椭圆的一般方程 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中心点坐标如何推导？
好的，我们来详细推导椭圆一般方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的中心点坐标。
核心思想：
一个二次曲线（包括椭圆）的中心点具有一个重要的性质：如果 $(x_0, y_0)$ 是中心点，那么将曲线方程中的所有 $(x, y)$ 都替换成 $(x_0 + u, y_0 + v)$ 后，方程中不应该再出现常数项（即 $D$ 和 $E$ 相关的项）。换句话说，中心点的存在使得方程关于新的坐标系 $(u, v)$ 成为一个“纯粹的”二次方程，没有线性项。
推导步骤：
1. 代入中心点平移：
假设椭圆的中心点是 $(x_0, y_0)$。我们进行坐标平移，令：
$x = x_0 + u$
$y = y_0 + v$
其中 $(u, v)$ 是在新坐标系下的坐标，以中心点为原点。
将这些代入原方程：
$A(x_0 + u)^2 + B(x_0 + u)(y_0 + v) + C(y_0 + v)^2 + D(x_0 + u) + E(y_0 + v) + F = 0$
2. 展开方程：
现在我们仔细展开这个方程，重点关注 $u$ 和 $v$ 的项：
$u^2$ 的项： $A u^2$
$v^2$ 的项： $C v^2$
$uv$ 的项： $B uv$
$u$ 的项：
从 $A(x_0 + u)^2 = A(x_0^2 + 2x_0u + u^2)$ 中得到 $2Ax_0u$
从 $B(x_0 + u)(y_0 + v) = B(x_0y_0 + x_0v + y_0u + uv)$ 中得到 $Bx_0v + By_0u$
从 $D(x_0 + u) = Dx_0 + Du$ 中得到 $Du$
所以，$u$ 的系数是 $2Ax_0 + By_0 + D$。
$v$ 的项：
从 $B(x_0 + u)(y_0 + v) = B(x_0y_0 + x_0v + y_0u + uv)$ 中得到 $Bx_0v$
从 $C(y_0 + v)^2 = C(y_0^2 + 2y_0v + v^2)$ 中得到 $2Cy_0v$
从 $E(y_0 + v) = Ey_0 + Ev$ 中得到 $Ev$
所以，$v$ 的系数是 $Bx_0 + 2Cy_0 + E$。
常数项（不含 $u$ 或 $v$ 的项）：
$Ax_0^2$
$Bx_0y_0$
$Cy_0^2$
$Dx_0$
$Ey_0$
$F$
所以，常数项是 $Ax_0^2 + Bx_0y_0 + Cy_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F$。
3. 中心点的性质（消除线性项）：
根据中心点的定义，在新坐标系 $(u, v)$ 下，方程应该不包含线性项（即 $u$ 和 $v$ 的一次项）。因此，我们令 $u$ 和 $v$ 的系数都为零：
$u$ 的系数为零： $2Ax_0 + By_0 + D = 0 quad (1)$
$v$ 的系数为零： $Bx_0 + 2Cy_0 + E = 0 quad (2)$
4. 求解中心点坐标：
方程 $(1)$ 和 $(2)$ 构成了关于 $x_0$ 和 $y_0$ 的二元一次线性方程组。我们可以解这个方程组来找到中心点 $(x_0, y_0)$ 的坐标。
解法一：克拉默法则（Cramer's Rule）
这是一个标准的二元一次方程组：
$egin{pmatrix} 2A & B \ B & 2C end{pmatrix} egin{pmatrix} x_0 \ y_0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} D \ E end{pmatrix}$
令行列式 $det = (2A)(2C) (B)(B) = 4AC B^2$。
对于椭圆，我们知道 $B^2 4AC < 0$，所以 $4AC B^2 > 0$。这意味着行列式 $det eq 0$，方程组有唯一解。
求解 $x_0$:
$x_0 = frac{det egin{pmatrix} D & B \ E & 2C end{pmatrix}}{det} = frac{(D)(2C) (B)(E)}{4AC B^2} = frac{2CD + BE}{4AC B^2}$
求解 $y_0$:
$y_0 = frac{det egin{pmatrix} 2A & D \ B & E end{pmatrix}}{det} = frac{(2A)(E) (D)(B)}{4AC B^2} = frac{2AE + BD}{4AC B^2}$
所以，中心点坐标为：
$x_0 = frac{BE 2CD}{4AC B^2}$
$y_0 = frac{BD 2AE}{4AC B^2}$
解法二：代入消元法
从方程 (1) 中解出 $x_0$（假设 $2A eq 0$）：
$2Ax_0 = By_0 D$
$x_0 = frac{By_0 D}{2A}$
将此代入方程 (2)：
$B left( frac{By_0 D}{2A} ight) + 2Cy_0 + E = 0$
乘以 $2A$ 以消除分母：
$B(By_0 D) + 2A(2Cy_0 + E) = 0$
$B^2y_0 BD + 4ACy_0 + 2AE = 0$
将含 $y_0$ 的项移到一边：
$4ACy_0 B^2y_0 = BD 2AE$
$y_0(4AC B^2) = BD 2AE$
如果 $4AC B^2 eq 0$，则：
$y_0 = frac{BD 2AE}{4AC B^2}$
然后将 $y_0$ 的值代回 $x_0$ 的表达式中：
$x_0 = frac{B left( frac{BD 2AE}{4AC B^2} ight) D}{2A}$
$x_0 = frac{B(BD 2AE) D(4AC B^2)}{2A(4AC B^2)}$
$x_0 = frac{B^2D + 2ABE 4ACD + B^2D}{2A(4AC B^2)}$
$x_0 = frac{2ABE 4ACD}{2A(4AC B^2)}$
当 $A eq 0$ 时，我们可以约去 $2A$：
$x_0 = frac{BE 2CD}{4AC B^2}$
特殊情况： 如果 $A=0$ 或者 $C=0$（例如，抛物线的情况），上面的推导需要小心。但题目指定是椭圆，所以 $B^2 4AC < 0$，这意味着 $4AC B^2 > 0$ 且 $A$ 和 $C$ 不能同时为零。如果其中一个为零，例如 $A=0$，则方程变成 $Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，它不是一个标准的椭圆（除非 $B=0$ 并且 $C>0$ 或者 $B=0$ 并且 $A>0$，这时候才能得到椭圆）。对于一个真实的椭圆，我们有 $4AC B^2 > 0$。
总结推导过程的精髓：
1. 利用中心点的平移对称性： 通过坐标变换 $x = x_0 + u, y = y_0 + v$，将中心点置于新坐标系的原点。
2. 提取线性项系数： 将变换后的方程展开，仔细地将所有与 $u$ 和 $v$ 相关的项收集起来，得到它们的系数。
3. 施加中心点条件： 由于中心点是方程的对称中心，变换后的方程在 $(u, v)$ 坐标系下不应有线性项。因此，将 $u$ 和 $v$ 的系数分别设为零。
4. 构建方程组： 得到的两个关于 $x_0$ 和 $y_0$ 的线性方程组是求解中心点坐标的关键。
5. 解方程组： 使用代数方法（如代入消元或克拉默法则）解出 $x_0$ 和 $y_0$，即为椭圆的中心点坐标。
最终得到的公式就是我们上面推导出的：
$x_0 = frac{BE 2CD}{4AC B^2}$
$y_0 = frac{BD 2AE}{4AC B^2}$
这个方法不仅适用于椭圆，也适用于其他二次曲线（如双曲线、抛物线），只是对于抛物线，$4AC B^2 = 0$，需要用其他方法来确定其中心（实际上抛物线没有中心点，而是有顶点）。但对于椭圆，这个推导过程是通用且严谨的。
核心思想：
一个二次曲线（包括椭圆）的中心点具有一个重要的性质：如果 $(x_0, y_0)$ 是中心点，那么将曲线方程中的所有 $(x, y)$ 都替换成 $(x_0 + u, y_0 + v)$ 后，方程中不应该再出现常数项（即 $D$ 和 $E$ 相关的项）。换句话说，中心点的存在使得方程关于新的坐标系 $(u, v)$ 成为一个“纯粹的”二次方程，没有线性项。
推导步骤：
1. 代入中心点平移：
假设椭圆的中心点是 $(x_0, y_0)$。我们进行坐标平移，令：
$x = x_0 + u$
$y = y_0 + v$
其中 $(u, v)$ 是在新坐标系下的坐标，以中心点为原点。
将这些代入原方程：
$A(x_0 + u)^2 + B(x_0 + u)(y_0 + v) + C(y_0 + v)^2 + D(x_0 + u) + E(y_0 + v) + F = 0$
2. 展开方程：
现在我们仔细展开这个方程，重点关注 $u$ 和 $v$ 的项：
$u^2$ 的项： $A u^2$
$v^2$ 的项： $C v^2$
$uv$ 的项： $B uv$
$u$ 的项：
从 $A(x_0 + u)^2 = A(x_0^2 + 2x_0u + u^2)$ 中得到 $2Ax_0u$
从 $B(x_0 + u)(y_0 + v) = B(x_0y_0 + x_0v + y_0u + uv)$ 中得到 $Bx_0v + By_0u$
从 $D(x_0 + u) = Dx_0 + Du$ 中得到 $Du$
所以，$u$ 的系数是 $2Ax_0 + By_0 + D$。
$v$ 的项：
从 $B(x_0 + u)(y_0 + v) = B(x_0y_0 + x_0v + y_0u + uv)$ 中得到 $Bx_0v$
从 $C(y_0 + v)^2 = C(y_0^2 + 2y_0v + v^2)$ 中得到 $2Cy_0v$
从 $E(y_0 + v) = Ey_0 + Ev$ 中得到 $Ev$
所以，$v$ 的系数是 $Bx_0 + 2Cy_0 + E$。
常数项（不含 $u$ 或 $v$ 的项）：
$Ax_0^2$
$Bx_0y_0$
$Cy_0^2$
$Dx_0$
$Ey_0$
$F$
所以，常数项是 $Ax_0^2 + Bx_0y_0 + Cy_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F$。
3. 中心点的性质（消除线性项）：
根据中心点的定义，在新坐标系 $(u, v)$ 下，方程应该不包含线性项（即 $u$ 和 $v$ 的一次项）。因此，我们令 $u$ 和 $v$ 的系数都为零：
$u$ 的系数为零： $2Ax_0 + By_0 + D = 0 quad (1)$
$v$ 的系数为零： $Bx_0 + 2Cy_0 + E = 0 quad (2)$
4. 求解中心点坐标：
方程 $(1)$ 和 $(2)$ 构成了关于 $x_0$ 和 $y_0$ 的二元一次线性方程组。我们可以解这个方程组来找到中心点 $(x_0, y_0)$ 的坐标。
解法一：克拉默法则（Cramer's Rule）
这是一个标准的二元一次方程组：
$egin{pmatrix} 2A & B \ B & 2C end{pmatrix} egin{pmatrix} x_0 \ y_0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} D \ E end{pmatrix}$
令行列式 $det = (2A)(2C) (B)(B) = 4AC B^2$。
对于椭圆，我们知道 $B^2 4AC < 0$，所以 $4AC B^2 > 0$。这意味着行列式 $det eq 0$，方程组有唯一解。
求解 $x_0$:
$x_0 = frac{det egin{pmatrix} D & B \ E & 2C end{pmatrix}}{det} = frac{(D)(2C) (B)(E)}{4AC B^2} = frac{2CD + BE}{4AC B^2}$
求解 $y_0$:
$y_0 = frac{det egin{pmatrix} 2A & D \ B & E end{pmatrix}}{det} = frac{(2A)(E) (D)(B)}{4AC B^2} = frac{2AE + BD}{4AC B^2}$
所以，中心点坐标为：
$x_0 = frac{BE 2CD}{4AC B^2}$
$y_0 = frac{BD 2AE}{4AC B^2}$
解法二：代入消元法
从方程 (1) 中解出 $x_0$（假设 $2A eq 0$）：
$2Ax_0 = By_0 D$
$x_0 = frac{By_0 D}{2A}$
将此代入方程 (2)：
$B left( frac{By_0 D}{2A} ight) + 2Cy_0 + E = 0$
乘以 $2A$ 以消除分母：
$B(By_0 D) + 2A(2Cy_0 + E) = 0$
$B^2y_0 BD + 4ACy_0 + 2AE = 0$
将含 $y_0$ 的项移到一边：
$4ACy_0 B^2y_0 = BD 2AE$
$y_0(4AC B^2) = BD 2AE$
如果 $4AC B^2 eq 0$，则：
$y_0 = frac{BD 2AE}{4AC B^2}$
然后将 $y_0$ 的值代回 $x_0$ 的表达式中：
$x_0 = frac{B left( frac{BD 2AE}{4AC B^2} ight) D}{2A}$
$x_0 = frac{B(BD 2AE) D(4AC B^2)}{2A(4AC B^2)}$
$x_0 = frac{B^2D + 2ABE 4ACD + B^2D}{2A(4AC B^2)}$
$x_0 = frac{2ABE 4ACD}{2A(4AC B^2)}$
当 $A eq 0$ 时，我们可以约去 $2A$：
$x_0 = frac{BE 2CD}{4AC B^2}$
特殊情况： 如果 $A=0$ 或者 $C=0$（例如，抛物线的情况），上面的推导需要小心。但题目指定是椭圆，所以 $B^2 4AC < 0$，这意味着 $4AC B^2 > 0$ 且 $A$ 和 $C$ 不能同时为零。如果其中一个为零，例如 $A=0$，则方程变成 $Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，它不是一个标准的椭圆（除非 $B=0$ 并且 $C>0$ 或者 $B=0$ 并且 $A>0$，这时候才能得到椭圆）。对于一个真实的椭圆，我们有 $4AC B^2 > 0$。
总结推导过程的精髓：
1. 利用中心点的平移对称性： 通过坐标变换 $x = x_0 + u, y = y_0 + v$，将中心点置于新坐标系的原点。
2. 提取线性项系数： 将变换后的方程展开，仔细地将所有与 $u$ 和 $v$ 相关的项收集起来，得到它们的系数。
3. 施加中心点条件： 由于中心点是方程的对称中心，变换后的方程在 $(u, v)$ 坐标系下不应有线性项。因此，将 $u$ 和 $v$ 的系数分别设为零。
4. 构建方程组： 得到的两个关于 $x_0$ 和 $y_0$ 的线性方程组是求解中心点坐标的关键。
5. 解方程组： 使用代数方法（如代入消元或克拉默法则）解出 $x_0$ 和 $y_0$，即为椭圆的中心点坐标。
最终得到的公式就是我们上面推导出的：
$x_0 = frac{BE 2CD}{4AC B^2}$
$y_0 = frac{BD 2AE}{4AC B^2}$
这个方法不仅适用于椭圆，也适用于其他二次曲线（如双曲线、抛物线），只是对于抛物线，$4AC B^2 = 0$，需要用其他方法来确定其中心（实际上抛物线没有中心点，而是有顶点）。但对于椭圆，这个推导过程是通用且严谨的。
网友意见
@三川啦啦啦 给出了一个好方法，但是分析的感觉比较浓，缺少一点题主要的线性代数的韵味。
如果我们假定一个椭圆在经过线性变换之后还是一个椭圆，且其中心恰好变换到新的椭圆的中心上，那么我们可以利用一个巧妙的线性变换将原来的椭圆变换为一个长/短轴与坐标轴平行的椭圆，从而方便地求出其中心。
对坐标 执行变换 ，可以得到新的坐标
，
于是
。
将其代入原先的椭圆方程，可得
，
展开、合并，可得
，
发现这是一个新的椭圆，且长/短轴平行于坐标轴。通过配方容易求得它的中心
。
然后对它执行线性变换 ，可得原来的椭圆的中心
。
题主问 是怎么出来的，其实如果认真看一下我之前提到过的那个答主的回答的话就会发现这个式子的影子。
看到这张图上最后那个线性方程组，你仔细看一下的话会发现，它其实就是
，
即
，
因此
。
寻找椭圆中心的思路可见上图：我们找到椭圆两对关于椭圆中心对称的切点即可。
我使用椭圆一般方程的通常设法，希望题主理解：
即椭圆方程系数矩阵
如何求如图中的 、 、 、 这四个切点呢？无非就是求 与 的四个极值点罢了，由隐函数求导公式：
于是得到 的两个极值点 、 所在的直线方程，同理也可得到 、 所在直线，于是解下面方程组即可：
这个方程组的系数矩阵恰恰是矩阵 的前两行。由克莱默法则，方程的解为
即
此为椭圆中心的坐标。
注：叙述中所有涉及分母的地方都可以保证不为零，相信这是一条多余的注释。
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