如何证明 Gamma 函数和 Beta 函数之间的关系？
Gamma 函数与 Beta 函数之间深邃的联系：一段探究之旅
数学世界中，函数之间的联系往往如同一张精密织就的网，牵一发而动全身。今天，我们要揭示 Gamma 函数（$Gamma$ 函数）与 Beta 函数（$B$ 函数）之间那段引人入胜的联系。这不仅仅是两个数学符号的简单代数变换，而是一段关于积分、排列组合以及概率论的深刻洞察之旅。准备好，我们将一起深入探究它们之间的奥秘。
首先，让我们回顾一下这两位主角的定义
Gamma 函数 (Γ 函数)：通常被定义为：
$$ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
其中，$z$ 是一个复数，且 $ ext{Re}(z) > 0$。对于正整数 $n$，我们可以看到 $Gamma(n) = (n1)!$。这使得 Gamma 函数成为了阶乘函数在复数域上的自然推广，它的出现极大地扩展了我们处理离散阶乘的能力。
Beta 函数 (B 函数)：通常被定义为：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
其中，$x$ 和 $y$ 是实数，且 $x > 0, y > 0$。Beta 函数在概率论中扮演着重要角色，尤其是在表示两个随机变量的联合概率密度函数时。
探寻连接的桥梁： substitution 的力量
要证明 $Gamma$ 函数与 $B$ 函数之间的关系，核心在于利用巧妙的变量替换（substitution）来转化积分的形式。我们先从 Beta 函数的定义入手，尝试将其转化为涉及 Gamma 函数的积分。
设想一下 Beta 函数的定义式：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
我们的目标是将这个积分的上下限从 $(0, 1)$ 变为 $(0, infty)$，同时将被积函数中的 $t$ 和 $(1t)$ 转化为指数形式，并引入 $e^{u}$ 这样的形式，这是 Gamma 函数的标志。
一个自然的思路是进行变量替换。让我们尝试令 $t = frac{u}{1+u}$。
为什么选择这个替换呢？观察到 $t$ 的范围是从 0 到 1。当 $t=0$ 时，$u=0$；当 $t o 1$ 时，$u o infty$。这意味着我们将积分区间 $(0, 1)$ 成功地映射到了 $(0, infty)$。
现在，我们需要计算 $dt$、$t$ 和 $(1t)$ 关于 $u$ 的表达式：
1. 计算 $dt$:
$dt = frac{d}{du}left(frac{u}{1+u} ight) du = frac{(1+u)(1) u(1)}{(1+u)^2} du = frac{1}{(1+u)^2} du$
2. 计算 $t^{x1}$:
$t^{x1} = left(frac{u}{1+u} ight)^{x1} = frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1}}$
3. 计算 $(1t)^{y1}$:
$1t = 1 frac{u}{1+u} = frac{1+uu}{1+u} = frac{1}{1+u}$
所以，$(1t)^{y1} = left(frac{1}{1+u} ight)^{y1} = frac{1}{(1+u)^{y1}}$
现在，将这些替换代入 Beta 函数的定义式中：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
$$ B(x, y) = int_0^infty left(frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1}} ight) left(frac{1}{(1+u)^{y1}} ight) left(frac{1}{(1+u)^2} ight) du $$
合并同类项，我们得到：
$$ B(x, y) = int_0^infty frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1} (1+u)^{y1} (1+u)^2} du $$
$$ B(x, y) = int_0^infty frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1 + y1 + 2}} du $$
$$ B(x, y) = int_0^infty frac{u^{x1}}{(1+u)^{x+y}} du $$
这个积分的形式仍然不是 Gamma 函数的标准形式。Gamma 函数需要的是 $t^{z1} e^{t}$。我们如何引入 $e^{t}$ 呢？
让我们换一个思路，从 Gamma 函数的定义出发，尝试构造出 Beta 函数的形式。Gamma 函数的定义：
$$ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
考虑 Gamma 函数的两个实例：$Gamma(x)$ 和 $Gamma(y)$。它们的形式分别是：
$$ Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt $$
$$ Gamma(y) = int_0^infty s^{y1} e^{s} ds $$
注意，我们在第二个积分中使用了变量 $s$ 而不是 $t$，以避免混淆。现在，我们考虑它们的乘积：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = left(int_0^infty t^{x1} e^{t} dt ight) left(int_0^infty s^{y1} e^{s} ds ight) $$
根据积分的性质，两个独立积分的乘积可以表示为多重积分：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{t} e^{s} dt ds $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
这是一个在第一象限 $(t ge 0, s ge 0)$ 上的二重积分。为了简化这个积分，特别是为了处理 $e^{(t+s)}$ 和引入一个单一的积分变量，我们引入新的变量。
考虑极坐标变换。在二维平面上，一个点 $(t, s)$ 可以用 $(r, heta)$ 来表示，其中 $r$ 是原点到该点的距离，$t = r cos heta$, $s = r sin heta$。但是，这似乎并没有直接简化指数项 $e^{(t+s)}$。
另一种更有效的替换方法是 多项式变量替换。让我们令 $u = t+s$。这个替换虽然可以合并指数，但如何处理 $t$ 和 $s$ 的幂次呢？这会变得复杂。
我们回到之前那个令人振奋的积分形式：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
考虑在变量 $t$ 和 $s$ 的区域上进行 加权变量替换。
让我们尝试引入一个新的变量 $v$ 并令 $t = vu$ 和 $s = v(1u)$。
这里，$v$ 代表了 $t+s$ 的总和，而 $u$ 则表示这个总和中，$t$ 所占的比例。
当 $t, s ge 0$，且我们希望 $u$ 在 $(0, 1)$ 之间时，这个替换是有效的。
1. Jacobian 矩阵:
我们需要计算这个变量替换的 Jacobian 行列式，它将告诉我们面积元素 $dt ds$ 如何转化为以 $v$ 和 $u$ 表示的面积元素 $dV du$。
Jacobian 矩阵 $J$ 的元素是：
$J_{ij} = frac{partial x_i}{partial y_j}$
在这里，$x_1 = t$, $x_2 = s$；$y_1 = v$, $y_2 = u$。
$frac{partial t}{partial v} = u$
$frac{partial t}{partial u} = v$
$frac{partial s}{partial v} = 1u$
$frac{partial s}{partial u} = v$
Jacobian 行列式 $|J|$ 为：
$$ |J| = left| egin{vmatrix} frac{partial t}{partial v} & frac{partial t}{partial u} \ frac{partial s}{partial v} & frac{partial s}{partial u} end{vmatrix} ight| = left| egin{vmatrix} u & v \ 1u & v end{vmatrix} ight| = |u(v) v(1u)| = |uv v + uv| = |v| = v $$
（因为 $v ge 0$）
所以，我们有 $dt ds = |J| dv du = v dv du$。
2. 替换被积函数:
$t+s = vu + v(1u) = v(u+1u) = v$
$t^{x1} = (vu)^{x1} = v^{x1} u^{x1}$
$s^{y1} = (v(1u))^{y1} = v^{y1} (1u)^{y1}$
3. 积分区域的变换:
原始积分区域是 $t ge 0, s ge 0$。
在新的变量 $v, u$ 下：
$t = vu ge 0$
$s = v(1u) ge 0$
由于 $v$ 代表了距离，我们自然会取 $v ge 0$。
为了让 $t$ 和 $s$ 都能覆盖到所有可能的组合，并且 $u$ 能够表示比例，我们取 $u$ 在 $(0, 1)$ 之间。
如果 $v ge 0$ 且 $u in (0, 1)$，那么 $t = vu ge 0$ 且 $s = v(1u) ge 0$。
反过来，给定 $t ge 0, s ge 0$，我们可以令 $v = t+s$（如果 $t=s=0$，则 $v=0$），然后令 $u = frac{t}{t+s}$ (如果 $t+s=0$，则 $t=s=0$，这时 $u$ 可以是任何值，但我们会在积分中处理这个问题，通常是取一个固定的值或者注意到在 $v=0$ 处积分为零)。
这样，积分区域从 $(t ge 0, s ge 0)$ 转换到了 $(v ge 0, 0 < u < 1)$。
将这些替换代入 $Gamma(x) Gamma(y)$ 的积分表达式：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 (v^{x1} u^{x1}) (v^{y1} (1u)^{y1}) e^{v} (v dv du) $$
合并同类项：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x1} v^{y1} v^1 u^{x1} (1u)^{y1} e^{v} dv du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x+y1+1} u^{x1} (1u)^{y1} e^{v} dv du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x+y} e^{v} u^{x1} (1u)^{y1} dv du $$
现在，我们可以将这个二重积分拆分成两个独立的积分，因为积分变量互不影响：一个关于 $v$，一个关于 $u$。
$$ Gamma(x) Gamma(y) = left(int_0^infty v^{x+y} e^{v} dv ight) left(int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du ight) $$
观察这两个积分：
第一个积分 $int_0^infty v^{x+y} e^{v} dv$ 的形式与 Gamma 函数定义非常相似。根据 Gamma 函数的定义 $Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$，我们可以令 $z = x+y+1$。
所以，第一个积分等于 $Gamma(x+y+1)$。
第二个积分 $int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du$ 完全符合 Beta 函数的定义 $B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt$。变量 $u$ 和 $t$ 是哑变量，它们在这里不影响积分的值。
所以，第二个积分等于 $B(x, y)$。
将这两个结果代回去，我们得到了一个惊人的结果：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y+1) B(x, y) $$
等等，这似乎和我预期的关系有点出入。预期的关系通常是 $Gamma(x) Gamma(y) = B(x, y) Gamma(x+y)$。让我们回顾一下我们的变量替换。
问题出在哪了呢？我们看一下 Beta 函数的定义：
$B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt$
而 Gamma 函数的定义是：
$Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$
让我们回到那个关键的二重积分：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
这里的变量替换 $t = vu$ 和 $s = v(1u)$ 是正确的，Jacobian 也是正确的。但是，我们直接将 $(t+s)$ 的指数看作是 $e^{v}$，而 Gamma 函数的指数是 $e^{t}$ 或者 $e^{s}$。
让我们重新审视那个积分的变换，并修正我们的变量替换思路。
考虑 $Gamma(x)Gamma(y)$ 的积分形式：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt int_0^infty s^{y1} e^{s} ds $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
我们想把这个积分转化为形如 $int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} ( ext{something related to } Gamma(x+y)) du$ 的形式。
让我们引入一个变量 $v$ 使得 $v = t+s$。
为了能够从 $dt ds$ 得到一个合适的积分，并且能够分离出关于 $u = t/(t+s)$ 的部分，我们应该考虑 同质化 的思路。
考虑一个更直接的变量替换，旨在将积分的范围缩小并产生 $t^{x1}(1t)^{y1}$ 的形式。
我们令 $t = frac{a}{a+b}$ 并且 $s = frac{b}{a+b}$。
这意味着 $t+s = 1$。我们处理的是一个关于 $t$ 和 $s$ 的平面上的积分。
或者，我们令 $t = lambda u$ 和 $s = lambda (1u)$。
这里 $lambda = t+s$ 是一个尺度参数，而 $u = t/(t+s)$ 是一个比例参数。
从 $Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$，我们可以对变量进行如下变换：
令 $v = t+s$
令 $u = t/(t+s) = t/v$
那么 $t = vu$，$s = v(1u)$。
这个替换的 Jacobian 是 $v$。
积分区域 $t ge 0, s ge 0$ 变成了 $v ge 0, 0 le u le 1$。
所以：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 (vu)^{x1} (v(1u))^{y1} e^{v} (v du dv) $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x1} u^{x1} v^{y1} (1u)^{y1} e^{v} v du dv $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x1+y1+1} u^{x1} (1u)^{y1} e^{v} du dv $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
现在仔细观察这两个积分：
第一个积分：$int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv$
这正是 Gamma 函数的定义 $Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$ 的形式，其中 $z = x+y$。
所以，第一个积分等于 $Gamma(x+y)$。
第二个积分：$int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du$
这正是 Beta 函数的定义 $B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt$ 的形式。
所以，第二个积分等于 $B(x, y)$。
将这两个结果组合起来，我们就得到了 Gamma 函数和 Beta 函数之间的核心关系：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) B(x, y) $$
这也可以写成：
$$ B(x, y) = frac{Gamma(x) Gamma(y)}{Gamma(x+y)} $$
这正是我们想要证明的关系。
让我们再从 Beta 函数出发，使用另一种替换来验证
我们之前尝试过从 Beta 函数开始替换，但没有成功。让我们重新审视 Beta 函数的定义，并尝试引入指数函数来凑 Gamma 函数的形式。
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
我们的目标是将其转化为 $int_0^infty dots e^{u} du$ 的形式。
Beta 函数的积分区间是 $(0, 1)$。Gamma 函数的积分区间是 $(0, infty)$。
这种区间上的差异是进行变量替换的关键。
考虑一个特定的 Beta 函数积分：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
让我们在被积函数中引入一个指数项，并尝试调整积分范围。
一个经典的技巧是利用以下恒等式：
对于 $x>0$ 和 $y>0$，
$$ B(x, y) = frac{1}{B(x, y)^{1}} $$
这个看起来很奇怪，让我们换个思路。
我们知道 Gamma 函数可以表示为积分：
$Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$
$Gamma(y) = int_0^infty u^{y1} e^{u} du$
让我们考虑另一个常见的表示形式，尤其是与 Beta 函数相关的。
如果我们将 Gamma 函数的定义式中的变量进行替换，例如令 $t = u^{1/x}$ 或者 $t=e^{u}$，可能会得到不同的见解。
考虑 Beta 函数的另一个定义形式，它与 Gamma 函数的乘积更加直接地联系起来。
$$ B(x,y) = int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt $$
这个形式是我们之前从 $t=frac{u}{1+u}$ 替换 Beta 函数得到的。让我们从这个形式出发，证明它等于 $frac{Gamma(x)Gamma(y)}{Gamma(x+y)}$。
$$ B(x,y) = int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt $$
令 $t = frac{u}{1u}$。
当 $t=0$ 时，$u=0$。当 $t o infty$ 时，$u o 1$。
$dt = frac{(1u)(1) u(1)}{(1u)^2} du = frac{1}{(1u)^2} du$
$1+t = 1 + frac{u}{1u} = frac{1u+u}{1u} = frac{1}{1u}$
$(1+t)^{x+y} = left(frac{1}{1u} ight)^{x+y} = frac{1}{(1u)^{x+y}}$
代入积分：
$$ B(x,y) = int_0^1 frac{left(frac{u}{1u} ight)^{x1}}{left(frac{1}{1u} ight)^{x+y}} frac{1}{(1u)^2} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 frac{u^{x1}}{(1u)^{x1}} frac{(1u)^{x+y}}{1} frac{1}{(1u)^2} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{x+y (x1) 2} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{x+yx+12} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
这又回到了 Beta 函数的原始定义，并没有帮助我们证明 $frac{Gamma(x)Gamma(y)}{Gamma(x+y)}$。
正确的思路应该从 $int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt$ 的形式开始，并将其转化为与 Gamma 函数乘积相关的积分。
考虑积分：
$$ I = int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt $$
令 $t = u^{1/x}$ 似乎也无法直接简化。
我们回到 $Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$ 这个表达式。
我们希望将其转化为：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left(int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv ight) du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} Gamma(x+y) du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) B(x, y) $$
这个转换的核心步骤在于如何从 $int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$ 得到 $int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left(int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv ight) du$。
这就是我们之前使用的变量替换：
令 $t = vu$
令 $s = v(1u)$
Jacobian 是 $v$。
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 (vu)^{x1} (v(1u))^{y1} e^{v} (v du dv) $$
$$ = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left( int_0^infty v^{x1} v^{y1} v e^{v} dv ight) du $$
$$ = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left( int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv ight) du $$
$$ = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} Gamma(x+y) du $$
$$ = Gamma(x+y) int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
$$ = Gamma(x+y) B(x, y) $$
总结一下这个证明的逻辑链条：
1. 起点: 两个 Gamma 函数的乘积 $Gamma(x) Gamma(y)$。
2. 表示为二重积分: $Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$。这是利用了 Gamma 函数的定义以及积分的乘积性质。
3. 关键变量替换: 引入新变量 $v = t+s$ 和 $u = t/(t+s)$。这个替换的目的是将二重积分转换为一个关于尺度参数 $v$ 和比例参数 $u$ 的积分。
4. 计算 Jacobian: $dt ds = v du dv$。
5. 代入和整理: 将 $t, s$ 用 $v, u$ 替换，并代入 Jacobian，然后将积分重新组织成关于 $v$ 和 $u$ 的形式。
6. 分离积分: 由于 $v$ 和 $u$ 的积分部分是独立的，可以将二重积分拆分成两个单重积分。
7. 识别 Gamma 和 Beta 函数: 拆分后的两个积分分别就是 Gamma 函数 $Gamma(x+y)$ 和 Beta 函数 $B(x, y)$ 的定义。
8. 最终结论: 将拆分后的结果组合起来，得到 $Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) B(x, y)$。
为什么这个关系如此重要？
Gamma 函数和 Beta 函数之间的这种紧密联系，不仅在数学理论上具有深刻的意义，在实际应用中也至关重要：
计算的便利性: 有时直接计算 Beta 函数的积分可能比 Gamma 函数更加困难，反之亦然。这个关系允许我们在需要时互相转换，选择更易于计算的函数形式。
概率论与统计学: Beta 函数在描述概率分布，如 Beta 分布时非常重要，而 Beta 分布与 Gamma 函数有紧密的联系。例如，Beta 分布的概率密度函数可以表示为：
$f(x; alpha, eta) = frac{x^{alpha1}(1x)^{eta1}}{B(alpha, eta)}$
使用 Gamma 函数表示，即：
$f(x; alpha, eta) = frac{Gamma(alpha+eta)}{Gamma(alpha)Gamma(eta)} x^{alpha1}(1x)^{eta1}$
这种联系使得对 Beta 分布的理解和操作更加便利。
数论与分析: 这两个函数都是数学分析中的重要工具，它们之间的关系有助于我们更深入地理解数学分析中的许多其他恒等式和定理。
总结
通过这次深入的探究，我们不仅证明了 Gamma 函数和 Beta 函数之间的关系，更重要的是理解了这个关系是如何通过巧妙的变量替换和积分的转换而建立起来的。这是一种数学之美，一种将看似不同的概念联系在一起的力量。从阶乘的推广到概率分布的刻画，Gamma 函数和 Beta 函数在数学的各个角落都散发着它们独特的光芒，而它们之间的联系，正是数学统一性和优雅性的又一个绝佳例证。
数学世界中，函数之间的联系往往如同一张精密织就的网，牵一发而动全身。今天，我们要揭示 Gamma 函数（$Gamma$ 函数）与 Beta 函数（$B$ 函数）之间那段引人入胜的联系。这不仅仅是两个数学符号的简单代数变换，而是一段关于积分、排列组合以及概率论的深刻洞察之旅。准备好，我们将一起深入探究它们之间的奥秘。
首先，让我们回顾一下这两位主角的定义
Gamma 函数 (Γ 函数)：通常被定义为：
$$ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
其中，$z$ 是一个复数，且 $ ext{Re}(z) > 0$。对于正整数 $n$，我们可以看到 $Gamma(n) = (n1)!$。这使得 Gamma 函数成为了阶乘函数在复数域上的自然推广，它的出现极大地扩展了我们处理离散阶乘的能力。
Beta 函数 (B 函数)：通常被定义为：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
其中，$x$ 和 $y$ 是实数，且 $x > 0, y > 0$。Beta 函数在概率论中扮演着重要角色，尤其是在表示两个随机变量的联合概率密度函数时。
探寻连接的桥梁： substitution 的力量
要证明 $Gamma$ 函数与 $B$ 函数之间的关系，核心在于利用巧妙的变量替换（substitution）来转化积分的形式。我们先从 Beta 函数的定义入手，尝试将其转化为涉及 Gamma 函数的积分。
设想一下 Beta 函数的定义式：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
我们的目标是将这个积分的上下限从 $(0, 1)$ 变为 $(0, infty)$，同时将被积函数中的 $t$ 和 $(1t)$ 转化为指数形式，并引入 $e^{u}$ 这样的形式，这是 Gamma 函数的标志。
一个自然的思路是进行变量替换。让我们尝试令 $t = frac{u}{1+u}$。
为什么选择这个替换呢？观察到 $t$ 的范围是从 0 到 1。当 $t=0$ 时，$u=0$；当 $t o 1$ 时，$u o infty$。这意味着我们将积分区间 $(0, 1)$ 成功地映射到了 $(0, infty)$。
现在，我们需要计算 $dt$、$t$ 和 $(1t)$ 关于 $u$ 的表达式：
1. 计算 $dt$:
$dt = frac{d}{du}left(frac{u}{1+u} ight) du = frac{(1+u)(1) u(1)}{(1+u)^2} du = frac{1}{(1+u)^2} du$
2. 计算 $t^{x1}$:
$t^{x1} = left(frac{u}{1+u} ight)^{x1} = frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1}}$
3. 计算 $(1t)^{y1}$:
$1t = 1 frac{u}{1+u} = frac{1+uu}{1+u} = frac{1}{1+u}$
所以，$(1t)^{y1} = left(frac{1}{1+u} ight)^{y1} = frac{1}{(1+u)^{y1}}$
现在，将这些替换代入 Beta 函数的定义式中：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
$$ B(x, y) = int_0^infty left(frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1}} ight) left(frac{1}{(1+u)^{y1}} ight) left(frac{1}{(1+u)^2} ight) du $$
合并同类项，我们得到：
$$ B(x, y) = int_0^infty frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1} (1+u)^{y1} (1+u)^2} du $$
$$ B(x, y) = int_0^infty frac{u^{x1}}{(1+u)^{x1 + y1 + 2}} du $$
$$ B(x, y) = int_0^infty frac{u^{x1}}{(1+u)^{x+y}} du $$
这个积分的形式仍然不是 Gamma 函数的标准形式。Gamma 函数需要的是 $t^{z1} e^{t}$。我们如何引入 $e^{t}$ 呢？
让我们换一个思路，从 Gamma 函数的定义出发，尝试构造出 Beta 函数的形式。Gamma 函数的定义：
$$ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $$
考虑 Gamma 函数的两个实例：$Gamma(x)$ 和 $Gamma(y)$。它们的形式分别是：
$$ Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt $$
$$ Gamma(y) = int_0^infty s^{y1} e^{s} ds $$
注意，我们在第二个积分中使用了变量 $s$ 而不是 $t$，以避免混淆。现在，我们考虑它们的乘积：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = left(int_0^infty t^{x1} e^{t} dt ight) left(int_0^infty s^{y1} e^{s} ds ight) $$
根据积分的性质，两个独立积分的乘积可以表示为多重积分：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{t} e^{s} dt ds $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
这是一个在第一象限 $(t ge 0, s ge 0)$ 上的二重积分。为了简化这个积分，特别是为了处理 $e^{(t+s)}$ 和引入一个单一的积分变量，我们引入新的变量。
考虑极坐标变换。在二维平面上，一个点 $(t, s)$ 可以用 $(r, heta)$ 来表示，其中 $r$ 是原点到该点的距离，$t = r cos heta$, $s = r sin heta$。但是，这似乎并没有直接简化指数项 $e^{(t+s)}$。
另一种更有效的替换方法是 多项式变量替换。让我们令 $u = t+s$。这个替换虽然可以合并指数，但如何处理 $t$ 和 $s$ 的幂次呢？这会变得复杂。
我们回到之前那个令人振奋的积分形式：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
考虑在变量 $t$ 和 $s$ 的区域上进行 加权变量替换。
让我们尝试引入一个新的变量 $v$ 并令 $t = vu$ 和 $s = v(1u)$。
这里，$v$ 代表了 $t+s$ 的总和，而 $u$ 则表示这个总和中，$t$ 所占的比例。
当 $t, s ge 0$，且我们希望 $u$ 在 $(0, 1)$ 之间时，这个替换是有效的。
1. Jacobian 矩阵:
我们需要计算这个变量替换的 Jacobian 行列式，它将告诉我们面积元素 $dt ds$ 如何转化为以 $v$ 和 $u$ 表示的面积元素 $dV du$。
Jacobian 矩阵 $J$ 的元素是：
$J_{ij} = frac{partial x_i}{partial y_j}$
在这里，$x_1 = t$, $x_2 = s$；$y_1 = v$, $y_2 = u$。
$frac{partial t}{partial v} = u$
$frac{partial t}{partial u} = v$
$frac{partial s}{partial v} = 1u$
$frac{partial s}{partial u} = v$
Jacobian 行列式 $|J|$ 为：
$$ |J| = left| egin{vmatrix} frac{partial t}{partial v} & frac{partial t}{partial u} \ frac{partial s}{partial v} & frac{partial s}{partial u} end{vmatrix} ight| = left| egin{vmatrix} u & v \ 1u & v end{vmatrix} ight| = |u(v) v(1u)| = |uv v + uv| = |v| = v $$
（因为 $v ge 0$）
所以，我们有 $dt ds = |J| dv du = v dv du$。
2. 替换被积函数:
$t+s = vu + v(1u) = v(u+1u) = v$
$t^{x1} = (vu)^{x1} = v^{x1} u^{x1}$
$s^{y1} = (v(1u))^{y1} = v^{y1} (1u)^{y1}$
3. 积分区域的变换:
原始积分区域是 $t ge 0, s ge 0$。
在新的变量 $v, u$ 下：
$t = vu ge 0$
$s = v(1u) ge 0$
由于 $v$ 代表了距离，我们自然会取 $v ge 0$。
为了让 $t$ 和 $s$ 都能覆盖到所有可能的组合，并且 $u$ 能够表示比例，我们取 $u$ 在 $(0, 1)$ 之间。
如果 $v ge 0$ 且 $u in (0, 1)$，那么 $t = vu ge 0$ 且 $s = v(1u) ge 0$。
反过来，给定 $t ge 0, s ge 0$，我们可以令 $v = t+s$（如果 $t=s=0$，则 $v=0$），然后令 $u = frac{t}{t+s}$ (如果 $t+s=0$，则 $t=s=0$，这时 $u$ 可以是任何值，但我们会在积分中处理这个问题，通常是取一个固定的值或者注意到在 $v=0$ 处积分为零)。
这样，积分区域从 $(t ge 0, s ge 0)$ 转换到了 $(v ge 0, 0 < u < 1)$。
将这些替换代入 $Gamma(x) Gamma(y)$ 的积分表达式：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 (v^{x1} u^{x1}) (v^{y1} (1u)^{y1}) e^{v} (v dv du) $$
合并同类项：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x1} v^{y1} v^1 u^{x1} (1u)^{y1} e^{v} dv du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x+y1+1} u^{x1} (1u)^{y1} e^{v} dv du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x+y} e^{v} u^{x1} (1u)^{y1} dv du $$
现在，我们可以将这个二重积分拆分成两个独立的积分，因为积分变量互不影响：一个关于 $v$，一个关于 $u$。
$$ Gamma(x) Gamma(y) = left(int_0^infty v^{x+y} e^{v} dv ight) left(int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du ight) $$
观察这两个积分：
第一个积分 $int_0^infty v^{x+y} e^{v} dv$ 的形式与 Gamma 函数定义非常相似。根据 Gamma 函数的定义 $Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$，我们可以令 $z = x+y+1$。
所以，第一个积分等于 $Gamma(x+y+1)$。
第二个积分 $int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du$ 完全符合 Beta 函数的定义 $B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt$。变量 $u$ 和 $t$ 是哑变量，它们在这里不影响积分的值。
所以，第二个积分等于 $B(x, y)$。
将这两个结果代回去，我们得到了一个惊人的结果：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y+1) B(x, y) $$
等等，这似乎和我预期的关系有点出入。预期的关系通常是 $Gamma(x) Gamma(y) = B(x, y) Gamma(x+y)$。让我们回顾一下我们的变量替换。
问题出在哪了呢？我们看一下 Beta 函数的定义：
$B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt$
而 Gamma 函数的定义是：
$Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$
让我们回到那个关键的二重积分：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
这里的变量替换 $t = vu$ 和 $s = v(1u)$ 是正确的，Jacobian 也是正确的。但是，我们直接将 $(t+s)$ 的指数看作是 $e^{v}$，而 Gamma 函数的指数是 $e^{t}$ 或者 $e^{s}$。
让我们重新审视那个积分的变换，并修正我们的变量替换思路。
考虑 $Gamma(x)Gamma(y)$ 的积分形式：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt int_0^infty s^{y1} e^{s} ds $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds $$
我们想把这个积分转化为形如 $int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} ( ext{something related to } Gamma(x+y)) du$ 的形式。
让我们引入一个变量 $v$ 使得 $v = t+s$。
为了能够从 $dt ds$ 得到一个合适的积分，并且能够分离出关于 $u = t/(t+s)$ 的部分，我们应该考虑 同质化 的思路。
考虑一个更直接的变量替换，旨在将积分的范围缩小并产生 $t^{x1}(1t)^{y1}$ 的形式。
我们令 $t = frac{a}{a+b}$ 并且 $s = frac{b}{a+b}$。
这意味着 $t+s = 1$。我们处理的是一个关于 $t$ 和 $s$ 的平面上的积分。
或者，我们令 $t = lambda u$ 和 $s = lambda (1u)$。
这里 $lambda = t+s$ 是一个尺度参数，而 $u = t/(t+s)$ 是一个比例参数。
从 $Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$，我们可以对变量进行如下变换：
令 $v = t+s$
令 $u = t/(t+s) = t/v$
那么 $t = vu$，$s = v(1u)$。
这个替换的 Jacobian 是 $v$。
积分区域 $t ge 0, s ge 0$ 变成了 $v ge 0, 0 le u le 1$。
所以：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 (vu)^{x1} (v(1u))^{y1} e^{v} (v du dv) $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x1} u^{x1} v^{y1} (1u)^{y1} e^{v} v du dv $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 v^{x1+y1+1} u^{x1} (1u)^{y1} e^{v} du dv $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
现在仔细观察这两个积分：
第一个积分：$int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv$
这正是 Gamma 函数的定义 $Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt$ 的形式，其中 $z = x+y$。
所以，第一个积分等于 $Gamma(x+y)$。
第二个积分：$int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du$
这正是 Beta 函数的定义 $B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt$ 的形式。
所以，第二个积分等于 $B(x, y)$。
将这两个结果组合起来，我们就得到了 Gamma 函数和 Beta 函数之间的核心关系：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) B(x, y) $$
这也可以写成：
$$ B(x, y) = frac{Gamma(x) Gamma(y)}{Gamma(x+y)} $$
这正是我们想要证明的关系。
让我们再从 Beta 函数出发，使用另一种替换来验证
我们之前尝试过从 Beta 函数开始替换，但没有成功。让我们重新审视 Beta 函数的定义，并尝试引入指数函数来凑 Gamma 函数的形式。
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
我们的目标是将其转化为 $int_0^infty dots e^{u} du$ 的形式。
Beta 函数的积分区间是 $(0, 1)$。Gamma 函数的积分区间是 $(0, infty)$。
这种区间上的差异是进行变量替换的关键。
考虑一个特定的 Beta 函数积分：
$$ B(x, y) = int_0^1 t^{x1} (1t)^{y1} dt $$
让我们在被积函数中引入一个指数项，并尝试调整积分范围。
一个经典的技巧是利用以下恒等式：
对于 $x>0$ 和 $y>0$，
$$ B(x, y) = frac{1}{B(x, y)^{1}} $$
这个看起来很奇怪，让我们换个思路。
我们知道 Gamma 函数可以表示为积分：
$Gamma(x) = int_0^infty t^{x1} e^{t} dt$
$Gamma(y) = int_0^infty u^{y1} e^{u} du$
让我们考虑另一个常见的表示形式，尤其是与 Beta 函数相关的。
如果我们将 Gamma 函数的定义式中的变量进行替换，例如令 $t = u^{1/x}$ 或者 $t=e^{u}$，可能会得到不同的见解。
考虑 Beta 函数的另一个定义形式，它与 Gamma 函数的乘积更加直接地联系起来。
$$ B(x,y) = int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt $$
这个形式是我们之前从 $t=frac{u}{1+u}$ 替换 Beta 函数得到的。让我们从这个形式出发，证明它等于 $frac{Gamma(x)Gamma(y)}{Gamma(x+y)}$。
$$ B(x,y) = int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt $$
令 $t = frac{u}{1u}$。
当 $t=0$ 时，$u=0$。当 $t o infty$ 时，$u o 1$。
$dt = frac{(1u)(1) u(1)}{(1u)^2} du = frac{1}{(1u)^2} du$
$1+t = 1 + frac{u}{1u} = frac{1u+u}{1u} = frac{1}{1u}$
$(1+t)^{x+y} = left(frac{1}{1u} ight)^{x+y} = frac{1}{(1u)^{x+y}}$
代入积分：
$$ B(x,y) = int_0^1 frac{left(frac{u}{1u} ight)^{x1}}{left(frac{1}{1u} ight)^{x+y}} frac{1}{(1u)^2} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 frac{u^{x1}}{(1u)^{x1}} frac{(1u)^{x+y}}{1} frac{1}{(1u)^2} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{x+y (x1) 2} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{x+yx+12} du $$
$$ B(x,y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
这又回到了 Beta 函数的原始定义，并没有帮助我们证明 $frac{Gamma(x)Gamma(y)}{Gamma(x+y)}$。
正确的思路应该从 $int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt$ 的形式开始，并将其转化为与 Gamma 函数乘积相关的积分。
考虑积分：
$$ I = int_0^infty frac{t^{x1}}{(1+t)^{x+y}} dt $$
令 $t = u^{1/x}$ 似乎也无法直接简化。
我们回到 $Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$ 这个表达式。
我们希望将其转化为：
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left(int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv ight) du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} Gamma(x+y) du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
$$ Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) B(x, y) $$
这个转换的核心步骤在于如何从 $int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$ 得到 $int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left(int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv ight) du$。
这就是我们之前使用的变量替换：
令 $t = vu$
令 $s = v(1u)$
Jacobian 是 $v$。
$$ Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^1 (vu)^{x1} (v(1u))^{y1} e^{v} (v du dv) $$
$$ = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left( int_0^infty v^{x1} v^{y1} v e^{v} dv ight) du $$
$$ = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} left( int_0^infty v^{x+y1} e^{v} dv ight) du $$
$$ = int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} Gamma(x+y) du $$
$$ = Gamma(x+y) int_0^1 u^{x1} (1u)^{y1} du $$
$$ = Gamma(x+y) B(x, y) $$
总结一下这个证明的逻辑链条：
1. 起点: 两个 Gamma 函数的乘积 $Gamma(x) Gamma(y)$。
2. 表示为二重积分: $Gamma(x) Gamma(y) = int_0^infty int_0^infty t^{x1} s^{y1} e^{(t+s)} dt ds$。这是利用了 Gamma 函数的定义以及积分的乘积性质。
3. 关键变量替换: 引入新变量 $v = t+s$ 和 $u = t/(t+s)$。这个替换的目的是将二重积分转换为一个关于尺度参数 $v$ 和比例参数 $u$ 的积分。
4. 计算 Jacobian: $dt ds = v du dv$。
5. 代入和整理: 将 $t, s$ 用 $v, u$ 替换，并代入 Jacobian，然后将积分重新组织成关于 $v$ 和 $u$ 的形式。
6. 分离积分: 由于 $v$ 和 $u$ 的积分部分是独立的，可以将二重积分拆分成两个单重积分。
7. 识别 Gamma 和 Beta 函数: 拆分后的两个积分分别就是 Gamma 函数 $Gamma(x+y)$ 和 Beta 函数 $B(x, y)$ 的定义。
8. 最终结论: 将拆分后的结果组合起来，得到 $Gamma(x) Gamma(y) = Gamma(x+y) B(x, y)$。
为什么这个关系如此重要？
Gamma 函数和 Beta 函数之间的这种紧密联系，不仅在数学理论上具有深刻的意义，在实际应用中也至关重要：
计算的便利性: 有时直接计算 Beta 函数的积分可能比 Gamma 函数更加困难，反之亦然。这个关系允许我们在需要时互相转换，选择更易于计算的函数形式。
概率论与统计学: Beta 函数在描述概率分布，如 Beta 分布时非常重要，而 Beta 分布与 Gamma 函数有紧密的联系。例如，Beta 分布的概率密度函数可以表示为：
$f(x; alpha, eta) = frac{x^{alpha1}(1x)^{eta1}}{B(alpha, eta)}$
使用 Gamma 函数表示，即：
$f(x; alpha, eta) = frac{Gamma(alpha+eta)}{Gamma(alpha)Gamma(eta)} x^{alpha1}(1x)^{eta1}$
这种联系使得对 Beta 分布的理解和操作更加便利。
数论与分析: 这两个函数都是数学分析中的重要工具，它们之间的关系有助于我们更深入地理解数学分析中的许多其他恒等式和定理。
总结
通过这次深入的探究，我们不仅证明了 Gamma 函数和 Beta 函数之间的关系，更重要的是理解了这个关系是如何通过巧妙的变量替换和积分的转换而建立起来的。这是一种数学之美，一种将看似不同的概念联系在一起的力量。从阶乘的推广到概率分布的刻画，Gamma 函数和 Beta 函数在数学的各个角落都散发着它们独特的光芒，而它们之间的联系，正是数学统一性和优雅性的又一个绝佳例证。
网友意见
详解见下。此回答受到了龚漫奇老师的启发。
大家都是直接算积分证明的。我来一个别的思路。
1.证明Gamma函数是满足下面条件的唯一的函数。
(1)对任意 有 ，且 。
(2)对任意 有 。
(3) 是凸函数。
2.证明函数 满足上面的条件。
有时间再写。
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