全连接层的作用是什么？
全连接层（Fully Connected Layer），也称为密集层（Dense Layer）或线性层（Linear Layer），是深度学习模型中最基本也是最重要的一种层。它的核心作用是 将输入数据进行线性变换，并通过激活函数引入非线性，从而学习到输入特征之间复杂的组合关系，并为后续层提供更高层次的特征表示。
让我们更详细地深入了解全连接层的作用：
1. 线性变换 (Linear Transformation):
这是全连接层最核心的功能。它通过一个权重矩阵（Weight Matrix）和一个偏置向量（Bias Vector）对输入向量进行线性变换。
输入: 假设输入是一个长度为 $n$ 的向量 $x = [x_1, x_2, dots, x_n]$。
权重矩阵 W: 全连接层有一个权重矩阵 $W$，其维度为 $m imes n$，其中 $m$ 是输出的维度（即该层的神经元数量），$n$ 是输入的维度。矩阵 $W$ 中的每个元素 $w_{ij}$ 代表第 $j$ 个输入特征对第 $i$ 个输出特征的“连接强度”。
偏置向量 b: 全连接层还有一个偏置向量 $b$，其维度为 $m imes 1$。偏置向量可以看作是每个输出神经元的“阈值”或“偏移量”，它允许模型在没有输入时也能产生非零输出。
线性变换的数学表示为：
$$y = Wx + b$$
其中：
$y$ 是输出向量，维度为 $m imes 1$。
$W$ 是权重矩阵，维度为 $m imes n$。
$x$ 是输入向量，维度为 $n imes 1$。
$b$ 是偏置向量，维度为 $m imes 1$。
更具体地说，输出向量 $y$ 的第 $i$ 个元素 $y_i$ 可以表示为：
$$y_i = sum_{j=1}^{n} w_{ij}x_j + b_i$$
这表明，输出的每个元素都是输入的所有元素的加权和，再加上一个偏置项。
2. 学习特征组合 (Learning Feature Combinations):
线性变换本身只是对输入进行简单的伸缩和偏移。全连接层的真正威力在于，通过 学习（训练） 过程，它可以调整权重矩阵 $W$ 和偏置向量 $b$ 的值，使得它们能够捕捉输入特征之间复杂的组合关系。
例如，在一个图像识别任务中，前面的卷积层可能会提取出图像的边缘、纹理等局部特征。全连接层接收这些局部特征作为输入，然后通过调整权重，将这些局部特征进行组合，从而识别出更高级别的概念，比如“眼睛”、“鼻子”或“轮子”。
低级特征的组合: 将简单的边缘和纹理组合成更复杂的形状。
高级特征的组合: 将眼睛、鼻子、嘴巴组合成“人脸”。
3. 引入非线性 (Introducing Nonlinearity):
如果全连接层只进行线性变换，那么无论堆叠多少个全连接层，整个模型仍然只能表示一个线性函数。为了学习更复杂的、非线性的模式，全连接层通常会在其线性变换之后应用一个 激活函数 (Activation Function)。
常见的激活函数包括：
ReLU (Rectified Linear Unit): $f(x) = max(0, x)$
Sigmoid: $f(x) = frac{1}{1 + e^{x}}$
Tanh (Hyperbolic Tangent): $f(x) = frac{e^x e^{x}}{e^x + e^{x}}$
Softmax: 通常用于输出层进行多分类，将输出转换为概率分布。
将激活函数应用到线性变换的输出上：
$$a = f(y) = f(Wx + b)$$
其中 $f$ 是激活函数。
为什么引入非线性很重要？
现实世界中的大多数问题都不是线性的。例如，判断一张图片是否是猫，猫的特征（如耳朵、胡须、尾巴）之间存在复杂的非线性关系。如果没有激活函数，模型将无法捕捉这些非线性关系，从而限制了其表达能力。
4. 映射到输出空间 (Mapping to the Output Space):
全连接层的作用也是将前面层提取到的特征（无论这些特征是原始像素值还是经过卷积、池化等处理后的高级特征）映射到一个新的空间，这个新空间通常是与任务目标更相关的。
分类任务: 在分类任务中，全连接层的输出通常会通过一个 softmax 激活函数，将输出映射到一个概率分布，表示输入属于各个类别的概率。
回归任务: 在回归任务中，全连接层的输出通常会是一个数值，表示预测的连续值。
其他任务: 在其他任务中，全连接层可以用于生成（如GAN的生成器）、嵌入（如词嵌入）等。
5. 参数数量与计算成本:
全连接层由于其“全连接”的特性，拥有大量的参数。如果输入维度是 $n$，输出维度是 $m$，那么仅权重矩阵就有 $n imes m$ 个参数，再加上 $m$ 个偏置参数，总共有 $n imes m + m$ 个参数。
当输入数据维度非常高时（例如，非常大的图像经过展平后作为全连接层的输入），全连接层的参数数量会急剧增加，这会导致：
过拟合 (Overfitting): 模型可能过度学习训练数据中的噪声，而在未见过的数据上表现不佳。
计算成本高: 训练和推理的计算量都很大。
内存占用大: 存储大量的权重需要更多的内存。
这也是为什么在处理图像等结构化数据时，卷积神经网络（CNN）通常会将卷积层和池化层放在前面，以提取局部特征并减少数据维度，然后才引入全连接层进行分类或回归。对于序列数据（如文本），循环神经网络（RNN）或 Transformer 中的自注意力机制也可以替代部分全连接层的作用，以更好地捕捉序列依赖关系。
总结全连接层的作用:
特征组合与提取: 将低级特征组合成更高级别的特征，学习特征之间的复杂关系。
线性变换: 对输入进行加权求和并加上偏置。
非线性映射: 通过激活函数引入非线性，使模型能够学习复杂模式。
空间映射: 将特征映射到适合最终任务的输出空间（如分类概率、回归值）。
全局信息整合: 能够考虑到输入的所有特征，不受局部性的限制。
尽管全连接层有其局限性（参数量大），但它在许多深度学习模型中仍然扮演着至关重要的角色，尤其是在处理一些结构化数据或在网络的后期阶段进行高层特征的整合和分类时。理解全连接层的原理是理解整个深度学习模型工作机制的基础。
让我们更详细地深入了解全连接层的作用：
1. 线性变换 (Linear Transformation):
这是全连接层最核心的功能。它通过一个权重矩阵（Weight Matrix）和一个偏置向量（Bias Vector）对输入向量进行线性变换。
输入: 假设输入是一个长度为 $n$ 的向量 $x = [x_1, x_2, dots, x_n]$。
权重矩阵 W: 全连接层有一个权重矩阵 $W$，其维度为 $m imes n$，其中 $m$ 是输出的维度（即该层的神经元数量），$n$ 是输入的维度。矩阵 $W$ 中的每个元素 $w_{ij}$ 代表第 $j$ 个输入特征对第 $i$ 个输出特征的“连接强度”。
偏置向量 b: 全连接层还有一个偏置向量 $b$，其维度为 $m imes 1$。偏置向量可以看作是每个输出神经元的“阈值”或“偏移量”，它允许模型在没有输入时也能产生非零输出。
线性变换的数学表示为：
$$y = Wx + b$$
其中：
$y$ 是输出向量，维度为 $m imes 1$。
$W$ 是权重矩阵，维度为 $m imes n$。
$x$ 是输入向量，维度为 $n imes 1$。
$b$ 是偏置向量，维度为 $m imes 1$。
更具体地说，输出向量 $y$ 的第 $i$ 个元素 $y_i$ 可以表示为：
$$y_i = sum_{j=1}^{n} w_{ij}x_j + b_i$$
这表明，输出的每个元素都是输入的所有元素的加权和，再加上一个偏置项。
2. 学习特征组合 (Learning Feature Combinations):
线性变换本身只是对输入进行简单的伸缩和偏移。全连接层的真正威力在于，通过 学习（训练） 过程，它可以调整权重矩阵 $W$ 和偏置向量 $b$ 的值，使得它们能够捕捉输入特征之间复杂的组合关系。
例如，在一个图像识别任务中，前面的卷积层可能会提取出图像的边缘、纹理等局部特征。全连接层接收这些局部特征作为输入，然后通过调整权重，将这些局部特征进行组合，从而识别出更高级别的概念，比如“眼睛”、“鼻子”或“轮子”。
低级特征的组合: 将简单的边缘和纹理组合成更复杂的形状。
高级特征的组合: 将眼睛、鼻子、嘴巴组合成“人脸”。
3. 引入非线性 (Introducing Nonlinearity):
如果全连接层只进行线性变换，那么无论堆叠多少个全连接层，整个模型仍然只能表示一个线性函数。为了学习更复杂的、非线性的模式，全连接层通常会在其线性变换之后应用一个 激活函数 (Activation Function)。
常见的激活函数包括：
ReLU (Rectified Linear Unit): $f(x) = max(0, x)$
Sigmoid: $f(x) = frac{1}{1 + e^{x}}$
Tanh (Hyperbolic Tangent): $f(x) = frac{e^x e^{x}}{e^x + e^{x}}$
Softmax: 通常用于输出层进行多分类，将输出转换为概率分布。
将激活函数应用到线性变换的输出上：
$$a = f(y) = f(Wx + b)$$
其中 $f$ 是激活函数。
为什么引入非线性很重要？
现实世界中的大多数问题都不是线性的。例如，判断一张图片是否是猫，猫的特征（如耳朵、胡须、尾巴）之间存在复杂的非线性关系。如果没有激活函数，模型将无法捕捉这些非线性关系，从而限制了其表达能力。
4. 映射到输出空间 (Mapping to the Output Space):
全连接层的作用也是将前面层提取到的特征（无论这些特征是原始像素值还是经过卷积、池化等处理后的高级特征）映射到一个新的空间，这个新空间通常是与任务目标更相关的。
分类任务: 在分类任务中，全连接层的输出通常会通过一个 softmax 激活函数，将输出映射到一个概率分布，表示输入属于各个类别的概率。
回归任务: 在回归任务中，全连接层的输出通常会是一个数值，表示预测的连续值。
其他任务: 在其他任务中，全连接层可以用于生成（如GAN的生成器）、嵌入（如词嵌入）等。
5. 参数数量与计算成本:
全连接层由于其“全连接”的特性，拥有大量的参数。如果输入维度是 $n$，输出维度是 $m$，那么仅权重矩阵就有 $n imes m$ 个参数，再加上 $m$ 个偏置参数，总共有 $n imes m + m$ 个参数。
当输入数据维度非常高时（例如，非常大的图像经过展平后作为全连接层的输入），全连接层的参数数量会急剧增加，这会导致：
过拟合 (Overfitting): 模型可能过度学习训练数据中的噪声，而在未见过的数据上表现不佳。
计算成本高: 训练和推理的计算量都很大。
内存占用大: 存储大量的权重需要更多的内存。
这也是为什么在处理图像等结构化数据时，卷积神经网络（CNN）通常会将卷积层和池化层放在前面，以提取局部特征并减少数据维度，然后才引入全连接层进行分类或回归。对于序列数据（如文本），循环神经网络（RNN）或 Transformer 中的自注意力机制也可以替代部分全连接层的作用，以更好地捕捉序列依赖关系。
总结全连接层的作用:
特征组合与提取: 将低级特征组合成更高级别的特征，学习特征之间的复杂关系。
线性变换: 对输入进行加权求和并加上偏置。
非线性映射: 通过激活函数引入非线性，使模型能够学习复杂模式。
空间映射: 将特征映射到适合最终任务的输出空间（如分类概率、回归值）。
全局信息整合: 能够考虑到输入的所有特征，不受局部性的限制。
尽管全连接层有其局限性（参数量大），但它在许多深度学习模型中仍然扮演着至关重要的角色，尤其是在处理一些结构化数据或在网络的后期阶段进行高层特征的整合和分类时。理解全连接层的原理是理解整个深度学习模型工作机制的基础。
网友意见
全连接层到底什么用？我来谈三点。
- 全连接层（fully connected layers，FC）在整个卷积神经网络中起到“分类器”的作用。如果说卷积层、池化层和激活函数层等操作是将原始数据映射到隐层特征空间的话，全连接层则起到将学到的“分布式特征表示”映射到样本标记空间的作用。在实际使用中，全连接层可由卷积操作实现：对前层是全连接的全连接层可以转化为卷积核为1x1的卷积；而前层是卷积层的全连接层可以转化为卷积核为hxw的全局卷积，h和w分别为前层卷积结果的高和宽（注1）。
- 目前由于全连接层参数冗余（仅全连接层参数就可占整个网络参数80%左右），近期一些性能优异的网络模型如ResNet和GoogLeNet等均用全局平均池化（global average pooling，GAP）取代FC来融合学到的深度特征，最后仍用softmax等损失函数作为网络目标函数来指导学习过程。需要指出的是，用GAP替代FC的网络通常有较好的预测性能。具体案例可参见我们在ECCV'16（视频）表象性格分析竞赛中获得冠军的做法：「冠军之道」Apparent Personality Analysis竞赛经验分享 - 知乎专栏 ，project：Deep Bimodal Regression for Apparent Personality Analysis
- 在FC越来越不被看好的当下，我们近期的研究（In Defense of Fully Connected Layers in Visual Representation Transfer）发现，FC可在模型表示能力迁移过程中充当“防火墙”的作用。具体来讲，假设在ImageNet上预训练得到的模型为 ，则ImageNet可视为源域（迁移学习中的source domain）。微调（fine tuning）是深度学习领域最常用的迁移学习技术。针对微调，若目标域（target domain）中的图像与源域中图像差异巨大（如相比ImageNet，目标域图像不是物体为中心的图像，而是风景照，见下图），不含FC的网络微调后的结果要差于含FC的网络。因此FC可视作模型表示能力的“防火墙”，特别是在源域与目标域差异较大的情况下，FC可保持较大的模型capacity从而保证模型表示能力的迁移。（冗余的参数并不一无是处。）
注1: 有关卷积操作“实现”全连接层，有必要多啰嗦几句。
以VGG-16为例，对224x224x3的输入，最后一层卷积可得输出为7x7x512，如后层是一层含4096个神经元的FC，则可用卷积核为7x7x512x4096的全局卷积来实现这一全连接运算过程，其中该卷积核参数如下：
“filter size = 7, padding = 0, stride = 1, D_in = 512, D_out = 4096”
经过此卷积操作后可得输出为1x1x4096。
如需再次叠加一个2048的FC，则可设定参数为“filter size = 1, padding = 0, stride = 1, D_in = 4096, D_out = 2048”的卷积层操作。
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