为什么C4.5决策树能处理连续特征，ID3树不能处理连续特征？
ID3 的局限：只认离散
咱们先从 ID3 说起。ID3 是个很经典的决策树算法，它的核心思想是用“信息增益”来选择最佳的划分属性。简单来说，信息增益就是衡量一个属性能够多大程度上减少数据的“不确定性”——也就是让数据变得更纯净，更容易区分。
想象一下，ID3 在找一个划分点时，它会去看一个特征的所有可能的取值。比如，对于一个“颜色”的特征，它会考虑“红色”、“蓝色”、“绿色”等等。如果它发现把数据分成“红色”一类，“蓝色”一类，“绿色”一类，能带来最大的信息增益，那它就这么分。
问题就出在这儿了：ID3 的设计思维，是建立在离散特征上的。 当面对连续特征时，ID3 就有点抓瞎了。
无数个取值，怎么分？ 连续特征就像一条无限长的数轴，比如“年龄”可以从 0 岁到 100 岁（甚至更长），它可以是 25.3 岁，也可以是 25.345 岁。ID3 要如何去处理这无穷无尽的取值呢？它无法像处理离散特征那样，为每个可能的具体数值都创建一个分支。这会导致树的节点过于庞杂，或者根本无从下手。
信息增益计算的困难： 信息增益的计算是基于对每个属性所有可能值的集合来划分的。如果直接把连续特征的每一个可能数值都当作一个分支，那信息增益的计算会变得天文数字般复杂，效率极低，而且根本不可行。
所以，ID3 的做法基本上就是：如果遇到连续特征，就只能忽略它，或者要求使用者提前把连续特征离散化（比如把年龄分成“青年”、“中年”、“老年”几段）。 但这样一来，信息的损失是不可避免的，而且离散化的标准怎么定，也很主观，影响效果。
C4.5 的突破：巧妙处理连续特征
C4.5 是 ID3 的一个重要改进，它最显著的特点之一就是能够直接处理连续特征，而且做得相当漂亮。C4.5 的聪明之处在于，它并没有试图去处理连续特征的所有无限个取值，而是采用了一种更聪明、更实用的方法：二分法（Binary Split）划分。
怎么实现的呢？ C4.5 这样做：
1. 排序： C4.5 会把某个连续特征（比如“年龄”）的所有样本点按照其数值大小进行排序。
2. 寻找最佳分割点： 然后，它会在这些排序后的相邻样本值之间，找到一个分割点（Threshold）。这个分割点的意义是：将所有小于等于这个点的样本划为一类（比如左子节点），所有大于这个点的样本划为另一类（右子节点）。
3. 计算信息增益比： 关键在于，C4.5 不是简单地尝试每一个可能的分割点。它会计算一系列可能的分割点（通常是相邻两个不同数值的平均值作为候选分割点），然后用信息增益比（Gain Ratio）来评估哪个分割点最好。
为什么是信息增益比？
信息增益在处理取值数量多的属性时，可能会偏向于这些属性（比如“ID”这个属性，虽然每一行ID都不一样，但它绝对能把数据分得最纯净，信息增益最大，但这没有任何意义，因为它不是真正的区分性特征）。信息增益比弥补了这一点，它会考虑属性的“固有信息量”（Split Information），通过“信息增益 / 固有信息量”来衡量，从而避免了对取值数量多的属性的过度偏好。
对于连续特征，C4.5 essentially 将一个连续特征转换成了多个离散的二元特征。例如，对于“年龄”这个特征，C4.5 可能会找到一个最佳分割点，比如 30 岁。这样，它就把“年龄”这个特征变成了“年龄 <= 30”和“年龄 > 30”两个属性来划分。
具体流程可以理解为：
候选分割点生成： 对于某个连续特征，找出所有不同的数值，然后对相邻的数值取平均值作为候选分割点。
例如，样本的年龄分别是 [20, 25, 25, 30, 35, 40]。不同的数值有 20, 25, 30, 35, 40。
候选分割点可能是 (20+25)/2 = 22.5, (25+30)/2 = 27.5, (30+35)/2 = 32.5, (35+40)/2 = 37.5。
评估每个分割点： 对于每一个候选分割点，将其视为一个二元的离散属性进行划分。例如，对于分割点 22.5，就形成两个新的“子属性”：年龄<=22.5 和 年龄>22.5。然后计算基于这个划分的信息增益比。
选择最优分割点： 找到信息增益比最大的那个分割点，作为该节点的最佳划分依据。
总结一下 C4.5 的优势：
直接处理： 不需要用户手动离散化，更方便，信息损失更少。
高效划分： 通过二分法，将连续特征转化为一系列可处理的二元划分，避免了ID3在处理连续特征时的计算难题。
更优选择： 使用信息增益比，避免了ID3在某些情况下对取值数量多的属性偏向的问题，使得选择的分割点更具代表性。
所以，C4.5 之所以能处理连续特征，核心就在于它将连续的判断问题，巧妙地转换成了一系列的离散的二分判断问题，并且用信息增益比来指导这个寻找最佳二分点的过程。这是从 ID3 到 C4.5 的一个非常重要的技术飞跃。
网友意见
先回答题主第一个问题：为什么C4.5决策树能处理连续特征，ID3树不能处理连续特征？
答：这是因为ID3在设计的时候根本就没考虑过要处理连续特征，所以它自然就不能处理连续特征。
那为什么ID3不考虑连续特征？这是因为任何研究都是循循渐进的，每一个研究只会将精力放在当前最重要的研究点之上。ID3与C4.5都是Quinlan 的作品，而ID3的研究重点是如何设计高效的节点分裂方法来生长决策树，因此它并不太在意如何去处理连续特征。为此，ID3提出了使用信息增益来衡量一次节点分裂的优劣，它是第一个成功将信息论相关理论使用到决策树算法中的，从这点来看它的时代意义比较重要。因此从学术贡献来看，它确实也没有必要再去处理一些琐碎而简单的问题了。
而C4.5的重点则是将ID3的成果工程化，让决策树能真正解决实际中的复杂问题，所以C4.5设计了详细的连续特征处理方法和剪枝算法。
以现在的眼光来看，只要你愿意，可以很容易地将ID3改造为有能力处理连续特征的决策树。
第二个问题，ID3、C4.5和CART的比较。
先说前二者。C4.5是ID3的续作。
按照作者Quinlan 的说法，C4.5是指一系列决策树算法。而现在我们一般只把它看作为一个特定的决策树算法。C4.5在评估节点划分的优劣时，不再只使用信息增益，会同时使用信息增益和信息增益率。注意，是同时使用信息增益和信息增益率，而不是只使用信息增益率。很多书籍和博客错误理解了这一点。
我们首先分析一下信息增益有什么问题。很多文章会说：信息增益会偏向于变量取值更多的离散特征。不管其对错，先看如下信息熵的公式：
假设我们有数据集D，它包含12个样本，其中有6个正样本和6个负样本。再假设两种划分，第一种划分使用特征a把数据集D划分成了两份：
D1，Pos 4 : Neg 2 （4个正样本，2个负样本）
D2，Pos 2 : Neg 4（2个正样本，4个负样本）
容易计算，数据集D1和D2的信息熵都为：
（1）
所以它们的加权熵也等于（1）式。
再来看第二种划分，使用特征b把数据集D划分成了四份
D1，Pos 2 : Neg 1 （2个正样本，1个负样本）
D2，Pos 2 : Neg 1（2个正样本，1个负样本）
D3，Pos 1 : Neg 2 （1个正样本，2个负样本）
D4，Pos 1 : Neg 2（1个正样本，2个负样本）
容易计算，这四个数据集的加权熵也等于（1）式。所以用特征a和用特征b对数据集划分得到的信息熵是一致的，这也符合我们的直觉，因为它们划分出来的结果差不多。我们看到，这样一个简单的例子其实说明“信息增益会偏向于变量取值更多的离散特征”这个结论是靠不住的，一个反例足以。那么信息增益真正的问题在哪？
继续上面的例子。刚才说了，从直觉上，用特征a对数据集划分得到的结果与用特征b对数据集进行划分得到的结果是差不多的。但从机器学习的角度来看，此时特征a的划分可能更好。原因是b迅速地将样本空间划分的过小了，从而增加了过拟合的风险。例如，我们要估计落入每个节点的正样本的真实比例（真实分布，非数据经验分布），此时我们可以用训练时数据在节点上的分布来作估计值。用特征a的划分，在D1上它的估计值是2/3；用特征b的划分，在D1上它的估计值也是2/3。但区别在于特征a的划分用了6个样本在估计，而特征b的划分只用了3个样本。所以用特征a的划分进行估计时可能更加准确。
综上所述，当面临差不多的两种划分时，我们应该要避免选择划分分支更多的那一种，因为它会将样本空间划分的更小，从而会导致在其中的统计量的可靠性变差。而信息增益在面临此种选择时，不会偏向任何一方。
所以C4.5提出了信息增益率。上面如果读懂了，此时就应该非常容易猜到信息增益率设计的动机是什么。既然要让指标偏向于划分少的，而信息增益本身并不能办到这一点，那么可以设计出一个factor，让信息增益去乘以这个factor，并且划分越多，这个factor要越小。
于是C4.5中的split info就出现了，它完全满足这样的要求（实际是它的倒数）。例如，上面的例子中，用特征a划分得到的split info为-log(0.5)，而特征b划分得到的split info为-log(0.25)。后者显然大于前者，这就达到了让指标倾向于划分结果少的划分的目的。
通过上述分析，可以看出信息增益仍然是更加直接的评价指标，它能直接评估一次分裂是否能够将数据划分的更加纯净。而信息增益仅仅是一个“相对”指标。C4.5与ID3的最大区别在于，ID3仅仅追求每次节点划分能够带来最大的“收益”，而C4.5算法强调的是在保证足够收益的情况下，寻求最大“收益代价比”（将split info看作代价）。
C4.5寻找最优划分的真实方法是：1）计算所有划分的平均信息增益t；2）从所有信息增益大于t的划分中寻找信息增益率最大的划分，该划分就是最优划分。
另外，C4.5在对连续特征计算最优分割点时，只使用了信息增益，而不考虑信息增益率。这进一步暗示了信息增益才是对划分优劣更直接的评价指标。
ID3在印象中是没有剪枝的。而Quinlan 介绍的C4.5剪枝算法其实比较复杂，它主要用了针对极小样本的二项分布参数的估计方法。题主有兴趣我再追答。
最后来说CART，它与ID3和C4.5的最大区别就是在评估划分好坏时，它用了基尼系数。另外CART树一定是二分结构，及对取多个离散值的离散变量来说，它也会将它划分为二叉结构，其中一条分支表示一个值，另一条分支表示另外其它所有值。二叉的好处是不会遇到ID3使用信息增益的那种问题。所以要避免ID3的信息增益问题，另一种做法是将其改为二叉树结构。
CART的剪枝与C4.5区别也较大。简单来说，它考虑了决策树自身的规模，而C4.5并没有显示地考虑（但隐含着有类似的思想）。
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