数学学到什么程度可以进行下一部分的学习了？
简单来说，掌握了前一部分的核心概念、基本运算和关键方法，并且能够融会贯通，解决典型问题，才能自信地迈入下一阶段的学习。 但“核心概念”、“基本运算”和“关键方法”具体指的是什么，这需要我们更细致地去分析。
我们不妨以常见的数学学习路径为例，来拆解一下这个问题。
一、 从基础算术到代数：扎实的基本功是关键
如果你刚开始接触数学，或者说你正在学习小学、初中阶段的数学，那么当你能够：
熟练运用四则运算： 加减乘除，无论是整数、小数还是分数，都能准确快速地计算，并且理解运算的意义（比如乘法是重复加法，除法是分组或求倍数）。
理解和运用基本代数概念： 知道什么是变量（比如x、y），能够用字母表示数，理解方程的意义（等号两边相等），并且能解一些简单的一元一次方程（比如 2x + 3 = 7）。
掌握基本几何概念： 认识直线、线段、角，了解三角形、四边形等基本图形的性质（比如三角形内角和是180度），能够计算一些简单图形的周长和面积（比如正方形、长方形）。
数据分析的初步认识： 理解平均数、中位数、众数等概念，能够从简单的数据集中提取信息。
如果你能做到以上这些，那么你已经具备了进入更深入代数学习（比如二元一次方程组、二次函数、多项式等）的良好基础。如果这些基础不牢固，比如你还在为分数运算感到头疼，或者解一元一次方程时总是出错，那么贸然进入更复杂的代数领域，只会让你感觉吃力不讨好。
二、 从代数到几何/三角/解析几何：逻辑推理和空间想象的衔接
当你掌握了代数的基础后，接下来可能会接触到几何、三角学或者解析几何。在这个阶段，“可以进行下一部分的学习”意味着：
在代数方面： 你能熟练运用代数工具解决问题，比如因式分解、解二次方程、理解函数图像和性质，并且能用代数方法表达和推导几何关系。
在几何方面： 你不仅要认识图形，更要理解几何的逻辑严谨性。这意味着你需要：
理解并运用证明方法： 知道什么是公理、定理、证明，能够根据已知条件，通过逻辑推理得出结论。例如，在学习相似三角形时，你不仅要知道相似的判定条件（如SAS、SSS、AA），更要能运用这些条件去证明三角形相似，并利用相似的性质解决问题。
熟悉平面几何图形的性质和关系： 掌握平行线、垂直线、圆的性质，了解全等三角形、相似三角形等，并能进行相关的计算和证明。
初步的空间想象能力： 对三维图形（如长方体、圆柱、球体）有一定的认识，理解它们的构成和基本性质。
在三角学方面： 你需要理解三角函数的定义（比如正弦、余弦、正切），知道它们与角度的关系，掌握基本的三角恒等式，并能运用这些知识解决三角形的边角关系问题，甚至初步接触周期性函数的概念。
在解析几何方面： 这是代数和几何的“联姻”。你需要能够：
建立坐标系，将几何图形代数化： 例如，将直线方程写成 $y = mx + b$ 的形式，理解斜率的意义；能够写出圆的方程 $(xa)^2 + (yb)^2 = r^2$。
用代数方法研究几何图形的性质： 通过方程来判断直线的位置关系（相交、平行、垂直），计算点到直线的距离，或者研究曲线的性质。
如果到了这个阶段，你还在为理解几何证明的逻辑过程而感到困惑，或者看到三角函数就头大，那么你需要停下来，巩固前面提到的代数和几何/三角的基础。强行往前走，可能会让你在后续学习（如向量、立体几何、解析几何更深层次的内容）时举步维艰。
三、 从高等数学的门槛到进阶：抽象思维和融会贯通的能力
当你开始接触微积分（导数、积分）、线性代数、概率统计等高等数学内容时，“可以进行下一部分的学习”的标准会更加严苛，也更加强调融会贯通的能力：
在微积分方面：
理解极限的概念： 这是微积分的基石。你需要真正理解极限是如何描述函数趋近于某个值时的行为，而不仅仅是机械地套用求极限的公式。
掌握导数的概念和计算： 理解导数是函数的变化率，能够计算基本函数的导数，并运用导数解决优化问题（求最大最小值）、研究函数单调性等。
理解积分的概念和计算： 理解积分是导数的逆运算，是面积、体积的计算工具。能够计算不定积分和定积分，并将其应用于面积、体积的计算，或者物理学中的路程、功等问题。
将代数和几何知识与微积分结合： 例如，用导数求曲线的切线方程，用积分计算曲线下的面积。
在线性代数方面：
理解向量和矩阵的概念： 不仅是数的组合，更要理解它们在几何上的意义（向量的长度、方向）和代数上的运算规则。
掌握矩阵运算： 矩阵的加减乘法，以及矩阵的逆、行列式等。
理解线性方程组的解法和意义： 能够用矩阵方法解决线性方程组，理解解的存在性和唯一性与矩阵的性质（如秩）之间的关系。
初步理解向量空间、特征值和特征向量等概念： 这涉及到更抽象的代数结构和变换，需要较强的抽象思维能力。
在概率统计方面：
理解概率的基本概念： 事件、概率的意义，会计算简单的概率。
掌握随机变量和概率分布： 理解离散型和连续型随机变量的区别，熟悉一些常见的概率分布（如二项分布、正态分布）。
理解统计推断的基本思想： 知道如何用样本数据去推断总体特征，理解假设检验、置信区间的含义。
如何判断自己是否“准备好”了？
除了上述的知识点掌握程度，更重要的是以下几点：
1. 能否独立解决典型问题： 能否脱离例题，独立思考并解决课后习题中具有代表性的题目。
2. 对概念的理解是否深入： 不只是会算，更能说清楚“为什么这么算”，理解概念背后的逻辑和意义。
3. 能否将不同知识点联系起来： 能够看到不同章节、不同领域数学知识之间的联系，并加以运用。例如，用代数方法解决几何问题，用微积分解决物理问题。
4. 对数学学习的热情和信心： 如果你对前一部分的学习感到枯燥乏味，或者每次做题都充满挫败感，那可能表明你还没有真正掌握，需要回顾和巩固。反之，如果对新的知识充满好奇和探索欲，那很可能你已经准备好了。
5. 是否有一定的独立学习能力： 遇到不懂的问题，能够主动查阅资料、请教他人，而不是完全依赖老师或教材的讲解。
总结来说，进行下一部分数学学习的“门槛”，不是死记硬背几个公式，也不是做够了多少道题，而是你真正内化了前一部分知识的精髓，建立了清晰的知识体系，并且能够运用这些知识去分析、解决问题。 当你觉得前面的内容已经成为你思维的一部分，能够自如地调用时，那么恭喜你，你已经为下一段旅程做好了准备。如果在某个地方感到卡顿，那就回到那个地方，把它彻底弄明白，再继续前行。数学学习，贵在“透彻”而非“求快”。
网友意见
其实随时可以学下一部分，只要……
只要你愿意承认前面有没学懂的东西，还能心平气和地回去学懂。
（而这一点是很多人做不到的，这需要内心极其强大，以及无与伦比的耐心。）
比如费曼（量子电动力学发明人之一，诺贝尔物理学奖得主）就是这样做的，转述一个在某本书里的描述，他看书就是 “先一直往后看，一直看到看不下去的地方，再退回去看”，可以说是对知识点进行一个深度优先的遍历——这方法其实挺好的，在知识不是线性排列的时候尤其适用。
然而这种方法一般人有 hold 不住的危险。要用这种方法学习，必须内心强大，对自己非常诚实，心态出点偏差这人就废了。（看过费曼的传记，就会知道他是对内心非常诚实的人。）
风险之一是，不能承认自己不懂，很多概念混个脸熟就认为自己懂了。——如果为了装懂而学，其实很容易把自己也忽悠进去，比如学了个新学科就满嘴名词，其实离理解还有很长距离。而且新学科里面经常有那种不太费劲的结论，比如刚看代数拓扑的时候很多结论，像球面的同调群同构于整数群之类的，直接拿过来用就能证明很多原来分析里证不了的东西（比如 Brouwer 不动点定理），给人一种自己很强大的错觉。其实这只能说明工具以及工具的发明人强大，和自己的实力关系不大。新学功夫套路，总能学到点花拳绣腿，忽悠一下外行，但是有些人可能学了一年两年还在练基本功，亮不出什么花拳绣腿，但这并不是他们不如你的表现。
上面提到的例子，本质上是陷入用 “熟悉” 来代替 “理解” 的误区。有很多事情其实解释起来非常复杂——比如煤气燃烧，火焰发出蓝色的光芒——但是因为熟悉，我们通常不会去想为什么。但是如果学习数学是这种方式，很容易把自己变成工科生的状态。（并不是说工科生不好，只是他们对数学的理解和应用的侧重点和数学系的人是不一样的。）最可怕的是，你从此适应了一种似懂非懂的状态，这个状态在学的东西比较浅的时候危害并不明显，但是很妨碍向前走。
另一种风险是，沾了看似高深的东西的皮毛，就不愿意踏踏实实学基本的内容。比如你跟富豪玩耍了几天，挥金如土，像刘姥姥进大观园一样涨了点见识，还愿意去老老实实干一小时挣 50 元的辛苦活吗? 能做到的话，其实见识广点挺好的，但是不能做到的话，就危险。如果虚荣心比较强，很可能会有 “呀，我昨天在看泛函分析，今天退回来看线性代数里面没有掌握好的内容，会不会很丢脸” 之类的想法——这种想法趁早丢掉。本来呢，知道一些好的数学，是有好处的，但是如果对心态造成了巨大的影响，就得不偿失了。（看题主匿名了，尤其担心这方面的心态问题，嗯。）
说上面这些并不是反对扩充知识面，只是做一些善意的提醒。要是想扩充点知识面，请抱着一种仰望星空的心态，仰望完了回头还得脚踏实地学习。真的扩充点知识面之后就会知道，顶尖的数学在搞星际战役，然后你学的数学就像在地球上一个宁静的小湖边上砌砖墙抹石灰——就这样你还能保持对自己的信心，相信砖墙砌好了总有一天你也能参与到星际战争里去，那就可以说心态不错了。
本科阶段跟某老师聊天，老师提到 Voevodsky 因为 motivic homotopy 的工作拿了菲尔兹奖，然后书架上拿出来 2002 年北京的国际数学家大会 (ICM) 的报告，翻到 Voevodsky 的一小时报告，第一句里就有 “triangulated category” 这个词。当时才大二，自然是不知所云。平心而论，如果有耐心和恒心，本科四年念完的时候知道 triangulated category 为何物也不错，起码北美很多学校刚入学的研究生是不知道的。如果心态摆正，看到这个概念能耐心去学（还不排除你找来一本讲 triangulated category 的书，发觉上面的第一个概念也没听过的可能性），学完了发现还是搞不懂 motivic homotopy theory 还能有耐心去学第二句话里面的概念，那可以说这种心态已经很强大了。真是这样的话，有志者事竟成，请务必加油。（但是，你现在已经知道 triangulated category 这样的词汇了，你能抵住用名词装逼的诱惑吗?）
最后，这种知识面的扩充完全应该是学有余力的情况下做的，前面提到 “本科四年念完的时候知道某个概念为何物也可以说不错”，这并不是让你把自己抛下常识（比如复变函数、常微分方程、概率论、曲线和曲面的微分几何），去用这种高深的东西武装自己。诚然，很多本科的东西是十八十九世纪的数学，学完了也没什么了不起的。但是基本上只有经历了实用性（理论和工程上的）和美学的多重考验还没被淘汰掉的学科才会留在数学系的课表里面。它们本身就是简单优美的，而且是练手的好机会，能把数学上的成熟性慢慢建立起来，也有助于帮你发现自己的兴趣所在。这些学科离微积分不远，能让你看见一个抽象的概念是怎么来的，如果基础好的话，遇到困难，能退到微积分的领域，拿起纸和笔跟抽象的概念作战，则更能欣赏抽象的概念，这类从抽象到具体再到抽象的转化（也就是别人说的算例子，把一个抽象的概念拆开，转化成具体的问题算清楚，然后再用抽象的语言把结论说明白），对于成熟性的增长很有帮助。
分享的东西其实有一部分也是过来人踩的坑，懂的人自然懂。希望有点帮助，祝好运。
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P.S. 听说有图的答案比较受欢迎，跑题放个费曼的照片吧：
嗯，这货还说过物理和数学的关系就像做爱和手淫的关系一样，嘿。
(Physics is to math what sex is to masturbation.)
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