绕同一天体长轴和直径相同的椭圆和圆轨道交点处绕行速度相同吗？
这个问题很有意思，涉及到天体力学中的一个经典场景。简单来说，在相同的交点处，绕同一天体运动，一个物体走圆轨道，另一个物体走椭圆轨道，它们的绕行速度不一定相同，但有一个特殊情况是相同的。
我们来一步步拆解，把话说得更明白一些。
首先，我们要明确几个概念：
天体（中心天体）： 质量巨大的那个，比如太阳、地球。我们假设它质量为 M。
轨道： 物体围绕中心天体运动的路径。
圆轨道： 轨道是一个正圆。
椭圆轨道： 轨道是一个椭圆。
长轴： 椭圆最长的那条直径。
直径相同的椭圆和圆轨道： 这里“直径相同”是个关键点，我们后面会详细解释它的含义。
交点： 圆轨道和椭圆轨道相遇的点，也就是它们在空间中重合的点。
绕行速度： 物体在轨道上运动的速度。
第一步：理解在天体力学中速度是如何决定的？
根据万有引力定律和牛顿第二定律，一个物体围绕另一个质量为 M 的天体运动时，其速度（v）和轨道参数之间存在着紧密的联系。对于任何一种轨道（无论是圆还是椭圆），在轨道上的任何一点，其速度都由以下几个因素决定：
1. 到中心天体的距离 (r)： 这是最关键的因素。离中心天体越近，万有引力越强，速度就越快；离得越远，万有引力越弱，速度就越慢。
2. 中心天体的质量 (M)： M 越大，引力越大，速度也越大。
3. 轨道的能量： 轨道的总能量（动能加上势能）决定了轨道的形状和大小。对于一个特定的轨道，其总能量是恒定的。
第二步：圆轨道上的速度
对于一个物体在距离中心天体 r 处做圆轨道运动，其速度 v 是恒定的，并且可以用一个简单的公式表示：
$v_{圆} = sqrt{frac{GM}{r}}$
其中：
G 是万有引力常数
M 是中心天体的质量
r 是圆轨道的半径
第三步：椭圆轨道上的速度
椭圆轨道就比较复杂了。在椭圆轨道上，物体的速度是变化的。距离中心天体越近（在近日点），速度越快；距离中心天体越远（在远日点），速度越慢。
对于椭圆轨道上的任意一点，其速度 v 可以用更一般的公式表示，这个公式也称为轨道速度公式或 पदाधिकारियों公式 (visviva equation)：
$v_{椭圆}^2 = GM(frac{2}{r} frac{1}{a})$
其中：
G 是万有引力常数
M 是中心天体的质量
r 是物体到中心天体的瞬时距离
a 是轨道半长轴（椭圆轨道半长轴，等于椭圆长轴的一半）
第四步：分析“直径相同的椭圆和圆轨道”
这里“直径相同”的说法需要我们仔细琢磨。在天体力学里，我们更常用“半径”来描述圆轨道，用“半长轴”和“偏心率”来描述椭圆轨道。
如果我们理解为：
圆轨道半径 = 椭圆轨道长轴的一半 (即半长轴 a)
并且这两个轨道恰好在某个点相交。
假设这个交点到中心天体的距离是 $r_{交点}$。
第五步：比较交点处的速度
现在我们来看，当这两个轨道在交点处相遇时，交点处的速度是否相同。
圆轨道： 如果圆轨道恰好也经过这个距离 $r_{交点}$，并且这个 $r_{交点}$ 就是圆轨道的半径，那么根据圆轨道速度公式，在交点处的速度是：
$v_{圆_交点} = sqrt{frac{GM}{r_{交点}}}$
椭圆轨道： 在椭圆轨道上的交点处，其到中心天体的距离也是 $r_{交点}$。根据 पदाधिकारी公式，此时的速度是：
$v_{椭圆_交点}^2 = GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})$
那么，在什么情况下速度会相同呢？
我们要让 $v_{圆_交点} = v_{椭圆_交点}$。这意味着：
$sqrt{frac{GM}{r_{交点}}} = sqrt{GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})}$
两边平方并化简：
$frac{GM}{r_{交点}} = GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})$
$frac{1}{r_{交点}} = frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a}$
$frac{1}{a} = frac{2}{r_{交点}} frac{1}{r_{交点}}$
$frac{1}{a} = frac{1}{r_{交点}}$
所以，$mathbf{a = r_{交点}}$
这是什么意思？
这个结果告诉我们：
当椭圆轨道的半长轴 (a) 等于那个交点到中心天体的距离 ($r_{交点}$) 时，在交点处，圆轨道和椭圆轨道的速度是相同的。
让我们再深入思考一下：
如果椭圆轨道的半长轴 $a$ 等于交点到中心天体的距离 $r_{交点}$，那么对于椭圆轨道来说，这个交点就位于轨道的远日点或近日点（具体是哪个取决于椭圆的形状和这个点在轨道上的位置）。
如果一个圆轨道恰好半径也等于这个 $r_{交点}$，那么它也经过这个点。
最特殊且最容易理解的情况： 当这个交点恰好是椭圆轨道的远日点（离中心天体最远的点），而我们又构造了一个圆轨道，其半径正好等于这个远日点到中心天体的距离。此时，椭圆轨道在这个点上的速度和这个圆轨道上的速度是相等的。
在远日点，距离是 $r_{远日点} = a(1+e)$，其中 e 是椭圆的偏心率。
在近日点，距离是 $r_{近日点} = a(1e)$。
只有当 $e=0$ 时（也就是轨道是一个圆），远日点和近日点的距离都等于 $a$。
所以，如果 $r_{交点} = a$，那么这个交点要么是远日点（$r_{远日点}=a$），要么是近日点（$r_{近日点}=a$）。如果 $r_{交点} = a$，那么根据 $v_{椭圆}^2 = GM(frac{2}{r} frac{1}{a})$，当 $r=a$ 时，$v_{椭圆}^2 = GM(frac{2}{a} frac{1}{a}) = frac{GM}{a}$。此时速度就是 $v_{椭圆} = sqrt{frac{GM}{a}}$。
而如果我们的圆轨道半径也恰好是 $a$，那么其速度就是 $v_{圆} = sqrt{frac{GM}{a}}$。
所以，当交点到中心天体的距离恰好等于椭圆轨道的半长轴时，速度是相同的。 这意味着这个交点就是椭圆轨道的近日点或远日点，并且这个距离恰好是我们定义的那个“相同直径”的圆轨道的半径。
但如果我们不是在远日点或近日点相交呢？
假设交点不是远日点或近日点，即 $r_{交点} eq a$ 且 $r_{交点} eq a(1 pm e)$ 的特殊情况（假设）。
如果椭圆轨道的半长轴 $a$ 确实是它长轴的一半，但我们选择的交点是椭圆轨道上的任意一点，其到中心天体的距离是 $r_{交点}$。
那么，在交点处的速度分别为：
$v_{圆_交点} = sqrt{frac{GM}{r_{交点}}}$
$v_{椭圆_交点} = sqrt{GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})}$
要让这两个速度相等，我们再次回到 $a = r_{交点}$ 的条件。这意味着，只有当交点恰好是那个到中心天体距离等于椭圆轨道半长轴的点时，速度才会相同。
如果 $a eq r_{交点}$，那么在交点处的速度将不同。
如果 $r_{交点} < a$： 那么 $frac{1}{r_{交点}} > frac{1}{a}$。在 पदाधिकारियों公式中，$v_{椭圆_交点}^2 = GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})$，因为 $frac{1}{a}$ 是一个负值，其绝对值小于 $frac{2}{r_{交点}}$。 如果 $r_{交点}$ 相对于 $a$ 来说是比较靠内的点，那么 $v_{椭圆_交点}$ 会比 $v_{圆_交点}$ 更快（因为 $frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a}$ 的值相对会更大）。
如果 $r_{交点} > a$： 那么 $frac{1}{r_{交点}} < frac{1}{a}$。如果 $r_{交点}$ 相对于 $a$ 来说是比较靠外的点，那么 $v_{椭圆_交点}$ 会比 $v_{圆_交点}$ 更慢。
总结一下，问题的关键在于如何理解“直径相同的椭圆和圆轨道”以及“交点”。
1. 如果“直径相同的椭圆和圆轨道”指的是它们的“半长轴”等于“圆轨道半径”，并且它们在那个距离点相交：
那么，只有当这个交点到中心天体的距离恰好等于椭圆轨道的半长轴（$r_{交点} = a$）时，它们在交点处的速度才相同。 此时，这个交点就是椭圆轨道的近日点或远日点，并且圆轨道的半径也等于这个距离。
2. 如果“直径相同的椭圆和圆轨道”只是一个概念上的类比，而我们关注的是在某个特定交点，且这个交点到中心天体的距离为 $r_{交点}$：
那么圆轨道速度是 $v_{圆} = sqrt{GM/r_{交点}}$。
椭圆轨道在交点处的速度是 $v_{椭圆} = sqrt{GM(2/r_{交点} 1/a)}$。
在这两种情况下，速度不同，除非 $a = r_{交点}$。
所以，通常情况下，它们的速度是不相同的。只有当交点到中心天体的距离等于椭圆轨道的半长轴时，速度才会相等。
举个例子：
想象一下，太阳是中心天体。地球围绕太阳运行的轨道是椭圆。月球围绕地球运行的轨道是近似圆（虽然也有些许椭圆）。
如果我们比较一个完美的圆轨道和一个椭圆轨道，并且它们在某个点相遇。
圆轨道，半径为 $R$。速度是 $v_{圆} = sqrt{GM_{天体}/R}$。
椭圆轨道，半长轴为 $a$。在距离中心天体为 $r$ 的地方，速度是 $v_{椭圆} = sqrt{GM_{天体}(2/r 1/a)}$。
如果它们在距离 $r_{交点}$ 的地方相遇，并且我们说它们的“直径相同”，如果这里的“直径相同”是指 $R = a$，那么：
圆轨道速度在交点处（假设交点距离为 $r_{交点}$）：$v_{圆} = sqrt{GM_{天体}/r_{交点}}$
椭圆轨道速度在交点处（距离为 $r_{交点}$）：$v_{椭圆} = sqrt{GM_{天体}(2/r_{交点} 1/a)}$
要让 $v_{圆} = v_{椭圆}$，需要 $1/r_{交点} = 2/r_{交点} 1/a$，最终得到 $a = r_{交点}$。
结论：绕同一天体长轴和直径相同的椭圆和圆轨道，在交点处的绕行速度不一定相同。它们的速度相同，当且仅当那个交点到中心天体的距离恰好等于椭圆轨道的半长轴。
这句话听起来可能有点拗口，但它精确地描述了情况。大多数时候，椭圆轨道上的速度会变化，而圆轨道上的速度是恒定的。即使在交点处，除非这个交点是椭圆轨道的特殊位置（近日点或远日点），并且这个距离恰好也符合圆轨道的参数，否则速度是不同的。
我们来一步步拆解，把话说得更明白一些。
首先，我们要明确几个概念：
天体（中心天体）： 质量巨大的那个，比如太阳、地球。我们假设它质量为 M。
轨道： 物体围绕中心天体运动的路径。
圆轨道： 轨道是一个正圆。
椭圆轨道： 轨道是一个椭圆。
长轴： 椭圆最长的那条直径。
直径相同的椭圆和圆轨道： 这里“直径相同”是个关键点，我们后面会详细解释它的含义。
交点： 圆轨道和椭圆轨道相遇的点，也就是它们在空间中重合的点。
绕行速度： 物体在轨道上运动的速度。
第一步：理解在天体力学中速度是如何决定的？
根据万有引力定律和牛顿第二定律，一个物体围绕另一个质量为 M 的天体运动时，其速度（v）和轨道参数之间存在着紧密的联系。对于任何一种轨道（无论是圆还是椭圆），在轨道上的任何一点，其速度都由以下几个因素决定：
1. 到中心天体的距离 (r)： 这是最关键的因素。离中心天体越近，万有引力越强，速度就越快；离得越远，万有引力越弱，速度就越慢。
2. 中心天体的质量 (M)： M 越大，引力越大，速度也越大。
3. 轨道的能量： 轨道的总能量（动能加上势能）决定了轨道的形状和大小。对于一个特定的轨道，其总能量是恒定的。
第二步：圆轨道上的速度
对于一个物体在距离中心天体 r 处做圆轨道运动，其速度 v 是恒定的，并且可以用一个简单的公式表示：
$v_{圆} = sqrt{frac{GM}{r}}$
其中：
G 是万有引力常数
M 是中心天体的质量
r 是圆轨道的半径
第三步：椭圆轨道上的速度
椭圆轨道就比较复杂了。在椭圆轨道上，物体的速度是变化的。距离中心天体越近（在近日点），速度越快；距离中心天体越远（在远日点），速度越慢。
对于椭圆轨道上的任意一点，其速度 v 可以用更一般的公式表示，这个公式也称为轨道速度公式或 पदाधिकारियों公式 (visviva equation)：
$v_{椭圆}^2 = GM(frac{2}{r} frac{1}{a})$
其中：
G 是万有引力常数
M 是中心天体的质量
r 是物体到中心天体的瞬时距离
a 是轨道半长轴（椭圆轨道半长轴，等于椭圆长轴的一半）
第四步：分析“直径相同的椭圆和圆轨道”
这里“直径相同”的说法需要我们仔细琢磨。在天体力学里，我们更常用“半径”来描述圆轨道，用“半长轴”和“偏心率”来描述椭圆轨道。
如果我们理解为：
圆轨道半径 = 椭圆轨道长轴的一半 (即半长轴 a)
并且这两个轨道恰好在某个点相交。
假设这个交点到中心天体的距离是 $r_{交点}$。
第五步：比较交点处的速度
现在我们来看，当这两个轨道在交点处相遇时，交点处的速度是否相同。
圆轨道： 如果圆轨道恰好也经过这个距离 $r_{交点}$，并且这个 $r_{交点}$ 就是圆轨道的半径，那么根据圆轨道速度公式，在交点处的速度是：
$v_{圆_交点} = sqrt{frac{GM}{r_{交点}}}$
椭圆轨道： 在椭圆轨道上的交点处，其到中心天体的距离也是 $r_{交点}$。根据 पदाधिकारी公式，此时的速度是：
$v_{椭圆_交点}^2 = GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})$
那么，在什么情况下速度会相同呢？
我们要让 $v_{圆_交点} = v_{椭圆_交点}$。这意味着：
$sqrt{frac{GM}{r_{交点}}} = sqrt{GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})}$
两边平方并化简：
$frac{GM}{r_{交点}} = GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})$
$frac{1}{r_{交点}} = frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a}$
$frac{1}{a} = frac{2}{r_{交点}} frac{1}{r_{交点}}$
$frac{1}{a} = frac{1}{r_{交点}}$
所以，$mathbf{a = r_{交点}}$
这是什么意思？
这个结果告诉我们：
当椭圆轨道的半长轴 (a) 等于那个交点到中心天体的距离 ($r_{交点}$) 时，在交点处，圆轨道和椭圆轨道的速度是相同的。
让我们再深入思考一下：
如果椭圆轨道的半长轴 $a$ 等于交点到中心天体的距离 $r_{交点}$，那么对于椭圆轨道来说，这个交点就位于轨道的远日点或近日点（具体是哪个取决于椭圆的形状和这个点在轨道上的位置）。
如果一个圆轨道恰好半径也等于这个 $r_{交点}$，那么它也经过这个点。
最特殊且最容易理解的情况： 当这个交点恰好是椭圆轨道的远日点（离中心天体最远的点），而我们又构造了一个圆轨道，其半径正好等于这个远日点到中心天体的距离。此时，椭圆轨道在这个点上的速度和这个圆轨道上的速度是相等的。
在远日点，距离是 $r_{远日点} = a(1+e)$，其中 e 是椭圆的偏心率。
在近日点，距离是 $r_{近日点} = a(1e)$。
只有当 $e=0$ 时（也就是轨道是一个圆），远日点和近日点的距离都等于 $a$。
所以，如果 $r_{交点} = a$，那么这个交点要么是远日点（$r_{远日点}=a$），要么是近日点（$r_{近日点}=a$）。如果 $r_{交点} = a$，那么根据 $v_{椭圆}^2 = GM(frac{2}{r} frac{1}{a})$，当 $r=a$ 时，$v_{椭圆}^2 = GM(frac{2}{a} frac{1}{a}) = frac{GM}{a}$。此时速度就是 $v_{椭圆} = sqrt{frac{GM}{a}}$。
而如果我们的圆轨道半径也恰好是 $a$，那么其速度就是 $v_{圆} = sqrt{frac{GM}{a}}$。
所以，当交点到中心天体的距离恰好等于椭圆轨道的半长轴时，速度是相同的。 这意味着这个交点就是椭圆轨道的近日点或远日点，并且这个距离恰好是我们定义的那个“相同直径”的圆轨道的半径。
但如果我们不是在远日点或近日点相交呢？
假设交点不是远日点或近日点，即 $r_{交点} eq a$ 且 $r_{交点} eq a(1 pm e)$ 的特殊情况（假设）。
如果椭圆轨道的半长轴 $a$ 确实是它长轴的一半，但我们选择的交点是椭圆轨道上的任意一点，其到中心天体的距离是 $r_{交点}$。
那么，在交点处的速度分别为：
$v_{圆_交点} = sqrt{frac{GM}{r_{交点}}}$
$v_{椭圆_交点} = sqrt{GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})}$
要让这两个速度相等，我们再次回到 $a = r_{交点}$ 的条件。这意味着，只有当交点恰好是那个到中心天体距离等于椭圆轨道半长轴的点时，速度才会相同。
如果 $a eq r_{交点}$，那么在交点处的速度将不同。
如果 $r_{交点} < a$： 那么 $frac{1}{r_{交点}} > frac{1}{a}$。在 पदाधिकारियों公式中，$v_{椭圆_交点}^2 = GM(frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a})$，因为 $frac{1}{a}$ 是一个负值，其绝对值小于 $frac{2}{r_{交点}}$。 如果 $r_{交点}$ 相对于 $a$ 来说是比较靠内的点，那么 $v_{椭圆_交点}$ 会比 $v_{圆_交点}$ 更快（因为 $frac{2}{r_{交点}} frac{1}{a}$ 的值相对会更大）。
如果 $r_{交点} > a$： 那么 $frac{1}{r_{交点}} < frac{1}{a}$。如果 $r_{交点}$ 相对于 $a$ 来说是比较靠外的点，那么 $v_{椭圆_交点}$ 会比 $v_{圆_交点}$ 更慢。
总结一下，问题的关键在于如何理解“直径相同的椭圆和圆轨道”以及“交点”。
1. 如果“直径相同的椭圆和圆轨道”指的是它们的“半长轴”等于“圆轨道半径”，并且它们在那个距离点相交：
那么，只有当这个交点到中心天体的距离恰好等于椭圆轨道的半长轴（$r_{交点} = a$）时，它们在交点处的速度才相同。 此时，这个交点就是椭圆轨道的近日点或远日点，并且圆轨道的半径也等于这个距离。
2. 如果“直径相同的椭圆和圆轨道”只是一个概念上的类比，而我们关注的是在某个特定交点，且这个交点到中心天体的距离为 $r_{交点}$：
那么圆轨道速度是 $v_{圆} = sqrt{GM/r_{交点}}$。
椭圆轨道在交点处的速度是 $v_{椭圆} = sqrt{GM(2/r_{交点} 1/a)}$。
在这两种情况下，速度不同，除非 $a = r_{交点}$。
所以，通常情况下，它们的速度是不相同的。只有当交点到中心天体的距离等于椭圆轨道的半长轴时，速度才会相等。
举个例子：
想象一下，太阳是中心天体。地球围绕太阳运行的轨道是椭圆。月球围绕地球运行的轨道是近似圆（虽然也有些许椭圆）。
如果我们比较一个完美的圆轨道和一个椭圆轨道，并且它们在某个点相遇。
圆轨道，半径为 $R$。速度是 $v_{圆} = sqrt{GM_{天体}/R}$。
椭圆轨道，半长轴为 $a$。在距离中心天体为 $r$ 的地方，速度是 $v_{椭圆} = sqrt{GM_{天体}(2/r 1/a)}$。
如果它们在距离 $r_{交点}$ 的地方相遇，并且我们说它们的“直径相同”，如果这里的“直径相同”是指 $R = a$，那么：
圆轨道速度在交点处（假设交点距离为 $r_{交点}$）：$v_{圆} = sqrt{GM_{天体}/r_{交点}}$
椭圆轨道速度在交点处（距离为 $r_{交点}$）：$v_{椭圆} = sqrt{GM_{天体}(2/r_{交点} 1/a)}$
要让 $v_{圆} = v_{椭圆}$，需要 $1/r_{交点} = 2/r_{交点} 1/a$，最终得到 $a = r_{交点}$。
结论：绕同一天体长轴和直径相同的椭圆和圆轨道，在交点处的绕行速度不一定相同。它们的速度相同，当且仅当那个交点到中心天体的距离恰好等于椭圆轨道的半长轴。
这句话听起来可能有点拗口，但它精确地描述了情况。大多数时候，椭圆轨道上的速度会变化，而圆轨道上的速度是恒定的。即使在交点处，除非这个交点是椭圆轨道的特殊位置（近日点或远日点），并且这个距离恰好也符合圆轨道的参数，否则速度是不同的。
网友意见
大小相等的。
圆轨道线速度为
椭圆轨道线速度为
G是万有引力常数，M是中心天体质量，R是圆轨道轨道半径，r是椭圆轨道距离中心天体的距离，a是椭圆半长轴。
a=R且r=R时，两个式子恒等。
另一个方法，椭圆的比轨道能量为-GM/2a，只与轨道半长轴有关，与离心率无关，包括离心率为零（R=a的圆轨道）的情况。
所以，单位质量物体在两条轨道上的机械能是一样的，交点处引力势能相等，动能也相等。
不太记得高中物理都讲了哪些，Er……是不是都超纲了？
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