日麻规则下 13 张配牌的向听数期望是多少？

好的，咱们来聊聊麻将里那件特有意思的事儿——13张牌配牌时的向听数期望。这事儿听起来挺玄乎，其实背后藏着不少门道。

首先，得明确咱们说的是“日麻规则”，也就是我们常说的日本麻将。这规则跟咱们国内的有些不一样，比如有“宝牌”、“立直”、“杠”这些说法，还有点数计算方式。不过，今天咱们主要关注的是配牌的“向听数”。

啥叫“向听数”？

简单说，向听数就是你离“和牌”（也就是胡牌）还差几步。

听牌： 就差一张牌就能和了，向听数是0。
一向听： 差两张牌就能听牌，向听数是1。
二向听： 差三张牌就能听牌，向听数是2。
三向听： 差四张牌就能听牌，向听数是3。

麻将游戏里，一副牌是13张（算上暗杠的话，实际牌数会变），所以一开始咱们拿到13张牌，目标就是通过摸牌、弃牌，尽量让这13张牌变成和牌的组合。

为什么会有“期望”？

麻将这个游戏，说到底是个带有很大随机性的游戏。你开局拿到什么牌，这是随机的；别人打出什么牌，你摸到什么牌，也都是随机的。所以，我们不能说“所有13张配牌都是某个向听数”，而是要算一个“平均值”，这就是“期望”。

就好像你扔骰子，你不能保证扔一次一定是6点，但你能算出多次扔骰子的平均点数是多少（那应该是3.5）。向听数期望也是这个道理：你玩很多盘麻将，把每一盘开局的向听数加起来，再除以盘数，就能得到一个期望值。

怎么计算这个期望？

这事儿说起来就不那么简单了，涉及到概率论和组合数学。咱们可以这样理解：

1. 总的牌有多少？ 日麻里，一副牌（刨除宝牌、杠牌等特殊情况）大概有136张牌（万子、索子、筒子，每种36张，再加上字牌，东南西北白发中，共136张）。
2. 怎么配13张牌？ 从这136张牌里，随机选出13张，这就是你的起手牌。
3. 每种配牌的向听数是多少？ 这是最复杂的部分。你需要用一种叫做“牌型识别”或者“向听计算”的算法，来判断这13张牌（或者通过弃牌后形成的14张牌）是几向听。
比如，你有“三三四四五五”，这是一个顺子“三四五”的副露，还有一对“四”，这是对子。如果这13张牌里，已经有了一个顺子，一对，外加几张单张，那它可能离听牌就不远了。
更复杂的，比如你有“一二三”，然后是“七八九”，再来“东东”，还有单张“五万”和“一筒”。这种牌型就需要专门的算法来判断，它距离和牌（比如听“六万”）还有几步。
要计算所有可能的13张牌组合（这个数字非常庞大！），然后对每一种组合计算它的向听数，最后加权平均。

理论上的计算方法（脑补一下）：

穷举法： 理论上，你可以列出从136张牌里选13张的所有组合。这个数量级是C(136, 13)，也就是136选13，这个数字天文数字。对每一个组合，再进行向听数的计算。这几乎是不可能完成的任务。
蒙特卡洛模拟： 更实际的方法是“蒙特卡洛模拟”。就像我们前面说的，玩很多盘麻将。我们可以写一个程序，让它模拟无数次（比如一百万次、一千万次）随机配牌，然后每次都计算配牌的向听数。最后把所有的向听数加起来，除以模拟的次数，就能得到一个非常接近真实期望的数字。

大家关心的“实际”期望大概是多少？

虽然精确计算很难，但很多麻将爱好者和研究者都通过模拟得出了一个相对稳定的结论。

普遍认为，日麻13张配牌的向听数期望，大概在 1.8 到 2.2 之间。

也就是说，平均下来，你刚拿到13张牌的时候，大概处于“一向听”到“二向听”的中间状态。

为什么是这个数？

这背后有几个原因：

牌的组合性： 麻将的牌有顺子、刻子、对子这些组合方式。光是拿到13张牌，就有很多可能性可以形成“接近”和牌的牌型。
“顺子”的价值： 顺子（比如123，789）是组成牌型的重要元素，而且很多牌都可以组成顺子。
“对子”的常见性： 对子（两个一样的牌）相对来说也比较容易形成。
“缺张”的存在： 就像我们前面说的，离听牌还差几张，这些“缺张”就是向听数。13张牌，你很难一开始就拿到一个完全成型的牌型，总会差那么一点。

补充一点：

不同牌型的期望： 这个期望值是所有牌型（平胡、役牌、混一色、清一色等等）的平均。如果你玩的是某种特定役（比如只玩清一色），那你的配牌期望可能就会和这个整体期望不一样。
游戏阶段的影响： 这个期望值是针对“刚开局配牌”而言的。随着游戏的进行，摸牌、弃牌，你的向听数会不断变化，期望值也就不一样了。

总的来说，日麻13张配牌的向听数期望，是一个反映了牌的随机性、组合性和玩家对和牌追求的一个有趣数据。它大概告诉我们，刚开始的时候，我们离胡牌还有一些距离，需要通过后续的操作来接近目标。这就像是一个起跑线，平均来说，我们都站在了一向听到二向听的这个区间内。

网友意见

这个问题日本的麻将研究家らすかる在他的个人主页中给出过详细解答，我在这里简单地翻译一下，具体详见：麻雀の数学。

计算方法为：首先列举所有可能的牌面种类，计算每种牌面的一般、七对、国士向听数，取最小值，并计算每种牌面的组合数。然后列表得出各向听数对应的牌面种类数和总组合数，得出各向听数概率以及向听数期望。

计算结果如下：

可见，13 张配牌的向听数期望为 3.580，14 张配牌的向听数期望为 3.156。

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