怎样求贝叶斯估计的先验分布？
在贝叶斯统计的世界里，先验分布的选取，就好比给我们的模型披上了一层基于过往经验和领域知识的“外衣”。它不是凭空捏造，而是一个需要深思熟虑、多方考量的过程。我们不是在“求”一个固定的先验分布，更准确地说，我们是在“选择”或“构建”一个合适的先验分布。这个过程，就像侦探在收集线索，力求在证据不那么充分时，也能对案情有一个合理的推测。
那么，这个“构建”的过程是如何进行的呢？它主要依赖于以下几个方面：
1. 来自领域知识的“经验之谈”
这是最直接、也往往是最有价值的来源。如果你在研究一个物理现象，你对这个现象的发生范围、可能的大小有没有一个大致的了解？比如，如果你在测量一个已知常数的近似值，你知道这个常数大概在哪个范围内波动吗？
例子： 假设我们要估计一个炮弹的初始速度，根据物理定律，我们知道炮弹的速度不可能是一个负数，而且也不会高到离谱。那么，我们可以选择一个非负的分布（比如Gamma分布或对数正态分布）来表示初始速度，并且可以根据过往的实验数据或理论计算，设定这个分布的均值和方差，使其集中在一个合理的范围内。
怎么做？
确定参数范围： 基于专业知识，确定待估参数可能取值的区间。
形状选择： 根据参数的性质（连续、离散、有界、无界）和我们对它“集中程度”的预期，选择合适的分布族（如正态分布、Beta分布、Gamma分布等）。
参数设定： 将领域知识中的具体数值转化为分布的参数。这可能需要一些直观的判断或者更严谨的分析。例如，如果我们知道某个值大概在某个范围内波动，我们可以尝试将先验分布的均值设为该范围的中心，方差设得相对较小，表示我们对此估计有一定信心。
2. 历史数据或过往实验的“前车之鉴”
如果我们之前做过类似的研究，或者有相关的历史数据，这些数据本身就可以作为构建先验的基石。这些历史数据虽然不是当前问题的全部，但它们提供了关于参数性质的重要信息。
例子： 假设我们正在估计一款新产品的市场接受度，我们之前销售过类似的产品，并且有那些产品的销售数据。我们可以分析过去产品的市场接受度分布，然后将这个分布作为新产品市场接受度先验分布的参考。
怎么做？
分析历史数据： 对历史数据进行统计分析，了解参数的分布特征（均值、方差、偏度、峰度等）。
拟合分布： 使用适当的统计方法（如最大似然估计）将历史数据拟合到一个概率分布上。这个拟合出的分布就可以作为一个潜在的先验分布。
调整参数： 根据当前问题与历史数据的相似度和差异性，对拟合出的分布参数进行微调。如果新产品预期比旧产品更受欢迎，可能需要将先验的均值调高。
3. “弱信息”或“无信息”先验的“客观陈述”
有时候，我们对参数的了解非常有限，或者我们希望模型更多地从当前数据中学习，而不是被先验过度影响。在这种情况下，我们会选择“弱信息”或“无信息”先验。它们的设计哲学是：对任何可能的值都赋予相对“公平”的权重，尽量减少对模型结果的偏倚。
“无信息”先验的陷阱： 需要注意的是，严格意义上的“无信息”先验（如均匀分布在整个实数域上）往往是不存在的，或者会导致不合理的推断。我们通常追求的是“弱信息”先验，即先验信息对后验分布的影响相对较小，但又能保证分布的数学性质是良好的。
常见的弱信息先验：
均匀分布 (Uniform Distribution): 如果我们知道参数在一个有限区间 $[a, b]$ 内，并且我们对区间内的任何值都没有偏好，那么均匀分布 $U(a, b)$ 是一个不错的选择。它的概率密度在区间内是常数。
共轭先验 (Conjugate Priors): 这是一种非常实用的选择，虽然不一定完全“无信息”，但它们能带来极大的计算便利性。当先验分布和似然函数属于同一分布族时，后验分布也属于这个分布族，并且参数更新有简单的解析形式。例如：
对于二项分布的成功概率 $p$，Beta分布是其共轭先验。
对于泊松分布的速率参数 $lambda$，Gamma分布是其共轭先验。
对于正态分布的均值 $mu$（方差已知），正态分布是其共轭先验。
优点： 计算简单，易于理解。
缺点： 可能无法准确捕捉到我们对参数更细致的先验认知，因为其形状相对固定。
Jeffreys 先验 (Jeffreys Prior): 这是一种基于信息几何学的“客观”先验，它对参数变换具有不变性。它的形式由 Fisher 信息矩阵的行列式的平方根给出。虽然它的选择看起来更“数学化”，但它在不同参数化下具有一致性，是一种比较有力的“弱信息”先验选择。
怎么做？
识别参数的定义域： 首先明确参数是实数、非负实数、[0,1] 区间内的值等。
选择具有适当形状的弱信息分布： 根据参数的定义域，选择一个平坦的、不包含太多信息的分布。例如，对于一个在 $[0,1]$ 区间内的概率，选择一个 $Beta(epsilon, epsilon)$ 这种参数非常小的 Beta 分布，它在整个区间上都比较平坦。
利用共轭性简化计算： 如果需要，可以优先考虑共轭先验，以方便后续的计算和推断。
4. 模型评估和敏感性分析的“验证环节”
即使我们精心选择了先验，我们也不能“一劳永逸”。好的贝叶斯实践，还需要我们对先验的“敏感性”进行分析。这意味着我们需要检查，如果我们稍微改变一下先验的设定，后验结果会发生多大的变化。
怎么做？
尝试不同的先验： 分别使用你认为合理的几种先验分布（包括上面提到的不同来源的先验），然后比较由此得到的后验分布。
评估后验分布： 如果不同的先验导致了非常不同的后验结果，这可能意味着你的数据量不足以“压倒”你的先验信息，或者你的先验设置过于强烈，需要重新考虑。反之，如果后验结果在合理的先验变化下相对稳定，那么你的模型结果就更加可靠。
可视化比较： 将不同先验下的后验分布进行可视化比较，可以更直观地了解先验对结果的影响程度。
总结一下构建先验分布的关键步骤和思路：
1. 理解问题和参数： 明确你要估计的参数是什么，它的意义是什么，以及它可能取值的范围。
2. 收集一切可用信息： 审视你的领域知识、历史数据、过往研究报告等，这些都是构建先验的宝贵素材。
3. 选择合适的分布族： 根据参数的性质（连续、离散、有界、无界）和你的先验信息，选择一个或几个候选的概率分布族。
4. 设定分布参数： 将你的先验信息转化为所选分布的参数。这是最需要经验和判断的环节。
5. 考虑计算可行性： 有时候，选择共轭先验可以极大地简化计算过程，特别是在没有高级计算工具的情况下。
6. 进行敏感性分析： 不要害怕尝试不同的先验，通过比较后验结果来评估你的先验选择的合理性。
选择先验分布，不是一个简单的公式套用过程，而是一个结合了领域知识、数据分析能力和统计理论的综合性工作。它需要我们不断地思考、尝试和验证，最终找到一个能够最恰当反映我们对模型参数的“信念”的分布。这个过程本身，也是贝叶斯方法魅力的体现——它允许我们以一种系统化的方式，将人类的知识和经验融入到统计推断中。
那么，这个“构建”的过程是如何进行的呢？它主要依赖于以下几个方面：
1. 来自领域知识的“经验之谈”
这是最直接、也往往是最有价值的来源。如果你在研究一个物理现象，你对这个现象的发生范围、可能的大小有没有一个大致的了解？比如，如果你在测量一个已知常数的近似值，你知道这个常数大概在哪个范围内波动吗？
例子： 假设我们要估计一个炮弹的初始速度，根据物理定律，我们知道炮弹的速度不可能是一个负数，而且也不会高到离谱。那么，我们可以选择一个非负的分布（比如Gamma分布或对数正态分布）来表示初始速度，并且可以根据过往的实验数据或理论计算，设定这个分布的均值和方差，使其集中在一个合理的范围内。
怎么做？
确定参数范围： 基于专业知识，确定待估参数可能取值的区间。
形状选择： 根据参数的性质（连续、离散、有界、无界）和我们对它“集中程度”的预期，选择合适的分布族（如正态分布、Beta分布、Gamma分布等）。
参数设定： 将领域知识中的具体数值转化为分布的参数。这可能需要一些直观的判断或者更严谨的分析。例如，如果我们知道某个值大概在某个范围内波动，我们可以尝试将先验分布的均值设为该范围的中心，方差设得相对较小，表示我们对此估计有一定信心。
2. 历史数据或过往实验的“前车之鉴”
如果我们之前做过类似的研究，或者有相关的历史数据，这些数据本身就可以作为构建先验的基石。这些历史数据虽然不是当前问题的全部，但它们提供了关于参数性质的重要信息。
例子： 假设我们正在估计一款新产品的市场接受度，我们之前销售过类似的产品，并且有那些产品的销售数据。我们可以分析过去产品的市场接受度分布，然后将这个分布作为新产品市场接受度先验分布的参考。
怎么做？
分析历史数据： 对历史数据进行统计分析，了解参数的分布特征（均值、方差、偏度、峰度等）。
拟合分布： 使用适当的统计方法（如最大似然估计）将历史数据拟合到一个概率分布上。这个拟合出的分布就可以作为一个潜在的先验分布。
调整参数： 根据当前问题与历史数据的相似度和差异性，对拟合出的分布参数进行微调。如果新产品预期比旧产品更受欢迎，可能需要将先验的均值调高。
3. “弱信息”或“无信息”先验的“客观陈述”
有时候，我们对参数的了解非常有限，或者我们希望模型更多地从当前数据中学习，而不是被先验过度影响。在这种情况下，我们会选择“弱信息”或“无信息”先验。它们的设计哲学是：对任何可能的值都赋予相对“公平”的权重，尽量减少对模型结果的偏倚。
“无信息”先验的陷阱： 需要注意的是，严格意义上的“无信息”先验（如均匀分布在整个实数域上）往往是不存在的，或者会导致不合理的推断。我们通常追求的是“弱信息”先验，即先验信息对后验分布的影响相对较小，但又能保证分布的数学性质是良好的。
常见的弱信息先验：
均匀分布 (Uniform Distribution): 如果我们知道参数在一个有限区间 $[a, b]$ 内，并且我们对区间内的任何值都没有偏好，那么均匀分布 $U(a, b)$ 是一个不错的选择。它的概率密度在区间内是常数。
共轭先验 (Conjugate Priors): 这是一种非常实用的选择，虽然不一定完全“无信息”，但它们能带来极大的计算便利性。当先验分布和似然函数属于同一分布族时，后验分布也属于这个分布族，并且参数更新有简单的解析形式。例如：
对于二项分布的成功概率 $p$，Beta分布是其共轭先验。
对于泊松分布的速率参数 $lambda$，Gamma分布是其共轭先验。
对于正态分布的均值 $mu$（方差已知），正态分布是其共轭先验。
优点： 计算简单，易于理解。
缺点： 可能无法准确捕捉到我们对参数更细致的先验认知，因为其形状相对固定。
Jeffreys 先验 (Jeffreys Prior): 这是一种基于信息几何学的“客观”先验，它对参数变换具有不变性。它的形式由 Fisher 信息矩阵的行列式的平方根给出。虽然它的选择看起来更“数学化”，但它在不同参数化下具有一致性，是一种比较有力的“弱信息”先验选择。
怎么做？
识别参数的定义域： 首先明确参数是实数、非负实数、[0,1] 区间内的值等。
选择具有适当形状的弱信息分布： 根据参数的定义域，选择一个平坦的、不包含太多信息的分布。例如，对于一个在 $[0,1]$ 区间内的概率，选择一个 $Beta(epsilon, epsilon)$ 这种参数非常小的 Beta 分布，它在整个区间上都比较平坦。
利用共轭性简化计算： 如果需要，可以优先考虑共轭先验，以方便后续的计算和推断。
4. 模型评估和敏感性分析的“验证环节”
即使我们精心选择了先验，我们也不能“一劳永逸”。好的贝叶斯实践，还需要我们对先验的“敏感性”进行分析。这意味着我们需要检查，如果我们稍微改变一下先验的设定，后验结果会发生多大的变化。
怎么做？
尝试不同的先验： 分别使用你认为合理的几种先验分布（包括上面提到的不同来源的先验），然后比较由此得到的后验分布。
评估后验分布： 如果不同的先验导致了非常不同的后验结果，这可能意味着你的数据量不足以“压倒”你的先验信息，或者你的先验设置过于强烈，需要重新考虑。反之，如果后验结果在合理的先验变化下相对稳定，那么你的模型结果就更加可靠。
可视化比较： 将不同先验下的后验分布进行可视化比较，可以更直观地了解先验对结果的影响程度。
总结一下构建先验分布的关键步骤和思路：
1. 理解问题和参数： 明确你要估计的参数是什么，它的意义是什么，以及它可能取值的范围。
2. 收集一切可用信息： 审视你的领域知识、历史数据、过往研究报告等，这些都是构建先验的宝贵素材。
3. 选择合适的分布族： 根据参数的性质（连续、离散、有界、无界）和你的先验信息，选择一个或几个候选的概率分布族。
4. 设定分布参数： 将你的先验信息转化为所选分布的参数。这是最需要经验和判断的环节。
5. 考虑计算可行性： 有时候，选择共轭先验可以极大地简化计算过程，特别是在没有高级计算工具的情况下。
6. 进行敏感性分析： 不要害怕尝试不同的先验，通过比较后验结果来评估你的先验选择的合理性。
选择先验分布，不是一个简单的公式套用过程，而是一个结合了领域知识、数据分析能力和统计理论的综合性工作。它需要我们不断地思考、尝试和验证，最终找到一个能够最恰当反映我们对模型参数的“信念”的分布。这个过程本身，也是贝叶斯方法魅力的体现——它允许我们以一种系统化的方式，将人类的知识和经验融入到统计推断中。
网友意见
取先验的套路有很多，比较常见的有：
1、扁平先验（flat prior）。所谓的扁平先验其实就是用一个“均匀分布”做先验。如果参数空间的support是有限的，那直接用扁平先验就可以了；但是如果参数空间的support是无限的，比如(0,∞)，那么就不存在这上面的均匀分布了。由于均匀分布的密度函数是一个常数，在计算后验时分子分母可以约掉，所以当support有无穷大时，直接不要先验，就是一个扁平先验了。
但是注意扁平先验是一个非正常先验（improper prior），也就是说这个先验根本不是一个密度函数（积分积起来不等于1）。使用非正常先验一般情况下没什么大问题，但是有的时候可能会导致后验分布也是非正常的，那就需要额外注意了。比如下面这个问题，可以看作是先验分布选取了非正常先验而导致的问题：
2、Jeffreys先验。Jeffreys先验和扁平先验一样，都是为了尽量让先验的选取“不提供任何信息”，即non-informative prior。但是扁平先验看似使用了均匀分布从而不提供任何信息，但是实际上还是提供了某些信息的。比如，如果 ，那么如果选取 的先验为扁平先验，如果重新参数化，令 的取值范围为R，显然不是扁平的。
解决方法就是Jeffreys先验：
此外还有基于Kullback-Leiber信息的参照先验（reference prior），思路是尽量使得Kullback-Leiber散度变大，从而使得先验尽量不提供任何信息。
3、共轭先验
共轭先验一般需要我们提供主观信息，不过共轭先验所计算出的后验分布由于具有比较简单的形式，所以非常容易进行分析和计算。
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