在LaTeX发明前，人们怎么打印复杂的数学公式？
活字印刷：精密的拼凑艺术
在 LaTeX 出现之前，最主流的印刷方式是活字印刷（Letterpress Printing）。这是一种基于凸版印刷的工艺，简单来说，就是将印有文字或符号的金属（或木头）块，按照预定的排版顺序，一块一块地排列在印版上。对于数学公式来说，这就意味着需要大量的、形状各异的金属活字。
字模的种类繁多，尺寸各异： 不同于我们今天看到的统一字号，数学公式中，上下标、分数线、根号、积分符号、希腊字母、特殊函数的符号（如sin, cos, log）、各种花体字母（如黑板体）等等，都需要专门制作的字模。这些字模不仅有不同的字母和数字，更有无数种符号，而且它们都有不同的尺寸，以便与主体文字和字母的大小比例协调。想象一下，一个分数，分子、分母、分数线，可能都需要不同大小的活字来组合。
手动排版，极度考验耐心： 排字工人（Compositor）需要根据手稿上的数学公式，从成堆的字模中精确地找出每一个需要的字母、数字和符号，然后小心翼翼地将它们按照从左到右、从上到下的顺序，一个一个地放入一个称为“字盘”（Type Case）的格子盘中，再将这些字盘里的活字取出，排列在一条称为“字条”（Galley）的金属条上。对于复杂的公式，这个过程可能需要花费数小时甚至更长时间。
上下标的挑战： 如何排印上下标是最大的难点之一。例如 $x^2$、$a^{m+n}$、$f(x_1, x_2)$ 这样的结构，就需要将代表“2”的活字放到“x”的上方稍偏右的位置，将“m+n”放到“a”的上方，将“1”和“2”分别放到“x”的右下方。这不仅仅是简单地“放上去”，而是要考虑到字母的基线（baseline）、上方延伸（ascender）、下方延伸（descender）等，确保公式的整体美观和可读性。有时候，为了达到精确的垂直和水平位置，可能需要在活字下方垫上纸片或其他填充物，以微调其在印版上的高度。
分数的排印： 一个简单的分数 $frac{a}{b}$，也需要将“a”放在上方，将“b”放在下方，并在中间放置一条精确长度和粗细的分数线活字。更复杂的嵌套分数，例如 $frac{1}{frac{a}{b}}$，则需要层层嵌套，难度指数级增长。
积分、求和、极限等符号： 像 $int f(x) dx$、$ sum_{i=1}^n a_i $、$ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} $ 这样的符号，通常也都有专门的、较大的活字。将它们与公式中的其他部分完美对齐，尤其是上下限的排印，更是考验排字工人的技艺。
特殊函数和符号： 像 $sin$, $cos$, $log$, $lim$ 这样的函数名，在早期印刷中，有时会直接使用预先组合好的、带有特定字体的活字模块。而像矩阵、希腊字母、花体字母等等，也都有自己独立的字模集。
排版流程的复杂性
1. 手稿准备： 作者写好手稿，需要用清晰的笔迹写明每一个数学符号，并且可能需要在旁边附注说明，例如“sin 用 roman 字体”、“根号要加长”等。
2. 排版校对（Proofreading）： 排版工人将排好的印版（通常是铅字印刷的铅条）进行试印，得到校样（proof）。然后，专业的校对人员会仔细核对校样上的数学公式，与原稿逐字逐句地进行比对，找出错误。
3. 修正： 一旦发现错误，排字工人就需要将印版上错误的活字逐一拔出，换上正确的活字。这个过程同样繁琐，尤其是在印刷量大的情况下，如果发现错误，可能需要重新排版一部分内容。
4. 制版和印刷： 经过反复校对，最终确认无误后，会将这些铅字活字排列成完整的版面，然后进行固定，再进行印刷。
替代方案与辅助工具
尽管活字印刷是主流，但在某些特定情况下，也出现了一些辅助的解决方案：
手写插图： 对于特别复杂、难以用活字排印的公式，或者在印量非常小、成本不敏感的情况下，编辑可能会选择在印刷好的页面上，直接用手工的方式将公式绘制上去。这种方式虽然能够保证准确性，但会破坏印刷的整体风格，并且不适合大规模生产。
更早期的木质或石刻印刷： 在活字印刷技术真正成熟之前，可能还会采用木刻或石刻的方式来印刷公式，但这在效率和精细度上都远不如金属活字。
总结
在 LaTeX 出现之前，印刷复杂的数学公式是一项需要高度专业技能、耐心和细致的工作。它依赖于海量的、精密制作的金属活字，以及经验丰富的排字工人和校对人员。每一次公式的变动，都可能意味着大量的返工。 LaTeX 的出现，极大地解放了数学家和科学家，将他们从繁琐的排版劳动中解放出来，让他们能够更专注于数学研究本身，这无疑是科技和学术领域的一大飞跃。
网友意见
大概按照时间排列，有铅活字、热金属铸排、打字机、照相排版等方案。我就来放几张图吧。
铅活字印刷
活字的原理相信大家都比较清楚。它的优势就在于「活」，排版工人可以比较自由地选择字体和符号，复杂的嵌套结构也可以通过加铅条、铅块来精细调整：[1][2]
但缺点也很明显，活字排版费时费力，比如陈景润的论文「由科学院印刷厂派资深排版师傅欧光弟操作，整整排了一星期」。
蒙纳四行式铸排机
铸排机基于活字印刷，但它利用机械原理将流程自动化从而大大提高效率。字体设计师 Daniel Rhatigan 在雷丁大学读书时对此有过较为深入的研究，我们可以直接 follow 他的文章 The Monotype 4-Line System for Setting Mathematics[3]。
首先介绍一下蒙纳铸排机（Monotype）的原理。它是一种热金属铸排机，与按行处理的莱诺机（Linotype）不同，蒙纳机是逐字处理（这也就是叫 mono 的原因）。大致的排版流程是（见下图[4]），首先使用键盘输入需要排版的文本，此时会生成一个记录有字模信息的纸带；之后纸带被送入铸字单元（caster），依据纸带上的信息挑出对应的字模，再用融化的铅液铸造成活字；待活字冷却后排成活字版，即可进行印刷，也可以辅之以人工微调。
蒙纳铸排机只能排版行列较为整齐的普通文本。对于数学公式，它就力所不能及了。但在 1957 年，蒙纳公司改进了他们的技术，发明了一种四行式铸排机（4-line system），可以比较容易地实现高质量公式的排版。
这种铸排机把公式放在四行一组的单元内，较大的字母、符号占据四行，中等的占据两行，上下标则只占一行，另外中间可以加一条分数线：
排版工人仍然可以通过键盘操作铸排机，自动生成对应的活字版，并完成印刷。比起普通文本，公式的排版需要不停地插入各种空白，以在不同行之间切换，这对排版工人的技术水平要求很高。但不管怎么说，四行式铸排机在保证排版质量的前提下仍大幅度提高了效率（文章中称提高了 26%），还是一项巨大的进步。它的排版效果如图所示：
另外，蒙纳公司还专门为此开发了一套字体（Times New Roman Series 569），用于排版数学公式。这套字体提供了拉丁字母、希腊字母、各种符号，还可以保证不同尺寸的符号都能在视觉上达到平衡。
打字机
铸排机占地较大，也远不是个人可以使用的家伙。对于作者而言，可以使用打字机来实现简单的排版。比较常见的打字机是下面这样的[5]。键盘上面的每个按键后面连着一根金属杆，按下按键时对应的字符就会被印到纸上。
这种打字机只能使用固定的字体（所谓「打字机字体」），支持的字符也比较有限，对于数学公式显然是杯水车薪。
1961 年，IBM 发明了电选打字机（IBM Selectric typewriter）[6]，用一个高尔夫球状的印球（typeball）把字符印到纸上：
与之前的打字机不同，IBM Selectric 的印球是可更换的。当需要输入一些符号时，只要换成其他的印球就可以了：[7]
用打字机打出来的文稿排版质量并不高，但至少比草稿纸好了一大截对吧：
- Milnor Lectures on the h-cobordism theorem, 1965[8]
- S Wolfram. Introduction to the weak interaction, 1974
- J J Sakurai. Modern Quantum Mechanics (Solutions Manual), 1985
除了符号很多，数学公式的结构往往也很复杂，而这在打字机里面很难处理。达到上面的图中的效果，作者应该也是尽力了，有的地方还不得不徒手画个 ∂ 啥的。
照相排版
所谓「告别铅与火，走向光与电」，照相排版使用光电技术将文字制作在感光材料（相纸、胶片等）上，再制版印刷。手工照排也有相当的灵活性，但排版质量很大程度上也依赖操作技艺：同是用 Linotron 排版，结果怎么就差这么大呢？[9][10]
总而言之，以上这些办法要么排版质量粗糙，要么对工人经验要求很高、效率又很低，对于写了一部传世之作的 Knuth 而言都是无法接受的[11]；加之计算机的发展和普及，这些最终促成了 TeX 的发明，以及整个排版行业的电子化与数字化。
另请参阅：
参考
- ^The Printing of Mathematics https://www.gwern.net/docs/design/1954-chaundy-theprintingofmathematics.pdf
- ^ https://docs.microsoft.com/typography/opentype/spec/math
- ^ http://ultrasparky.org/school/pdf/Rhatigan_Monotype_4-line_math.pdf
- ^ https://letterpresscommons.com/monotype/
- ^维基百科. 打字机 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%93%E5%AD%97%E6%9C%BA
- ^Wikipedia. IBM Selectric typewriter https://en.wikipedia.org/wiki/IBM_Selectric_typewriter
- ^Using a Selectric Typewriter for Mathematics https://www.duxburysystems.org/downloads/library/texas/apple/cnthesis/selectric.htm
- ^ https://tex.stackexchange.com/a/244092/
- ^Mathematical Typesetting http://tiro.com/Articles/mathematical_typesetting.pdf
- ^ https://twitter.com/publishergeek/status/801454014990848000
- ^ https://tex.stackexchange.com/q/367058/
这就是adobe的创业发家史了，adobe是第一个解决矢量字符排版光栅化问题并成功大规模商业化的创业公司。在adobe之前只有庞大昂贵的激光打印机，里面存着用手工一个个画的位图字符，能做有限的排版印刷。每个字符每种字体所有字号的组合，全都是人手一个一个像素画的位图。
为啥用曲线光栅化不行？因为那时印刷dpi极低，直接光栅化字体糊成一坨，只能人工手画像素，自然极其昂贵难以推广。
做字体渲染的都知道字体渲染有hints数据，那就是最早adobe用来解决这问题的方法。adobe创业后拿出两款字体Type1和Type3，前者为后者的免费阉割版不含hints，当然还有最重要的，postscript，用作矢量页面描述。然后postscript就成了当时所有排版工具和激光打印机之间的标准。
postscript是解决什么问题的？他就是用作描述符号化的页面排版，比如“这个积分符号在xy坐标开始是c大小的，向后缩进0.1 inch”，字体负责提供曲线，hints告诉你积分符号竖柄对齐像素边界避免糊边。所以这就是一种dpi无关但像素精确且美观灵活的方案。任何页面，只要给定dpi做一次光栅化就能从符号化的排版内容描述得到精准的图案。所以postscript很快占领了市场成为印刷工业标准，乔布斯的发布会上都要拿postscript印税表做现场展示。
那你有没有觉得postscript做的这事很耳熟，矢量化符号页面描述，像素精确光栅化，就是PDF啊。对，PDF就是postscript的后继者，变得更复杂更完善，不止激光照排，手机电脑屏幕浏览器渲染一应俱全，同时还跟激光照排结果保持一致。这就是为啥PDF是adobe家的，这也就是激光照排怎么发展过来解决复杂符号排版印刷的。当然PDF已经太过复杂不能再手写，现在都只能用排版工具生成，比如pdfTeX。
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