为什么推导行星轨道是椭圆的过程中未体现中心天体是左焦点还是右焦点？如何判断是哪个焦点？
在推导行星轨道是椭圆的过程中，我们确实没有明确指定椭圆的中心天体位于左焦点还是右焦点。这背后其实有着深刻的数学和物理原因，也与我们描述和理解轨道的方式有关。
为什么推导过程中不区分左右焦点？
1. 椭圆的对称性与几何定义：
我们定义椭圆最核心的几何性质是：平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比恒定（且等于离心率 e）。
我们也可以定义椭圆为：平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数。
无论是哪种定义，它都只关注“点”和“线”本身，以及它们之间的关系。它并没有为这两个焦点赋予“左”或“右”这样的空间定位。一个椭圆，无论你如何旋转它，它的几何性质（长半轴、短半轴、焦点位置、离心率）都不会改变。
在推导过程中，我们通常会建立一个坐标系。这个坐标系的选择是为了方便计算，而不是为了“规定”焦点在哪里。比如，我们经常会将焦点之一放在原点 $(0,0)$，然后让另一个焦点在 $x$ 轴的正半轴上（此时焦点坐标是 $(c, 0)$，其中 $c$ 是焦距）。或者，我们也可以让另一个焦点在 $x$ 轴的负半轴上（焦点坐标是 $(c, 0)$）。但无论哪种选择，最终得到的轨道方程形式都是相同的，都描述的是一个椭圆。
2. 物理定律的普适性：
牛顿万有引力定律描述的是一个 中心力 作用。引力的大小只与两个物体的质量以及它们之间的距离有关，而与力的方向无关（方向总是指向中心）。
在推导行星轨道时，我们通常会使用极坐标系，将中心天体（如太阳）放在 极点 上。这是最自然的选择，因为引力总是指向中心。
万有引力产生的势能 $U(r) = frac{GMm}{r}$，其中 $r$ 是行星到中心天体的距离。这个势能函数只取决于距离 $r$，不取决于方向。
当我们在极坐标下求解运动方程（例如，将角动量守恒和能量守恒代入）时，得到的轨道方程通常是 $r = frac{p}{1 + e cos heta}$ 或 $r = frac{p}{1 e cos heta}$ 的形式。这里的 $ heta$ 是行星相对于某一参考方向的角度。
$cos heta$ 的性质意味着，无论 $ heta$ 是 $+ phi$ 还是 $ phi$，$cos heta$ 的值是相同的。这意味着轨道在相对于中心天体的径向方向上是“对称”的（对于固定的距离 $r$ 而言，它可能出现在 $ heta$ 和 $ heta$ 的位置）。
更重要的是，方程中的 $1 + e cos heta$ 或 $1 e cos heta$ 决定了轨道的“形状”和“方向”。当 $ heta=0$ 时，行星离中心天体最近（近日点），此时 $r$ 最小。当 $ heta=pi$ 时，行星离中心天体最远（远日点），此时 $r$ 最大。
焦点的位置由这个方程的数学结构隐含决定。在 $r = frac{p}{1 + e cos heta}$ 这种形式中，如果我们将 $ heta=0$ 的方向定义为参考方向，那么焦点就位于 $ heta=0$ 的方向上，离中心天体（极点）的距离是 $p/(1+e)$，而另一个焦点则在 $x$ 轴负方向上，离中心天体距离为 $p/(1e)$。如果我们写成 $r = frac{p}{1 + e cos( heta heta_0)}$，那么焦点就位于 $ heta_0$ 这个角度。关键在于，这个 $p$ 和 $e$ 是由系统的总能量和角动量决定的，它们本身不依赖于我们先设定哪个焦点是“左”或“右”。
3. 观察者的视角：
“左”和“右”是相对于观察者或我们建立的坐标系的。在宇宙空间中，没有绝对的“左”或“右”。
我们选择一个坐标系，是为了方便数学描述和计算。一旦我们固定了中心天体的位置（通常在极点），然后我们观察行星的运动轨迹，那么根据行星的最远和最近点（或者轨道方程中的参数），我们自然会“看到”焦点的位置。
如何判断是哪个焦点？
虽然在推导过程中不区分，但在我们观测到具体的轨道，并建立起描述它的数学模型后，就可以确定中心天体是哪个焦点了。这通常是通过以下方式：
1. 根据轨道方程的参数：
标准的极坐标方程形式：$r( heta) = frac{p}{1 pm e cos heta}$ 或 $r( heta) = frac{p}{1 pm e sin heta}$。
这里的 $ heta$ 是从某个参考方向（通常是 $x$ 轴正方向）测量的角度。
如果方程是 $r( heta) = frac{p}{1 + e cos heta}$：
当 $ heta=0$（沿 $x$ 轴正方向）时，$r$ 最小，行星离中心天体最近（近日点）。
当 $ heta=pi$（沿 $x$ 轴负方向）时，$r$ 最大，行星离中心天体最远（远日点）。
在这种情况下，如果我们将中心天体（极点）放在原点 $(0,0)$，那么另一个焦点（距离中心天体 $c = pe/(1+e)$ 和 $c = pe/(1e)$ 的点）会落在 $x$ 轴的负半轴上，因为 $r$ 最小的点发生在 $ heta=0$。
要明确，焦点是定义在几何上的，不是一个“被占据”的点。中心天体本身占据了极点，而这个极点就是轨道的一个焦点。
如果我们在使用极坐标时，将焦点之一（不是中心天体所在的位置）置于 $(c,0)$，然后通过几何推导得到方程，那么中心天体（它位于原点 $(0,0)$）就是焦点之一。
更直接地说，我们是先建立坐标系，把中心天体放在极点 $(0,0)$。然后，我们发现轨道方程的形式是 $r( heta) = frac{L^2/(mu k)}{1 + e cos heta}$（假设引力与距离平方成反比， $k$ 是引力常数， $mu$ 是约化质量）。
这里的 $cos heta$ 项决定了近、远点的方向。当 $ heta=0$ 时，$r$ 最小。这意味着 中心天体（极点）所在的位置，就是轨道的一个焦点。 另一个焦点则在 $ heta=pi$ 的方向上，距离中心天体 $2c$ 的位置。
所以，在极坐标系下，将中心天体放在极点 $(0,0)$，其轨道方程如果是 $r( heta) = frac{p}{1 + e cos heta}$，那么中心天体就位于极点，这个极点就是几何上定义的焦点之一。
2. 根据近、远点的方向：
我们在观测中会发现行星离中心天体的最近点（近日点）和最远点（远日点）。
焦点定义： 椭圆上到两个焦点的距离之和为常数。中心天体（例如太阳）的引力导致行星绕其运动。这个引力是中心力，只与距离有关。
关键在于： 在牛顿引力作用下，行星轨道的一个焦点必然位于中心天体所在的位置。
如何判断是“哪个”焦点（相对于我们建立的笛卡尔坐标系）：
如果我们建立了一个笛卡尔坐标系，将中心天体放在原点 $(0,0)$。
我们观测到行星的轨道。
我们找到行星距离中心天体最近的点（近日点）和最远的点（远日点）。
这两个点（近日点和远日点）必然位于同一条直线上，这条直线穿过中心天体。
中心天体就在这条直线和椭圆的交点上，并且这个交点就是轨道的一个焦点。
“左”或“右”是相对于我们绘制的图或选择的坐标轴而言的。 例如，如果我们画出的椭圆，中心天体在原点，而近日点位于 $x$ 轴正方向，远日点位于 $x$ 轴负方向，那么我们可以说中心天体位于“右”焦点（如果焦点定义为 $(c,0)$），或者“左”焦点（如果焦点定义为 $(c,0)$）。 这不是一个固有的属性，而是我们描述它的方式。
更标准的理解是： 在描述一个椭圆时，焦点是固定的几何点。当我们说“中心天体是左焦点”时，意味着我们已经选择了一个坐标系，并将一个焦点放在了 $x$ 轴负方向，而中心天体恰好就在那个位置。但从推导的物理定律本身，并不会“规定”焦点要在左边还是右边。
总结一下：
推导行星轨道为椭圆的过程中，我们依据的是中心天体施加的 指向中心的引力，以及由此产生的 能量和角动量守恒。这些物理定律只关心距离和角度（相对于某个参考方向），而不涉及“左右”的绝对概念。
当我们将中心天体放在极坐标系的 极点 上时，行星的轨道方程（如 $r = frac{p}{1 + e cos heta}$）自然地表明，中心天体所处的位置就是轨道的一个焦点。
至于中心天体是“左”还是“右”焦点，这完全取决于我们 事后选择的笛卡尔坐标系。如果我们选择一个坐标系，并将一个焦点定位在 $x$ 轴的负方向，而中心天体恰好就在那个位置，我们就可以说它是“左”焦点。反之亦然。从物理和几何的普适性来看，中心天体就是轨道的一个焦点，它的具体“位置”（左或右）是相对我们观察和描述方式而言的，而不是由物理定律本身强加的。
打个比方，就好比你在一张纸上画一个圆，圆心在哪里？圆心就是圆的中心。至于你说它是“左”中心还是“右”中心，那得看你画这张纸的时候，你把“左”和“右”定义在哪里。
为什么推导过程中不区分左右焦点？
1. 椭圆的对称性与几何定义：
我们定义椭圆最核心的几何性质是：平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离之比恒定（且等于离心率 e）。
我们也可以定义椭圆为：平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数。
无论是哪种定义，它都只关注“点”和“线”本身，以及它们之间的关系。它并没有为这两个焦点赋予“左”或“右”这样的空间定位。一个椭圆，无论你如何旋转它，它的几何性质（长半轴、短半轴、焦点位置、离心率）都不会改变。
在推导过程中，我们通常会建立一个坐标系。这个坐标系的选择是为了方便计算，而不是为了“规定”焦点在哪里。比如，我们经常会将焦点之一放在原点 $(0,0)$，然后让另一个焦点在 $x$ 轴的正半轴上（此时焦点坐标是 $(c, 0)$，其中 $c$ 是焦距）。或者，我们也可以让另一个焦点在 $x$ 轴的负半轴上（焦点坐标是 $(c, 0)$）。但无论哪种选择，最终得到的轨道方程形式都是相同的，都描述的是一个椭圆。
2. 物理定律的普适性：
牛顿万有引力定律描述的是一个 中心力 作用。引力的大小只与两个物体的质量以及它们之间的距离有关，而与力的方向无关（方向总是指向中心）。
在推导行星轨道时，我们通常会使用极坐标系，将中心天体（如太阳）放在 极点 上。这是最自然的选择，因为引力总是指向中心。
万有引力产生的势能 $U(r) = frac{GMm}{r}$，其中 $r$ 是行星到中心天体的距离。这个势能函数只取决于距离 $r$，不取决于方向。
当我们在极坐标下求解运动方程（例如，将角动量守恒和能量守恒代入）时，得到的轨道方程通常是 $r = frac{p}{1 + e cos heta}$ 或 $r = frac{p}{1 e cos heta}$ 的形式。这里的 $ heta$ 是行星相对于某一参考方向的角度。
$cos heta$ 的性质意味着，无论 $ heta$ 是 $+ phi$ 还是 $ phi$，$cos heta$ 的值是相同的。这意味着轨道在相对于中心天体的径向方向上是“对称”的（对于固定的距离 $r$ 而言，它可能出现在 $ heta$ 和 $ heta$ 的位置）。
更重要的是，方程中的 $1 + e cos heta$ 或 $1 e cos heta$ 决定了轨道的“形状”和“方向”。当 $ heta=0$ 时，行星离中心天体最近（近日点），此时 $r$ 最小。当 $ heta=pi$ 时，行星离中心天体最远（远日点），此时 $r$ 最大。
焦点的位置由这个方程的数学结构隐含决定。在 $r = frac{p}{1 + e cos heta}$ 这种形式中，如果我们将 $ heta=0$ 的方向定义为参考方向，那么焦点就位于 $ heta=0$ 的方向上，离中心天体（极点）的距离是 $p/(1+e)$，而另一个焦点则在 $x$ 轴负方向上，离中心天体距离为 $p/(1e)$。如果我们写成 $r = frac{p}{1 + e cos( heta heta_0)}$，那么焦点就位于 $ heta_0$ 这个角度。关键在于，这个 $p$ 和 $e$ 是由系统的总能量和角动量决定的，它们本身不依赖于我们先设定哪个焦点是“左”或“右”。
3. 观察者的视角：
“左”和“右”是相对于观察者或我们建立的坐标系的。在宇宙空间中，没有绝对的“左”或“右”。
我们选择一个坐标系，是为了方便数学描述和计算。一旦我们固定了中心天体的位置（通常在极点），然后我们观察行星的运动轨迹，那么根据行星的最远和最近点（或者轨道方程中的参数），我们自然会“看到”焦点的位置。
如何判断是哪个焦点？
虽然在推导过程中不区分，但在我们观测到具体的轨道，并建立起描述它的数学模型后，就可以确定中心天体是哪个焦点了。这通常是通过以下方式：
1. 根据轨道方程的参数：
标准的极坐标方程形式：$r( heta) = frac{p}{1 pm e cos heta}$ 或 $r( heta) = frac{p}{1 pm e sin heta}$。
这里的 $ heta$ 是从某个参考方向（通常是 $x$ 轴正方向）测量的角度。
如果方程是 $r( heta) = frac{p}{1 + e cos heta}$：
当 $ heta=0$（沿 $x$ 轴正方向）时，$r$ 最小，行星离中心天体最近（近日点）。
当 $ heta=pi$（沿 $x$ 轴负方向）时，$r$ 最大，行星离中心天体最远（远日点）。
在这种情况下，如果我们将中心天体（极点）放在原点 $(0,0)$，那么另一个焦点（距离中心天体 $c = pe/(1+e)$ 和 $c = pe/(1e)$ 的点）会落在 $x$ 轴的负半轴上，因为 $r$ 最小的点发生在 $ heta=0$。
要明确，焦点是定义在几何上的，不是一个“被占据”的点。中心天体本身占据了极点，而这个极点就是轨道的一个焦点。
如果我们在使用极坐标时，将焦点之一（不是中心天体所在的位置）置于 $(c,0)$，然后通过几何推导得到方程，那么中心天体（它位于原点 $(0,0)$）就是焦点之一。
更直接地说，我们是先建立坐标系，把中心天体放在极点 $(0,0)$。然后，我们发现轨道方程的形式是 $r( heta) = frac{L^2/(mu k)}{1 + e cos heta}$（假设引力与距离平方成反比， $k$ 是引力常数， $mu$ 是约化质量）。
这里的 $cos heta$ 项决定了近、远点的方向。当 $ heta=0$ 时，$r$ 最小。这意味着 中心天体（极点）所在的位置，就是轨道的一个焦点。 另一个焦点则在 $ heta=pi$ 的方向上，距离中心天体 $2c$ 的位置。
所以，在极坐标系下，将中心天体放在极点 $(0,0)$，其轨道方程如果是 $r( heta) = frac{p}{1 + e cos heta}$，那么中心天体就位于极点，这个极点就是几何上定义的焦点之一。
2. 根据近、远点的方向：
我们在观测中会发现行星离中心天体的最近点（近日点）和最远点（远日点）。
焦点定义： 椭圆上到两个焦点的距离之和为常数。中心天体（例如太阳）的引力导致行星绕其运动。这个引力是中心力，只与距离有关。
关键在于： 在牛顿引力作用下，行星轨道的一个焦点必然位于中心天体所在的位置。
如何判断是“哪个”焦点（相对于我们建立的笛卡尔坐标系）：
如果我们建立了一个笛卡尔坐标系，将中心天体放在原点 $(0,0)$。
我们观测到行星的轨道。
我们找到行星距离中心天体最近的点（近日点）和最远的点（远日点）。
这两个点（近日点和远日点）必然位于同一条直线上，这条直线穿过中心天体。
中心天体就在这条直线和椭圆的交点上，并且这个交点就是轨道的一个焦点。
“左”或“右”是相对于我们绘制的图或选择的坐标轴而言的。 例如，如果我们画出的椭圆，中心天体在原点，而近日点位于 $x$ 轴正方向，远日点位于 $x$ 轴负方向，那么我们可以说中心天体位于“右”焦点（如果焦点定义为 $(c,0)$），或者“左”焦点（如果焦点定义为 $(c,0)$）。 这不是一个固有的属性，而是我们描述它的方式。
更标准的理解是： 在描述一个椭圆时，焦点是固定的几何点。当我们说“中心天体是左焦点”时，意味着我们已经选择了一个坐标系，并将一个焦点放在了 $x$ 轴负方向，而中心天体恰好就在那个位置。但从推导的物理定律本身，并不会“规定”焦点要在左边还是右边。
总结一下：
推导行星轨道为椭圆的过程中，我们依据的是中心天体施加的 指向中心的引力，以及由此产生的 能量和角动量守恒。这些物理定律只关心距离和角度（相对于某个参考方向），而不涉及“左右”的绝对概念。
当我们将中心天体放在极坐标系的 极点 上时，行星的轨道方程（如 $r = frac{p}{1 + e cos heta}$）自然地表明，中心天体所处的位置就是轨道的一个焦点。
至于中心天体是“左”还是“右”焦点，这完全取决于我们 事后选择的笛卡尔坐标系。如果我们选择一个坐标系，并将一个焦点定位在 $x$ 轴的负方向，而中心天体恰好就在那个位置，我们就可以说它是“左”焦点。反之亦然。从物理和几何的普适性来看，中心天体就是轨道的一个焦点，它的具体“位置”（左或右）是相对我们观察和描述方式而言的，而不是由物理定律本身强加的。
打个比方，就好比你在一张纸上画一个圆，圆心在哪里？圆心就是圆的中心。至于你说它是“左”中心还是“右”中心，那得看你画这张纸的时候，你把“左”和“右”定义在哪里。
网友意见
行星的轨道不是封闭的。
都见过太阳系群星的真实轨迹动画吧。
实际上这个动画也仅仅是局部示意。
太阳系自身还围绕银河系核心运动，6.2亿年绕一圈，轨迹也呈现宏观的波动。
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