为什么许多人建议本科学数学，研究生阶段转金融或者计算机？学数学的发展方向只有纯数学计算机以及金融吗？
为什么很多人建议本科数学，研究生转金融或计算机？
这种建议的流行并非空穴来风，而是基于数学作为基础学科的强大普适性和金融、计算机领域的实际需求高度契合。
1. 数学作为“万学之母”的优势：
严谨的逻辑思维和分析能力： 数学训练最核心的就是培养严密的逻辑推理能力、抽象思维能力以及解决复杂问题的分析能力。这种能力无论在哪个领域都是极其宝贵的。金融和计算机都需要对复杂系统进行分析、建模和优化，数学提供了坚实的基础。
强大的量化分析能力： 金融市场充满了数字和统计数据，理解和分析这些数据需要扎实的数学功底，包括概率论、统计学、微积分、线性代数等。计算机科学中的算法设计、数据分析、机器学习等也离不开数学。
解决问题的框架和工具： 数学提供了解决问题的通用框架和一套强大的工具集。无论是优化投资组合、设计高效算法，还是理解数据模型，数学都能提供原理和方法。
抽象化和模型构建能力： 数学擅长将现实世界的问题抽象成数学模型，然后通过数学方法来求解和预测。这种能力在金融建模、经济预测、算法设计等方面至关重要。
良好的学习能力和适应性： 学习数学本身就是一个挑战，能够坚持下来并取得一定成就的学生，通常展现出很强的学习能力和对新知识的快速适应能力。这使得他们在研究生阶段学习新的领域时更具优势。
2. 金融领域对数学人才的需求：
量化金融（Quant）： 这是金融领域最直接依赖数学的领域。量化分析师利用复杂的数学模型来定价衍生品、进行风险管理、构建交易策略等。微积分、概率论、统计学、随机过程、偏微分方程等都是量化金融的核心工具。
风险管理： 银行和金融机构需要精确地评估和管理各种风险，包括市场风险、信用风险、操作风险等。这需要运用统计模型、概率理论和优化技术。
投资组合管理： 构建最优的投资组合需要用到优化理论、统计学和随机过程来平衡风险与收益。
精算： 精算师利用数学和统计学来评估保险风险、计算保费和准备金，对保险公司和养老金计划至关重要。
金融工程： 设计和开发新的金融产品，包括衍生品，也需要深厚的数学和金融理论知识。
3. 计算机科学领域对数学人才的需求：
算法设计与分析： 算法的效率和正确性很大程度上依赖于数学。图论、组合学、离散数学等是算法分析的基础。
机器学习与人工智能： 这是当前计算机科学最热门的领域之一，其核心是各种数学模型。线性代数、概率论、统计学、微积分、优化理论是构建和理解机器学习模型的基石。
数据科学： 数据挖掘、模式识别、数据可视化等都离不开统计学和概率论。
密码学： 现代密码学严重依赖数论、抽象代数等数学分支。
计算机图形学和计算机视觉： 这些领域需要用到几何学、线性代数、微积分等。
计算科学： 模拟复杂系统、解决科学计算问题也需要数学知识。
总结来说，本科数学为学生打下了扎实的逻辑、分析和量化基础，这些基础技能在金融和计算机这两个高增长、高薪资的领域具有极高的通用性和不可替代性。 因此，很多拥有数学背景的学生发现，通过研究生阶段的学习，他们能够更轻松地掌握金融或计算机的核心知识和技能，并在这个行业中取得成功。这是一种“以不变应万变”的策略，将本科阶段的普适性能力转化为研究生阶段的专业竞争力。
数学的发展方向只有纯数学、计算机以及金融吗？
绝对不是！ 数学作为一门基础学科，其发展方向极其广泛，远远不止纯数学、计算机科学和金融这三个领域。很多看似不相关的领域，深入下去都会发现数学的身影。
以下是一些主要的数学发展方向，并且会尝试详细讲述：
一、 核心的数学分支及其应用：
1. 纯数学（Pure Mathematics）：
定义： 专注于抽象概念、定理和结构的内在逻辑美感，研究数学本身的性质和理论体系，其动机更多是来自内在的数学探索，而非直接的实际应用。
细分领域： 数论（研究整数性质）、代数（群论、环论、域论等）、几何学（欧几里得几何、微分几何、拓扑学等）、分析学（实分析、复分析、泛函分析、微分方程等）、逻辑学、集合论等。
发展方向： 纯数学研究的成果，虽然不直接面向某个具体问题，但往往能为其他学科提供新的理论框架和工具。例如，黎曼猜想的突破可能对数论在密码学等领域产生深远影响；拓扑学在凝聚态物理、生物学中的应用越来越广泛。
职业前景： 主要是在学术界（大学教授、研究员），但也有部分研究成果可能在密码学、理论计算机科学等领域有间接应用。
2. 应用数学（Applied Mathematics）：
定义： 将数学理论和方法应用于解决科学、工程、经济、医学等领域的实际问题。它关注的是如何利用数学工具来理解和预测现象。
细分领域：
计算数学/科学计算（Computational Mathematics/Scientific Computing）：
做什么： 研究和开发数值算法，用计算机模拟和解决数学模型。这包括求解微分方程、优化问题、积分、线性方程组等。
应用： 工程模拟（如飞机设计中的空气动力学模拟、结构力学分析）、天气预报、医学成像（如CT、MRI重建）、金融建模、量子力学计算、材料科学等。
所需数学知识： 数值分析、线性代数、微积分、微分方程、概率论、部分特定领域的数学（如流体力学方程组）。
概率论与数理统计（Probability Theory and Mathematical Statistics）：
做什么： 概率论研究随机现象的数学规律，数理统计研究如何从数据中推断和预测。
应用： 金融（风险管理、定价）、保险（精算）、物理学（统计力学）、生物学（遗传学、流行病学）、社会科学（民意调查、经济学）、机器学习（模型构建和评估）、质量控制等。
所需数学知识： 高等概率论、各种统计推断方法、线性代数、优化。
运筹学与优化（Operations Research and Optimization）：
做什么： 研究如何通过数学建模和算法来优化决策过程，以达到最佳效果。包括线性规划、非线性规划、组合优化、动态规划等。
应用： 物流和供应链管理、生产计划、资源分配、金融投资组合优化、交通流量控制、人工智能中的搜索和规划算法等。
所需数学知识： 线性代数、微积分、概率论、离散数学、图论。
建模与仿真（Modeling and Simulation）：
做什么： 将现实世界的问题转化为数学模型，并利用计算机进行模拟，以理解系统行为和预测结果。
应用： 工程（结构、热力学、流体力学）、物理学（粒子物理、天体物理）、生物学（细胞模型、生态系统模拟）、经济学（宏观经济模型）、社会学（群体动力学模型）。
所需数学知识： 根据具体建模对象而定，但通常涉及微积分、微分方程、概率统计、离散数学等。
二、 与其他领域的交叉应用：
3. 计算机科学（Computer Science）：
如前所述，数学是计算机科学的基石。除了算法和机器学习，还有：
理论计算机科学（Theoretical Computer Science）： 研究计算的根本限制和可能性，涉及计算复杂性理论（P vs NP）、可计算性理论、自动机理论等，大量使用离散数学、逻辑学、集合论。
计算机图形学和计算机视觉（Computer Graphics and Computer Vision）： 涉及线性代数、几何学、微积分、概率统计等。
数据科学（Data Science）： 统计学、线性代数、概率论、优化是核心。
4. 金融与经济学（Finance and Economics）：
金融（Finance）：
量化金融（Quantitative Finance）： 如前所述，依赖随机过程、偏微分方程、数值分析、统计学等。
金融经济学（Financial Economics）： 研究资产定价、投资组合理论、公司金融等，涉及优化、概率、统计、博弈论。
经济学（Economics）：
计量经济学（Econometrics）： 使用统计方法分析经济数据，需要强大的统计学和回归分析知识。
宏观经济学和微观经济学： 许多现代经济模型高度依赖数学，如动态随机一般均衡（DSGE）模型使用了动态规划、最优化等。
博弈论（Game Theory）： 研究决策者之间的策略互动，在经济学、政治学、生物学都有广泛应用，需要集合论、概率论、优化。
5. 工程领域（Engineering Fields）：
所有工程学科都高度依赖数学。
航空航天工程： 微积分、微分方程（流体力学、轨道力学）、线性代数、傅里叶分析。
电气工程： 微积分、微分方程、线性代数、复变函数、傅里叶分析（信号处理、电路分析）。
机械工程： 微积分、微分方程（力学、热力学、流体力学）、线性代数。
土木工程： 微积分、线性代数、微分方程（结构力学、流体力学）。
化学工程： 微积分、微分方程（反应动力学、传质传热）、统计学。
生物医学工程： 微积分、微分方程、信号处理、统计学、建模仿真。
6. 科学领域（Science Fields）：
物理学（Physics）：
理论物理： 深度依赖高等数学，如微积分、微分方程、张量分析、微分几何、拓扑学、泛函分析、群论等，用于描述宇宙的基本规律。
计算物理： 涉及大量数值方法和模拟。
统计物理： 依赖概率统计。
化学（Chemistry）：
理论化学/计算化学： 量子化学使用泛函分析、线性代数；化学动力学使用微分方程；统计力学使用概率统计。
生物学（Biology）：
生物统计学（Biostatistics）： 统计学是核心，用于分析生物实验数据、临床试验等。
数学生物学/生物建模（Mathematical Biology/Biomodeling）： 使用微分方程、概率模型、动力系统等来描述生物过程，如种群动态、疾病传播（流行病学）、基因调控、神经科学模型等。
计算生物学/生物信息学（Computational Biology/Bioinformatics）： 涉及算法、数据结构、统计学、图论等。
地球科学（Earth Sciences）： 地质统计学、流体力学模拟（气象、海洋）、地震学模型。
天文学与宇宙学（Astronomy and Cosmology）： 微积分、微分方程、线性代数、几何学、概率统计。
7. 其他新兴或特殊领域：
数据科学（Data Science）： 前面已详细提到，统计学和线性代数是基石。
人工智能（AI）： 特别是机器学习和深度学习，几乎所有核心算法都基于线性代数、微积分、概率统计、优化理论。
密码学（Cryptography）： 依赖数论、抽象代数、有限域、概率论。
信息论（Information Theory）： 依赖概率论和统计学。
决策科学与博弈论（Decision Science and Game Theory）： 在商业、政治、军事等领域都有应用。
运筹学在各行各业的应用： 包括物流、医疗管理、能源规划、城市规划等。
教育领域： 数学教育、教师职业。
总结来说，数学的发展方向是极其多样的。 本科数学学习者拥有的不仅仅是“计算能力”，更是强大的逻辑思维、分析能力、抽象化能力和解决问题的框架。这些能力使他们能够快速学习和掌握任何需要这些素养的领域。
为什么很多人建议本科数学，研究生转金融或计算机？
这是因为金融和计算机是当前社会需求量大、薪资待遇优厚且对数学能力要求极高的两个领域。从“功利性”角度来看，这是一个高效且回报率高的路径。
然而，数学的魅力和价值远不止于此。任何一个需要严谨逻辑、深入分析、量化建模和解决复杂问题的领域，都可能成为数学人才大展身手的舞台。选择哪个方向，更多取决于个人的兴趣、职业规划以及对未来社会发展的判断。一个扎实的数学基础，是你在任何需要“动脑筋”的领域都能获得成功的强大助力。
网友意见
这是教科书式的样本偏差。最有效的办法就是想学什么，就选什么专业，专业相关的知识是可以通过正常的学习来有针对性的获取的，通过学习一个专业来让自己在另外一个专业试图弯道超车，并不是一条有效的路径。
首先，我们来看看是谁在这么说，一般这么说的人有两种：
- 金融、经济和计算机专业的硕博们，本科没有学数学的，然后到了硕士乃至于博士研究生阶段，发现这些专业的深入研究需要用到相对比较专业的数学知识，然后开始布道；
- 从数学转到了金融、经济和计算机，感觉很良好，然后很热情的把自己的经验传递给其他人。
这个样本显然是有偏差的，因为第一类人自己并没有经历转专业的过程，然后观察到了一些转专业的成功者，于是开始自己想象“如果我当年学了数学，那这些工具方面都不是问题了！” 而第二类人是转专业之后的成功者，大量的没有转成功的人被从样本里面剔除了。
用经济学来解释，第二类人是典型的逆选择，因为对方在学习数学的过程中，对经济学、金融学或者计算机本身就产生了浓厚的兴趣，或者说学习起来很有感觉，于是他们成功的转了专业，并且取得了不错的成就—— 也就是说，他们是特定的“类型”，只有这个“类型”的人能够转专业成功。
这并不意味着，他们从一开始就在经济学专业，就在金融专业，就在CS专业，就不会取得如此的成功；这也不意味着，任何一个人只要沿着他们的路径走，就可以弯道超车，取得比一路在经济系上学的学生更大的优势。没有对照组试验，我们如何判定是因为人家学了数学系而“更加”成功的呢？
再者说，从一个专业到另外一个专业，肯定是要丢弃一部分的专业技能和专业思维技巧的，不管你学的是数学，还是理论物理，还是其他的，因为专业之所以叫做专业，那就是其本身有一些东西是其他专业用不到的，比如复变函数和一些几何类课程在经济学里面的应用都远远不如实变函数广泛，如果自己在经济系，那么可以有针对性的有侧重的来学习；而在数学系，这个弹性就没有了。
很多教授喜欢告诉学生，“在我的实验室好好干，就算你以后不做XX了，这种科学的思维对你都是管用的”，其实这种激励听听可以，本身是站不住脚的。一个道理——如果真想要以后做点其他的什么，那我为什么不直接去搞相关的专业，直接培养完全针对我想做的这个东西的“科学思维”呢？为什么非要曲线救国，通过做一个专业的试验，来培养另外一个专业的思维呢？当然，我们可以把教授的话理解成一种善意的安慰，但是作为鸡汤可以，真的要通过这些学科来“培养其他有用的思维”，不能说没有效果，但是很可能是事倍功半的。
第三，转专业要承担很大的风险，有没有人想过——假如你的兴趣或者志向是经济或者金融，然后为了曲线救国，学了四年数学，很可悲的在数学系陷进去转不出来的情况？四年可以让一个人改变很多，可以从意气风发到浑浑噩噩，可以从锐意进取到得过且过，选一个自己没感觉的专业的风险是不可以被忽视的。
第四，跨专业申请总是劣势的。只是说如果你的专业是数学这种基础学科，劣势没有其他学科那么大——这是大家比较的另外一个误区。总是拿很优秀的转专业学生，和一般的本专业学生相比，事实上因为成功转专业的学生往往是要付出更多的努力——比如GPA 很高，比如修了一个经济学双学位的方式来证明自己，所以转专业学生这个样本不能等价于本专业的随机样本。让一个成绩很一般的，从来没有学习过经济学的数学系学生和一个成绩也很一般的经济系学生同时申请经济系研究生，看谁有优势？
第五，之前都是在讨论“好”的情况。那么从最坏的角度说，假如都是成绩垫底，别的方面也没什么突出之处，那么学经济、金融、CS和数学相比，哪个出路更好一点呢？就算单从风险控制的角度来说，直接选热门专业依然有优势。
总而言之，言而总之，想做什么，就选相应的专业，专业的设置就是为了让大家术业有专攻，曲线救国往往都是有不得已之处，或者是对方其实做什么都会很强（比如萨默斯这种），然后经过四年的学习，对经济/金融/计算机比对纯数学更感兴趣（或者就是想赚更多的钱）然后作出的选择罢了。
看见是清华的学弟，跑来强答一发。
我觉得在数学系想学纯数，但又有顾虑是非常能够让人理解的。能够在低年级就主动去思考这样的问题，是好事。
底下的回答针对你的具体问题的不多，我就说说你提出来着重担心的两点吧。
首先是“担忧自己能力以及天赋智商不足以应对纯数学研究的需要”。说实话，如果你以后留在数学领域，你会越来越担忧这一点。因为渐渐的那天“天才型”的数学家会从遥不可及变成出现在你身边，会从比你大得多变成比你年轻得多。但数学非常丰富，所以并不仅仅是天才的天下。一个如同Serre这样的天才，能够“统治”的也不过是某几个领域，而这几个领域也是与其他人“一同治理”的。从另一个角度来说，很多事情不努力你是不知道天赋是否够的。谁可以先天评判你的天赋呢？最终还是你在这个领域中学习、工作，一步步可能才能知道自己的上限在哪里。其实这话都说得满了，很多时候人类追求的就是突破极限，数学家也是如此。
其次是“担心纯数学研究可能会一直清贫下去”。不同人对清贫的定义是不一样的。如果你要跟硅谷和华尔街的工作人员比收入，那恐怕世界上没有不清贫的人；但如果放在整个社会来看，大学教授的收入也是一个相当不错的程度了。所以这会成为多大的困难，完全取决于你自己对自己生活要求的程度。
最后我再叨唠几句。你能到清华，比你的同龄人的平台已经高了很多，希望你能在这个平台上不怕不悔，多去尝试、体验，找到自己究竟想要什么。很多人带着清华的光环，反而畏手畏脚，不愿踏出一步，生怕自己哪一步走错后面全盘皆错，我想这是强度极大的应试教育的高压给人带来的一种心理暗示；但其实大学四年，可以试错的机会不少。数学系后期的课程也比较松散，足够让你去各个院系的课去看一看。好与不好最后做决定的还是你自己。千万记住：做出选择的时候，一定自己为自己的选择负责。
以上仅供参考
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