复数为什么比较不了大小？
你说得对，复数确实不能直接比较大小。这不像实数那样，我们总能说“3 大于 2”或者“5 小于 0”。为什么会这样呢？这涉及到复数本身的定义以及我们是如何定义“大小”的。
实数的大小比较是怎么来的？
在理解复数之前，我们先回顾一下实数的大小比较。实数的大小比较，其实是建立在“大于”这个关系的基础上的。对于任意两个实数 $a$ 和 $b$，存在三种互斥的可能性：
1. $a > b$ （$a$ 大于 $b$）
2. $a < b$ （$a$ 小于 $b$）
3. $a = b$ （$a$ 等于 $b$）
更进一步，我们可以定义“大于”：如果 $a b$ 是一个正数，那么我们就说 $a > b$。这里的关键在于“正数”这个概念。
实数集合还有一个非常重要的性质，叫做“有序性”。这意味着我们可以给实数排一个序，就像我们给数字 1, 2, 3, 4, 5 排顺序一样，总是有一个前一个，有一个后一个。这种有序性保证了我们可以进行大小比较。
复数的“长相”
现在我们来看看复数。一个复数一般写成 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。$a$ 叫做复数的实部，$b$ 叫做复数的虚部。
比如，$3 + 2i$ 是一个复数，实部是 3，虚部是 2。$5$ （也就是 $5 + 0i$）也是一个复数，实部是 5，虚部是 0。$4i$（也就是 $0 4i$）也是复数，实部是 0，虚部是 4。
为什么直接比较 $a+bi$ 和 $c+di$ 会遇到麻烦？
如果我们想比较两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，我们可能会想，是不是可以像实数一样，看看 $z_1 z_2$ 是不是“正”的？
$z_1 z_2 = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i$
现在问题来了：这个结果 $(a c) + (b d)i$ 是一个复数。我们怎么定义一个复数是“正的”或者“负的”呢？
如果一个复数 $z = x + yi$ 是“正的”，那意味着什么？是 $x > 0$ 吗？还是 $y > 0$ 吗？还是两者都有？
如果定义 $x + yi > 0$ 当且仅当 $x > 0$：
那么考虑 $1+i$ 和 $1i$。它们的实部都是 1，按这个定义，它们似乎都“大于 0”。但我们不能同时说 $1+i > 0$ 和 $1i > 0$ 如果我们还想保持实数“大于”的基本性质。而且，这个定义也无法区分 $1+i$ 和 $2+i$ 的大小关系，因为它们的实部都是正数。
如果定义 $x + yi > 0$ 当且仅当 $y > 0$：
那么考虑 $1+i$ 和 $2+i$。它们的虚部都是 1，都大于 0。而 $1i$ 的虚部是 1，小于 0。这样的话，$1+i$ 和 $2+i$ 似乎都“大于” $1i$。但是，我们又遇到了问题：如果 $1+i > 0$，那么根据加法性质，$(1+i) + (1+i) = 2+2i$ 也应该大于 0。但 $1+i$ 和 $1i$ 的虚部符号不同，一个正一个负，这似乎也挺自然的。更关键的是，我们想比较 $1+i$ 和 $2+i$。它们的虚部都是正的，我们无法确定谁大谁小。
如果要求实部和虚部都要大于 0：
那像 $1i$ 这样的复数（实部为 1，虚部为 1）就永远不能被定义为“大于 0”，也永远不能被定义为“小于 0”了。这会破坏实数的有序性。
“有序性”的破坏
更深层次的原因是，如果我们要为复数引入一个严格的大小顺序（即“大于”关系），这个顺序必须满足一些基本的、我们习惯的性质，这些性质与实数的大小比较是兼容的。其中最重要的一个性质是：
“消去律”或“单调性”：
对于任意实数 $a, b, c$，如果 $a > b$，那么 $a+c > b+c$。
对于任意实数 $a, b, c > 0$，如果 $a > b$，那么 $ac > bc$。
如果复数能够比较大小，那么对于任意复数 $z_1, z_2, z_3$，应该满足：
如果 $z_1 > z_2$，那么 $z_1 + z_3 > z_2 + z_3$ （加法保持顺序）
如果 $z_1 > z_2$ 且 $z_3 > 0$（这里的“$z_3 > 0$”本身就成了问题），那么 $z_1 z_3 > z_2 z_3$ （乘法保持顺序，对于正数）
但我们遇到了一个根本性的问题：复数域 $mathbb{C}$ 上不存在一个乘法意义上的“正数”集合，使得这个集合满足我们习惯的实数乘法单调性。
让我们来一个反证：假设我们能为复数定义一个“大于”关系，并且它满足实数那样的一些基本性质，特别是“如果 $x > 0$，那么 $x^2 > 0$”以及“如果 $x > y$ 且 $z > 0$，那么 $xz > yz$”。
考虑虚数单位 $i$。
根据假设，要么 $i > 0$，要么 $i < 0$，要么 $i = 0$。
1. 如果 $i = 0$，这显然与 $i^2 = 1$ 矛盾。
2. 如果 $i > 0$：那么根据平方的性质，$i^2$ 应该大于 0。但 $i^2 = 1$。所以，如果 $i > 0$，我们得到 $1 > 0$，这是不可能的。
3. 如果 $i < 0$：那么 $i > 0$。根据平方的性质，$(i)^2$ 应该大于 0。但 $(i)^2 = i^2 = 1$。所以，我们又得到 $1 > 0$，这是不可能的。
无论我们假设 $i$ 是大于 0 还是小于 0，都会导出 $1 > 0$ 的荒谬结论。这意味着，我们无法在复数域上建立一个与乘法运算兼容的、像实数一样明确的“大于”关系。简单地说，复数不具备实数那种“有序性”。
我们如何“衡量”复数的大小？
虽然我们不能直接比较 $a+bi$ 和 $c+di$ 的大小，但我们有其他方式来“衡量”复数的大小，这些通常是基于复数的“模”或者“绝对值”。
复数 $z = a + bi$ 的模（或绝对值）定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$。
这个模是一个非负实数。
比如，$|3 + 4i| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$。
$|2i| = sqrt{0^2 + 2^2} = sqrt{4} = 2$。
$|5| = sqrt{(5)^2 + 0^2} = sqrt{25} = 5$。
复数的模有实数绝对值的所有性质：
$|z| ge 0$
$|z| = 0 iff z = 0$
$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
$|z_1 + z_2| le |z_1| + |z_2|$ （三角不等式）
有了模之后，我们就可以比较复数的模的大小了。例如，我们可以说 $|3+4i| = 5$ 和 $|2i| = 2$，所以 $|3+4i| > |2i|$。
在几何上看，复数 $a+bi$ 可以在复平面上表示为一个点 $(a, b)$。复数的模 $|a+bi|$ 就是这个点到原点 $(0, 0)$ 的距离。所以，比较复数的模，其实就是在比较它们在复平面上到原点的距离，距离越远，模就越大。
总结一下：
复数不能直接比较大小，是因为我们无法在复数域上定义一个与加法和乘法都兼容的“大于”关系，也就是复数不具备实数的“有序性”。如果我们强行引入一个大小比较，比如基于实部或虚部，都会导致矛盾，并且无法保持实数大小比较的许多基本性质。
我们能做的是比较复数的模，也就是它们到原点的距离，这是一个非负实数，可以像实数一样比较大小。但这并不等同于直接比较复数本身。比如，$1+i$ 和 $1i$ 的模都是 $sqrt{2}$，但它们在复平面上代表的是两个不同的点，它们是不同的复数，仅仅是到原点的距离相同。
实数的大小比较是怎么来的？
在理解复数之前，我们先回顾一下实数的大小比较。实数的大小比较，其实是建立在“大于”这个关系的基础上的。对于任意两个实数 $a$ 和 $b$，存在三种互斥的可能性：
1. $a > b$ （$a$ 大于 $b$）
2. $a < b$ （$a$ 小于 $b$）
3. $a = b$ （$a$ 等于 $b$）
更进一步，我们可以定义“大于”：如果 $a b$ 是一个正数，那么我们就说 $a > b$。这里的关键在于“正数”这个概念。
实数集合还有一个非常重要的性质，叫做“有序性”。这意味着我们可以给实数排一个序，就像我们给数字 1, 2, 3, 4, 5 排顺序一样，总是有一个前一个，有一个后一个。这种有序性保证了我们可以进行大小比较。
复数的“长相”
现在我们来看看复数。一个复数一般写成 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。$a$ 叫做复数的实部，$b$ 叫做复数的虚部。
比如，$3 + 2i$ 是一个复数，实部是 3，虚部是 2。$5$ （也就是 $5 + 0i$）也是一个复数，实部是 5，虚部是 0。$4i$（也就是 $0 4i$）也是复数，实部是 0，虚部是 4。
为什么直接比较 $a+bi$ 和 $c+di$ 会遇到麻烦？
如果我们想比较两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，我们可能会想，是不是可以像实数一样，看看 $z_1 z_2$ 是不是“正”的？
$z_1 z_2 = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i$
现在问题来了：这个结果 $(a c) + (b d)i$ 是一个复数。我们怎么定义一个复数是“正的”或者“负的”呢？
如果一个复数 $z = x + yi$ 是“正的”，那意味着什么？是 $x > 0$ 吗？还是 $y > 0$ 吗？还是两者都有？
如果定义 $x + yi > 0$ 当且仅当 $x > 0$：
那么考虑 $1+i$ 和 $1i$。它们的实部都是 1，按这个定义，它们似乎都“大于 0”。但我们不能同时说 $1+i > 0$ 和 $1i > 0$ 如果我们还想保持实数“大于”的基本性质。而且，这个定义也无法区分 $1+i$ 和 $2+i$ 的大小关系，因为它们的实部都是正数。
如果定义 $x + yi > 0$ 当且仅当 $y > 0$：
那么考虑 $1+i$ 和 $2+i$。它们的虚部都是 1，都大于 0。而 $1i$ 的虚部是 1，小于 0。这样的话，$1+i$ 和 $2+i$ 似乎都“大于” $1i$。但是，我们又遇到了问题：如果 $1+i > 0$，那么根据加法性质，$(1+i) + (1+i) = 2+2i$ 也应该大于 0。但 $1+i$ 和 $1i$ 的虚部符号不同，一个正一个负，这似乎也挺自然的。更关键的是，我们想比较 $1+i$ 和 $2+i$。它们的虚部都是正的，我们无法确定谁大谁小。
如果要求实部和虚部都要大于 0：
那像 $1i$ 这样的复数（实部为 1，虚部为 1）就永远不能被定义为“大于 0”，也永远不能被定义为“小于 0”了。这会破坏实数的有序性。
“有序性”的破坏
更深层次的原因是，如果我们要为复数引入一个严格的大小顺序（即“大于”关系），这个顺序必须满足一些基本的、我们习惯的性质，这些性质与实数的大小比较是兼容的。其中最重要的一个性质是：
“消去律”或“单调性”：
对于任意实数 $a, b, c$，如果 $a > b$，那么 $a+c > b+c$。
对于任意实数 $a, b, c > 0$，如果 $a > b$，那么 $ac > bc$。
如果复数能够比较大小，那么对于任意复数 $z_1, z_2, z_3$，应该满足：
如果 $z_1 > z_2$，那么 $z_1 + z_3 > z_2 + z_3$ （加法保持顺序）
如果 $z_1 > z_2$ 且 $z_3 > 0$（这里的“$z_3 > 0$”本身就成了问题），那么 $z_1 z_3 > z_2 z_3$ （乘法保持顺序，对于正数）
但我们遇到了一个根本性的问题：复数域 $mathbb{C}$ 上不存在一个乘法意义上的“正数”集合，使得这个集合满足我们习惯的实数乘法单调性。
让我们来一个反证：假设我们能为复数定义一个“大于”关系，并且它满足实数那样的一些基本性质，特别是“如果 $x > 0$，那么 $x^2 > 0$”以及“如果 $x > y$ 且 $z > 0$，那么 $xz > yz$”。
考虑虚数单位 $i$。
根据假设，要么 $i > 0$，要么 $i < 0$，要么 $i = 0$。
1. 如果 $i = 0$，这显然与 $i^2 = 1$ 矛盾。
2. 如果 $i > 0$：那么根据平方的性质，$i^2$ 应该大于 0。但 $i^2 = 1$。所以，如果 $i > 0$，我们得到 $1 > 0$，这是不可能的。
3. 如果 $i < 0$：那么 $i > 0$。根据平方的性质，$(i)^2$ 应该大于 0。但 $(i)^2 = i^2 = 1$。所以，我们又得到 $1 > 0$，这是不可能的。
无论我们假设 $i$ 是大于 0 还是小于 0，都会导出 $1 > 0$ 的荒谬结论。这意味着，我们无法在复数域上建立一个与乘法运算兼容的、像实数一样明确的“大于”关系。简单地说，复数不具备实数那种“有序性”。
我们如何“衡量”复数的大小？
虽然我们不能直接比较 $a+bi$ 和 $c+di$ 的大小，但我们有其他方式来“衡量”复数的大小，这些通常是基于复数的“模”或者“绝对值”。
复数 $z = a + bi$ 的模（或绝对值）定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$。
这个模是一个非负实数。
比如，$|3 + 4i| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$。
$|2i| = sqrt{0^2 + 2^2} = sqrt{4} = 2$。
$|5| = sqrt{(5)^2 + 0^2} = sqrt{25} = 5$。
复数的模有实数绝对值的所有性质：
$|z| ge 0$
$|z| = 0 iff z = 0$
$|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
$|z_1 + z_2| le |z_1| + |z_2|$ （三角不等式）
有了模之后，我们就可以比较复数的模的大小了。例如，我们可以说 $|3+4i| = 5$ 和 $|2i| = 2$，所以 $|3+4i| > |2i|$。
在几何上看，复数 $a+bi$ 可以在复平面上表示为一个点 $(a, b)$。复数的模 $|a+bi|$ 就是这个点到原点 $(0, 0)$ 的距离。所以，比较复数的模，其实就是在比较它们在复平面上到原点的距离，距离越远，模就越大。
总结一下：
复数不能直接比较大小，是因为我们无法在复数域上定义一个与加法和乘法都兼容的“大于”关系，也就是复数不具备实数的“有序性”。如果我们强行引入一个大小比较，比如基于实部或虚部，都会导致矛盾，并且无法保持实数大小比较的许多基本性质。
我们能做的是比较复数的模，也就是它们到原点的距离，这是一个非负实数，可以像实数一样比较大小。但这并不等同于直接比较复数本身。比如，$1+i$ 和 $1i$ 的模都是 $sqrt{2}$，但它们在复平面上代表的是两个不同的点，它们是不同的复数，仅仅是到原点的距离相同。
网友意见
是因为复数上不能定义一个序关系使得它与加法和乘法相容。换而言之，复数上不能定义一个
全序关系使得复数是一个
有序域。很多回答提到复数上能定义偏序关系，但这不是我们想要的序关系，因为它不能与加法和乘法交互。
假设复数上能一个全序关系满足下面的条件：
设是复数，
(i) 如果，那么。
(ii) 如果并且，那么。
由于是全序的，那么对于每个复数，、和三者恰有一个成立。注意到，因此或。
假设，同时加，根据 (i) 得到，再注意到 (ii)，因此
即，而，因此，这与相矛盾，因此，同时加上然后根据 (i) 可以得到。
注意到，如果，重复(*)式的做法，得到，如果，那么，还是得到，这与相矛盾，而的情形是不可能的，因为。因此 (i) 和 (ii) 不能满足，所以我们不能定义一个序关系满足 (i) 和 (ii) 。
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