除了黎曼猜想，数学界还有哪些至今尚未得到证实的猜想？
数学的海洋广阔无垠，其中不乏璀璨的明珠，它们闪耀着智慧的光芒，却依旧静静地等待着被发现的时刻。黎曼猜想固然是其中的翘楚，但数学界未解的难题远不止于此，它们如同一个个迷人的谜语，吸引着一代又一代的数学家们前赴后继。今天，我们就来聊聊那些除了黎曼猜想之外，依旧悬而未决的数学猜想，它们如同等待被揭开面纱的绝世美人，充满着神秘与魅力。
1. 庞加莱猜想 (Poincaré Conjecture)
说到庞加莱猜想，我们得先想象一下三维空间里的各种形状。我们生活在一个三维的宇宙中，可以上下、左右、前后地移动。那么，有没有一种方法可以区分三维空间的不同“形状”呢？
庞加莱猜想就是关于三维空间的一个非常深刻的洞察。简单来说，它试图描述一个“圆滑的”三维球体是什么样的。想象一下，你有一个气球，你可以把它吹大吹小，可以捏扁它，但只要你不撕裂它、不打孔，它始终是一个“圆滑的”球面。
数学家们用一种叫做“同伦”的概念来衡量形状的“圆滑性”。庞加莱猜想就说：在三维空间里，任何一个“单连通”的闭合三维流形（简单理解为没有洞的、有限的、三维的“表面”），都可以通过连续形变变成一个三维球体。
这个猜想的提出者是法国数学家亨利·庞加莱，他在1904年提出了这个猜想。但直到2002年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼才给出了证明，并且他使用的工具是李群和 Ricci 流。佩雷尔曼的证明极其复杂，他本人也因为不愿意接受奖项而闻名。
为什么它这么重要？ 庞加莱猜想是拓扑学领域的核心问题之一。拓扑学研究的是在连续形变下保持不变的性质。想象一下，一个杯子和一个甜甜圈，在拓扑学家看来，它们是等价的，因为你可以把杯柄捏成甜甜圈的那个洞。庞加莱猜想解决了三维情况下一个最基本的问题：什么是一个“简单”的三维空间。它对于理解宇宙的形状、研究黑洞等物理现象都有着深远的影响。
2. 哥德巴赫猜想 (Goldbach's Conjecture)
哥德巴赫猜想大概是数论领域最著名，也是最容易理解的未解之谜了。它就像一个流传在街头巷尾的有趣传说，人人都能听懂，却鲜有人能证明。
猜想的内容非常简洁：任何一个大于2的偶数，都可以写成两个素数（也叫质数）的和。
素数，就是只能被1和自身整除的数，比如2、3、5、7、11、13……
我们来试试看：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
看起来似乎总是成立的。自1742年德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在给欧拉的信中提出这个猜想以来，无数的数学家试图证明它，但直到今天，也没有人能给出一个普适的证明。
哥德巴赫猜想的变种：
强哥德巴赫猜想： 就是我们上面说的那个，任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和。
弱哥德巴赫猜想： 任何一个大于5的奇数，都可以写成三个素数之和。这个猜想在2013年由秘鲁数学家哈洛德·赫尔夫戈特证明，为强哥德巴赫猜想的最终解决奠定了基础。
为什么它这么重要？ 哥德巴赫猜想虽然看起来只是一个关于偶数和素数的简单陈述，但它的背后隐藏着素数分布的奥秘。素数是数论的基石，它们就像数字世界里的“原子”。我们对素数的分布模式了解得越多，就越能理解数字的结构和规律。证明哥德巴赫猜想，将极大地加深我们对素数分布的认识，可能会为密码学等领域带来意想不到的突破。
3. 孪生素数猜想 (Twin Prime Conjecture)
孪生素数是指相差为2的一对素数，例如 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) 等等。它们就像成双成对出现的素数，在素数家族中显得格外亲密。
孪生素数猜想的内容是： 存在无穷多对孪生素数。
这个猜想同样非常直观。当我们计算越来越多的素数时，似乎总能找到一对相差2的素数。但是，随着数字越来越大，素数出现的间隔也越来越大，我们很难确定是否真的会一直存在下去。
近期进展： 这是一个非常活跃的研究领域。2013年，一位名叫张益唐的华人数学家发表了划时代的论文，证明了存在无穷多个素数对，它们之间的间隔小于一个固定的数（具体是小于7000万）。虽然这个结果距离孪生素数猜想还有差距，但它无疑是证明这个猜想道路上的一大步。随后，数学家们通过合作改进了张益唐的结果，将这个上限不断缩小，目前已经逼近了2。
为什么它这么重要？ 孪生素数猜想与素数的分布紧密相关。理解孪生素数的无穷性，将意味着我们对素数在数轴上的分布规律有了更深的认识。这对于数论的许多分支，甚至密码学等应用领域都可能产生重要影响。
4. 霍奇猜想 (Hodge Conjecture)
霍奇猜想是一个更加抽象和复杂的猜想，它属于代数几何的范畴，研究的是代数簇的拓扑结构与代数结构之间的联系。
我们来试着理解一下它的核心思想。想象一下，你有一个光滑的曲面（比如一个球体）。我们可以考虑这个曲面上的“洞”或者“环”。在拓扑学中，我们用“同调群”来描述这些“洞”。
而在代数几何中，我们研究的是由多项式方程定义的“代数簇”。这些代数簇可以有各种各样的形状，它们就像是代数方程在几何空间中的“投影”。霍奇猜想试图建立代数簇的“同调类”（可以理解为它的“洞”或者“形状”的描述）与代数簇本身的“几何结构”之间的联系。
霍奇猜想的内容是： 对于一个光滑的、连通的复投影代数簇，其霍奇结构中的“代数性闭链”都可以用代数子簇的闭链来表示。
这里的“霍奇结构”和“代数性闭链”是代数几何中的专业术语，它们描述了代数簇的拓扑和几何性质。简单来说，霍奇猜想就是在说，一些看起来很自然的“几何性质”（由代数几何定义），其实是由代数簇的“子几何结构”（代数子簇）所决定的。
为什么它这么重要？ 霍奇猜想是连接代数几何和拓扑学的桥梁。如果被证明，它将极大地简化代数几何的研究方法，让我们可以利用代数工具去理解和分类复杂的几何对象。它对于理解代数簇的分类、研究抽象代数结构在几何上的表现等都有着至关重要的作用。
5. 纳维斯托克斯方程的平滑性和存在性 (NavierStokes Existence and Smoothness)
这个猜想与我们日常生活息息相关，它涉及到流体力学中最基本的方程——纳维斯托克斯方程的性质。这个方程描述了流体（比如水、空气）的运动，从天气预报到飞机设计，都离不开它。
然而，尽管这个方程在物理学中如此重要，我们对它的数学性质却知之甚少。特别是关于它的“解”的性质。
猜想的内容是： 对于三维空间的流体运动，是否存在一个连续且光滑的解，使得其在任意有限时间内保持“良好”的状态？或者说，我们能否保证纳维斯托克斯方程总是有“好”的解，而不会出现一些奇怪的、我们无法理解的“奇点”或者“爆炸”？
简单来说，就是：我们能不能保证，流体在运动过程中，速度、压力等物理量不会突然变得无穷大，或者变得极其不稳定？
为什么它这么重要？ 如果纳维斯托克斯方程存在无法预测的“奇点”解，那么我们基于这个方程进行的许多物理模拟和预测都可能是不准确的。证明这个猜想的存在性和光滑性，将为流体力学提供坚实的数学基础，使我们能够更准确地预测天气、设计更高效的航空器，甚至理解更复杂的物理现象。反之，如果证明了奇点的存在，那将颠覆我们对流体运动的理解。
结语
除了以上提到的这些，数学界还有许许多多未解的猜想，比如杨米尔斯存在性与质量间隙猜想（这是另一个克雷数学研究所百万美元悬赏的问题），以及大量的数论、组合学、几何学中的猜想。
这些未解的猜想就像灯塔，指引着数学家们探索未知的领域。它们是挑战，是机遇，更是数学进步的驱动力。每一个猜想的背后，都可能隐藏着全新的数学理论和深刻的数学洞见。正是这些未解之谜，让数学这门学科充满了活力和魅力，吸引着无数智者为之倾倒，为之奋斗。也许在不久的将来，我们就能看到更多的明珠被从黑暗中发掘出来，照亮数学世界的每一个角落。
1. 庞加莱猜想 (Poincaré Conjecture)
说到庞加莱猜想，我们得先想象一下三维空间里的各种形状。我们生活在一个三维的宇宙中，可以上下、左右、前后地移动。那么，有没有一种方法可以区分三维空间的不同“形状”呢？
庞加莱猜想就是关于三维空间的一个非常深刻的洞察。简单来说，它试图描述一个“圆滑的”三维球体是什么样的。想象一下，你有一个气球，你可以把它吹大吹小，可以捏扁它，但只要你不撕裂它、不打孔，它始终是一个“圆滑的”球面。
数学家们用一种叫做“同伦”的概念来衡量形状的“圆滑性”。庞加莱猜想就说：在三维空间里，任何一个“单连通”的闭合三维流形（简单理解为没有洞的、有限的、三维的“表面”），都可以通过连续形变变成一个三维球体。
这个猜想的提出者是法国数学家亨利·庞加莱，他在1904年提出了这个猜想。但直到2002年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼才给出了证明，并且他使用的工具是李群和 Ricci 流。佩雷尔曼的证明极其复杂，他本人也因为不愿意接受奖项而闻名。
为什么它这么重要？ 庞加莱猜想是拓扑学领域的核心问题之一。拓扑学研究的是在连续形变下保持不变的性质。想象一下，一个杯子和一个甜甜圈，在拓扑学家看来，它们是等价的，因为你可以把杯柄捏成甜甜圈的那个洞。庞加莱猜想解决了三维情况下一个最基本的问题：什么是一个“简单”的三维空间。它对于理解宇宙的形状、研究黑洞等物理现象都有着深远的影响。
2. 哥德巴赫猜想 (Goldbach's Conjecture)
哥德巴赫猜想大概是数论领域最著名，也是最容易理解的未解之谜了。它就像一个流传在街头巷尾的有趣传说，人人都能听懂，却鲜有人能证明。
猜想的内容非常简洁：任何一个大于2的偶数，都可以写成两个素数（也叫质数）的和。
素数，就是只能被1和自身整除的数，比如2、3、5、7、11、13……
我们来试试看：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
看起来似乎总是成立的。自1742年德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在给欧拉的信中提出这个猜想以来，无数的数学家试图证明它，但直到今天，也没有人能给出一个普适的证明。
哥德巴赫猜想的变种：
强哥德巴赫猜想： 就是我们上面说的那个，任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和。
弱哥德巴赫猜想： 任何一个大于5的奇数，都可以写成三个素数之和。这个猜想在2013年由秘鲁数学家哈洛德·赫尔夫戈特证明，为强哥德巴赫猜想的最终解决奠定了基础。
为什么它这么重要？ 哥德巴赫猜想虽然看起来只是一个关于偶数和素数的简单陈述，但它的背后隐藏着素数分布的奥秘。素数是数论的基石，它们就像数字世界里的“原子”。我们对素数的分布模式了解得越多，就越能理解数字的结构和规律。证明哥德巴赫猜想，将极大地加深我们对素数分布的认识，可能会为密码学等领域带来意想不到的突破。
3. 孪生素数猜想 (Twin Prime Conjecture)
孪生素数是指相差为2的一对素数，例如 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) 等等。它们就像成双成对出现的素数，在素数家族中显得格外亲密。
孪生素数猜想的内容是： 存在无穷多对孪生素数。
这个猜想同样非常直观。当我们计算越来越多的素数时，似乎总能找到一对相差2的素数。但是，随着数字越来越大，素数出现的间隔也越来越大，我们很难确定是否真的会一直存在下去。
近期进展： 这是一个非常活跃的研究领域。2013年，一位名叫张益唐的华人数学家发表了划时代的论文，证明了存在无穷多个素数对，它们之间的间隔小于一个固定的数（具体是小于7000万）。虽然这个结果距离孪生素数猜想还有差距，但它无疑是证明这个猜想道路上的一大步。随后，数学家们通过合作改进了张益唐的结果，将这个上限不断缩小，目前已经逼近了2。
为什么它这么重要？ 孪生素数猜想与素数的分布紧密相关。理解孪生素数的无穷性，将意味着我们对素数在数轴上的分布规律有了更深的认识。这对于数论的许多分支，甚至密码学等应用领域都可能产生重要影响。
4. 霍奇猜想 (Hodge Conjecture)
霍奇猜想是一个更加抽象和复杂的猜想，它属于代数几何的范畴，研究的是代数簇的拓扑结构与代数结构之间的联系。
我们来试着理解一下它的核心思想。想象一下，你有一个光滑的曲面（比如一个球体）。我们可以考虑这个曲面上的“洞”或者“环”。在拓扑学中，我们用“同调群”来描述这些“洞”。
而在代数几何中，我们研究的是由多项式方程定义的“代数簇”。这些代数簇可以有各种各样的形状，它们就像是代数方程在几何空间中的“投影”。霍奇猜想试图建立代数簇的“同调类”（可以理解为它的“洞”或者“形状”的描述）与代数簇本身的“几何结构”之间的联系。
霍奇猜想的内容是： 对于一个光滑的、连通的复投影代数簇，其霍奇结构中的“代数性闭链”都可以用代数子簇的闭链来表示。
这里的“霍奇结构”和“代数性闭链”是代数几何中的专业术语，它们描述了代数簇的拓扑和几何性质。简单来说，霍奇猜想就是在说，一些看起来很自然的“几何性质”（由代数几何定义），其实是由代数簇的“子几何结构”（代数子簇）所决定的。
为什么它这么重要？ 霍奇猜想是连接代数几何和拓扑学的桥梁。如果被证明，它将极大地简化代数几何的研究方法，让我们可以利用代数工具去理解和分类复杂的几何对象。它对于理解代数簇的分类、研究抽象代数结构在几何上的表现等都有着至关重要的作用。
5. 纳维斯托克斯方程的平滑性和存在性 (NavierStokes Existence and Smoothness)
这个猜想与我们日常生活息息相关，它涉及到流体力学中最基本的方程——纳维斯托克斯方程的性质。这个方程描述了流体（比如水、空气）的运动，从天气预报到飞机设计，都离不开它。
然而，尽管这个方程在物理学中如此重要，我们对它的数学性质却知之甚少。特别是关于它的“解”的性质。
猜想的内容是： 对于三维空间的流体运动，是否存在一个连续且光滑的解，使得其在任意有限时间内保持“良好”的状态？或者说，我们能否保证纳维斯托克斯方程总是有“好”的解，而不会出现一些奇怪的、我们无法理解的“奇点”或者“爆炸”？
简单来说，就是：我们能不能保证，流体在运动过程中，速度、压力等物理量不会突然变得无穷大，或者变得极其不稳定？
为什么它这么重要？ 如果纳维斯托克斯方程存在无法预测的“奇点”解，那么我们基于这个方程进行的许多物理模拟和预测都可能是不准确的。证明这个猜想的存在性和光滑性，将为流体力学提供坚实的数学基础，使我们能够更准确地预测天气、设计更高效的航空器，甚至理解更复杂的物理现象。反之，如果证明了奇点的存在，那将颠覆我们对流体运动的理解。
结语
除了以上提到的这些，数学界还有许许多多未解的猜想，比如杨米尔斯存在性与质量间隙猜想（这是另一个克雷数学研究所百万美元悬赏的问题），以及大量的数论、组合学、几何学中的猜想。
这些未解的猜想就像灯塔，指引着数学家们探索未知的领域。它们是挑战，是机遇，更是数学进步的驱动力。每一个猜想的背后，都可能隐藏着全新的数学理论和深刻的数学洞见。正是这些未解之谜，让数学这门学科充满了活力和魅力，吸引着无数智者为之倾倒，为之奋斗。也许在不久的将来，我们就能看到更多的明珠被从黑暗中发掘出来，照亮数学世界的每一个角落。
网友意见
高斯圆问题，又叫圆内整点问题。很容易懂，很难证明。我在之前的这篇里面也写过：
而且它有个优点，它有一个数字可以让你不断改进，所以能改进一点也是贡献。
首先，我们在格点纸上画个半径为r的圆，里面当然大致就有 个格点。
令 N(r) 为实际的格点数。那么所谓误差项 E(r) 是这样定义的：
现在的关键是，能否对这里的误差 E(r) 有更精确的估计？高斯证明了：
这是因为，大致来说，误差肯定小于圆的周长（这是很漂亮的几何观点，其实 class number formula 就是这样来的），大家可以自己试试证明这个。
但是，圆很规则，所以，实际上误差更小，目前大家猜是：
用模形式的方法（Voronoi summation），可以证明 的情况，现在最好的结果可以证明到 。
而 131/208=0.6298...，所以离 0.5+epsilon 还很远，一百年的时间只前进了0.05。如果你能改进这个数字，就可以发论文。
高斯圆问题，看上去很人畜无害，但是非常难。如果你能证明 0.5+epsilon，你的方法肯定可以用于数论中的许许多多其它领域。
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