数理金融和金融工程需要修的数学课程有哪些?
好的，咱们来聊聊数理金融和金融工程这两门学问，它们听着高大上，但说白了，就是用数学这个“工具”来解决金融市场里的各种“难题”。想在这俩领域混得开，数学基础那是必须硬的，而且得是相当硬。我给你掰扯掰扯，这俩专业一般都需要学哪些数学课，尽量讲得细致点，让你心里有个谱。
首先要明白一个大原则：数理金融更侧重于理论建模和研究，对数学的深度和抽象性要求更高；金融工程则更偏向于实际应用，用数理方法来设计、开发和管理金融产品和风险。 所以，虽然很多数学课是共通的，但侧重点和对某些高级数学的要求上，会有些区别。
核心数学基础，这两门专业是共通的，也是基石中的基石：
1. 微积分 (Calculus):
单变量微积分 (Calculus I & II): 这个是基础中的基础了。你得把导数、积分、极限这些玩得溜。为什么？金融市场里很多东西的变化率，比如资产价格的瞬时变化，都需要导数来描述。投资组合的优化问题，往往会涉及到目标函数的积分。理解函数的变化趋势、最值，离不开微积分。
多变量微积分 (Multivariable Calculus/Calculus III): 金融市场可不是只有一根绳子，而是千丝万缕联系在一起。资产价格、利率、汇率等等，都是相互影响的。多变量微积分让你能处理多个变量同时变化的情况。偏导数、方向导数、梯度、高斯积分、斯托克斯公式这些概念，在优化、风险分析、甚至一些模型推导里会用到。比如，评估一个投资组合的收益率和风险时，就可能涉及到多个资产收益率的多变量函数。
2. 线性代数 (Linear Algebra):
这是处理多维度数据的利器。金融市场里的数据，比如股票价格、债券收益率、宏观经济指标，通常都是以向量、矩阵的形式存在的。你需要掌握向量空间、矩阵运算（加减乘除、求逆、特征值、特征向量）、线性方程组的求解、线性变换等概念。
在金融里的应用：
投资组合优化： 构建投资组合，平衡收益和风险，这背后就是矩阵运算和特征值分解。协方差矩阵就是最重要的东西之一。
因子模型： 像 CAPM (资本资产定价模型) 或 FamaFrench 三因子模型，都用线性模型来解释资产收益。
风险管理： 计算 VaR (Value at Risk) 或进行压力测试时，涉及到大量矩阵运算。
量化交易策略： 很多策略的实现都依赖于线性代数的算法。
主成分分析 (PCA)： 用来降维，识别驱动市场的主要因子。
3. 概率论与数理统计 (Probability and Statistics):
金融市场充满了不确定性，概率论是理解和量化这种不确定性的语言。你需要扎实的概率论基础，包括随机变量、概率分布（离散、连续，如二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布）、期望、方差、条件概率、贝叶斯定理、大数定律、中心极限定理等。
数理统计则是从数据中提取信息、建立模型、并进行推断的科学。你需要掌握参数估计（点估计、区间估计）、假设检验、回归分析（线性回归、多元回归）、时间序列分析的基本概念。
在金融里的应用：
资产定价： 绝大多数资产定价模型都基于随机过程和概率分布。
风险管理： 计算极端事件发生的概率，评估风险敞口。
投资组合管理： 预期收益、风险测度（方差、标准差、VaR）、夏普比率等都离不开概率统计。
计量经济学： 用于分析金融数据、检验经济理论、构建预测模型。
进阶数学课程，这里开始会有分化，但都是重要且有用的：
对于数理金融而言，对以下课程的要求会更高，更偏理论和建模：
4. 随机过程 (Stochastic Processes):
这是数理金融的“灵魂”。金融市场的价格变动不是确定的，而是随机的，而且是随时间连续变化的。随机过程就是描述这种随机随时间演化的数学工具。
重点关注：
马尔可夫链 (Markov Chains): 描述“未来只取决于现在，与过去无关”的随机过程。
布朗运动/维纳过程 (Brownian Motion/Wiener Process): 金融模型中最常用的随机过程，用来模拟股票价格的随机波动。
伊藤积分与伊藤引理 (Itô Calculus and Itô's Lemma): 这是理解和处理涉及布朗运动的随机微分方程的必备工具。这是布莱克舒尔斯期权定价模型等许多模型推导的核心。
泊松过程 (Poisson Process): 用于模拟离散事件的发生，比如交易的发生、违约事件的发生。
马尔可夫链蒙特卡罗方法 (MCMC): 在复杂的模型估计和模拟中有广泛应用。
5. 随机微分方程 (Stochastic Differential Equations, SDEs):
将随机过程与微分方程结合起来，用来描述金融资产价格等随时间演化的动态模型。著名的黑舒尔斯模型就是通过求解一个偏微分方程（PDE）推导出来的，而这个PDE本身就来源于一个描述股票价格的SDE。
你需要学习如何理解和求解（或近似求解）这些方程，以及它们在资产定价中的应用。
6. 偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs):
如前所述，许多金融衍生品定价模型（如 BlackScholes 方程）最终表现为 PDE 的形式。你需要了解 PDE 的基本概念、数值解法（如有限差分法）以及它们在金融领域的应用。
7. 数值分析 (Numerical Analysis):
很多金融模型和计算问题没有解析解（也就是能直接写出公式的解），或者解析解非常复杂。数值分析提供了各种近似求解的方法。
重点包括： 线性方程组的数值解法、数值积分（如蒙特卡罗积分）、数值微分、常微分方程和偏微分方程的数值解法（如欧拉法、RungeKutta 方法、有限差分法）。
在金融里的应用： 衍生品定价（尤其是复杂衍生品）、风险计算、投资组合优化中的模拟等。
8. 最优化理论 (Optimization Theory):
金融市场本身就是一个充满优化问题的领域：如何在给定风险水平下最大化收益？如何最小化成本？
你需要学习无约束优化、有约束优化、凸优化、拉格朗日乘子法、KKT 条件等。
在金融里的应用： 投资组合优化、资产定价模型参数估计、风险预算、期权对冲策略等。
对于金融工程而言，在上述基础课程之上，会更侧重于模型的实现、计算和应用，因此以下课程也同样重要：
9. 数据结构与算法 (Data Structures and Algorithms):
金融工程经常需要处理海量数据，设计高效的交易系统、风险管理系统。理解各种数据结构（数组、链表、树、图、哈希表）和算法（排序、搜索、图算法、动态规划）能让你写出更优化的代码，提高计算效率。
10. 编程语言 (Programming Languages):
虽然不是纯数学课，但绝对是金融工程必不可少的技能。常用的有 Python (配合 NumPy, SciPy, Pandas, Matplotlib, Scikitlearn), R, C++, MATLAB。你需要能够用这些语言实现金融模型、进行数据分析、构建交易系统。
11. 数值方法 (Numerical Methods):
金融工程中，实际应用大量依赖数值方法来解决问题。这包括蒙特卡洛模拟（用于衍生品定价、风险测量）、数值求解微分方程、最优化算法的实现等。你会更深入地学习如何将数学模型转化为可执行的计算机程序。
12. 机器学习与统计学习 (Machine Learning & Statistical Learning):
近年来，机器学习在金融领域的应用越来越广泛，从预测股价、识别欺诈到自动化交易。你需要了解监督学习（回归、分类，如线性回归、逻辑回归、支持向量机 SVM、决策树、随机森林、梯度提升）、无监督学习（聚类、降维）以及深度学习的基本概念和应用。
13. 时间序列分析 (Time Series Analysis):
金融市场数据大多是时间序列数据。你需要掌握更深入的时间序列模型，如 ARMA, ARIMA, GARCH 模型来分析金融资产的价格波动性、预测未来走势。
一些交叉或更高级的数学课程（可选，但对深入研究非常有益）：
实变函数论 (Real Analysis): 提供了更严谨的数学基础，特别是对积分理论（勒贝格积分）的理解，有助于更深入地学习测度论和随机过程的理论。
测度论 (Measure Theory): 是现代随机过程理论的基石，提供了严谨的概率论基础，是理解伊藤积分等高级概念的理论支撑。
凸分析 (Convex Analysis): 在最优化问题中非常重要，特别是在约束优化和金融模型中。
傅里叶分析 (Fourier Analysis): 在某些金融模型的求解和信号处理中有应用。
博弈论 (Game Theory): 在理解市场参与者的策略互动、拍卖理论等领域有帮助。
总结一下，如果你想往数理金融方向走，那么从微积分、线性代数、概率统计到随机过程、随机微分方程、偏微分方程和数值分析，这些都是“硬菜”，而且对理论深度要求很高。
如果你想往金融工程方向走，那么微积分、线性代数、概率统计是基础，同时随机过程、数值方法、数据结构与算法以及编程能力是关键。机器学习和时间序列分析的掌握也至关重要。
总而言之，这两门学问都是“吃数学”的，而且是越往深处越需要扎实的数学功底。刚开始可能会觉得枯燥，但当你能用这些数学工具去理解和解决现实世界的金融问题时，那种成就感是无与伦比的。所以，好好学数学，它是你在这个领域里最有力的武器。
首先要明白一个大原则：数理金融更侧重于理论建模和研究，对数学的深度和抽象性要求更高；金融工程则更偏向于实际应用，用数理方法来设计、开发和管理金融产品和风险。 所以，虽然很多数学课是共通的，但侧重点和对某些高级数学的要求上，会有些区别。
核心数学基础，这两门专业是共通的，也是基石中的基石：
1. 微积分 (Calculus):
单变量微积分 (Calculus I & II): 这个是基础中的基础了。你得把导数、积分、极限这些玩得溜。为什么？金融市场里很多东西的变化率，比如资产价格的瞬时变化，都需要导数来描述。投资组合的优化问题，往往会涉及到目标函数的积分。理解函数的变化趋势、最值，离不开微积分。
多变量微积分 (Multivariable Calculus/Calculus III): 金融市场可不是只有一根绳子，而是千丝万缕联系在一起。资产价格、利率、汇率等等，都是相互影响的。多变量微积分让你能处理多个变量同时变化的情况。偏导数、方向导数、梯度、高斯积分、斯托克斯公式这些概念，在优化、风险分析、甚至一些模型推导里会用到。比如，评估一个投资组合的收益率和风险时，就可能涉及到多个资产收益率的多变量函数。
2. 线性代数 (Linear Algebra):
这是处理多维度数据的利器。金融市场里的数据，比如股票价格、债券收益率、宏观经济指标，通常都是以向量、矩阵的形式存在的。你需要掌握向量空间、矩阵运算（加减乘除、求逆、特征值、特征向量）、线性方程组的求解、线性变换等概念。
在金融里的应用：
投资组合优化： 构建投资组合，平衡收益和风险，这背后就是矩阵运算和特征值分解。协方差矩阵就是最重要的东西之一。
因子模型： 像 CAPM (资本资产定价模型) 或 FamaFrench 三因子模型，都用线性模型来解释资产收益。
风险管理： 计算 VaR (Value at Risk) 或进行压力测试时，涉及到大量矩阵运算。
量化交易策略： 很多策略的实现都依赖于线性代数的算法。
主成分分析 (PCA)： 用来降维，识别驱动市场的主要因子。
3. 概率论与数理统计 (Probability and Statistics):
金融市场充满了不确定性，概率论是理解和量化这种不确定性的语言。你需要扎实的概率论基础，包括随机变量、概率分布（离散、连续，如二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布）、期望、方差、条件概率、贝叶斯定理、大数定律、中心极限定理等。
数理统计则是从数据中提取信息、建立模型、并进行推断的科学。你需要掌握参数估计（点估计、区间估计）、假设检验、回归分析（线性回归、多元回归）、时间序列分析的基本概念。
在金融里的应用：
资产定价： 绝大多数资产定价模型都基于随机过程和概率分布。
风险管理： 计算极端事件发生的概率，评估风险敞口。
投资组合管理： 预期收益、风险测度（方差、标准差、VaR）、夏普比率等都离不开概率统计。
计量经济学： 用于分析金融数据、检验经济理论、构建预测模型。
进阶数学课程，这里开始会有分化，但都是重要且有用的：
对于数理金融而言，对以下课程的要求会更高，更偏理论和建模：
4. 随机过程 (Stochastic Processes):
这是数理金融的“灵魂”。金融市场的价格变动不是确定的，而是随机的，而且是随时间连续变化的。随机过程就是描述这种随机随时间演化的数学工具。
重点关注：
马尔可夫链 (Markov Chains): 描述“未来只取决于现在，与过去无关”的随机过程。
布朗运动/维纳过程 (Brownian Motion/Wiener Process): 金融模型中最常用的随机过程，用来模拟股票价格的随机波动。
伊藤积分与伊藤引理 (Itô Calculus and Itô's Lemma): 这是理解和处理涉及布朗运动的随机微分方程的必备工具。这是布莱克舒尔斯期权定价模型等许多模型推导的核心。
泊松过程 (Poisson Process): 用于模拟离散事件的发生，比如交易的发生、违约事件的发生。
马尔可夫链蒙特卡罗方法 (MCMC): 在复杂的模型估计和模拟中有广泛应用。
5. 随机微分方程 (Stochastic Differential Equations, SDEs):
将随机过程与微分方程结合起来，用来描述金融资产价格等随时间演化的动态模型。著名的黑舒尔斯模型就是通过求解一个偏微分方程（PDE）推导出来的，而这个PDE本身就来源于一个描述股票价格的SDE。
你需要学习如何理解和求解（或近似求解）这些方程，以及它们在资产定价中的应用。
6. 偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs):
如前所述，许多金融衍生品定价模型（如 BlackScholes 方程）最终表现为 PDE 的形式。你需要了解 PDE 的基本概念、数值解法（如有限差分法）以及它们在金融领域的应用。
7. 数值分析 (Numerical Analysis):
很多金融模型和计算问题没有解析解（也就是能直接写出公式的解），或者解析解非常复杂。数值分析提供了各种近似求解的方法。
重点包括： 线性方程组的数值解法、数值积分（如蒙特卡罗积分）、数值微分、常微分方程和偏微分方程的数值解法（如欧拉法、RungeKutta 方法、有限差分法）。
在金融里的应用： 衍生品定价（尤其是复杂衍生品）、风险计算、投资组合优化中的模拟等。
8. 最优化理论 (Optimization Theory):
金融市场本身就是一个充满优化问题的领域：如何在给定风险水平下最大化收益？如何最小化成本？
你需要学习无约束优化、有约束优化、凸优化、拉格朗日乘子法、KKT 条件等。
在金融里的应用： 投资组合优化、资产定价模型参数估计、风险预算、期权对冲策略等。
对于金融工程而言，在上述基础课程之上，会更侧重于模型的实现、计算和应用，因此以下课程也同样重要：
9. 数据结构与算法 (Data Structures and Algorithms):
金融工程经常需要处理海量数据，设计高效的交易系统、风险管理系统。理解各种数据结构（数组、链表、树、图、哈希表）和算法（排序、搜索、图算法、动态规划）能让你写出更优化的代码，提高计算效率。
10. 编程语言 (Programming Languages):
虽然不是纯数学课，但绝对是金融工程必不可少的技能。常用的有 Python (配合 NumPy, SciPy, Pandas, Matplotlib, Scikitlearn), R, C++, MATLAB。你需要能够用这些语言实现金融模型、进行数据分析、构建交易系统。
11. 数值方法 (Numerical Methods):
金融工程中，实际应用大量依赖数值方法来解决问题。这包括蒙特卡洛模拟（用于衍生品定价、风险测量）、数值求解微分方程、最优化算法的实现等。你会更深入地学习如何将数学模型转化为可执行的计算机程序。
12. 机器学习与统计学习 (Machine Learning & Statistical Learning):
近年来，机器学习在金融领域的应用越来越广泛，从预测股价、识别欺诈到自动化交易。你需要了解监督学习（回归、分类，如线性回归、逻辑回归、支持向量机 SVM、决策树、随机森林、梯度提升）、无监督学习（聚类、降维）以及深度学习的基本概念和应用。
13. 时间序列分析 (Time Series Analysis):
金融市场数据大多是时间序列数据。你需要掌握更深入的时间序列模型，如 ARMA, ARIMA, GARCH 模型来分析金融资产的价格波动性、预测未来走势。
一些交叉或更高级的数学课程（可选，但对深入研究非常有益）：
实变函数论 (Real Analysis): 提供了更严谨的数学基础，特别是对积分理论（勒贝格积分）的理解，有助于更深入地学习测度论和随机过程的理论。
测度论 (Measure Theory): 是现代随机过程理论的基石，提供了严谨的概率论基础，是理解伊藤积分等高级概念的理论支撑。
凸分析 (Convex Analysis): 在最优化问题中非常重要，特别是在约束优化和金融模型中。
傅里叶分析 (Fourier Analysis): 在某些金融模型的求解和信号处理中有应用。
博弈论 (Game Theory): 在理解市场参与者的策略互动、拍卖理论等领域有帮助。
总结一下，如果你想往数理金融方向走，那么从微积分、线性代数、概率统计到随机过程、随机微分方程、偏微分方程和数值分析，这些都是“硬菜”，而且对理论深度要求很高。
如果你想往金融工程方向走，那么微积分、线性代数、概率统计是基础，同时随机过程、数值方法、数据结构与算法以及编程能力是关键。机器学习和时间序列分析的掌握也至关重要。
总而言之，这两门学问都是“吃数学”的，而且是越往深处越需要扎实的数学功底。刚开始可能会觉得枯燥，但当你能用这些数学工具去理解和解决现实世界的金融问题时，那种成就感是无与伦比的。所以，好好学数学，它是你在这个领域里最有力的武器。
网友意见
本科修的是金融学-数学双学位，研究生读的Financial Mathematics，比较了解。
由于我是完全修读了一个学位，所以肯定要比本科修读金融工程的学生上过的数学课要更多更体系化。我把数学系本科课程中，在金融工程以及我研究生学习中最有用的几门课列举一下：
数学分析 * * *
高等代数 * *
常微分方程 *
偏微分方程 * * *
实变函数 *
泛函分析 *
概率论 * * *
数理统计 * * *
时间序列分析 * * * * *
随机过程 * * *
随机微分方程 * * * * *
请按我给出的顺序学习，已经标出了各个课程与金融工程的相关程度（ * 越多越重要）。
基本就这些了，至少我读研究生所需要的数学知识基本够用了。
金融工程可能还需要补一些编程的知识，C++、JAVA、MATLAB、VBA等……
至于教材，实在太多了，列举好麻烦，百度下“北大数学系本科教材”，对照相应专业的去看吧，金融工程的教材可以看一下国外的，也是请自行百度吧。
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