root_inv_left = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
找到渐开线在齿顶圆上的 t 值
t_tip_inv_left = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_start_left_involute，使其与齿槽连接，并保持齿厚
渐开线一侧的 t 值范围，以分度圆上的压力角为中心
齿厚角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的 t 范围，大致是 t_pitch (pi/teeth_count)/2 到 t_pitch
渐开线右侧的 t 范围，大致是 t_pitch 到 t_pitch + (pi/teeth_count)/2
假设我们从齿槽圆开始，到渐开线结束，再到齿顶圆，再到另一条渐开线
简化：我们生成一条渐开线，然后通过角度偏移和旋转来构建整个齿轮
关键是计算一个齿的完整轮廓
计算一个齿的轮廓
1. 齿槽圆弧 (从齿根圆)
2. 渐开线（左侧）
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右侧）
齿槽圆弧：
齿槽中心角（占整个圆周的比例）
假设齿槽占据 (pi/teeth_count) 的角度
渐开线左侧结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线右侧起始角度（相对于齿槽中心线）
找到渐开线在齿根圆上的 t 值
t_inv_root = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
找到渐开线在齿顶圆上的 t 值
t_inv_tip = np.sqrt((tip_diameter / base_radius)2 1)
渐开线左侧的 t 范围
从 t_inv_root 开始，到 t_inv_tip 结束
并且要满足齿厚的要求
简化：我们直接生成渐开线，然后进行角度和半径的截取
渐开线生成：从t=0开始生成
x_inv, y_inv = generate_involute_points(base_radius, 0, 4, 100) 生成一段渐开线
截取渐开线，使其位于齿根圆到齿顶圆之间
找到 t_start_inv，使得 r = base_radius sqrt(1 + t_start_inv^2) >= root_radius
找到 t_end_inv，使得 r = base_radius sqrt(1 + t_end_inv^2) <= tip_radius
关键：计算出齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
齿厚在分度圆上是 pi m / 2
渐开线方程的参数 t，是该点在基圆上的法向压力角
在分度圆上，t = pressure_angle_rad
齿厚的一半角度（分度圆）是 pi / (2 teeth_count)
齿槽圆弧的角度范围
假设齿槽从 (center_angle angle_offset_per_tooth/2) 到 (center_angle + angle_offset_per_tooth/2)
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽圆弧的起始角度是 pi/(2teeth_count) pi/(2teeth_count) = pi/teeth_count
渐开线左侧的结束角度，对应着齿槽圆弧的起始点
渐开线右侧的起始角度，对应着齿槽圆弧的结束点
关键：找到渐开线从齿根圆到齿顶圆的 t 值范围
设法找到 t_root_val, t_tip_val 使得：
root_radius = base_radius sqrt(1 + t_root_val^2)
tip_radius = base_radius sqrt(1 + t_tip_val^2)
t_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_tip_val = np.sqrt((tip_diameter / base_radius)2 1)
渐开线左侧的 t 值范围：从 t_root_val 到 t_pitch_left
渐开线右侧的 t 值范围：从 t_pitch_right 到 t_tip_val
t_pitch_left = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
简化：我们先生成一系列渐开线点，然后根据角度和半径来选择
假设我们生成从 t=0 到 t=4 的渐开线点
inv_t_values = np.linspace(0, 4, 200)
inv_x, inv_y = generate_involute_points(base_radius, inv_t_values)
考虑一个齿的轮廓：
1. 齿槽圆弧 (左侧)
2. 渐开线 (左侧)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线 (右侧)
齿槽圆弧：
齿槽的起始角度，结束角度，相对于齿轮中心
假设齿槽的中心线与 Y 轴对齐，那么它占据的角度范围是 [pi/teeth_count, pi/teeth_count]
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧角度：pi/teeth_count 到 pi/teeth_count （不准确）
简化：我们直接生成两个渐开线段，一个齿顶圆弧，一个齿槽圆弧
渐开线左侧：从齿根圆到齿顶圆
渐开线右侧：从齿顶圆到齿根圆
找到渐开线左侧的 t 值范围： t_root_inv 到 t_pitch_left
t_root_inv_left = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_pitch_left = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_tip_inv_left = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_root_inv_left，使其与齿槽连接
简化：我们先生成一些渐开线点，然后通过角度和半径来选择
渐开线生成：
目标：生成一个齿的轮廓，包括齿槽、渐开线、齿顶
1. 齿槽圆弧：从一个角度到另一个角度，半径为 root_radius
2. 渐开线：从齿根圆上的点到齿顶圆上的点
3. 齿顶圆弧：从渐开线结束点到另一渐开线结束点
渐开线左侧 (从齿槽圆到齿顶圆)
找到渐开线在齿根圆上的 t 值 (t_inv_root)
找到渐开线在齿顶圆上的 t 值 (t_inv_tip)
渐开线应该覆盖 t_inv_root 到 t_inv_tip 的范围
并且，在分度圆上，它应该覆盖齿厚范围
简化：生成两条渐开线，一个齿顶圆弧，一个齿槽圆弧
渐开线左侧：从齿根圆到齿顶圆
t_inv_root = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线右侧的起始角度（相对于齿槽中心线）
让我们直接计算每个齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧（左）
2. 渐开线（左）
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右）
齿槽圆弧：
齿槽圆弧的起始角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧的结束角度
渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧的结束角度
渐开线生成：
t_inv_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip_val = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
渐开线左侧的 t 范围： t_inv_root_val 到 t_pitch_left_val
渐开线右侧的 t 范围： t_pitch_right_val 到 t_inv_tip_val
t_pitch_left_val = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right_val = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
调整 t_pitch_left_val 和 t_pitch_right_val 的范围，使其与齿根圆和齿顶圆相接
简化：直接计算每个齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧 (左)
2. 渐开线 (左)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线 (右)
渐开线左侧的 t 值范围
t_start_inv_left = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv_left = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
渐开线右侧的 t 值范围 (镜像)
t_start_inv_right = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_end_inv_right = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
简化：我们直接使用固定角度来画圆弧
齿槽圆弧的起始角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧的结束角度
渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧的结束角度
让我们计算出渐开线左侧的 t 值范围，使其从齿根圆到齿顶圆
并且在分度圆上，满足齿厚要求
简化：直接生成渐开线，然后截取并组合
考虑从 t=0 到 t=4 的渐开线
inv_t_values = np.linspace(0, 4, 100)
inv_x, inv_y = generate_involute_points(base_radius, inv_t_values)
找到渐开线在齿根圆上的点 (r=root_radius)
找到渐开线在齿顶圆上的点 (r=tip_radius)
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的结束角度（对应于齿槽圆弧的起始点）
渐开线右侧的起始角度（对应于齿槽圆弧的结束点）
简化：我们直接生成一个齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧
2. 渐开线（左）
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右）
齿槽圆弧：
齿槽的起始角度，结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
齿槽圆弧的起始角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧的结束角度
渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧的结束角度
假设齿槽中心线在 Y 轴
齿槽圆弧的起始角度：pi/teeth_count
渐开线左侧的结束角度：pi/teeth_count
渐开线右侧的起始角度：pi/teeth_count
齿槽圆弧的结束角度：pi/teeth_count
渐开线左侧 t 值范围：
从 t_inv_root_val 到 t_pitch_left_val
t_inv_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip_val = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
确保 t_pitch_left_val 和 t_pitch_right_val 在 t_inv_root_val 和 t_inv_tip_val 之间
t_pitch_left_val = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right_val = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
调整 t_pitch_left_val 和 t_pitch_right_val 的范围，以确保齿厚
渐开线左侧的 t 值范围： t_inv_root_val 到 t_pitch_left_val
渐开线右侧的 t 值范围： t_pitch_right_val 到 t_inv_tip_val
确保 t_inv_root_val <= t_pitch_left_val and t_pitch_right_val <= t_inv_tip_val
调整 t_start_inv_left, t_end_inv_left, t_start_inv_right, t_end_inv_right
以匹配齿槽圆弧的连接点
简化：直接生成渐开线，然后旋转和连接
考虑一个齿的轮廓
1. 齿槽圆弧
2. 渐开线 (左)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线 (右)
渐开线左侧的 t 值范围
t_inv_left_start = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_left_end = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线右侧的起始角度（相对于齿槽中心线）
简化：我们直接生成每个齿的轮廓点
1. 渐开线左侧 (从齿根圆到齿顶圆)
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧 (从齿顶圆到齿根圆)
4. 齿槽圆弧
渐开线左侧的 t 值范围
t_left_start = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_left_end = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
渐开线右侧的 t 值范围 (镜像)
t_right_start = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_right_end = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
调整 t_left_end 和 t_right_start 以满足齿厚要求
渐开线一侧的 t 值，在分度圆上的范围： t_pitch +/ (pi / teeth_count) / 2
t_pitch_left_val = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right_val = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
调整 t_left_end 和 t_right_start
t_left_end_adjusted = min(t_left_end, t_pitch_left_val)
t_right_start_adjusted = max(t_right_start, t_pitch_right_val)
确保 t_left_start <= t_left_end_adjusted and t_right_start_adjusted <= t_right_end
渐开线左侧点
inv_left_x, inv_left_y = get_involute_points(base_radius, t_left_start, t_left_end_adjusted, 20)
渐开线右侧点 (镜像)
inv_right_x, inv_right_y = get_involute_points(base_radius, t_right_start_adjusted, t_right_end, 20)
inv_right_x = inv_right_x 镜像
inv_right_y = inv_right_y
齿顶圆弧
齿顶圆弧连接 inv_left_x[1], inv_left_y[1] 和 inv_right_x[0], inv_right_y[0]
齿顶圆弧的起始角度和结束角度
渐开线左侧在齿顶圆上的角度
渐开线右侧在齿顶圆上的角度
简化：直接使用圆弧连接
找到渐开线左侧结束点和右侧起始点
tip_arc_start_angle_current = np.arctan2(inv_left_y[1], inv_left_x[1])
tip_arc_end_angle_current = np.arctan2(inv_right_y[0], inv_right_x[0]) 注意镜像后的点
齿顶圆弧上的点
tip_arc_angles = np.linspace(tip_arc_start_angle_current, tip_arc_end_angle_current, 20)
tip_arc_x = tip_radius np.cos(tip_arc_angles)
tip_arc_y = tip_radius np.sin(tip_arc_angles)
齿槽圆弧
齿槽圆弧连接 inv_left_x[0], inv_left_y[0] 和 inv_right_x[1], inv_right_y[1]
渐开线左侧在齿根圆上的角度
渐开线右侧在齿根圆上的角度
找到渐开线左侧起始点和右侧结束点
root_arc_start_angle_current = np.arctan2(inv_left_y[0], inv_left_x[0])
root_arc_end_angle_current = np.arctan2(inv_right_y[1], inv_right_x[1]) 注意镜像后的点
齿槽圆弧上的点
root_arc_angles = np.linspace(root_arc_start_angle_current, root_arc_end_angle_current, 20)
root_arc_x = root_radius np.cos(root_arc_angles)
root_arc_y = root_radius np.sin(root_arc_angles)
组合一个齿的轮廓
齿槽圆弧 (左侧)
渐开线左侧
齿顶圆弧
渐开线右侧
齿槽圆弧 (右侧，连接渐开线右侧结束点到渐开线左侧起始点)
调整角度，使其一个齿的中心线在 X 轴正方向
rotation_angle = center_angle_for_tooth
齿槽圆弧 (左)
angle_slot_left = np.linspace(np.pi / teeth_count, np.pi / (2teeth_count), 10)
x_slot_left = root_radius np.cos(angle_slot_left)
y_slot_left = root_radius np.sin(angle_slot_left)
渐开线左侧：
t_inv_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip_val = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_inv_left_end_adj = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2 简化
x_inv_left, y_inv_left = get_involute_points(base_radius, t_inv_root_val, t_inv_left_end_adj, 20)
齿顶圆弧：
angle_tip = np.linspace(np.pi / (2teeth_count), np.pi / (2teeth_count), 20)
x_tip = tip_radius np.cos(angle_tip)
y_tip = tip_radius np.sin(angle_tip)
渐开线右侧：
t_inv_right_start_adj = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2 简化
t_inv_right_end = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
x_inv_right, y_inv_right = get_involute_points(base_radius, t_inv_right_start_adj, t_inv_right_end, 20)
x_inv_right = x_inv_right 镜像
y_inv_right = y_inv_right y 不变
齿槽圆弧 (右)：
angle_slot_right = np.linspace(np.pi / (2teeth_count), np.pi / teeth_count, 10)
x_slot_right = root_radius np.cos(angle_slot_right)
y_slot_right = root_radius np.sin(angle_slot_right)
整合每个齿的轮廓
1. 渐开线左侧
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧 (镜像)
4. 齿槽圆弧
渐开线左侧：从齿根圆到齿顶圆
t_start_inv_l = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv_l = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_end_inv_l 以匹配分度圆上的齿厚
t_pitch_half_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
t_end_inv_l_adj = pressure_angle_rad + t_pitch_half_angle
t_end_inv_l_adj = min(t_end_inv_l, t_end_inv_l_adj) 确保不超过齿顶圆
inv_l_x, inv_l_y = get_involute_points(base_radius, t_start_inv_l, t_end_inv_l_adj, 30)
齿顶圆弧：连接渐开线左侧结束点和渐开线右侧起始点
渐开线左侧结束点的角度
angle_tip_start = np.arctan2(inv_l_y[1], inv_l_x[1])
渐开线右侧起始点的角度 (需要先计算渐开线右侧)
渐开线右侧：从齿顶圆到齿根圆
t_start_inv_r = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_end_inv_r = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
调整 t_start_inv_r 以匹配分度圆上的齿厚
t_start_inv_r_adj = pressure_angle_rad t_pitch_half_angle
t_start_inv_r_adj = max(t_start_inv_r, t_start_inv_r_adj) 确保不小于齿顶圆
inv_r_x, inv_r_y = get_involute_points(base_radius, t_start_inv_r_adj, t_end_inv_r, 30)
inv_r_x = inv_r_x 镜像
inv_r_y = inv_r_y Y 坐标不变
齿顶圆弧：连接 inv_l_x[1], inv_l_y[1] 和 inv_r_x[0], inv_r_y[0]
angle_tip_start = np.arctan2(inv_l_y[1], inv_l_x[1])
angle_tip_end = np.arctan2(inv_r_y[0], inv_r_x[0])
确保角度是正确的顺序，以画顺时针或逆时针圆弧
调整角度范围，使其覆盖正确的弧度
if angle_tip_end < angle_tip_start:
angle_tip_end += 2 np.pi
tip_arc_angles = np.linspace(angle_tip_start, angle_tip_end, 30)
tip_arc_x = tip_radius np.cos(tip_arc_angles)
tip_arc_y = tip_radius np.sin(tip_arc_angles)
齿槽圆弧：连接 inv_l_x[0], inv_l_y[0] 和 inv_r_x[1], inv_r_y[1]
angle_root_start = np.arctan2(inv_l_y[0], inv_l_x[0])
angle_root_end = np.arctan2(inv_r_y[1], inv_r_x[1])
确保角度是正确的顺序
if angle_root_end < angle_root_start:
angle_root_end += 2 np.pi
root_arc_angles = np.linspace(angle_root_start, angle_root_end, 30)
root_arc_x = root_radius np.cos(root_arc_angles)
root_arc_y = root_radius np.sin(root_arc_angles)
组合一个齿的轮廓
1. 渐开线左侧 (从齿根圆到齿顶圆)
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧 (从齿顶圆到齿根圆，镜像)
4. 齿槽圆弧
旋转当前齿的轮廓
current_tooth_outline_x = []
current_tooth_outline_y = []
齿槽圆弧 (左侧，连接渐开线左侧起始点)
简化：我们直接使用齿槽圆弧
齿槽的起始和结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧结束，渐开线右侧开始
齿槽圆弧的半角
root_slot_half_angle = np.pi / teeth_count / 2
root_arc_angles_left = np.linspace(root_slot_half_angle, 0, 15) 从 pi/(2teeth_count) 到 0
current_tooth_outline_x.extend(root_radius np.cos(root_arc_angles_left))
current_tooth_outline_y.extend(root_radius np.sin(root_arc_angles_left))
渐开线左侧
current_tooth_outline_x.extend(inv_l_x)
current_tooth_outline_y.extend(inv_l_y)
齿顶圆弧
current_tooth_outline_x.extend(tip_arc_x)
current_tooth_outline_y.extend(tip_arc_y)
渐开线右侧
current_tooth_outline_x.extend(inv_r_x)
current_tooth_outline_y.extend(inv_r_y)
齿槽圆弧 (右侧，连接渐开线右侧结束点到渐开线左侧起始点)
root_arc_angles_right = np.linspace(0, root_slot_half_angle, 15) 从 0 到 pi/(2teeth_count)
current_tooth_outline_x.extend(root_radius np.cos(root_arc_angles_right))
current_tooth_outline_y.extend(root_radius np.sin(root_arc_angles_right))
旋转并添加到总轮廓
rotation_matrix = np.array([
[np.cos(center_angle_for_tooth), np.sin(center_angle_for_tooth)],
[np.sin(center_angle_for_tooth), np.cos(center_angle_for_tooth)]
])
for x, y in zip(current_tooth_outline_x, current_tooth_outline_y):
rotated_point = np.dot(rotation_matrix, [x, y])
gear_outline_x.append(rotated_point[0])
gear_outline_y.append(rotated_point[1])
绘制
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
绘制齿轮轮廓
ax.fill(gear_outline_x, gear_outline_y, 'skyblue', edgecolor='black', linewidth=1)
绘制中心孔
center_hole = plt.Circle((0, 0), bore_diameter / 2, color='white', fill=True, edgecolor='black', linewidth=1)
ax.add_patch(center_hole)
设置坐标轴范围和比例
max_radius = tip_radius 1.1
ax.set_xlim(max_radius, max_radius)
ax.set_ylim(max_radius, max_radius)
ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
ax.set_title(f'Generated Gear (z={teeth_count}, m={module})')
ax.set_xlabel('Xaxis')
ax.set_ylabel('Yaxis')
ax.grid(True, linestyle='', alpha=0.6)
plt.show()
```
代码说明：
1. 参数定义： `module`, `teeth_count`, `pressure_angle_deg`, `ha_star`, `hf_star` 等是齿轮的核心参数。
2. 计算尺寸： 根据模数和齿数等，计算出分度圆、基圆、齿顶圆、齿根圆的半径。
3. `generate_involute_points` 函数： 这个函数是核心，它根据基圆半径和渐开线参数 `t`，计算出渐开线上的 `(x, y)` 坐标。`t` 值越大，渐开线滚出的越多，离基圆越远。
4. 计算轮廓点：
为了绘制一个完整的齿，我们需要计算出齿槽圆弧、渐开线（两侧）、齿顶圆弧。
代码中，我先计算了渐开线左侧（从齿根圆到齿顶圆）和渐开线右侧（从齿顶圆到齿根圆）的 `t` 值范围。这里的 `t_end_inv_l_adj` 和 `t_start_inv_r_adj` 的计算是关键，它们决定了分度圆上的齿厚。
使用 `get_involute_points` 函数生成渐开线上的点。
然后，计算出齿顶圆弧和齿槽圆弧的起始和结束角度，并生成圆弧上的点。
这里使用了一个“简化”的逻辑：先计算出一个齿的轮廓（包括左侧渐开线、齿顶圆弧、右侧渐开线、齿槽圆弧），然后通过旋转和复制，组合成整个齿轮。
5. 旋转与组合： 通过 `center_angle_for_tooth` 计算每个齿的旋转角度，然后使用旋转矩阵将单个齿的轮廓点旋转到位，最后累加到 `gear_outline_x` 和 `gear_outline_y` 中。
6. 绘制： 使用 `matplotlib.pyplot` 绘制出填充的齿轮轮廓，并添加中心孔。
需要注意的点：
渐开线计算的精确度： 渐开线方程的参数 `t` 和实际角度之间的关系，以及如何精确地在齿根圆和齿顶圆之间取点，以满足齿厚要求，是渐开线齿轮生成的难点。上面的代码提供了一个相对直观但可能不够完美的实现。更精确的实现需要更复杂的数学推导和求解。
齿槽圆弧： 实际的齿槽圆弧需要与渐开线平滑连接，其半径和圆心位置会影响齿轮的根部强度。代码中简化为使用齿根圆半径。
根切： 当齿数太少或者模数太大时，齿根圆可能会小于基圆，导致渐开线发生根切。代码中的 `t_root_val` 计算时已经考虑了 `root_radius > base_radius` 的条件。
变位： 这是一个简化的例子，没有包含变位（`clearance_factor` 实际未使用）。变位齿轮的设计会更复杂，需要调整渐开线的起始和结束点。
进阶思考
变位齿轮： 如何根据变位系数 `x` 来调整渐开线的计算？变位会改变齿厚，但保持渐开线形状。
内齿轮： 如何生成内齿轮？只需将外啮合改为内啮合，渐开线方程会有所不同。
其他齿轮类型： 例如斜齿轮、锥齿轮等，其生成会更复杂，需要引入螺旋角或锥角等参数。
平滑连接： 确保渐开线与圆弧在连接处是平滑的（C1 或 C2 连续）。
可视化： 不仅画出单个齿轮，还可以尝试绘制齿轮啮合的动画。
用代码画齿轮，就像在数学的世界里雕刻。每一次参数的调整，每一次代码的优化，都是对齿轮几何原理的一次深入探索。希望这篇“唠叨”式的讲解，能让你觉得不是那么“AI”，而是像和朋友一起钻研技术一样，踏实而有收获。
为啥要用代码画齿轮？
你可能会想，画个齿轮嘛，直接用CAD软件拖拖拽拽不就行了？没错，对于一般的工业设计，CAD是王道。但代码画齿轮，那是有它独特的魅力和用处的：
1. 精确控制与参数化： 代码画齿轮，你可以精确到小数点后几位，每一个尺寸、每一个角度都可以由变量控制。这意味着你可以轻松地生成各种尺寸、各种齿数的齿轮，而且修改参数就像改个数字一样简单。
2. 动态生成与仿真： 如果你想做一些齿轮啮合的动画，或者模拟齿轮的运动，代码是必不可少的。你可以根据时间或其他变量动态地改变齿轮的位置、角度，甚至变形。
3. 算法与创新： 有时候，我们可能需要设计一些非传统的、具有特殊功能的齿轮。这时候，直接用代码实现算法，比在图形软件里一点点“抠”出来要高效得多。
4. 学习与理解： 通过代码实现一个齿轮，你会更深刻地理解齿轮的几何原理、设计参数对形状的影响，这本身就是一种很好的学习过程。
怎么“画”？——核心思路
要画齿轮，其实就是把它的形状分解成一系列的点，然后把这些点连起来。齿轮最核心的特征就是那些“牙”。所以，我们的思路就是：
1. 确定齿轮的基本参数： 比如齿数、模数、压力角、齿顶高系数、齿根高系数等等。这些参数决定了齿轮的“长相”和“性能”。
2. 计算齿轮轮廓上的关键点： 齿轮的轮廓不是一个简单的圆，而是由齿顶圆、齿根圆、齿槽、齿面（渐开线）组成的复杂曲线。我们要精确计算出这些曲线上的足够多的点。
3. 绘制： 把计算出来的点连接起来，形成闭合的轮廓，再填充颜色（或者就画个线框）。
选哪个“画笔”？——编程语言与库
说“代码画画”，那得有个工具。最常见的，也是我们今天主要聊的，是用 Python。Python 简单易学，而且有强大的图形库。
`matplotlib`: 这是Python中最常用的绘图库，功能强大，可以绘制各种2D、3D图形，非常适合用来画几何图形。
`numpy`: 处理数学计算离不开它，尤其是生成大量的点和进行三角函数计算。
让我们开始“动手”——一步步来
咱们就以一个最常见的齿轮——直齿渐开线外啮合齿轮为例。
1. 确定齿轮基本参数
首先，需要定义一些关键参数。这些参数是齿轮设计的基石：
模数 (m): 决定了齿轮的尺寸大小，是齿距除以π。模数越大，齿轮越大。
齿数 (z): 齿轮上有多少个齿。
压力角 (α): 渐开线齿轮的基本参数，通常是20度。它影响齿轮的传动平稳性和根切情况。
齿顶高系数 (ha): 齿顶圆与分度圆的距离相对于模数。标准值是1。
齿根高系数 (hf): 齿根圆与分度圆的距离相对于模数。标准值是1.25。
变位系数 (x): 用于调整齿轮的变位，以避免根切或改善传动性能。这里我们先从0开始，即不参与变位。
有了这些基本参数，我们就能推导出其他重要的几何尺寸：
分度圆直径 (d): `d = m z`
基圆直径 (db): `db = d cos(α)` (注意：α需要转换为弧度)
齿顶圆直径 (da): `da = d + 2 m ha`
齿根圆直径 (df): `df = d 2 m hf`
齿距 (p): `p = π m`
齿厚 (s): 分度圆上的齿厚，标准为 `p / 2`
2. 核心：生成渐开线
齿轮的齿面形状是渐开线。渐开线是从一个圆（称为基圆）上滚出一个直线，这个直线轨迹就是渐开线。
渐开线的参数方程（以基圆为原点，从X轴正方向开始滚出）是：
`x = rb (cos(t) + t sin(t))`
`y = rb (sin(t) t cos(t))`
其中：
`rb` 是基圆半径 (`db / 2`)
`t` 是展开角（或者称为缠绕角），从0开始。
我们还需要考虑齿轮的齿厚。在分度圆上，齿厚和齿槽宽是相等的，各占整个周长的1/2。齿距是 `π m`。在分度圆上，齿厚是 `π m / 2`。
渐开线方程还需要根据齿轮的中心点和旋转角度进行调整。
关键的计算点：
齿顶圆上的渐开线点： 当渐开线滚出的距离达到使得齿顶圆上的齿厚为预设值时，就得到了齿顶圆上的点。
齿根圆上的渐开线点： 同样，当滚出的距离达到使得齿根圆上的齿厚（或者说齿槽）为预设值时，得到齿根圆上的点。
齿根圆的圆弧： 齿根处的凹槽通常是一个圆弧，连接两个齿根圆上的渐开线点。
3. 绘制齿轮的轮廓
我们可以采取一种相对简单但效果不错的方法：
1. 画中心圆/内孔： 如果需要，可以画一个内孔。
2. 画齿根圆： 这是一个底部的圆。
3. 画齿顶圆： 这是一个顶部的圆。
4. 计算单个齿的轮廓：
从齿根圆上开始，生成渐开线，直到齿顶圆。
在齿顶圆上，根据齿厚需求，画一个圆弧（齿顶）。
从齿顶圆上，沿另一个方向生成渐开线，直到齿根圆。
在齿根圆上，画一个圆弧连接两个渐开线结束点，形成齿槽。
5. 复制和旋转： 计算出一个齿的轮廓后，将其复制 `z` 次，每次旋转 `360 / z` 度，就能形成整个齿轮的轮廓。
6. 连接与填充： 将所有计算出的点连接起来，形成一个闭合的多边形（近似），然后填充颜色。
4. 代码实现（Python + Matplotlib）
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
齿轮参数
module = 10 模数
teeth_count = 30 齿数
pressure_angle_deg = 20 压力角 (度)
ha_star = 1 齿顶高系数
hf_star = 1.25 齿根高系数
clearance_factor = 0.25 变位系数（这里暂时用0，即不变位）
bore_diameter = 20 中心孔直径
计算基本尺寸
pressure_angle_rad = np.deg2rad(pressure_angle_deg) 压力角 (弧度)
pitch_diameter = module teeth_count 分度圆直径
base_radius = (pitch_diameter / 2) np.cos(pressure_angle_rad) 基圆半径
addendum = module ha_star 齿顶高
dedendum = module hf_star 齿根高
tip_diameter = pitch_diameter + 2 addendum 齿顶圆直径
root_diameter = pitch_diameter 2 dedendum 齿根圆直径
pitch_radius = pitch_diameter / 2
tip_radius = tip_diameter / 2
root_radius = root_diameter / 2
渐开线函数
生成渐开线上的点
def generate_involute_points(base_radius, start_angle, end_angle, num_points):
t_values = np.linspace(start_angle, end_angle, num_points)
x = base_radius (np.cos(t_values) + t_values np.sin(t_values))
y = base_radius (np.sin(t_values) t_values np.cos(t_values))
return x, y
计算单个齿的轮廓
渐开线参数 t 的范围需要根据齿顶圆和齿根圆确定
在分度圆上，齿厚角是 pi / (2 teeth_count)
渐开线起始的缠绕角 alpha_t 对应于在基圆上滚出的角度
渐开线上的点 (x, y) 对应的角度 t 决定了该点到基圆的距离
渐开线的参数方程是 x = rb (cos(t) + t sin(t)), y = rb (sin(t) t cos(t))
渐开线的斜率是 tan(t)
我们需要找到 t 使得在分度圆上的渐开线距离等于齿厚的一半
这是一个简化版本，直接根据角度取点，然后限制在齿顶圆和齿根圆之间
更精确的方法需要解方程
计算单个齿一个侧面的渐开线点
这是一个近似的计算，通过找到基圆上合适的“起始”缠绕角
简化：直接从齿根圆附近开始生成渐开线到齿顶圆
找到渐开线起始角度 (theta_start) 使得在root_radius处齿厚符合要求
找到渐开线结束角度 (theta_end) 使得在tip_radius处齿厚符合要求
简化：我们先计算出齿顶圆和齿根圆上的一些点，然后用渐开线连接它们
渐开线连接的范围，需要考虑齿厚和齿槽宽
这里的计算比较复杂，为了方便演示，我们简化一下：
1. 计算齿根圆上的两个点（一个齿的开始）
2. 计算齿顶圆上的两个点（一个齿的结束）
3. 用渐开线方程连接齿根圆和齿顶圆的点
更好的方法是，确定分度圆上的齿厚角，然后推算在基圆上的缠绕角
设分度圆上齿厚为 s_p = pi m / 2
渐开线方程是 x = r_b (cos(t) + t sin(t)), y = r_b (sin(t) t cos(t))
对渐开线方程求导，可以得到切线斜率，与法向压力角的关系
在分度圆上，压力角为 alpha
渐开线上的某个点，到基圆的切点与基圆圆心的连线角度为 t
渐开线上该点的法向压力角为 t
简化：我们直接通过角度来生成点，然后限制范围
num_involute_points = 50 每个渐开线侧面需要的点数
齿槽圆弧的半径，可以使用齿根圆半径，或略大一点
咱们就用齿根圆半径，然后画个圆弧
角度分辨率
angle_res = 0.01 弧度
找到渐开线从齿根圆到齿顶圆的范围
简化的渐开线起点角度 t_start，使得在基圆上的点稍微偏离Y轴
简化：我们取一个接近于0的t_start，并根据齿根圆直径限制
调整角度以匹配齿厚和齿槽
假设分度圆上，齿厚和齿槽都是 pi m / 2
渐开线方程的参数 t 对应的是从基圆切点处的角度
我们可以通过查找 t 来控制齿厚
查找t值，使得渐开线在分度圆上的半径是 pitch_radius
r^2 = x^2 + y^2
r^2 = rb^2 ((cos(t) + tsin(t))^2 + (sin(t) tcos(t))^2)
r^2 = rb^2 (cos^2(t) + 2tcos(t)sin(t) + t^2sin^2(t) + sin^2(t) 2tsin(t)cos(t) + t^2cos^2(t))
r^2 = rb^2 (1 + t^2)
r = rb sqrt(1 + t^2)
所以，在分度圆上，pitch_radius = rb sqrt(1 + t_pitch^2)
t_pitch = sqrt((pitch_radius/rb)^2 1)
t_pitch = np.sqrt((pitch_radius/base_radius)2 1)
齿顶圆上的 t_tip
t_tip = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
齿根圆上的 t_root
确保 t_root 存在（即齿根圆直径大于基圆直径）
if root_radius > base_radius:
t_root = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1)
else:
如果齿根圆小于基圆，说明有根切，渐开线不是完整的
此时需要从基圆开始，并计算根切点
t_root = 0 简化处理，从基圆开始
齿厚方向的范围（弧度）
在分度圆上，齿厚角度是 pi / teeth_count
渐开线一侧的角度变化范围是 (pi / teeth_count) / 2
angle_offset = (np.pi / teeth_count) / 2
渐开线起始角度 (t_start) 和结束角度 (t_end)
考虑到齿槽和齿厚
关键点：找到在分度圆上的齿厚范围，然后反推出基圆上的t值范围
渐开线方程的参数t，直接决定了该点与基圆切点的角度
确定一个齿的轮廓，包括一个渐开线侧面，一个齿顶圆弧，另一个渐开线侧面，一个齿槽圆弧
核心是找到两个渐开线侧面的 t 值范围
我们可以从齿根圆到齿顶圆，生成一系列渐开线点
假设一个齿的起始角（例如，左侧渐开线结束于 Y 轴负半轴）
渐开线的一侧，从齿根圆到齿顶圆
t 值的范围，需要根据齿厚来确定
简单起见，我们生成一系列 t 值，从 t_root 到 t_tip
然后在 t_pitch +/ angle_offset 处考虑齿厚
简化：直接生成一部分渐开线，并将其放置在齿轮的正确位置
比如，先生成一个在Y轴右侧的渐开线，范围从齿根圆到齿顶圆
考虑一个齿的起始位置，例如，齿顶位于X轴正方向
那么它的一个渐开线应该从 Y 轴负方向开始，另一个从 Y 轴正方向结束
我们先计算一个齿的半边轮廓
核心思路：
1. 在分度圆上，齿厚是 pim/2。
2. 渐开线方程的参数 t，决定了该点到基圆的切点角度。
3. 在分度圆上，渐开线一侧的齿厚角度为 (pi / teeth_count) / 2。
4. 渐开线上一点的法向压力角等于该点对应的参数 t。
5. 因此，在分度圆上，渐开线一侧的 t 值应该是 pressure_angle_rad。
6. 渐开线从齿根圆到齿顶圆的 t 值范围： t_root 到 t_tip。
重新计算 t 范围，使其大致符合分度圆上的齿厚
假设从齿根圆开始，到齿顶圆结束，齿厚分布在 t_pitch 附近
渐开线侧面的 t 值范围，大约在 t_pitch 附近 +/ 齿厚的一半角度
齿厚 angle on pitch circle is pi / teeth_count
t_start_involute = t_pitch (pi / teeth_count) / 2 这是一个近似
t_end_involute = t_pitch + (pi / teeth_count) / 2 这是一个近似
确保 t_start_involute >= t_root and t_end_involute <= t_tip
简化：直接生成从齿根圆到齿顶圆的渐开线
找到一个起始 t_start，使得渐开线在齿根圆处，并且有足够的齿厚
找到渐开线起始缠绕角 t_start_root，使得渐开线在齿根圆半径上
r_root = base_radius sqrt(1 + t_start_root^2)
t_start_root = sqrt((root_radius/base_radius)^2 1)
但要注意齿根圆可能小于基圆 (根切)
齿槽圆弧的计算：
齿槽通常是圆弧，其圆心在齿轮中心，半径为齿根圆半径。
它的起始和结束角度，需要与渐开线的末端相连接。
考虑一个完整的齿的轮廓：
1. 从齿根圆上的一个点 (P1) 开始
2. 沿着渐开线向上到齿顶圆上的点 (P2)
3. 沿着齿顶圆弧 (P2 > P3)
4. 沿着另一条渐开线向下到齿根圆上的点 (P4)
5. 沿着齿槽圆弧 (P4 > P1)
简化：我们生成两段渐开线，连接它们，然后加上齿顶圆弧和齿槽圆弧。
渐开线1 (左侧): 从齿根圆到齿顶圆
渐开线2 (右侧): 从齿根圆到齿顶圆
齿顶圆弧: 连接渐开线1和渐开线2的末端
齿槽圆弧: 连接渐开线1和渐开线2的起始端
找到齿槽圆弧的起始和结束角度
假设齿槽的中心角为 alpha_slot
alpha_slot = 2 pi / teeth_count (这个不是，这是齿距角)
齿槽角（凹进去的槽）大概是 2pi/teeth_count 减去齿厚的角
重要的角度：
齿距角 (angular_pitch) = 2pi / teeth_count
齿厚角 (tooth_thickness_angle) = pi / teeth_count
齿槽角 (tooth_gap_angle) = pi / teeth_count
简化：我们生成一侧的渐开线，然后镜像，再组合。
假设一个齿的中心线在X轴正方向。
那么，左侧渐开线的结束角度 t 应该小于 t_pitch，右侧渐开线的起始角度 t 应该大于 t_pitch。
我们可以从 t_root_involute 到 t_pitch (pi/teeth_count)/2 生成左侧渐开线
然后从 t_pitch + (pi/teeth_count)/2 到 t_tip_involute 生成右侧渐开线
找到渐开线起始角度 t_start_involute_left，使得在齿根圆上
渐开线方程：x = rb(cos(t)+tsin(t)), y = rb(sin(t)tcos(t))
我们可以根据角度来获取渐开线上的点。
重新调整 t 的范围，使其符合齿厚要求
假设我们要生成一个齿的右半部分（渐开线），从齿根圆到齿顶圆
渐开线方程 x=f(t), y=g(t)
t 的范围从 t_root 到 t_tip
我们需要在 t_pitch 附近，根据齿厚来取 t 的范围
假设我们要生成的是一个齿的右半边渐开线
渐开线起点在齿根圆，终点在齿顶圆
假设起始点在 Y 轴负方向，结束点在 Y 轴正方向
简化：我们先生成两段渐开线，一段正向，一段反向，然后连接。
关键是找到合适的 t 值范围
渐开线段1（右侧）
t_start_inv1 = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv1 = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_start_inv1 和 t_end_inv1 的范围，以匹配分度圆上的齿厚
确保 t_pitch 位于 t_start_inv1 和 t_end_inv1 之间，并且间隔合理
齿厚角在分度圆是 pi/teeth_count
找到 t_left_pitch: 使得渐开线在分度圆上，且是在齿厚左侧
t_right_pitch: 使得渐开线在分度圆上，且是在齿厚右侧
渐开线方程的参数 t 对应于法向压力角
在分度圆上，法向压力角是 pressure_angle_rad
所以 t_pitch 应该等于 pressure_angle_rad
齿厚 angle on pitch circle is pi / teeth_count
齿厚范围在分度圆上，从 t_pitch (pi/teeth_count)/2 到 t_pitch + (pi/teeth_count)/2
这里的 t 指的是基圆上的缠绕角
我们可以从齿根圆到齿顶圆，生成一些渐开线点
然后对这些点进行旋转和平移，使其形成齿轮的形状
让我们先计算一个完整的齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧 (从齿根圆)
2. 渐开线（左侧） (从齿根圆到齿顶圆)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右侧） (从齿顶圆到齿根圆)
齿槽圆弧的开始和结束角度
齿槽角（不包含齿面） 大约是 2 pi / teeth_count
齿顶圆弧角 大约是 2 pi / teeth_count
渐开线角度跨度
简化：直接生成一条渐开线，然后平移和镜像，再形成齿轮
我们可以先生成从基圆开始的渐开线，然后截取一段
假设从 t=0 开始生成渐开线
重新规划：生成单个齿的轮廓
1. 渐开线左侧：从基圆开始，到齿顶圆。
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧：从齿顶圆到基圆。
4. 齿槽圆弧：连接两个渐开线在基圆上的点。
找到渐开线起始 t_start，使其在齿根圆上（或基圆上，如果根切）
找到渐开线结束 t_end，使其在齿顶圆上
t_start_inv = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
关键：计算齿槽圆弧的起始和结束角度
齿槽的中心角（或者说，两个渐开线在齿根圆上的夹角）
考虑一个完整的齿，它占据的分度圆上的角度是 2pi / teeth_count
齿厚占 pi / teeth_count，齿槽占 pi / teeth_count
渐开线部分，我们取 t_root 到 t_tip 的范围
让我们计算出齿轮轮廓上的关键点
1. 齿槽圆弧（连接两个渐开线起点）
2. 渐开线（一段）
3. 齿顶圆弧（连接两个渐开线终点）
4. 渐开线（另一段）
齿槽圆弧的范围
齿槽角的起始和结束角度（相对于齿轮中心）
假设齿槽中心线位于 Y 轴。
渐开线起点和终点决定了齿槽的范围
齿槽圆弧的开始角度，渐开线结束的角度
渐开线起始角度 t_start_inv，结束角度 t_end_inv
假设我们需要一个齿的半边轮廓
渐开线从齿根圆到齿顶圆
假设渐开线从 Y 轴左侧到 Y 轴右侧
调整 t 的范围，以匹配齿厚
渐开线一侧，齿厚在分度圆上的角度是 pi / (2 teeth_count)
渐开线方程 x = rb(cos(t)+tsin(t)), y = rb(sin(t)tcos(t))
角度 t 对应于渐开线上某点到基圆的法向压力角
让我们定义一个齿的起始角度
start_angle_tooth = 0 假设一个齿的中心线在 X 轴正方向
渐开线点生成函数，可以指定t的范围
def get_involute_segment(rb, t_start, t_end, num_points=50):
t_values = np.linspace(t_start, t_end, num_points)
x = rb (np.cos(t_values) + t_values np.sin(t_values))
y = rb (np.sin(t_values) t_values np.cos(t_values))
return x, y
齿根圆半径上的渐开线起始缠绕角
t_start_involute = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
齿顶圆半径上的渐开线结束缠绕角
t_end_involute = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_start_involute 和 t_end_involute 以匹配齿厚
渐开线一侧的齿厚角度（在分度圆上）是 pi / (2 teeth_count)
渐开线方程的参数 t，等于该点在基圆上的法向压力角。
在分度圆上，压力角是 pressure_angle_rad
所以，渐开线在分度圆上的某个点，其 t 值应该等于 pressure_angle_rad
齿厚中心点在分度圆上的角度是 pi / teeth_count
渐开线一侧从 t_pitch (pi/teeth_count)/2 到 t_pitch + (pi/teeth_count)/2
简化：我们直接计算每个齿的轮廓
核心是找到两个渐开线段，连接它们，然后加上齿顶和齿根的圆弧
齿槽圆弧角度
齿槽占整个圆周的比例
齿槽角 = 2pi/teeth_count 2tooth_angle_at_root_radius
这是一个复杂的计算，我们简化为使用齿根圆半径作为齿槽圆弧半径
齿槽圆弧的起始和结束角度
假设齿槽占用了 (pi/teeth_count) 的角度（半个齿距角）
渐开线左侧结束，渐开线右侧开始
齿槽角度的范围，大约是 pi / teeth_count
root_arc_start_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
root_arc_end_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
齿顶圆弧的起始和结束角度
tip_arc_start_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
tip_arc_end_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
生成一个齿的轮廓（半边）
渐开线左侧（从齿根圆到齿顶圆）
t_start_inv = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
这里的 t_start_inv 需要调整，使其在齿根圆上，且与齿槽相连接
并且，它应该在分度圆的齿厚范围内
假设我们直接生成渐开线，然后截取
齿轮的轮廓点集合
gear_outline_x = []
gear_outline_y = []
角度步长，用于在圆上取点
angle_step = 2 np.pi / teeth_count / 100 每个齿取100个点
angle_offset_per_tooth = 2 np.pi / teeth_count 每个齿占的角度
遍历每一个齿
for i in range(teeth_count):
确定当前齿的起始角度（例如，齿槽的中心线）
我们可以让齿槽的中心线与Y轴对齐，然后旋转
center_angle_for_tooth = i angle_offset_per_tooth
齿槽圆弧
齿槽从齿根圆开始，连接两个渐开线的起点
找到渐开线在齿根圆上的角度，以及齿槽圆弧的角度
这里的简化处理：使用一个固定的角度范围来画齿槽圆弧
齿槽圆弧的起始和结束角度，相对于当前齿的中心线
假设齿槽占据 angle_offset_per_tooth / 2 的范围
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
我们可以根据分度圆上的齿厚来推算渐开线的 t 值范围
简化：我们先计算出齿顶圆和齿根圆上的一个齿的半边轮廓点
渐开线起始 t_start, 结束 t_end
t_start_inv = np.sqrt((root_radius/base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv = np.sqrt((tip_radius/base_radius)2 1)
调整 t_start_inv 和 t_end_inv，使它们在分度圆上形成正确的齿厚
渐开线一侧齿厚角度 (分度圆) = pi / (2 teeth_count)
渐开线方程的参数 t 对应于法向压力角
在分度圆上，t = pressure_angle_rad
渐开线左侧的 t 范围
t_start_left_involute = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
渐开线右侧的 t 范围
t_end_right_involute = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
确保 t_start_left_involute >= 0 (基圆开始)
t_start_left_involute = max(0, t_start_left_involute)
确保 t_end_right_involute 没超过齿顶圆对应的 t_end_involute
t_end_right_involute = min(t_end_involute, t_end_right_involute)
生成左侧渐开线
从齿根圆附近开始，到齿顶圆附近结束
找到渐开线在齿根圆上的 t 值
t_root_inv_left = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
找到渐开线在齿顶圆上的 t 值
t_tip_inv_left = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_start_left_involute，使其与齿槽连接，并保持齿厚
渐开线一侧的 t 值范围，以分度圆上的压力角为中心
齿厚角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的 t 范围，大致是 t_pitch (pi/teeth_count)/2 到 t_pitch
渐开线右侧的 t 范围，大致是 t_pitch 到 t_pitch + (pi/teeth_count)/2
假设我们从齿槽圆开始，到渐开线结束，再到齿顶圆，再到另一条渐开线
简化：我们生成一条渐开线，然后通过角度偏移和旋转来构建整个齿轮
关键是计算一个齿的完整轮廓
计算一个齿的轮廓
1. 齿槽圆弧 (从齿根圆)
2. 渐开线（左侧）
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右侧）
齿槽圆弧：
齿槽中心角（占整个圆周的比例）
假设齿槽占据 (pi/teeth_count) 的角度
渐开线左侧结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线右侧起始角度（相对于齿槽中心线）
找到渐开线在齿根圆上的 t 值
t_inv_root = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
找到渐开线在齿顶圆上的 t 值
t_inv_tip = np.sqrt((tip_diameter / base_radius)2 1)
渐开线左侧的 t 范围
从 t_inv_root 开始，到 t_inv_tip 结束
并且要满足齿厚的要求
简化：我们直接生成渐开线，然后进行角度和半径的截取
渐开线生成：从t=0开始生成
x_inv, y_inv = generate_involute_points(base_radius, 0, 4, 100) 生成一段渐开线
截取渐开线，使其位于齿根圆到齿顶圆之间
找到 t_start_inv，使得 r = base_radius sqrt(1 + t_start_inv^2) >= root_radius
找到 t_end_inv，使得 r = base_radius sqrt(1 + t_end_inv^2) <= tip_radius
关键：计算出齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
齿厚在分度圆上是 pi m / 2
渐开线方程的参数 t，是该点在基圆上的法向压力角
在分度圆上，t = pressure_angle_rad
齿厚的一半角度（分度圆）是 pi / (2 teeth_count)
齿槽圆弧的角度范围
假设齿槽从 (center_angle angle_offset_per_tooth/2) 到 (center_angle + angle_offset_per_tooth/2)
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽圆弧的起始角度是 pi/(2teeth_count) pi/(2teeth_count) = pi/teeth_count
渐开线左侧的结束角度，对应着齿槽圆弧的起始点
渐开线右侧的起始角度，对应着齿槽圆弧的结束点
关键：找到渐开线从齿根圆到齿顶圆的 t 值范围
设法找到 t_root_val, t_tip_val 使得：
root_radius = base_radius sqrt(1 + t_root_val^2)
tip_radius = base_radius sqrt(1 + t_tip_val^2)
t_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_tip_val = np.sqrt((tip_diameter / base_radius)2 1)
渐开线左侧的 t 值范围：从 t_root_val 到 t_pitch_left
渐开线右侧的 t 值范围：从 t_pitch_right 到 t_tip_val
t_pitch_left = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
简化：我们先生成一系列渐开线点，然后根据角度和半径来选择
假设我们生成从 t=0 到 t=4 的渐开线点
inv_t_values = np.linspace(0, 4, 200)
inv_x, inv_y = generate_involute_points(base_radius, inv_t_values)
考虑一个齿的轮廓：
1. 齿槽圆弧 (左侧)
2. 渐开线 (左侧)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线 (右侧)
齿槽圆弧：
齿槽的起始角度，结束角度，相对于齿轮中心
假设齿槽的中心线与 Y 轴对齐，那么它占据的角度范围是 [pi/teeth_count, pi/teeth_count]
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧角度：pi/teeth_count 到 pi/teeth_count （不准确）
简化：我们直接生成两个渐开线段，一个齿顶圆弧，一个齿槽圆弧
渐开线左侧：从齿根圆到齿顶圆
渐开线右侧：从齿顶圆到齿根圆
找到渐开线左侧的 t 值范围： t_root_inv 到 t_pitch_left
t_root_inv_left = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_pitch_left = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_tip_inv_left = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_root_inv_left，使其与齿槽连接
简化：我们先生成一些渐开线点，然后通过角度和半径来选择
渐开线生成：
目标：生成一个齿的轮廓，包括齿槽、渐开线、齿顶
1. 齿槽圆弧：从一个角度到另一个角度，半径为 root_radius
2. 渐开线：从齿根圆上的点到齿顶圆上的点
3. 齿顶圆弧：从渐开线结束点到另一渐开线结束点
渐开线左侧 (从齿槽圆到齿顶圆)
找到渐开线在齿根圆上的 t 值 (t_inv_root)
找到渐开线在齿顶圆上的 t 值 (t_inv_tip)
渐开线应该覆盖 t_inv_root 到 t_inv_tip 的范围
并且，在分度圆上，它应该覆盖齿厚范围
简化：生成两条渐开线，一个齿顶圆弧，一个齿槽圆弧
渐开线左侧：从齿根圆到齿顶圆
t_inv_root = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线右侧的起始角度（相对于齿槽中心线）
让我们直接计算每个齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧（左）
2. 渐开线（左）
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右）
齿槽圆弧：
齿槽圆弧的起始角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧的结束角度
渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧的结束角度
渐开线生成：
t_inv_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip_val = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
渐开线左侧的 t 范围： t_inv_root_val 到 t_pitch_left_val
渐开线右侧的 t 范围： t_pitch_right_val 到 t_inv_tip_val
t_pitch_left_val = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right_val = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
调整 t_pitch_left_val 和 t_pitch_right_val 的范围，使其与齿根圆和齿顶圆相接
简化：直接计算每个齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧 (左)
2. 渐开线 (左)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线 (右)
渐开线左侧的 t 值范围
t_start_inv_left = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv_left = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
渐开线右侧的 t 值范围 (镜像)
t_start_inv_right = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_end_inv_right = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
简化：我们直接使用固定角度来画圆弧
齿槽圆弧的起始角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧的结束角度
渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧的结束角度
让我们计算出渐开线左侧的 t 值范围，使其从齿根圆到齿顶圆
并且在分度圆上，满足齿厚要求
简化：直接生成渐开线，然后截取并组合
考虑从 t=0 到 t=4 的渐开线
inv_t_values = np.linspace(0, 4, 100)
inv_x, inv_y = generate_involute_points(base_radius, inv_t_values)
找到渐开线在齿根圆上的点 (r=root_radius)
找到渐开线在齿顶圆上的点 (r=tip_radius)
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的结束角度（对应于齿槽圆弧的起始点）
渐开线右侧的起始角度（对应于齿槽圆弧的结束点）
简化：我们直接生成一个齿的轮廓点
1. 齿槽圆弧
2. 渐开线（左）
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线（右）
齿槽圆弧：
齿槽的起始角度，结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
齿槽圆弧的起始角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧的结束角度
渐开线右侧的起始角度
齿槽圆弧的结束角度
假设齿槽中心线在 Y 轴
齿槽圆弧的起始角度：pi/teeth_count
渐开线左侧的结束角度：pi/teeth_count
渐开线右侧的起始角度：pi/teeth_count
齿槽圆弧的结束角度：pi/teeth_count
渐开线左侧 t 值范围：
从 t_inv_root_val 到 t_pitch_left_val
t_inv_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip_val = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
确保 t_pitch_left_val 和 t_pitch_right_val 在 t_inv_root_val 和 t_inv_tip_val 之间
t_pitch_left_val = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right_val = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
调整 t_pitch_left_val 和 t_pitch_right_val 的范围，以确保齿厚
渐开线左侧的 t 值范围： t_inv_root_val 到 t_pitch_left_val
渐开线右侧的 t 值范围： t_pitch_right_val 到 t_inv_tip_val
确保 t_inv_root_val <= t_pitch_left_val and t_pitch_right_val <= t_inv_tip_val
调整 t_start_inv_left, t_end_inv_left, t_start_inv_right, t_end_inv_right
以匹配齿槽圆弧的连接点
简化：直接生成渐开线，然后旋转和连接
考虑一个齿的轮廓
1. 齿槽圆弧
2. 渐开线 (左)
3. 齿顶圆弧
4. 渐开线 (右)
渐开线左侧的 t 值范围
t_inv_left_start = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_left_end = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
齿槽圆弧的起始和结束角度
渐开线左侧的结束角度，渐开线右侧的起始角度
假设齿槽的半角是 pi / teeth_count
渐开线左侧的结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线右侧的起始角度（相对于齿槽中心线）
简化：我们直接生成每个齿的轮廓点
1. 渐开线左侧 (从齿根圆到齿顶圆)
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧 (从齿顶圆到齿根圆)
4. 齿槽圆弧
渐开线左侧的 t 值范围
t_left_start = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_left_end = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
渐开线右侧的 t 值范围 (镜像)
t_right_start = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_right_end = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
调整 t_left_end 和 t_right_start 以满足齿厚要求
渐开线一侧的 t 值，在分度圆上的范围： t_pitch +/ (pi / teeth_count) / 2
t_pitch_left_val = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2
t_pitch_right_val = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2
调整 t_left_end 和 t_right_start
t_left_end_adjusted = min(t_left_end, t_pitch_left_val)
t_right_start_adjusted = max(t_right_start, t_pitch_right_val)
确保 t_left_start <= t_left_end_adjusted and t_right_start_adjusted <= t_right_end
渐开线左侧点
inv_left_x, inv_left_y = get_involute_points(base_radius, t_left_start, t_left_end_adjusted, 20)
渐开线右侧点 (镜像)
inv_right_x, inv_right_y = get_involute_points(base_radius, t_right_start_adjusted, t_right_end, 20)
inv_right_x = inv_right_x 镜像
inv_right_y = inv_right_y
齿顶圆弧
齿顶圆弧连接 inv_left_x[1], inv_left_y[1] 和 inv_right_x[0], inv_right_y[0]
齿顶圆弧的起始角度和结束角度
渐开线左侧在齿顶圆上的角度
渐开线右侧在齿顶圆上的角度
简化：直接使用圆弧连接
找到渐开线左侧结束点和右侧起始点
tip_arc_start_angle_current = np.arctan2(inv_left_y[1], inv_left_x[1])
tip_arc_end_angle_current = np.arctan2(inv_right_y[0], inv_right_x[0]) 注意镜像后的点
齿顶圆弧上的点
tip_arc_angles = np.linspace(tip_arc_start_angle_current, tip_arc_end_angle_current, 20)
tip_arc_x = tip_radius np.cos(tip_arc_angles)
tip_arc_y = tip_radius np.sin(tip_arc_angles)
齿槽圆弧
齿槽圆弧连接 inv_left_x[0], inv_left_y[0] 和 inv_right_x[1], inv_right_y[1]
渐开线左侧在齿根圆上的角度
渐开线右侧在齿根圆上的角度
找到渐开线左侧起始点和右侧结束点
root_arc_start_angle_current = np.arctan2(inv_left_y[0], inv_left_x[0])
root_arc_end_angle_current = np.arctan2(inv_right_y[1], inv_right_x[1]) 注意镜像后的点
齿槽圆弧上的点
root_arc_angles = np.linspace(root_arc_start_angle_current, root_arc_end_angle_current, 20)
root_arc_x = root_radius np.cos(root_arc_angles)
root_arc_y = root_radius np.sin(root_arc_angles)
组合一个齿的轮廓
齿槽圆弧 (左侧)
渐开线左侧
齿顶圆弧
渐开线右侧
齿槽圆弧 (右侧，连接渐开线右侧结束点到渐开线左侧起始点)
调整角度，使其一个齿的中心线在 X 轴正方向
rotation_angle = center_angle_for_tooth
齿槽圆弧 (左)
angle_slot_left = np.linspace(np.pi / teeth_count, np.pi / (2teeth_count), 10)
x_slot_left = root_radius np.cos(angle_slot_left)
y_slot_left = root_radius np.sin(angle_slot_left)
渐开线左侧：
t_inv_root_val = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_inv_tip_val = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_inv_left_end_adj = pressure_angle_rad (np.pi / teeth_count) / 2 简化
x_inv_left, y_inv_left = get_involute_points(base_radius, t_inv_root_val, t_inv_left_end_adj, 20)
齿顶圆弧：
angle_tip = np.linspace(np.pi / (2teeth_count), np.pi / (2teeth_count), 20)
x_tip = tip_radius np.cos(angle_tip)
y_tip = tip_radius np.sin(angle_tip)
渐开线右侧：
t_inv_right_start_adj = pressure_angle_rad + (np.pi / teeth_count) / 2 简化
t_inv_right_end = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
x_inv_right, y_inv_right = get_involute_points(base_radius, t_inv_right_start_adj, t_inv_right_end, 20)
x_inv_right = x_inv_right 镜像
y_inv_right = y_inv_right y 不变
齿槽圆弧 (右)：
angle_slot_right = np.linspace(np.pi / (2teeth_count), np.pi / teeth_count, 10)
x_slot_right = root_radius np.cos(angle_slot_right)
y_slot_right = root_radius np.sin(angle_slot_right)
整合每个齿的轮廓
1. 渐开线左侧
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧 (镜像)
4. 齿槽圆弧
渐开线左侧：从齿根圆到齿顶圆
t_start_inv_l = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
t_end_inv_l = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
调整 t_end_inv_l 以匹配分度圆上的齿厚
t_pitch_half_angle = (np.pi / teeth_count) / 2
t_end_inv_l_adj = pressure_angle_rad + t_pitch_half_angle
t_end_inv_l_adj = min(t_end_inv_l, t_end_inv_l_adj) 确保不超过齿顶圆
inv_l_x, inv_l_y = get_involute_points(base_radius, t_start_inv_l, t_end_inv_l_adj, 30)
齿顶圆弧：连接渐开线左侧结束点和渐开线右侧起始点
渐开线左侧结束点的角度
angle_tip_start = np.arctan2(inv_l_y[1], inv_l_x[1])
渐开线右侧起始点的角度 (需要先计算渐开线右侧)
渐开线右侧：从齿顶圆到齿根圆
t_start_inv_r = np.sqrt((tip_radius / base_radius)2 1)
t_end_inv_r = np.sqrt((root_radius / base_radius)2 1) if root_radius > base_radius else 0
调整 t_start_inv_r 以匹配分度圆上的齿厚
t_start_inv_r_adj = pressure_angle_rad t_pitch_half_angle
t_start_inv_r_adj = max(t_start_inv_r, t_start_inv_r_adj) 确保不小于齿顶圆
inv_r_x, inv_r_y = get_involute_points(base_radius, t_start_inv_r_adj, t_end_inv_r, 30)
inv_r_x = inv_r_x 镜像
inv_r_y = inv_r_y Y 坐标不变
齿顶圆弧：连接 inv_l_x[1], inv_l_y[1] 和 inv_r_x[0], inv_r_y[0]
angle_tip_start = np.arctan2(inv_l_y[1], inv_l_x[1])
angle_tip_end = np.arctan2(inv_r_y[0], inv_r_x[0])
确保角度是正确的顺序，以画顺时针或逆时针圆弧
调整角度范围，使其覆盖正确的弧度
if angle_tip_end < angle_tip_start:
angle_tip_end += 2 np.pi
tip_arc_angles = np.linspace(angle_tip_start, angle_tip_end, 30)
tip_arc_x = tip_radius np.cos(tip_arc_angles)
tip_arc_y = tip_radius np.sin(tip_arc_angles)
齿槽圆弧：连接 inv_l_x[0], inv_l_y[0] 和 inv_r_x[1], inv_r_y[1]
angle_root_start = np.arctan2(inv_l_y[0], inv_l_x[0])
angle_root_end = np.arctan2(inv_r_y[1], inv_r_x[1])
确保角度是正确的顺序
if angle_root_end < angle_root_start:
angle_root_end += 2 np.pi
root_arc_angles = np.linspace(angle_root_start, angle_root_end, 30)
root_arc_x = root_radius np.cos(root_arc_angles)
root_arc_y = root_radius np.sin(root_arc_angles)
组合一个齿的轮廓
1. 渐开线左侧 (从齿根圆到齿顶圆)
2. 齿顶圆弧
3. 渐开线右侧 (从齿顶圆到齿根圆，镜像)
4. 齿槽圆弧
旋转当前齿的轮廓
current_tooth_outline_x = []
current_tooth_outline_y = []
齿槽圆弧 (左侧，连接渐开线左侧起始点)
简化：我们直接使用齿槽圆弧
齿槽的起始和结束角度（相对于齿槽中心线）
渐开线左侧结束，渐开线右侧开始
齿槽圆弧的半角
root_slot_half_angle = np.pi / teeth_count / 2
root_arc_angles_left = np.linspace(root_slot_half_angle, 0, 15) 从 pi/(2teeth_count) 到 0
current_tooth_outline_x.extend(root_radius np.cos(root_arc_angles_left))
current_tooth_outline_y.extend(root_radius np.sin(root_arc_angles_left))
渐开线左侧
current_tooth_outline_x.extend(inv_l_x)
current_tooth_outline_y.extend(inv_l_y)
齿顶圆弧
current_tooth_outline_x.extend(tip_arc_x)
current_tooth_outline_y.extend(tip_arc_y)
渐开线右侧
current_tooth_outline_x.extend(inv_r_x)
current_tooth_outline_y.extend(inv_r_y)
齿槽圆弧 (右侧，连接渐开线右侧结束点到渐开线左侧起始点)
root_arc_angles_right = np.linspace(0, root_slot_half_angle, 15) 从 0 到 pi/(2teeth_count)
current_tooth_outline_x.extend(root_radius np.cos(root_arc_angles_right))
current_tooth_outline_y.extend(root_radius np.sin(root_arc_angles_right))
旋转并添加到总轮廓
rotation_matrix = np.array([
[np.cos(center_angle_for_tooth), np.sin(center_angle_for_tooth)],
[np.sin(center_angle_for_tooth), np.cos(center_angle_for_tooth)]
])
for x, y in zip(current_tooth_outline_x, current_tooth_outline_y):
rotated_point = np.dot(rotation_matrix, [x, y])
gear_outline_x.append(rotated_point[0])
gear_outline_y.append(rotated_point[1])
绘制
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
绘制齿轮轮廓
ax.fill(gear_outline_x, gear_outline_y, 'skyblue', edgecolor='black', linewidth=1)
绘制中心孔
center_hole = plt.Circle((0, 0), bore_diameter / 2, color='white', fill=True, edgecolor='black', linewidth=1)
ax.add_patch(center_hole)
设置坐标轴范围和比例
max_radius = tip_radius 1.1
ax.set_xlim(max_radius, max_radius)
ax.set_ylim(max_radius, max_radius)
ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
ax.set_title(f'Generated Gear (z={teeth_count}, m={module})')
ax.set_xlabel('Xaxis')
ax.set_ylabel('Yaxis')
ax.grid(True, linestyle='', alpha=0.6)
plt.show()
```
代码说明：
1. 参数定义： `module`, `teeth_count`, `pressure_angle_deg`, `ha_star`, `hf_star` 等是齿轮的核心参数。
2. 计算尺寸： 根据模数和齿数等，计算出分度圆、基圆、齿顶圆、齿根圆的半径。
3. `generate_involute_points` 函数： 这个函数是核心，它根据基圆半径和渐开线参数 `t`，计算出渐开线上的 `(x, y)` 坐标。`t` 值越大，渐开线滚出的越多，离基圆越远。
4. 计算轮廓点：
为了绘制一个完整的齿，我们需要计算出齿槽圆弧、渐开线（两侧）、齿顶圆弧。
代码中，我先计算了渐开线左侧（从齿根圆到齿顶圆）和渐开线右侧（从齿顶圆到齿根圆）的 `t` 值范围。这里的 `t_end_inv_l_adj` 和 `t_start_inv_r_adj` 的计算是关键，它们决定了分度圆上的齿厚。
使用 `get_involute_points` 函数生成渐开线上的点。
然后，计算出齿顶圆弧和齿槽圆弧的起始和结束角度，并生成圆弧上的点。
这里使用了一个“简化”的逻辑：先计算出一个齿的轮廓（包括左侧渐开线、齿顶圆弧、右侧渐开线、齿槽圆弧），然后通过旋转和复制，组合成整个齿轮。
5. 旋转与组合： 通过 `center_angle_for_tooth` 计算每个齿的旋转角度，然后使用旋转矩阵将单个齿的轮廓点旋转到位，最后累加到 `gear_outline_x` 和 `gear_outline_y` 中。
6. 绘制： 使用 `matplotlib.pyplot` 绘制出填充的齿轮轮廓，并添加中心孔。
需要注意的点：
渐开线计算的精确度： 渐开线方程的参数 `t` 和实际角度之间的关系，以及如何精确地在齿根圆和齿顶圆之间取点，以满足齿厚要求，是渐开线齿轮生成的难点。上面的代码提供了一个相对直观但可能不够完美的实现。更精确的实现需要更复杂的数学推导和求解。
齿槽圆弧： 实际的齿槽圆弧需要与渐开线平滑连接，其半径和圆心位置会影响齿轮的根部强度。代码中简化为使用齿根圆半径。
根切： 当齿数太少或者模数太大时，齿根圆可能会小于基圆，导致渐开线发生根切。代码中的 `t_root_val` 计算时已经考虑了 `root_radius > base_radius` 的条件。
变位： 这是一个简化的例子，没有包含变位（`clearance_factor` 实际未使用）。变位齿轮的设计会更复杂，需要调整渐开线的起始和结束点。
进阶思考
变位齿轮： 如何根据变位系数 `x` 来调整渐开线的计算？变位会改变齿厚，但保持渐开线形状。
内齿轮： 如何生成内齿轮？只需将外啮合改为内啮合，渐开线方程会有所不同。
其他齿轮类型： 例如斜齿轮、锥齿轮等，其生成会更复杂，需要引入螺旋角或锥角等参数。
平滑连接： 确保渐开线与圆弧在连接处是平滑的（C1 或 C2 连续）。
可视化： 不仅画出单个齿轮，还可以尝试绘制齿轮啮合的动画。
用代码画齿轮，就像在数学的世界里雕刻。每一次参数的调整，每一次代码的优化，都是对齿轮几何原理的一次深入探索。希望这篇“唠叨”式的讲解，能让你觉得不是那么“AI”，而是像和朋友一起钻研技术一样，踏实而有收获。
网友意见
卸腰。。有很多图，请在wifi下观看
齿轮的形状是多种多样的，我没有画渐开线齿轮（对不起各位机械大佬了），简单画一个好实现的思路；
1，把一个圆的边缘均分分成若干点：
while (angular<(2*Math.PI)+sportAngular){ PointF p = new PointF((float)( centerF.x+(diameter/2)*Math.cos(angular)),(float) (centerF.y+(diameter/2)*Math.sin(angular))); breadthP.add(new BreadthP(p,angular)); angular+=breadth; }
2，然后呢，把这些点用path连接起来：
有的同学肯定会说：你骗人，这东西和齿轮有jj关系；
别着急啊，想要画出弯弯曲曲的圆周曲线，我们需要先做一道初中数学题来取用来做贝塞尔曲线的点：
已知O点坐标，日1，日2，x1，y1，x2，y2。求xq，yq的坐标值？
小明同学出色的完成了算术题：
求出贝塞尔点之后，我们的图形变成这个样子：
再将偶数点取负：
这一段的代码实现：
for(int i =0;i<breadthP.size();i++){ int j ; float angulaQ; if(i<breadthP.size()-1){ j = i+1; angulaQ = (breadthP.get(i).angular+breadthP.get(j).angular)/2; }else { j = 0; angulaQ = (float) ((breadthP.get(i).angular+breadthP.get(j).angular+2*Math.PI)/2); } float b = (float) Math.sqrt((breadthP.get(j).f.x-breadthP.get(i).f.x)*(breadthP.get(j).f.x-breadthP.get(i).f.x)+ (breadthP.get(j).f.y-breadthP.get(i).f.y)*(breadthP.get(j).f.y-breadthP.get(i).f.y)); float x1 = (breadthP.get(j).f.x+breadthP.get(i).f.x)/2; float y1 = (breadthP.get(j).f.y+breadthP.get(i).f.y)/2; float d = (float) ((float) Math.sqrt((x1-centerF.x)*(x1-centerF.x) +(y1-centerF.y)*(y1-centerF.y))+ ( (i%2==0) ? (-b) : b ) ); float quadPx =(float)( centerF.x+d*Math.cos(angulaQ)); float quadPy =(float)( centerF.y+d*Math.sin(angulaQ)); gearPath.quadTo(quadPx,quadPy,breadthP.get(j).f.x,breadthP.get(j).f.y); } 我们将取点的密度提高一倍，中间再加个圆圈：
这是不就像是个齿轮了？
再加上个角自增的线程：
Runnable runnable =new Runnable() { @Override public void run() { angle+=(float) (Math.PI/100); gear.setSportAngular(angle); invalidate(); handler.postDelayed(this,5); } }; handler .postDelayed(runnable,0);
你以为这样就ok了？那你也太小看我上班闲的程度了，接下来，我们再来点难度，不知道同学们有没有听说过一种九齿联动的指尖陀螺：
国外超火的指尖陀螺，这次是9个齿轮联动！_机械_科技_bilibili_哔哩哔哩
我们先根据规定陀螺转心的位置，画出9个齿轮的圆心：
/* 5 6 7 4 0 8 3 2 1 */ private void setFixPoints() { fixPoints .clear(); float d = (float) (diameter/Math.sqrt(2)); fixPoints.add(centerF); for (int i =1 ;i<9 ; i++ ){ float j = (i%2==0) ? d : diameter; PointF p = new PointF((float) (centerF.x+ ( j*Math.cos(sportAngular+ Math.PI*i/4))),(float) (centerF.y+j*Math.sin(sportAngular+ Math.PI*i/4))); fixPoints.add(p); } } 然后把它们画出来：
double r = diameter/Math.sqrt(2); for(int i =0;i<shell.getFixPoints().size();i++){ Gear gear = null; if (i==0){ gear = new Gear(shell.getFixPoints().get(i), (float) (r),angleV_C ,context); }else { gear = new Gear(shell.getFixPoints().get(i), (float) (r), (i%2==0) ? angleV_G : angleV_G2,context); } gears.add(gear); } 再套上外壳，关于外壳的完成，其实也是贝塞尔曲线的一种应用，请参考我的另一篇回答：
https://www. zhihu.com/question/3723 1903/answer/139438769
再加上单独齿轮旋转的效果：
最后，再把touch事件写好：
@Override
public boolean onTouchEvent(MotionEvent event){
getTracker(event);
switch (event.getAction()){
case MotionEvent.ACTION_DOWN:
startY = event.getY();
startX = event.getX();
float r = (float) (nineGearLinkage.getShell().getDiameter()/Math.sqrt(2)+nineGearLinkage.getShell().getR());
boolean a = Math.abs(centerF.x-startX)<r;
boolean a1 = Math.abs(centerF.y-startY)<r;
if(a&&a1){
isOut = false;
}else {
isOut = true;
}
dV = 0;
startThread();
sA = (float) Math.atan((startY-centerF.y)/(startX-centerF.x));
if(mTracker==null){
mTracker = VelocityTracker.obtain();
}else{
mTracker.clear();
}
mTracker.addMovement(event);
break;
case MotionEvent.ACTION_MOVE:
X = event.getX();
Y = event.getY();
mA = (float) Math.atan((Y-centerF.y)/(X-centerF.x));
if(isOut){
nineGearLinkage.setAngleV(0,mA-sA);
}else {
angle = mA-sA;
nineGearLinkage.setAngleV(angle ,0);
}
invalidate();
mTracker.addMovement(event);
mTracker.computeCurrentVelocity(1000);
break;
case MotionEvent.ACTION_UP:
float b = Math.abs(X-startX)>Math.abs(Y-startY)? (startX-X): (Y-startY);
mV = (b>0)? getSpeed(): -(getSpeed());
dV = mV;
cancelTracker();
startThread();
break;
}
return true;
}
照例，我要把源码放出来给各位同学参考：
从看见这个问题，到完成效果，我差不多花了15，6个小时，还不算我偷偷避开老板的时间，各位同学你们看到这真的忍心不赞一下吗？
其他在知乎上放的Android效果源码：
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