击倒中国奥数队的几何题应该怎么解？
它给出的情境，通常是围绕着一个特殊的几何图形展开，比如一个圆，或者一个三角形。然后，会在这个图形上设定一些点，定义一些线段，并给出一些已知的角度、长度关系，或者是比例。我们面对的挑战，就是要利用这些已知条件，去证明另外一个未知的角度、长度关系，或者是一个几何性质。
解题的关键，往往不在于直接寻找一条“捷径”一步到位，而是要像剥洋葱一样，一层层地深入。首先，我们要做的，就是把题目给出的信息，在脑海中或者纸上，清晰地画出来。每一个点的位置，每一条线的方向，每一个已知的角度，都要准确地标记。很多时候，第一步的准确绘图，就已经能让我们对问题产生一些初步的直观感受，甚至能隐隐约约地看到解题的曙光。
接下来，就是思考如何连接已知和未知。这通常需要我们引入一些“辅助线”。辅助线可以说是几何解题的“暗器”，它们本身不是题目给出的，而是我们自己根据题意和需要画出来的。辅助线的画法非常有讲究，它可以是连接两个已知点，也可以是从一个已知点向一条已知线作垂线，或者是以某个点为圆心，以某个长度为半径画圆。辅助线的引入，是为了创造出新的三角形、新的全等或相似图形，从而利用它们已知的性质来推导。
比如说，如果题目中出现了角度，我们就要考虑是否能构造出等腰三角形，因为等腰三角形的两个底角相等，这往往是我们突破僵局的突破口。如果出现了一些长度关系，那么全等三角形或相似三角形的判定就可能是我们的目标。全等三角形意味着对应边长和对应角都相等，而相似三角形则意味着对应角相等，对应边长成比例。
在画完辅助线后，我们就要开始进行严谨的逻辑推导。每一个推导步骤，都必须基于公理、定理，或者是前面已经证明过的结论。例如，我们可以说“因为角A等于角B，且AC=BC，所以三角形ABC是等腰三角形”，或者“因为三角形ABD和三角形CBE都是直角三角形，且AB=CB，BD=BE，所以这两个三角形全等”。这样的推导过程，环环相扣，就像链条一样，一旦其中一个环节出了问题，整个逻辑链条就会断裂。
很多时候，我们可能需要不止画一条辅助线，甚至需要几种不同类型的辅助线交织在一起，才能最终搭建起通往答案的桥梁。在这个过程中，耐心和细心就显得尤为重要。遇到困难时，不要轻易放弃，而是要回头审视题目给出的条件，看看有没有遗漏的或者可以换个角度思考的地方。有时候，改变一下观察的角度，或者尝试另一种类型的辅助线，就能发现新的突破口。
最令人兴奋的时刻，莫过于在层层推理之后，最终得到了我们想要证明的结论。那个时候，所有的付出和思考，都会化为一种豁然开朗的喜悦。所以，那道题之所以难，并不是因为它的原理有多么晦涩，而是因为它需要我们在基础的几何知识之上，展现出非凡的构造能力、严谨的逻辑思维，以及面对困难时坚持不懈的精神。它就像一场精巧的棋局，每一步都不能出错，最终才能在棋盘上走出漂亮的胜利。
网友意见
谢谢邀请。
这道题由乌克兰提供，是历史上较为少见的将平面几何作为单日最后一题的情况。此题难度相当大，在世界范围内，仅有 30 人得到满分 7 分，平均得分 0.653
中国队遭遇滑铁卢，只有 @俞辰捷 做出来了，其他人都只得到了 1 分，鉴于中国队一直以来超强的实力，在全世界有 30 人满分的情况下，只有一人做出，有点失常。
鉴于答主已经离开数学竞赛多年，就不要不自量力地尝试去做了，静静贴一下参考答案就好。
本题有多种解法，这里贴出其中的五个解答。
个人认为，解答其实并不复杂，有一定竞赛基础的人都可以看懂，甚至觉得“其实也没多难嘛”，但几何题就是这样，能看懂答案不意味着自己做就能想到，尤其是辅助线的添加，是不太容易想到的。
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【解答一】
记 Γ 的中心是 O. 设 AX 为 Γ 的直径.
这个问题所有的证明, 也许, 都需要这个事实: Q, H, M, X 四点共线.
AX 是 Γ 的直径蕴涵 ∠AQX=90°. ∠AQH=90° 表明 ∠AQX=∠AQH, 进而 Q, H, X 三点共线.
AX 是 Γ 的直径蕴涵 XB, XC 分别与 AB, AC 垂直. H 是 △ABC 的垂心宣示 HC, HB 分别与 AB, AC垂直. 因此, 四边形 BXCH 是平行四边形. M 是 BC, 进而也是 XH, 的中点. 从而, X, M, H 三点共线.
综合起来, 我们知道 Q, H, M, X 四点共线.
不证明四边形 BXCH 是平行四边形也是可以说明 M 是 XH 的中点. 从而, X, M, H 三点共线.
事实上, 对任何一个三角形 ABC 的垂心 H, 外心 O, 以及 BC 的中点 M, 熟知的一个性质是 OM∥AH, 且 OM=1/2 AH.
这性质很直接很强烈的表达了 M 就是 XH 的中点.
延长 AF 交 Γ 于 Y. 注意∠HKQ=∠HYX=∠HFM=90°,
于是三角形 HKQ 的外接圆, 三角形 HXY 的外接圆与三角形 HMF 的外接圆在 H 点相切.
QK 与 XY 的延长线交于点 V. 于是 VQ⋅VK=VX⋅VY.(圆的割线性质)
故而, V 在三角形 HKQ 的外接圆与三角形 HXY 的外接圆的根轴上. 这个根轴就是 VH（这步是关键！）， 并且 VH 是三角形 HKQ 的外接圆, 三角形 HXY 的外接圆与三角形 HMF 的外接圆的公切线. VH⊥QX.
AX 为 Γ 的直径蕴涵 XY⊥AY. 于是 BC⊥AF 表明 BC∥XY. 设 U 是 VH 与 BC 的交点. H 是 △ABC 的垂心揭示 F 是 HY 的中点. 至此, U 是 HV 的中点. ∠HKV=90° 蕴涵 UK=UH. UH 与三角形 HKQ 的外接圆相切, 故而 UK 也与三角形 HKQ 的外接圆相切.
U 在三角形 HMF 的外接圆与三角形 FKM 的外接圆的根轴 MF 上. UH 与三角形 HMF 的外接圆相切. 然后, UK=UH 蕴涵 UK 是三角形 FKM 的外接圆的切线. 于是 HKQ 的外接圆与三角形 FKM 的外接圆相切, 因为这两个圆都与 UK 切于点 K.
【解答二】
延长 AF 交 Γ 于 Y.
在三角形 KQH 与 KAX 中, ∠HKQ=∠XKA=90°, ∠HQK=∠XQK=∠XAK, 于是, ∠KHQ=∠KXA=∠KYA=∠KYH.,这说明 QX 与三角形 HYK 的外接圆相切.
设 U 是三角形 HYK 的外心. U 在 HY 在中垂线 BC 上. QX 是三角形 HYK 的外接圆的切线, 所以 UH⊥QH. 于是 UH 与三角形 HKQ 的外接圆相切. UK=UH 说明 UK 也与三角形 HKQ 的外接圆相切.UH⊥HM, HF⊥MU,
根据射影定理 UK^2=UH^2=UF⋅UM.
这导出 UK 是三角形 FKM 的外接圆的切线. 既然 UK 是HKQ 的外接圆与三角形 FKM 的外接圆的公切线, 从而 HKQ 的外接圆与三角形 FKM 的外接圆相切.
【解答三】
延长 AF 交 Γ 于 Y.
H 是 △ABC 的垂心揭示 ∠QMC=∠YMC, 于是, 四边形 BYCQ 是调和四边形, 由此 ∠QBY=∠QMC.
设 QZ 为 Γ 的直径. 于是 ∠QKZ=90°. ∠QKH=90° 表明 ∠QKZ=∠QKH, 进而 K, H, Z 三点共线.
ZQ 为 Γ 的直径, 于是 ∠ZKY+∠QBY=90°. 故此∠HKY=∠ZKY=90°−∠QBY=90°−∠QMC=∠MHY,
这说明 XQ 与三角形 HYK 的外接圆相切.
【解答四】
QK 与 BC 的延长线交于点 W. 既然 HK⊥KW, HF⊥FW, 于是 H, F, W, K 四点共圆. 故而
∠KFW=∠KHW.
注意, 三角形 ABC, HBC 的外接圆的根轴是 BC; 三角形 ABC, KQH 的外接圆的根轴是 QK. 既然 W 是 BC 与 QK 的交点, 因此 W 是三个三角形 ABC, HBC, KQH 的外接圆的根心, 进而 HW 即是三角形 HBC, KQH 的外接圆的根轴. 设三角形 HBC, KQH 的外接圆的 H 之外的另一个交点是 S, 则 S 在 HW上.
设三角形 KQH 的外接圆与 KF 的 K 之外的另一个交点是 T; MS 的延长线交三角形 ABC 的外接圆于 K′; S 关于 M 的对称点是 S′. 注意, S′ 在三角形 ABC 的外接圆上. 于是
∠QHS=180°−∠MHS=180°−∠MXS′=180°−∠QK′S.
故此, Q, H, S, K′ 四点共圆. 因而, K 与 K′ 重合. 这也就是说, M, S, K 三点共线.
由于 H, S, T, K 四点共圆, 于是∠KFM=180°−∠KFW=180°−∠KHW=∠KTS.
这表明 ST∥MF. 进而, 三角形 KST 与 KMF 位似, K 是位似中心. 这也就说明了, KST 的外接圆与三角形 KMF 的外接圆在 K 点相切.
【解答五】
解答三的 K, H, Z 三点共线, 以及 XZˆ=AQˆ, 所以∠KHQ=∠HQZ+∠HZQ=∠AYQ+∠QYK=∠AYK.
或者稍微变通一下, AX 是 Γ 的直径, 因此 AKXˆ 恰是一个半圆. 因此∠XQK+∠AYK=90°.
注意 ∠HKQ=90°, 于是∠KHQ=90°−∠KQH=∠HYK.
因此, QH 是三角形 HYK 的外接圆的切线. 所以 ∠QHK=∠HYK. 又因为 MF 是 HY 的中垂线, 故而
∠MKH=∠YKF.
于是, 我们得出了∠QHK+∠MKH=∠HYK+∠YKF=∠HFK.
QK⊥HK, HF⊥FC 给出 ∠QHK=90°−∠KQH, ∠HFK=90°−∠KFC,
我们有(90°−∠KQH)+∠MKH=90°−∠KFC.
换言之∠KFC+∠MKH=∠KQH.
这说明, KQH 的外接圆与三角形 KMF 的外接圆在 K 点相切.
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【参考资料】
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