为什么许多问题几何性质很明确，但却还要证明呢？
要深入理解这一点，我们不妨从几个层面来剖析：
1. 直觉的局限性：
想象力受限： 人类的直觉很大程度上建立在我们日常生活中接触到的简单几何图形上，比如直线、圆、三角形、正方形。对于更复杂、抽象，或者在大尺度、小尺度下运作的几何关系，我们的直觉就容易出现偏差。例如，高维空间中的几何性质对我们来说是完全陌生的，我们只能通过类比和推理来理解，而不能直接“看到”。
视觉欺骗： 图形在纸上或屏幕上展示时，会受到透视、角度、线条粗细等因素的影响，有时会产生视觉上的误导。一个看起来平行于另一条的直线，在实际测量中可能并不是；一个看起来等长的线段，用尺子一量却发现略有差异。数学证明正是要摆脱这种依赖于视觉观察的偶然性。
“我看到了”不等同于“我证明了”： 许多时候，我们“看到”的结论，只是一个特定案例或者一种特殊情况下的表现。例如，我们可能看到一个锐角三角形的内角和是180度，就想当然地认为所有三角形都是如此。但数学需要的是普遍性的证明，适用于所有可能的三角形，无论它们是锐角、钝角还是直角，无论它们是什么形状。
2. 数学的严谨性要求：
普适性与精确性： 数学追求的是绝对的普遍性和精确性。一个定理或结论一旦被证明，就意味着它在所有符合前提的条件下都成立，并且不包含任何模糊或模棱两可之处。几何证明正是通过逻辑推理，将直观的猜想一步步转化为无可辩驳的事实。
逻辑链条的建立： 数学证明不是凭空想象，而是基于一系列已经被接受的公理、定义和已证明的定理。每一步推理都必须符合逻辑规则，上一句话是下一句话的必然推论。这种严密的逻辑链条确保了结论的可靠性，也使得数学知识能够层层递进，不断发展。
避免“特例当普遍”的陷阱： 正如前面提到的，我们看到的直观例子往往是“特例”。没有经过证明的结论，很容易陷入“以偏概全”的逻辑误区。证明就是要确保结论的普适性，排除所有可能的例外情况。
3. 发现新知识和解决复杂问题：
从直觉到理论的飞跃： 有时候，直观的理解只是一个起点，是一个启发我们去探索的“灵感”。很多重要的数学定理最初也是由观察或直觉产生的，但只有通过严格的证明，这些直觉才能被转化为可信赖的知识体系，并在此基础上进一步发展。
处理抽象和复杂的情况： 当我们面对的问题不再是简单的平面几何，而是涉及到高维空间、非欧几何、拓扑学等更抽象的领域时，直觉往往会失效。这时，严谨的数学证明就成为我们理解和解决这些问题的唯一途径。例如，庞加莱猜想（后来由佩雷尔曼证明）在提出之初，很多人对其概念感到难以想象，但通过数学的逻辑和证明，我们才得以深入理解其含义。
建立预测和应用的基石： 数学的证明不仅是理论层面的要求，更是实际应用的基础。例如，在工程设计、物理学研究、计算机科学等领域，我们依赖于数学模型来预测和控制现象。这些模型之所以能够被信任，正是因为它们背后的数学原理都经过了严格的证明。一个没有被证明的几何性质，无法用来指导实际的工程建造，因为任何一个小小的误差都可能导致灾难性的后果。
打个比方：
想象一下你在观察一片茂密的森林。你可能会直观地觉得这片森林的树木生长得非常有序，似乎有某种规律。但仅仅凭直觉，你无法确定这种“有序”是否是随机波动，也无法知道它的具体规模和性质。
数学证明就像是你要对这片森林进行科学的测量和分析：
你需要先定义什么是“树木”（公理）。
你需要测量树木之间的距离、高度、密度（定义和基本工具）。
然后，你通过一系列的计算和逻辑推理，来证明“树木的排列确实遵循某种生长模式”（定理的证明）。
这个证明会告诉你，无论你观察的是森林的哪个角落，无论树木的大小如何，这种模式都适用（普适性）。
而且，这个证明会精确地描述这种模式的数学表达式，让你能够预测未来树木的生长方向和密度（应用）。
总结来说， 许多问题虽然几何性质“看起来”很明确，但这种明确性往往是基于我们有限的直觉和经验。数学证明的作用在于：
确保结论的普遍性，排除特例的干扰。
提供严谨的逻辑链条，保证结论的可靠性。
将直观的猜想转化为可以被广泛接受和应用的数学知识。
是我们探索抽象和复杂几何世界的唯一可靠工具。
所以，每一次看似“显而易见”的几何结论背后，都可能隐藏着需要严密逻辑来支撑的深刻道理，正是这些证明，构筑了我们今天所理解的稳固、精确而又充满力量的数学世界。
网友意见
因为数学大厦不是建立在几何之上的。
不过这只是在说当下的数学。毕竟集合这个概念也只是一百多年前才提出的。
数学家需要预先挑选一些定义，命题和推理规则，作为预先设定的公理，就像是“起点”，然后利用它们导出其余结论。现在的数学体系使用集合论和数理逻辑作为起点。至于选择几何作为出发点的数学，也有，古希腊就是这么玩的。《几何原本》就是写这个的，大家可以去赏析一下～
不过这种方法的缺点显而易见。古希腊人要建起代数和算数结构就相当费劲了。毕达哥拉斯甚至因为根号2是不是数这个问题，而干掉了他的一个学生，不愧是引发了第一次数学危机的男人(◐‿◑)
总之，现在的数学不这么处理问题就是了。可能老师提醒过你，“用几何性质证明”不是证明。
（当然几何性质也不是没有意义的。可以当个Remark～）
上面这个是技术问题。
另外还有一个学习方法上的问题，就是不能对自己的直觉太过自信。
当然，人人都喜欢欧氏空间，喜欢连续，连续可微，光滑甚至解析的函数。性质好得一塌糊涂。
可问题是，怎么可能一直天上掉馅饼呢？
比方说，微积分里典型的“废话”，介值定理，大概就是一个连续函数 ，则任意 ，肯定存在一点 ，使得 。行，可以，这乍一看就是天然的成立的。问题是这是在温室里，在欧式空间里。那在别的空间呢？给一个抽象的拓扑空间，这个定理长啥样？或者说还成不成立？什么时候成立？
另外还有一个“废话”，最值定理，还是一个连续函数 ，那肯定存在 ，使得 ， 。很废话，是不是？那还是老问题，在一般的拓扑空间里它长啥样？
另外这两个定理还谈到了函数的“连续”这个概念。那什么是连续？当然如果你高数学的好，那 语言肯定就是张口就来了。那一般的集合上定义的某个映射，能谈“连续”吗？一堆散点上定义的函数可以“连续”吗？
有人可能会问，干嘛非要跳出欧式空间？有必要吗？emm... 从某种意义上是挺没必要的。虽然这个宇宙的时空可能是弯曲的，但至少我们的感知范围内它“几乎”就是个欧式空间。但是，数学还是有自己的初心的... 就不描述了，我一介理科生，语文造诣不行。总之就是情怀吧~只可意会，不可言传
比如在情怀的鼓励下，我们认识到了上面第一个定理本质上在说闭区间的连通性，第二个在说紧致性。
不过，回过头来，回到欧式空间，事情也没大家想得那么美好... 比如，什么是面积？什么是维数？当然如果你学过实变，你就会明白Vitali集是没有“面积”的（不是面积是0，也不是面积无穷大算不过来，是真的“不存在”），也会明白为什么雪花边的维数不是整数。导数几乎处处为0的函数可以不是常数，有处处连续处处不可导的函数...
总之等你回过神来，你才发现看似很乖的欧式空间其实是很皮的。（不说了，正为实变期末而发愁）
最后想粗浅地介绍一下数学是怎么引出大家都知道的那些定理结论的。
就从集合论出发吧。集合大概是少有的数学家承认的不加定义的概念。因为真的太基本了。
公理集合论建立起了一系列概念：并集交集等集合运算，映射，函数，等势等定义。特别地，定义出了自然数集。
再从自然数定义出整数，整数定义出有理数，有理数定义出实数，blabla
上面的流程可能需要一些特殊的结构作为辅助…集合上可以建立起代数结构，拓扑结构，序结构，度量结构，线性结构，blabla
注意：上面这些东西的导出完全没有用超出集合论能推导的范围之外的概念（其实后面也不会用）
然后才有了我们如今熟悉的缤纷的数学世界：算数与数论，线性代数，拓扑空间，人人都喜爱的欧氏空间，点线面，群环域，微积分blabla
然后终于到咱们课本里那些东西：介值定理，中值定理，还有其它一些看起来很像废话的结论。
为了接纳它们，数学走过了一段漫长的道路。所以说，为什么要把走过的阶梯拆了？
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