比开方更高级的运算能否扩充复数域？
首先得明确一点，复数域（也就是包含实数和虚数的那个数域）已经是一个非常完善和封闭的数学结构了。它就像一个已经设计得很精巧的房子，你想再往里面加点什么，得确保不会把整个结构弄塌了。
开方运算，比如求一个数的平方根，之所以能“扩充”实数域，是因为在实数域里，有些数（比如1）是没有平方根的。为了让所有的数都有平方根，我们就引入了虚数单位 $i$，$i^2 = 1$。这样，即使是负数，也能找到它的平方根（例如 $sqrt{1} = i$）。这个引入过程，就是对实数域的扩充，得到了复数域。复数域的好处在于，它是代数闭域，也就是说，任何一个系数为复数的代数方程（比如 $ax^n + bx^{n1} + ... + z = 0$）在复数域内都有根。这个性质太重要了，就像一个数学上的“万能钥匙”。
那么，有没有比开方“更高级”的运算呢？这个“高级”可以理解为更复杂，或者更强大。我们可以从几个方向去思考：
1. 迭代运算和超运算（Hyperoperations）
我们知道，加法是重复的计数，乘法是重复的加法，指数是重复的乘法。这种重复运算可以一直进行下去，形成一个叫做“超运算”的序列。
$H_0(a, b) = b+1$ （后继运算，可以看作是加1的特殊情况）
$H_1(a, b) = a+b$ （加法）
$H_2(a, b) = a imes b$ （乘法）
$H_3(a, b) = a^b$ （指数）
$H_4(a, b) = a uparrow uparrow b$ （高德纳箭号表示法，例如 $3 uparrow uparrow 4 = 3^{3^{3^3}}$）
以此类推，还有tetration（迭代指数）、pentation（迭代tetration）等等。
这些运算在复数域上都可以定义。比如，复数的指数运算 $z^w$ 已经是很自然的事情了，可以通过欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + i sin heta$ 来理解和计算。那么，如果我们要定义复数的迭代指数 $z uparrow uparrow w$ 呢？比如，计算 $i uparrow uparrow 2 = i^i$。我们可以利用复数形式的指数：
$i^i = (e^{ipi/2})^i = e^{i^2pi/2} = e^{pi/2}$。
这是一个实数，而且是个很特别的实数。
更进一步，像 $i uparrow uparrow 3 = i^{i^i} = i^{e^{pi/2}}$ 也可以通过复数指数运算来计算。
问题在于：这些超运算在复数域上定义起来是否会“填补新的空白”，或者说创造出“非复数”的数？
通常情况下，当我们谈论扩展数域时，我们希望新引入的运算能够解决原数域中“无解”的问题，就像平方根解决了负数的平方根问题一样。而超运算序列，本质上是在复数域内部进行“更复杂的组合”。虽然计算结果可能变得非常巨大或者非常复杂，但它仍然是在复数域内的运算，其结果仍然是一个复数。
打个比方，复数域就像一个完整的乐高套装，你可以用这些积木搭出各种各样的东西，但是最终你得到的还是用这些积木搭成的模型，而不是说突然冒出了一个全新的、不同材质的零件。
2. 对数和三角函数及其反函数
对数是指数的逆运算。在复数域中，对数运算是存在的，但它不是单值的。例如，$ln(1) = 0, 2pi i, 4pi i, ...$。
三角函数和反三角函数在复数域中也有定义，而且通过欧拉公式 $e^{ix} = cos x + i sin x$，它们和指数函数有着密切的联系。例如，$cos z = frac{e^{iz} + e^{iz}}{2}$。
这些运算的逆运算，比如反正切、反正弦等，在复数域中也是可以计算的。它们的结果仍然是复数。
那么，有没有可能通过某些“高级”运算，使得复数域变得“不完备”，需要进一步扩充呢？
这就要看我们如何定义“高级运算”了。如果这些运算的定义本身就依赖于引入新的数学对象，那自然就实现了扩充。但如果这些运算只是复数域内部的组合，那结果仍然是复数。
一些更前沿的数学思想可能会触及这个领域：
超复数（Hypercomplex numbers）：这是数学家们在复数基础上进行的一系列尝试。
四元数（Quaternions）：由哈密顿发明，将复数形式 $(a+bi)$ 推广为 $a + bi + cj + dk$，其中 $i, j, k$ 是新的“虚数单位”，满足 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = 1$。四元数在三维旋转方面有很好的应用。虽然四元数看起来像是在复数域之上“加了一层”，但它并不是一个域（因为乘法不满足交换律），而是一个除法代数。四元数是一个比复数“更大”的数系，但它不能算是“比开方更高级的运算扩充了复数域”的直接例子，因为它本身引入了新的基本单位和规则。
八元数（Octonions） 和 十六元数（Sedenions） 等更高维度的超复数也存在，但随着维度的增加，它们会失去越来越重要的代数性质（如结合律、交换律）。
这些超复数系统，可以看作是尝试在复数的基础上构建更丰富的代数结构，但它们通常是通过引入新的基础元素和新的乘法规则来实现的，而不是简单地通过一个“更高级的运算”来“填补空白”。
复变函数理论中的解析延拓：在复变函数中，我们研究的函数（如对数、幂函数）有时会在某些点上出现奇点或多值性。比如 $ln z$ 在 $z=0$ 处是奇点，在复数域上它是一个多值函数。解析延拓就是一种将函数解析定义域从一个区域推广到另一个区域的方法。虽然它处理的是函数和解析性，但其本质上是在复数域的框架内，更深入地理解和操作复数及其函数。
总结一下：
目前我们所熟知的“运算”，即使是像超运算这样迭代下去，在复数域内，其结果仍然是复数。复数域本身在代数上是完备的，任何复系数代数方程总能在复数域内找到根。
如果要“扩充”复数域，通常需要引入新的基本元素（就像 $i$ 是从实数域引入的），或者建立新的公理系统，而不是仅仅通过一个更复杂的运算来完成。 四元数等超复数系统就是通过引入新的基本单位和规则来实现的，它们是比复数更广泛的代数结构，但它们并不直接是“比开方更高级的运算”对复数域的扩充。
所以，与其说是“比开方更高级的运算”，不如说是新的代数结构和公理体系，才有可能在复数域的基础上创造出新的、更丰富的数系。这些新的数系可能拥有更复杂的运算，但它们本身是新的数学体系的基石，而不是现有体系的“自然延伸”。
可以想象一下，如果你有一个规则：将所有已知的数（包括实数和复数）都进行某种“超级运算”，比如无穷次迭代求幂。计算结果会变得极其复杂，可能涉及到无穷大、无穷小，甚至是无法用现有复数表示的极限情况。但这种“超级运算”本身就是为了定义这些新的数，而不是因为在复数域内运算时发现了解释不了的情况。
总而言之，复数域是一个非常稳固且有用的数学框架。想让它变得“更热闹”，往往需要的是引入全新的“规则”或“玩家”，而不是简单地让现有玩家玩得更“花哨”。
网友意见
嗷……其实大家也希望的꜀(｡௰｡ ꜆)꜄但是这么做真的不行qwqq
代数上的性质会告诉我们，无论你给实数域 加一个多少次的方程的一个根，我们得到的那个东西如果比 大，就只能是复数域
大家也在想，我们能不能不管这个什么代数方程了，不管用什么手段，我把数扩了就好了呢？
遗憾的是，答案是——不行！
实数R的这个数域的扩充，如果你要求这个啥，加减乘除，交换律结合律，想干啥干啥，其实就只能是复数域 了。代数上会保证这一点。
丧心病狂的数学家们并没有满足，既然你要求这么多达不到，我们可以减弱一些要求吗？
具体地说，我们想在 上定义一个“乘法”，满足这几条性质就行了
1.交换律结合律太厉害了，我们就不要求了。但是它作为乘法得有乘法的尊严吧(๑•॒̀ ູ॒•́๑)换句话说，它总得有分配律吧。即
和
2.加减乘除，除法应该也要有~即
对每个不是 的 ，存在一个数 ，使得
(3).既然每个“数”都是一个向量，它就有一个长度。我们的乘法应该是保持长度的，即
就是这三条性质了。乍一看它们又多又杂，根本不讲道理，但其实每一条定义都是有原因的——我们所要寻找的空间，一定是在数学里有用的东西，也就是所谓“可爱”的东西。
寻找这样的空间绝非易事。复数在16世纪17世纪的时候就被提出了，而Hamilton发现四元数则是在两百多年后的19世纪，八元数与四元数被发现的年代倒差不多——然而此时Riemann和Werestrass已经把复数域上的分析研究得彻彻底底了，四元数才刚刚被发现。
相比复数域来说，四元数体已然开始有些不靠谱——它的乘法不交换，即 和 不一定是一个东西。Anyway，即使是这样，它在数学的各个分支，包括几何、拓扑、代数、分析，都已然展现出惊人的好处。(下面几句话可以跳过~)举个栗子，通过它我们可以得到 到 的一个二重映射，你以后如果学了李群就会知道这是一个李群的同态，你继续学李群就会发现……怎么讲来讲去就这么一个例子啊摔Ծ‸Ծ其实就是因为这个是最简单的不平凡的李群同态了。
如果说四元数不交换已经使你难受的话，八元数就更加奇葩了——它甚至不结合！
不结合这件事情对于数学家来说打击尤为强烈，对于很多结构来说，结合律都是更为本质的东西，而交换律往往可有可无——有的话更好，没有的话……也能做~八元数体的乘法甚至不结合，这就使得八元数没有获得如同四元数那么重要的地位。与此同时，数学家们也开始猜测，八维以上是不是就没有这种空间了。
感谢 @王筝 指出的，感兴趣的读者可以点开Cayley-Dickson construction看一看这些性质是怎么在一步一步的构造中失去的，（当然，既然每一个柿子都会使得文章的读者减半，细节我就不贴出来啦，维基上面写得已经十分清楚啦www）
这件事情的证明来自于19世纪末Hurwitz的证明，利用刚才给出的Cayley-Dickson构造，这个问题似乎不太困难地被解决了。
撒花！~~
丧心病狂plus的数学家们并没有停下丧心病狂的步伐，一个自然的想法又冒了出来——在刚才的要求里，第三条与前两条并不太相同，前两条性质十分的代数，而第三条与长度有关，似乎有一些几何的意味——我们是否可以把第三个要求去掉呢？
- 一个实数上的线性空间 带上一个乘法，使得乘法与加法满足分配率，而且在这个空间也可以做除法，它是否就是之前的四种之一？
寻找四元数与八元数这样的例子已经不容易，证明这样的空间只能是复数域、四元数和八元数则更加困难，可以说这是数学家们的百年接力。在今天的眼光看来，1900年以前的数学对这个结论几乎是没有任何办法——任何古典的工具在这个问题上都束手无策。
给这件事情带来转机的是Poincare,他在世纪之交引入的同调似乎可以开始撼动这个问题了——上同调的理论可以证明，这样的空间，维数只能是 。因为这个发明，Poincare也成为了代数拓扑的祖师爷。
然而Poincare的上同调做到 的地步就再也进行不下去了，我们既找不到16维的例子，也无法证明16维以上的都不行了꜀(｡௰｡ ꜆)꜄
接下来的一个祖师爷一样的人物是Grothendieck，老爷子前几年才去世，在数学届可以说是风清扬一样的人了
Grothendieck喜欢各种抽象的东西，他一生中发明了无数奇怪而又威力巨大的东西，其中之一就是一个奇怪的上同调的理论，他把它称作K-理论。这个理论出人意料地强大，在50年代其问世不久，就被拓扑学的一个传奇Milnor和Kervaire用来证明了这样的东西维数只能是1,2,4,8.
喵，以上就是这个问题的历史来着~几百年来大家一直在思考它观察它，到了今天，也算是一个十分成熟的东西啦~
谢谢你看完我的回答w
类似的话题
-
咱们来聊聊一个挺有意思的问题：除了咱们熟悉的加减乘除和开方，有没有更“厉害”的运算，能让复数这个大家庭变得更热闹，或者说，能创造出新的数系来？首先得明确一点，复数域（也就是包含实数和虚数的那个数域）已经是一个非常完善和封闭的数学结构了。它就像一个已经设计得很精巧的房子，你想再往里面加点什么，得确保不............. -
有些人之所以坚信人类不可能基于图形用户界面（GUI）的操作方式，发明出比“命令式编辑器”（通常指代文本编辑器或集成开发环境IDE中的代码编辑部分）效率更高的开发环境，这背后并非没有道理，而是源于对软件开发核心本质的理解，以及对人机交互效率的深刻洞察。要理解这一点，我们需要深入探讨几个关键方面。1. .............
-
中国新生代父母：是开放还是“更”开放？性别比的迷思“中国新生代父母比老一辈思想更开放”——这听起来像是一个顺理成章的结论，尤其是在我们能轻易接触到各种信息、生活方式日新月异的当下。但要说这是“谬论”也并非空穴来风。究竟是何种原因让我们产生了这样的认知，又或是这种认知存在着哪些偏差？而当我们把目光聚焦.............
-
这个问题问得挺好，直击了高性能编程的要害。简单来说，使用寄存器层面的操作，在某些特定场景下，确实比直接调用高级语言的库函数，可以带来更快的程序运行速度。 但这并非绝对，而且背后涉及的学问非常深厚。咱们一步一步来捋一捋。首先，得明白“寄存器”和“库开发”各自是怎么回事。寄存器：计算机的“临时高速缓存”.............
-
这个问题很有意思，咱们不妨掰开了揉碎了好好说道说道。用冰块给汽车降温 vs. 怠速开空调：哪个更省钱？首先，咱们得明确一点，这两个选项一个是用物理方式降温，另一个是用能源驱动降温，本质上是不同的。所以，直接说哪个“一定”更省钱，得看具体情况。一、 咱们先来看看用冰块给汽车降温这招：这招的核心思路是利.............
-
这是一个非常有趣也容易引起讨论的问题，也涉及到很多复杂的社会文化因素。要说西方青年和中国青年谁更包容开放，确实很难一概而论，因为“西方”本身就是一个非常多元的概念，包含着欧洲、北美等不同国家和文化背景，而中国青年群体内部也存在着地域、教育、家庭环境等诸多差异。不过，从一些普遍观察到的现象来聊聊，我们.............
-
关于“中国人是否比其他国家的人更喜欢开挂”这个问题，以及它与“内卷”现象的关系，这确实是一个非常值得探讨的话题。在深入分析之前，我们需要明确一点：任何一个国家或文化群体中都存在着寻求优势、规避规则的行为，将“开挂”行为简单地归咎于某个民族的特征是不准确的，也容易陷入刻板印象。然而，我们确实可以从社会.............
-
中国的司机在开车时是否比国外司机更频繁地变道，这是一个在不同文化背景下容易引发讨论的话题。要给出直接的“是”或“否”的答案其实很难，因为这涉及到许多复杂因素，而且“国外”是一个非常宽泛的概念，不同国家和地区的驾驶习惯差异巨大。然而，我们可以从几个角度来分析，为什么在一些情况下，中国司机（或者说某些特.............
-
原神和塞尔达比哪个更好玩？原神算国产开放世界顶级吗？这是一个玩家们津津乐道，也是充满争议的问题。要回答这个问题，首先得承认，它们都是非常优秀的开放世界游戏，但各有侧重，吸引的玩家群体也有所不同。先说说《塞尔达传说：旷野之息》（以及《王国之泪》）：《塞尔达传说》系列，尤其是《旷野之息》和《王国之泪》，.............
-
关于伊朗与伊拉克在面对美国军事干预时哪个会更快“倒下”的问题，这涉及到对两国军事能力、地缘政治环境以及可能的外来支持等多个层面的复杂考量，而非简单的线性对比。首先，我们得承认，伊拉克在2003年时，其军事力量相较于伊朗当下拥有更明显的差距。萨达姆政权下的伊拉克军队，虽然在海湾战争中展现过一定抵抗力，.............
-
这事儿，问到点子上了。《原神》在中学生群体里的火爆程度，那可不是盖的，跟《塞尔达传说：荒野之息》（以下简称“野炊”）比起来，后者虽然口碑爆棚，但在校园里，你听到同学们讨论的，十有八九是“肝”了多少体力，“抽”到了哪个老婆，而不是“我昨天又解开了哪个神庙”。为什么会有这么大的区别？我觉得主要有这么几个.............
-
这事儿啊，最近在网上闹得挺热闹，说的是上海某位院士，公开表示江南饮食比北方饮食更适合咱们中国人，还顺带提了一嘴，说北方人普遍比南方人胖。这话一出来，可不是炸开了锅嘛！首先，咱得承认，这位院士的身份在那儿摆着呢，能走到这一步，那脑瓜子肯定是有两把刷子的。他提出“江南饮食模式更适合国人”，这背后肯定是有.............
-
为了回答这个问题，我们需要深入剖析VxWorks RTOS、MIPS架构与宏内核OS、CISC架构在专用硬件防火墙开发中的性能差异。这不是一个简单的“是”或“否”就能概括的，它涉及到多个层面的权衡与优化。首先，我们得明白，专用硬件防火墙的目标是高性能、低延迟、高吞吐量以及在安全和可靠性方面的卓越表现.............
-
看到同龄人开着我望尘莫及的车，最初的感觉，就像是一记闷棍，猝不及防地打在心上。那是一种混合了羡慕、一点点失落，甚至说，偶尔还有一丝被抛在身后的不甘。我总会下意识地去打量那辆车，它的牌子，它的型号，它的光泽，还有它在路上行驶时那份从容的姿态。我会想，这车得多少钱？这人是怎么做到的？是家里有钱？还是自己.............
-
梁建章的这个建议，听起来是挺有意思的，也触及到了一个挺现实的社会话题——择偶标准和性别角色。我来聊聊我的看法，也说说我自己的择偶观。评价梁建章的建议：首先，从社会进步和资源优化的角度来看，梁建章的建议有其积极的一面。 打破传统观念束缚： 传统社会很多时候对男性和女性的择偶标准有着约定俗成的“潜规.............
-
林远图，一个名字，一段传奇。他以一身好武功，在江湖上闯出名声，最终选择开设镖局，这份事业，看似光鲜，实则充满了江湖的刀光剑影与世事的变幻。然而，回头审视，林远图开设镖局，究竟是明智之举，还是战略上的失误？有没有更好的选择，能够让他的人生轨迹，绽放出更璀璨的光芒？镖局，是一条充满荆棘的路林远图选择开设.............
-
这事儿怎么说呢，有点像是在喧嚣的车流里，突然从袖口滑出来一道低调却又不可忽视的光芒。平日里，我的车充其量是个代步工具，皮实耐用是第一要务，毕竟日常通勤、偶尔拉点东西，它都得兢兢业业地完成任务。停在外面的它，风吹日晒雨淋，停在家楼下，可能还被邻居的车蹭过，这些都是常事，我也习惯了。它就像我一个可靠的老.............
-
开城市SUV的体验，就像是给日常生活加了一层“防护罩”和“万能工具箱”。它让你在面对这座熟悉又充满变数的城市时，多了一份从容和底气。首先，视野的提升是开城市SUV最直观的感受。坐姿比轿车高了不少，你会感觉自己像个“小山坡上的观察员”，前方的路况、两侧的行人车辆，甚至是一些平时在轿车里看不到的细节，都.............
-
.......
-
摩托车与汽车的优劣之争，由来已久，而关于限制摩托车的讨论，也从未停歇。有人认为放宽摩托车限制，能够带来诸多便利和好处，但也有人对其安全性表示担忧。那么，摩托车真比开车好吗？开放限制又会带来哪些影响？咱们不妨来细细说道说道。摩托车真的比开车好吗？这得看从哪个角度说。从便捷性和经济性上讲，摩托车确实有其.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有