怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理（Bayes's theorem）？
核心思想：我们如何根据新的证据更新我们对某个可能性的看法？
这听起来很普通，但这就是贝叶斯定理的精髓。它就像一个超级聪明的侦探工具箱里的工具，可以帮助我们更理智地思考，尤其是在信息不完整或者我们一开始就有一些“感觉”的情况下。
咱们别被“定理”这个词吓到，它其实就是一套非常合理的推理逻辑。
先来点儿准备工作：我们先有个“初步看法”。
在你找到任何证据之前，你脑子里可能已经对谁是小偷有个模糊的猜测了。比如说，你认识这栋房子的住户，你可能会觉得某个经常迟到还总丢东西的家伙嫌疑大一些。这就是你的“先验概率”（Prior Probability）。你可以把它理解成你“在看到任何新证据之前，认为某件事情发生的可能性有多大”。
我们假设这个房子里有三个人：阿强、阿华、阿丽。
在你看到任何证据之前，你觉得阿强是小偷的可能性是 50%（因为他总是惹麻烦），阿华是 30%，阿丽是 20%。这三个概率加起来正好是 100%。
现在，我们有了新的线索！
侦探工作最重要的就是收集证据。假设你在犯罪现场发现了一个穿着蓝色运动鞋的脚印。
这个新证据（蓝色的脚印）对你判断谁是小偷有什么帮助呢？
你可能会问自己：“如果阿强是小偷，他穿蓝色运动鞋的可能性有多大？”
“如果阿华是小偷，他穿蓝色运动鞋的可能性有多大？”
“如果阿丽是小偷，她穿蓝色运动鞋的可能性有多大？”
这些问题的答案就是“似然度”（Likelihood）。你可以把它理解成“在假设某人是小偷的情况下，出现我们观察到的这个证据的可能性有多大”。
我们来做个假设：
阿强特别喜欢穿蓝色运动鞋，所以，如果阿强是小偷，他留下蓝色脚印的可能性是 80%。
阿华有双绿色运动鞋，蓝色运动鞋穿得不多，所以，如果阿华是小偷，他留下蓝色脚印的可能性是 20%。
阿丽是个很注重细节的人，她注意到这双鞋码和她的不一样，所以，如果阿丽是小偷，她留下蓝色脚印的可能性是 10%（也许她是不小心穿了别人的鞋，或者这鞋根本不是她的）。
关键步骤：把“初步看法”和“新证据”结合起来！
贝叶斯定理做的，就是把你的“初步看法”（先验概率）和你从新证据里得到的信息（似然度）结合起来，然后告诉你：
“考虑到刚才发现的蓝色脚印，现在你对阿强、阿华、阿丽是小偷的看法应该怎么调整？”
这就是我们要求的结果，叫做“后验概率”（Posterior Probability）。你可以把它理解成“在看到证据之后，你更新了你的看法，认为某件事情发生的可能性有多大”。
用上面这个例子来算的话，咱们可以这样想（这里稍微简化一下，但思路是贝叶斯的核心）：
1. 先计算一下，如果每个人是小偷，出现蓝色脚印的总可能性：
阿强是小偷，出现蓝色脚印的可能性 = （阿强是小偷的先验概率）×（如果阿强是小偷，出现蓝色脚印的似然度） = 50% × 80% = 40%
阿华是小偷，出现蓝色脚印的可能性 = （阿华是小偷的先验概率）×（如果阿华是小偷，出现蓝色脚印的似然度） = 30% × 20% = 6%
阿丽是小偷，出现蓝色脚印的可能性 = （阿丽是小偷的先验概率）×（如果阿丽是小偷，出现蓝色脚印的似然度） = 20% × 10% = 2%
2. 总的来说，观察到蓝色脚印的可能性是多少？ 我们把上面算出来的加起来：40% + 6% + 2% = 48%
3. 现在，更新每个人的可能性（后验概率）： 用每个人是小偷且出现蓝色脚印的可能性，除以观察到蓝色脚印的总可能性。
阿强是小偷的后验概率 = 40% / 48% ≈ 83.3%
阿华是小偷的后验概率 = 6% / 48% ≈ 12.5%
阿丽是小偷的后验概率 = 2% / 48% ≈ 4.2%
看看结果！本来你觉得阿强是小偷的可能性是 50%，但根据发现了蓝色脚印这个证据，你的信心一下提升到了 83.3%。而阿华和阿丽的可能性都大幅下降了。
这就像是：
你本来对阿强有个大概的怀疑（先验），但发现了关键证据（蓝色脚印），这个证据在你怀疑阿强这件事上“证据力”很强（高似然度）。所以，你根据这个证据，把对阿强的怀疑（后验）加强了。
贝叶斯定理的核心就是这个循环：
1. 我一开始怎么看这件事？ (先验概率)
2. 我看到了什么新证据？
3. 这个新证据，在事情发生的情况下，有多可能出现？ (似然度)
4. 结合我一开始的看法和新证据，我现在应该怎么看这件事？ (后验概率)
然后，这个“后验概率”又可以变成下一次推理的“先验概率”。你侦探工作做得越多，找到的证据越多，你的判断就会越来越准确，越来越接近真相。
再举个例子：你说“我好像感冒了。”
先验概率： 在今天这个天气（可能有点冷或者周围有人感冒），你觉得“我感冒了”的可能性有多少？也许是 10%。
新证据： 你开始打喷嚏了。
似然度：
如果我真的感冒了，打喷嚏的可能性有多大？（很高，比如 90%）
如果我没感冒，只是因为过敏或者吸入了灰尘而打喷嚏，可能性有多大？（相对低，比如 10%）
后验概率： 贝叶斯定理就会帮你把这 10% 的“可能感冒了”的概率，根据打喷嚏这个证据，更新到更高的一个数值。
为什么这个方法很厉害？
它让我们不丢弃旧信息： 每次我们都有一个初步的看法，而不是从零开始。
它让我们理性地吸收新信息： 新证据的效果是根据它与我们先前看法的“匹配度”来计算的。一个强有力的证据，能极大地改变我们的看法；一个模棱两可的证据，改变就小。
它在很多领域都有用： 医生诊断疾病，金融分析师评估风险，甚至你的手机识别你的语音指令，都在不经意间用到了贝叶斯思想。它是一种非常强大的、符合直觉的思考方式，可以帮助我们在不确定性中做出更明智的判断。
所以，下次当你根据新情况调整自己想法的时候，你可能就是在默默地运用贝叶斯定理了！它不是什么高不可攀的数学公式，而是一种关于如何从经验中学习和更新知识的智慧。
网友意见
贝叶斯定理太有用了，不管是在投资领域，还是机器学习，或是日常生活中几乎都在用到它。
例如，生命科学家用贝叶斯定理研究基因是如何被控制的；教育学家意识到，学生的学习过程其实就是贝叶斯法则的运用；基金经理用贝叶斯法则找到投资策略；谷歌用贝叶斯定理改进搜索功能，帮助用户过滤垃圾邮件；无人驾驶汽车接收车顶传感器收集到的路况和交通数据，运用贝叶斯定理更新从地图上获得的信息；人工智能、机器翻译中大量用到贝叶斯定理...
我将从以下4个角度来科普贝叶斯定理及其背后的思维：
1.贝叶斯定理有什么用？
2.什么是贝叶斯定理？
3.贝叶斯定理的应用案例
4.生活中的贝叶斯思维
1.贝叶斯定理有什么用？
英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。而这篇论文是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。
（ps：贝叶斯定理其实就是下面图片中的概率公式，这里先不讲这个公式，而是重点关注它的使用价值，因为只有理解了它的应用意义，你才会更有兴趣去学习它。）
在这篇论文中，他为了解决一个“逆概率”问题，而提出了贝叶斯定理。
在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”。什么是正向概率呢？举个例子，杜蕾斯举办了一个抽奖，抽奖桶里有10个球，其中2个白球，8个黑球，抽到白球就算你中奖。你伸手进去随便摸出1颗球，摸出是中奖球的概率是多大。
根据频率概率的计算公式，你可以轻松的知道中奖的概率=中奖球数（2个白球）/球总数（2个白球+8个黑球）=2/10
如果还不懂怎么算出来的，可以看我之前写的科普概率的回答：猴子：如何理解条件概率？
而贝叶斯在他的文章中是为了解决一个“逆概率”的问题。比如上面的例子我们并不知道抽奖桶里有什么，而是摸出一个球，通过观察这个球的颜色，来预测这个桶里里白色球和黑色球的比例。
这个预测其实就可以用贝叶斯定理来做。贝叶斯当时的论文只是对“逆概率”这个问题的求解尝试，这哥们当时并不清楚这里面这里面包含着的深刻思想。
然而后来，贝叶斯定理席卷了概率论，并将应用延伸到各个领域。可以说，所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子，特别地，贝叶斯是机器学习的核心方法之一。
为什么贝叶斯定理在现实生活中这么有用呢？
这是因为现实生活中的问题，大部分都是像上面的“逆概率”问题。因为生活中绝大多数决策面临的信息都是不全的，我们手中只有有限的信息。既然无法得到全面的信息，我们就只能在信息有限的情况下，尽可能做出一个好的预测。
比如天气预报说，明天降雨的概率是30%，这是什么意思呢？
我们无法像计算频率概率那样，重复地把明天过上100次，然后计算出大约有30次会下雨（下雨的天数/总天数）
而是只能利用有限的信息（过去天气的测量数据），用贝叶斯定理来预测出明天下雨的概率是多少。
同样的，在现实世界中，我们每个人都需要预测。想要深入分析未来、思考是否买股票、政策给自己带来哪些机遇、提出新产品构想，或者只是计划一周的饭菜。
贝叶斯定理就是为了解决这些问题而诞生的，它可以根据过去的数据来预测出未来事情发生概率。
贝叶斯定理的思考方式为我们提供了有效的方法来帮助我们做决策，以便更好地预测未来的商业、金融、以及日常生活。
总结下第1部分：贝叶斯定理有什么用？
在有限的信息下，能够帮助我们预测出概率。
所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子，特别地，贝叶斯是机器学习的核心方法之一。例如垃圾邮件过滤，中文分词，艾滋病检查，肝癌检查等。
2.什么是贝叶斯定理？
贝叶斯定理长这样：
到这来，你可能会说：猴子，说人话，我一看到公式就头大啊。
其实，我和你一样，不喜欢公式。我们还是从一个例子开始聊起。
我的朋友小鹿说，他的女神每次看到他的时候都冲他笑，他现在想知道女神是不是喜欢他呢？
谁让我学过统计概率知识呢，下面我们一起用贝叶斯帮小鹿预测下女神喜欢他的概率有多大，这样小鹿就可以根据概率的大小来决定是否要表白女神。
首先，我分析了给定的已知信息和未知信息：
1）要求解的问题：女神喜欢你，记为A事件
2）已知条件：女神经常冲你笑，记为B事件
所以，P(A|B)表示女神经常冲你笑这个事件(B)发生后，女神喜欢你（A）的概率。
从公式来看，我们需要知道这么3个事情：
1）先验概率
我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），也就是在不知道B事件的前提下，我们对A事件概率的一个主观判断。
对应这个例子里就是在不知道女神经常对你笑的前提下，来主观判断出女神喜欢一个人的概率。这里我们假设是50%，也就是不喜欢你，可能不喜欢你的概率都是一半。
2）可能性函数
P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，也就是新信息B带来的调整，作用是将先验概率（之前的主观判断）调整到更接近真实概率。
可能性函数你可以理解为新信息过来后，对先验概率的一个调整。比如我们刚开始看到“人工智能”这个信息，你有自己的理解（先验概率-主观判断），但是当你学习了一些数据分析，或者看了些这方面的书后（新的信息），然后你根据掌握的最新信息优化了自己之前的理解（可能性函数-调整因子），最后重新理解了“人工智能”这个信息（后验概率）
如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；
如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；
如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
还是刚才的例子，根据女神经常冲你笑这个新的信息，我调查走访了女神的闺蜜，最后发现女神平日比较高冷，很少对人笑，也就是对你有好感的可能性比较大（可能性函数>1）。所以我估计出"可能性函数"P(B|A)/P(B)=1.5（具体如何估计，省去1万字，后面会有更详细科学的例子）
3）后验概率
P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。这个例子里就是在女神冲你笑后，对女神喜欢你的概率重新预测。
带入贝叶斯公式计算出P(A|B)=P(A)* P(B|A)/P(B)=50% *1.5=75%
因此，女神经常冲你笑，喜欢上你的概率是75%。这说明，女神经常冲你笑这个新信息的推断能力很强，将50%的"先验概率"一下子提高到了75%的"后验概率"。
在得到概率值后，小鹿自信满满的发了下面的表白微博：
稍后，果然收到了女神的回复。预测成功。
现在我们再看一遍贝叶斯公式，你现在就能明白这个公式背后的关键思想了：
我们先根据以往的经验预估一个"先验概率"P(A)，然后加入新的信息（实验结果B），这样有了新的信息后，我们对事件A的预测就更加准确。
因此，贝叶斯定理可以理解成下面的式子：
后验概率（新信息出现后的A概率） ＝ 先验概率（A概率） ｘ 可能性函数（新信息带来的调整）
贝叶斯的底层思想就是：
如果我能掌握一个事情的全部信息，我当然能计算出一个客观概率（古典概率）。
可是生活中绝大多数决策面临的信息都是不全的，我们手中只有有限的信息。既然无法得到全面的信息，我们就在信息有限的情况下，尽可能做出一个好的预测。也就是，在主观判断的基础上，你可以先估计一个值（先验概率），然后根据观察的新信息不断修正(可能性函数)。
如果用图形表示就是这样的：
其实阿尔法狗也是这么战胜人类的，简单来说，阿尔法狗会在下每一步棋的时候，都可以计算自己赢棋的最大概率，就是说在每走一步之后，他都可以完全客观冷静的更新自己的概率值，完全不受其他环境影响。
3.贝叶斯定理的应用案例
前面我们介绍了贝叶斯定理公式，及其背后的思想。现在我们来举个应用案例，你会更加熟悉这个牛瓣的工具。
为了后面的案例计算，我们需要先补充下面这个知识。
1.全概率公式
这个公式的作用是计算贝叶斯定理中的P(B)。
假定样本空间S，由两个事件A与A'组成的和。例如下图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
这时候来了个事件B，如下图：
全概率公式：
它的含义是，如果A和A'构成一个问题的全部（全部的样本空间），那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
看到这么复杂的公式，记不住没关系，因为我也记不住，下面用的时候翻到这里来看下就可以了。
案例1：贝叶斯定理在做判断上的应用
有两个一模一样的碗，1号碗里有30个巧克力和10个水果糖，2号碗里有20个巧克力和20个水果糖。
然后把碗盖住。随机选择一个碗，从里面摸出一个巧克力。
问题：这颗巧克力来自1号碗的概率是多少？
好了，下面我就用套路来解决这个问题，到最后我会给出这个套路。
第1步，分解问题
1）要求解的问题：取出的巧克力，来自1号碗的概率是多少？
来自1号碗记为事件A1，来自2号碗记为事件A2
取出的是巧克力，记为事件B，
那么要求的问题就是P(A1|B)，也就是取出的是巧克力（B），来自1号碗（A1）的概率
2）已知信息：
1号碗里有30个巧克力和10个水果糖
2号碗里有20个巧克力和20个水果糖
取出的是巧克力
第2步，应用贝叶斯定理
1）求先验概率
由于两个碗是一样的，所以在得到新信息（取出是巧克力之前），这两个碗被选中的概率相同，因此P(A1)=P(A2)=0.5,(其中A1表示来自1号碗，A2表示来自2号碗)
这个概率就是"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗、二号碗的概率都是0.5。
2）求可能性函数
P(B|A1)/P(B)
其中，P(B|A1)表示从1号碗中(A1)取出是巧克力(B)的概率。
因为1号碗里有30个巧克力和10个水果糖，所以P(B|A1)=巧克力数（30）/(糖果总数30+10)=75%
现在贝叶斯公式里只剩P(B)了，只有求出P(B)就可以得到答案。
根据全概率公式，可以用下图求得P(B)：
图中P(B|A1)是1号碗中巧克力的概率，我们根据前面的已知条件，很容易求出。
同样的，P(B|A2)是2号碗中巧克力的概率，也很容易求出（图中已给出）。
而P(A1)=P(A2)=0.5
将这些数值带入公式中就是小学生也可以算出来的事情了。最后P(B)=62.5%
所以，可能性函数P(B|A1)/P(B)=75%/62.5%=1.2。
可能性函数>1.表示新信息B对事情A1的可能性增强了。
3）带入贝叶斯公式求后验概率
将上述计算结果，带入贝叶斯定理，即可算出P(A1|B)=60%
这个例子中我们需要关注的是约束条件：抓出的是巧克力。如果没有这个约束条件在，来自一号碗这件事的概率就是50%了，因为巧克力的分布不均把概率从50%提升到60%。
现在，我总结下刚才的贝叶斯定理应用的套路，你就更清楚了，会发现像小学生做应用题一样简单：
第1步. 分解问题
简单来说就像做应用题的感觉，先列出解决这个问题所需要的一些条件，然后记清楚哪些是已知的，哪些是未知的。
1）要求解的问题是什么？
识别出哪个是贝叶斯中的事件A（一般是想要知道的问题），哪个是事件B（一般是新的信息，或者实验结果）
2）已知条件是什么？
第2步.应用贝叶斯定理
第3步，求贝叶斯公式中的2个指标
1）求先验概率
2）求可能性函数
3）带入贝叶斯公式求后验概率
案例2：贝叶斯定理在医疗行业的应用
每一个医学检测，都存在假阳性率和假阴性率。假阳性，就是没病，但是检测结果显示有病。假阴性正好相反，有病但是检测结果正常。
即使检测准确率是99%，如果医生完全依赖检测结果，也会误诊。也就是说假阳性的情况，根据检测结果显示有病，但是你实际并没有得病。
举个更具体的例子，因为艾滋病潜伏期很长，所以即便感染了也可能在很长的一段时间，身体没有任何感觉，所以艾滋病检测的假阳性会导致被测人非常大的心理压力。
你可能会觉得，检测准确率都99%了，误测几乎可以忽略不计了吧？所以你觉得这人肯定没有患艾滋病了对不对？
让我们用贝叶斯定理算一下，就会发现你的直觉是错误的。
假设某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现在有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。
现在有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？
好了，我知道你面对这一大推信息又头大了，我也是。但是我们不是有贝叶斯模板套路嘛，下面开始。
第1步，分解问题
1）要求解的问题：病人的检验结果为阳性，他确实得病的概率有多大？
病人的检验结果为阳性（新的信息）记为事件B，他得病记为事件A，
那么要求的问题就是P(A|B)，也就是病人的检验结果为阳性（B），他确实得病的概率(A)
2）已知信息
这种疾病的发病率是0.001，即P(A)=0.001
试剂可以检验患者是否得病，准确率是0.99，也就是在患者确实得病的情况下(A)，它有99%的可能呈现阳性(B)，所以P(B|A)=0.99
试剂的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。得病我们记为事件A，那么没有得病就是事件A的反面，记为A'，所以这句话就可以表示为P(B|A')=5%
2.应用贝叶斯定理
1）求先验概率
疾病的发病率是0.001，即P(A)=0.001
2）求可能性函数
P(B|A)/P(B)
其中，P(B|A)表示在患者确实得病的情况下(A)，试剂呈现阳性的概率，从前面的已知条件中我们已经知道P(B|A)=0.99
现在只有求出P(B)就可以得到答案。根据全概率公式，可以用下图求得P(B)=0.05094
所以可能性函数P(B|A)/P(B)=0.99/0.05094=19.4346
3）带入贝叶斯公式求后验概率
我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)等于1.94%。
也就是说，筛查的准确率都到了99%了，通过体检结果有病（阳性）确实得病的概率也只有1.94%
你可能会说，再也不相信那些吹的天花乱坠的技术了，说好了筛查准确率那么高，结果筛查的结果对于确诊疾病一点用都没有，这还要医学技术干什么？
没错，这就是贝叶斯分析告诉我们的。我们拿艾滋病来说，由于发艾滋病实在是小概率事件，所以当我们对一大群人做艾滋病筛查时，虽说准确率有99%，但仍然会有相当一部分人因为误测而被诊断为艾滋病，这一部分人在人群中的数目甚至比真正艾滋病患者的数目还要高。
你肯定要问了，那该怎样纠正测量带来这么高的误诊呢？
造成这么不靠谱的误诊的原因，是无差别地给一大群人做筛查，而不论测量准确率有多高，因为正常人的数目远大于实际的患者，所以误测造成的干扰就非常大了。
根据贝叶斯定理，我们知道提高先验概率，可以有效的提高后验概率。
所以解决的办法倒也很简单，就是先锁定可疑的人群，比如10000人中检查出现问题的那10个人，再独立重复检测一次。因为正常人连续两次体检都出现误测的概率极低，这时筛选出真正患者的准确率就很高了，这也是为什么许多疾病的检测，往往还要送交独立机构多次检查的原因。
这也是为什么艾滋病检测第一次呈阳性的人，还需要做第二次检测，第二次依然是阳性的还需要送交国家实验室做第三次检测。
在《医学的真相》这本书里举了个例子，假设检测艾滋病毒，对于每一个呈阳性的检测结果，只有50%的概率能证明这位患者确实感染了病毒。但是如果医生具备先验知识，先筛选出一些高风险的病人，然后再让这些病人进行艾滋病检查，检查的准确率就能提升到95%。
案例4：贝叶斯垃圾邮件过滤器
垃圾邮件是一种令人头痛的问题，困扰着所有的互联网用户。全球垃圾邮件的高峰出现在2006年，那时候所有邮件中90%都是垃圾，2015年6月份全球垃圾邮件的比例数字首次降低到50%以下。
最初的垃圾邮件过滤是靠静态关键词加一些判断条件来过滤，效果不好，漏网之鱼多，冤枉的也不少。
2002年，Paul Graham提出使用"贝叶斯推断"过滤垃圾邮件。他说，这样做的效果，好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。
因为典型的垃圾邮件词汇在垃圾邮件中会以更高的频率出现，所以在做贝叶斯公式计算时，肯定会被识别出来。之后用最高频的15个垃圾词汇做联合概率计算，联合概率的结果超过90%将说明它是垃圾邮件。
用贝叶斯过滤器可以识别很多改写过的垃圾邮件，而且错判率非常低。甚至不要求对初始值有多么精确，精度会在随后计算中逐渐逼近真实情况。
（ps：如果留言想详细了解这个知识的很多，我后面会专门写文章来回答大家）
4.生活中的贝叶斯思维
贝叶斯定理与人脑的工作机制很像，这也是为什么它能成为机器学习的基础。
如果你仔细观察小孩学习新东西的这个能力，会发现，很多东西根本就是看一遍就会。比如我3岁的外甥，看了我做俯卧撑的动作，也做了一次这个动作，虽然动作不标准，但也是有模有样。
同样的，我告诉他一个新单词，他一开始并不知道这个词是什么意思，但是他可以根据当时的情景，先来个猜测（先验概率/主观判断）。一有机会，他就会在不同的场合说出这个词，然后观察你的反应。如果我告诉他用对了，他就会进一步记住这个词的意思，如果我告诉他用错了，他就会进行相应调整。（可能性函数/调整因子）。经过这样反复的猜测、试探、调整主观判断，就是贝叶斯定理思维的过程。
同样的，我们成人也在用贝叶斯思维来做出决策。比如，你和女神在聊天的时候，如果对方说出“虽然”两个字，你大概就会猜测，对方后面九成的可能性会说出“但是”。我们的大脑看起来就好像是天生在用贝叶斯定理，即根据生活的经历有了主观判断（先验概率），然后根据搜集新的信息来修正（可能性函），最后做出高概率的预测（后验概率）。
其实这个过程，就是下图的大脑决策过程：
所以，在生活中涉及到预测的事情，用贝叶斯的思维可以提高预测的概率。你可以分3个步骤来预测：
1.分解问题
简单来说就像小学生做应用题的感觉，先列出要解决的问题是什么？已知条件有哪些？
2. 给出主观判断
不是瞎猜，而是根据自己的经历和学识来给出一个主观判断。
3.搜集新的信息，优化主观判断
持续关于你要解决问题相关信息的最新动态，然后用获取到的新信息来不断调整第2步的主观判断。如果新信息符合这个主观判断，你就提高主观判断的可信度，如果不符合，你就降低主观判断的可信度。
比如我们刚开始看到“人工智能是否造成人类失业”这个信息，你有自己的理解（主观判断），但是当你学习了一些数据分析，或者看了些这方面的最新研究进展（新的信息），然后你根据掌握的最新信息优化了自己之前的理解（调整因子），最后重新理解了“人工智能”这个信息（后验概率）。这也就是胡适说的“大胆假设，小心求证”。
概率的基础知识补充：
参考资料：
YouTube英文视频《Thomas Bayes: Probability for Success》
YouTube英文视频《Everything You Ever Wanted to Know About Bayes' Theorem But Were Afraid To Ask.》
贝叶斯垃圾邮件过滤器：http://www.paulgraham.com/spam.html
贝叶斯垃圾邮件过滤Wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_Bayes_spam_filtering
让我们完全丢掉数学，忘掉贝叶斯，用'自然'的语言来理解这个问题
上善若水, 让我们的产品是水
先来张图来表述这个问题
这里我们用箭头表示分支的情况， 箭头上的数字代表每个分支的权重，这里我么很自然给出一个结论： 下一个分支上的流量是上个分支的流量乘以当前分支所占的权重
可以观察到去除通向不合格的2条路，最后只剩下２个分支的路是通的: 机器 -> 良好 -> 合格，机器 -> 故障 -> 合格:
所以机器良好的比例(最终水流的权重)为: 0.75*0.9/(0.75*0.9+0.25*0.3) 。
这里我们想归纳更为一般的情况:
所以， 你只需要记住这个图就行了，不管它叫不叫'贝叶斯定理'，也不管它是什么形式
直接看贝叶斯公式
这个公式确实不太好理解，但是如果稍微变形一下就是
这个式子要好理解的多。
指的是 事件发生时 事件发生的概率。
那么式子左边 的含义是 事件已经发生，在这种情况下根据 的定义， 事件也发生的概率就是 ，两个概率相乘的含义是什么？是两个事件同时发生的概率。
同理，右边也是两个事件同时发生的概率，于是自然而然得到相等的关系，再给式子稍微变形就是贝叶斯公式了。
回到题主的问题，先列出几个数值
其实就是在机器良好与不良好状态下的合格率加权求和，于是有：
已知第一件产品合格，那么求的就是产品合格的情况下，机器良好的概率，于是代入公式可以得到
题主所说 “拿公式来解速度很快，但这终究是速成法，不能内化”，确实有一定道理，但是只要把公式整个理解掌握，就已经“内化”了，套与不套没有差别,反倒是套用更快捷一些。
让我们从一个故事开始。
1 看着后视镜往前开车
想象这么一个场景，我开着车，经过笔直的大道，快速地往下一个路口驶去。我知道，到了下一个路口就要右转了。
这件事情很简单，我坐在驾驶室内，看到下一个路口，往右边打方向盘就好了：
突然，不管什么原因（这故事是我写的，可以安排一百种原因，干脆就不解释），反正前挡风玻璃碎了：
不要纠结我这幅图，反正你已经无法看清前面的路了，那怎么知道什么时候该右转？
还好，开车的是一位数学家，智商及时上线。
数学家根据自己的经验，估计这条笔直的道路上：
这也就意味着如果随意的右转，有 的概率是错误的。
数学家从后视镜看出去，发现后面有一辆车在打右转弯灯，他意识到：
新的信息出现了，此时如果右转，错误的概率就比之前小很多。
这种思考方法，就是贝叶斯定理所阐述的思考方法。
2 结合开车来理解贝叶斯公式
我们来看看贝叶斯公式是怎么写的：
先把刚才的开车给符号化：
我们再来理解下贝叶斯公式：
如果我们知道，在整个车辆行驶过程中，会有 的概率打右转弯灯，即 ，我们就可以计算 了。
因此贝叶斯公式实际上阐述了这么一个事情：
我们再通过韦恩图来理解一下这个事情（为了观看方便，下面的 的圆形面积是示意）：
新的信息的出现，比如之前看到了亮着右转弯灯的车，就好比知道点已经落入了 。
至于为什么 事件发生后导致的调整为：
这就需要代数了，推导也不复杂，这里就不演算了。
2.1 小结
我们可以看到有形的十字路口，却看不到明天是否下雨，我们可以看到前方是否有路障，却不清楚下一次飞机是否会出事。甚至有时候，眼睛还会欺骗我们。
很多时候，我们不得不看着后视镜开车，这个时候概率论、贝叶斯定理就是我们的指路明灯。
看着后视镜开车，肯定常常会撞车，没关系，我们可以不断的去修正我们的假设。
比如，撞了几次车之后，就发现可能之前估计的在十字路口打右转弯灯的数据明显偏大了，我们修正之后再继续开车。我们人类的学习，本身也是一个试错的过程。
3 贝叶斯定理与人脑
贝叶斯定理现在很多人在研究，就是因为不少人相信贝叶斯定理和人脑的工作机制很像（此处颇多争论，望自行判断），因此成为机器学习的基础。
比如，你和对方聊天的时候，如果对方说出“虽然”两个字，你大概就会猜测，对方后继九成的可能性会说出“但是”。我们的大脑看起来就好像是天生在用贝叶斯定理。
吴军博士在他的著作《数学之美》里面就提到了，最早的自然语言处理，比如翻译、语音识别，都是通过语法分析来进行的，就是把“主谓宾”分析清楚，然后处理，正确率惨不忍睹。
后来，google由自然语言处理专家贾里尼克领导的部门，通过统计、概率方法进行上述研究，正确率提高了很多。在书中也列举了贝叶斯定理是如何参与自然语言处理的。
书中还有一句业界广为流传的名言：
语法是人类后来总结出来的，我们天生是不需要语法就可以开口说话的，或许，人脑真的是贝叶斯大脑。
最后，有一个小小的问题，根据我们的经验，硬币正反两面出现的概率都是 ，如果我扔了一千次都是正面，那说明了什么？关于这点可以查看：如何理解贝叶斯推断，beta分布？
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理（Bayes theorem）？
概率也就是测度。楼主说要用非数学的语言，那我尝试用集合的图形法来说明下贝叶斯的意义。
首先把全空间分割成若干个集合 ,如图1
接着全空间里还有另外一个集合(事件) ,见图2灰色区域
现在全空间可以更加细致的分割为图3
现在考察绿色方块，也就是 区域
我们借用物理学中的参考系概念。
以全空间为参考系，则事件 和 发生的概率分别为
,
上述的概率其实也可以等效于图2中相应的方块面积。
但是事件 在不同的参考系下看的结果是不一样的，有句古话说"情人眼里出西施",一样的道理。我看先看下图
如果以 为参考系（以 为视角），看待 发生的概率（也就是所谓的条件概率）为
上述公式本质上就是进行了归一化，也就是从全空间的角度切换到了参考系A。同样一个事件 我们也可以从 的视角来看待（关注右上角的方块），得到
于是有了
上述公式本质上说的是在不同相对坐标系下一个事件发生的概率，都可以转换到同一个绝对坐标系下来。另外一个很不严谨的类比就是不同速度飞行的飞船来观察某个物理现象，得到的结论不太一致，但是却有着本质的联系。
贝叶斯其实是想告诉我们，一千个读者有一千个哈姆雷特，但是世界上（全空间坐标系，唯物主义）只有一个哈姆雷特。。。
言归正传，题主想要的公式就是
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