如图，极限怎么求？

这道题的极限计算，咱们得一步一步来捋。乍一看这表达式有点复杂，不过别担心，很多看起来唬人的数学问题，拆解开来就清晰了。

首先，我们来看看这个极限表达式：

$$ lim_{n o infty} frac{sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}}{sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}} $$

当 $n$ 趋向于无穷大时，我们处理这类含根号的表达式，通常会想到 分子分母同乘以共轭量 的技巧。这就像给分子和分母“配对”，让它们相减的时候，低阶项可以被抵消掉，然后我们更容易提取出主导项。

第一步：处理分子

分子部分是 $sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}$。它的共轭量是 $sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}$。

我们将分子乘以它的共轭量：
$(sqrt{n^2+1} sqrt{n^21})(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})$
根据平方差公式 $(ab)(a+b) = a^2 b^2$，我们得到：
$= (sqrt{n^2+1})^2 (sqrt{n^21})^2$
$= (n^2+1) (n^21)$
$= n^2+1 n^2+1$
$= 2$

第二步：处理分母

分母部分是 $sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}$。这是一个立方差的形式，我们得回忆一下立方差公式：$a^3 b^3 = (ab)(a^2+ab+b^2)$。
为了利用这个公式，我们需要将分母乘以一个量，使得它变成 $a^3 b^3$ 的形式。这个量就是 $a^2+ab+b^2$。

在这里，令 $a = sqrt[3]{n^3+1}$，$b = sqrt[3]{n^31}$。
我们需要乘以 $(a^2+ab+b^2)$，也就是：
$(sqrt[3]{n^3+1})^2 + (sqrt[3]{n^3+1})(sqrt[3]{n^31}) + (sqrt[3]{n^31})^2$
$= (n^3+1)^{2/3} + (n^3+1)^{1/3}(n^31)^{1/3} + (n^31)^{2/3}$

这样一来，分母就变成了：
$(sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}) imes [(n^3+1)^{2/3} + (n^3+1)^{1/3}(n^31)^{1/3} + (n^31)^{2/3}]$
根据立方差公式，这等于 $a^3 b^3$：
$= (sqrt[3]{n^3+1})^3 (sqrt[3]{n^31})^3$
$= (n^3+1) (n^31)$
$= n^3+1 n^3+1$
$= 2$

第三步：将分子和分母的变换应用到原式中

我们在分子和分母上都乘以了一个量，为了保持原式的等价性，我们必须在分子和分母上同时乘以相同的量。

让我们重新审视原式，并思考如何巧妙地处理。更常见的做法是，在分子和分母上同时乘以 各自的共轭量，然后看结果如何。

原式：
$$ frac{sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}}{sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}} $$

我们分别处理分子和分母，然后考虑如何组合。

分子部分的处理（同上）：
分子 $sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}$ 乘以 $(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})$ 得到 $2$。

分母部分的处理（同上）：
分母 $sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}$ 乘以 $[(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2]$ 得到 $2$。

现在，我们把这两个结果放到一起看。原式可以写成：

$$ frac{(sqrt{n^2+1} sqrt{n^21})}{1} div frac{(sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31})}{1} $$

为了让计算更方便，我们通常会考虑 将分子分母都乘以一个可以简化它们各自的表达式。

我们把原式看成是 分子 和 分母 的比值。

分子： $sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}$
当 $n o infty$ 时，$n^2$ 是主导项。我们可以尝试提出 $n$ 来分析。
$sqrt{n^2+1} = sqrt{n^2(1+frac{1}{n^2})} = nsqrt{1+frac{1}{n^2}}$
$sqrt{n^21} = sqrt{n^2(1frac{1}{n^2})} = nsqrt{1frac{1}{n^2}}$

所以分子变成：$nsqrt{1+frac{1}{n^2}} nsqrt{1frac{1}{n^2}} = n(sqrt{1+frac{1}{n^2}} sqrt{1frac{1}{n^2}})$

现在我们用 泰勒展开 的思想（或者说二项式定理的近似）。当 $x$ 很小时，$sqrt{1+x} approx 1 + frac{1}{2}x$。
这里令 $x = frac{1}{n^2}$ 和 $x = frac{1}{n^2}$。
$sqrt{1+frac{1}{n^2}} approx 1 + frac{1}{2} cdot frac{1}{n^2}$
$sqrt{1frac{1}{n^2}} approx 1 + frac{1}{2} cdot (frac{1}{n^2}) = 1 frac{1}{2n^2}$

所以，分子近似等于：
$n[(1 + frac{1}{2n^2}) (1 frac{1}{2n^2})]$
$= n[1 + frac{1}{2n^2} 1 + frac{1}{2n^2}]$
$= n[frac{1}{n^2}]$
$= frac{1}{n}$

这个近似说明，当 $n$ 很大时，分子的行为类似于 $frac{1}{n}$。

分母： $sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}$
类似地，我们提出 $n$：
$sqrt[3]{n^3+1} = sqrt[3]{n^3(1+frac{1}{n^3})} = nsqrt[3]{1+frac{1}{n^3}}$
$sqrt[3]{n^31} = sqrt[3]{n^3(1frac{1}{n^3})} = nsqrt[3]{1frac{1}{n^3}}$

所以分母变成：$nsqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} nsqrt[3]{1frac{1}{n^3}} = n(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})$

现在我们用泰勒展开的思路，当 $x$ 很小时，$sqrt[3]{1+x} = (1+x)^{1/3} approx 1 + frac{1}{3}x$。
令 $x = frac{1}{n^3}$ 和 $x = frac{1}{n^3}$。
$sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} approx 1 + frac{1}{3} cdot frac{1}{n^3}$
$sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} approx 1 + frac{1}{3} cdot (frac{1}{n^3}) = 1 frac{1}{3n^3}$

所以，分母近似等于：
$n[(1 + frac{1}{3n^3}) (1 frac{1}{3n^3})]$
$= n[1 + frac{1}{3n^3} 1 + frac{1}{3n^3}]$
$= n[frac{2}{3n^3}]$
$= frac{2}{3n^2}$

这个近似说明，当 $n$ 很大时，分母的行为类似于 $frac{2}{3n^2}$。

第四步：计算极限

现在我们将近似的结果代回原式来计算极限：
$$ lim_{n o infty} frac{ ext{分子}}{ ext{分母}} approx lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{frac{2}{3n^2}} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{1}{n} cdot frac{3n^2}{2} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{3n}{2} $$

等等！这里好像出了点问题。 为什么我得到了一个趋向于无穷大的结果？这说明我的近似可能在最后一步处理不当，或者需要更精确的近似。让我们回到 共轭量 的方法，这通常是处理这类问题的更严谨方式。

让我们回到共轭量的思路，这次要完整地处理：

原式：
$$ L = lim_{n o infty} frac{sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}}{sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}} $$

我们同时在分子和分母上乘以能让各自变简洁的那个“配对”的量。

先处理分子：
分子乘以 $(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})$ 变成 $2$。

现在考虑分母：
分母乘以 $[(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2]$ 变成 $2$。

那么，原式就可以写成：
$$ L = lim_{n o infty} frac{(sqrt{n^2+1} sqrt{n^21})(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})}{(sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31})[(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2]} imes frac{[(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2]}{(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})} $$

这样写是为了确保我们没有改变原式的值。前面的部分化简为 $frac{2}{2} = 1$。
所以，原式就变成了：
$$ L = lim_{n o infty} frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})} $$

现在我们来仔细分析 分子 和 分母 的行为，当 $n o infty$ 时，哪一项是主要的。

分母： $sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}$
当 $n o infty$ 时，$sqrt{n^2+1}$ 近似于 $sqrt{n^2} = n$。
$sqrt{n^21}$ 近似于 $sqrt{n^2} = n$。
所以分母近似于 $n + n = 2n$。

更精确地，我们可以提取 $n$：
$sqrt{n^2+1} = nsqrt{1+frac{1}{n^2}}$
$sqrt{n^21} = nsqrt{1frac{1}{n^2}}$
分母 $= n(sqrt{1+frac{1}{n^2}} + sqrt{1frac{1}{n^2}})$。
当 $n o infty$ 时，$frac{1}{n^2} o 0$。
$sqrt{1+frac{1}{n^2}} o sqrt{1} = 1$
$sqrt{1frac{1}{n^2}} o sqrt{1} = 1$
所以分母的行为类似 $n(1+1) = 2n$。

分子： $(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2$
当 $n o infty$ 时：
$sqrt[3]{n^3+1} approx sqrt[3]{n^3} = n$
$sqrt[3]{n^31} approx sqrt[3]{n^3} = n$

所以分子近似于 $n^2 + n cdot n + n^2 = 3n^2$。

让我们更严谨地提取 $n$：
$(sqrt[3]{n^3+1})^2 = (nsqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2 = n^2 (1+frac{1}{n^3})^{2/3}$
$sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} = nsqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} cdot nsqrt[3]{1frac{1}{n^3}} = n^2 sqrt[3]{(1+frac{1}{n^3})(1frac{1}{n^3})} = n^2 sqrt[3]{1frac{1}{n^6}}$
$(sqrt[3]{n^31})^2 = (nsqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2 = n^2 (1frac{1}{n^3})^{2/3}$

所以，分子 $= n^2[(1+frac{1}{n^3})^{2/3} + (1frac{1}{n^6})^{1/3} + (1frac{1}{n^3})^{2/3}]$

当 $n o infty$ 时，$frac{1}{n^3} o 0$ 并且 $frac{1}{n^6} o 0$。
根据 $(1+x)^a approx 1+ax$ 的近似，当 $x o 0$ 时：
$(1+frac{1}{n^3})^{2/3} approx 1 + frac{2}{3} cdot frac{1}{n^3}$
$(1frac{1}{n^6})^{1/3} approx 1 + frac{1}{3} cdot (frac{1}{n^6}) = 1 frac{1}{3n^6}$
$(1frac{1}{n^3})^{2/3} approx 1 + frac{2}{3} cdot (frac{1}{n^3}) = 1 frac{2}{3n^3}$

所以，分子近似于 $n^2[(1 + frac{2}{3n^3}) + (1 frac{1}{3n^6}) + (1 frac{2}{3n^3})]$
$= n^2[1 + frac{2}{3n^3} + 1 frac{1}{3n^6} + 1 frac{2}{3n^3}]$
$= n^2[3 + frac{2}{3n^3} frac{2}{3n^3} frac{1}{3n^6}]$
$= n^2[3 frac{1}{3n^6}]$
当 $n o infty$ 时，这一项主要行为是 $3n^2$。

现在把简化后的分子和分母结合起来求极限：

$$ L = lim_{n o infty} frac{ ext{分子}}{ ext{分母}} = lim_{n o infty} frac{n^2[(1+frac{1}{n^3})^{2/3} + (1frac{1}{n^6})^{1/3} + (1frac{1}{n^3})^{2/3}]}{n(sqrt{1+frac{1}{n^2}} + sqrt{1frac{1}{n^2}})} $$

约去一个 $n$:
$$ L = lim_{n o infty} frac{n[(1+frac{1}{n^3})^{2/3} + (1frac{1}{n^6})^{1/3} + (1frac{1}{n^3})^{2/3}]}{(sqrt{1+frac{1}{n^2}} + sqrt{1frac{1}{n^2}})} $$

现在我们代入极限值，其中 $n o infty$ 使得 $frac{1}{n}, frac{1}{n^2}, frac{1}{n^3}, frac{1}{n^6}$ 都趋向于 0。

分子的主要贡献是 $n cdot (1 + 1 + 1) = 3n$。
分母的主要贡献是 $(1 + 1) = 2$。

所以整个表达式的趋势是 $frac{3n}{2}$。

我还是得到了一个趋向无穷大的结果。这说明，我的对分子分母“主导项”的判断还需要更小心。让我们回到最开始的共轭乘法，确保每一步都做对了。

原式：
$$ frac{sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}}{sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}} $$

分子通过乘以 $(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})$ 变成 $2$。
分母通过乘以 $(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2$ 变成 $2$。

这意味着：
原式 $= frac{(sqrt{n^2+1} sqrt{n^21})}{1} imes frac{1}{(sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31})}$

我们可以将分母乘以它对应的共轭量，分子也乘以它对应的共轭量，但要保证整体不变。
最直接的做法就是，我们把原式写成：
$$ frac{frac{sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}}{1}}{frac{sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}}{1}} $$
然后用分子共轭项去乘分子和分母，用分母共轭项去乘分子和分母。

让我们先化简分子和分母各自的“增长速度”：

分子： $sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}$
乘以共轭量 $(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})$ 得到 $2$。
所以 $sqrt{n^2+1} sqrt{n^21} = frac{2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}$。
当 $n o infty$，分母 $sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21} approx sqrt{n^2} + sqrt{n^2} = n+n = 2n$。
所以分子 $approx frac{2}{2n} = frac{1}{n}$。

分母： $sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}$
乘以共轭量 $[(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2]$ 得到 $2$。
所以 $sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31} = frac{2}{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}$。
当 $n o infty$，
$(sqrt[3]{n^3+1})^2 approx (sqrt[3]{n^3})^2 = n^2$
$sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} approx sqrt[3]{n^3}sqrt[3]{n^3} = n cdot n = n^2$
$(sqrt[3]{n^31})^2 approx (sqrt[3]{n^3})^2 = n^2$
所以分母的共轭量近似于 $n^2 + n^2 + n^2 = 3n^2$。
因此，分母 $approx frac{2}{3n^2}$。

现在用这些近似值代回原式求极限：

$$ lim_{n o infty} frac{ ext{分子}}{ ext{分母}} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n}}{frac{2}{3n^2}} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{1}{n} cdot frac{3n^2}{2} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{3n}{2} $$

我依旧得到趋向无穷大的结果，这绝对是哪里理解或者操作错了。让我换一个角度，更细致地看根号内的增长。

回到提取 $n$ 并使用泰勒展开。这是最靠谱的方法，如果之前出问题，是展开不够仔细。

原式：
$$ L = lim_{n o infty} frac{n(sqrt{1+frac{1}{n^2}} sqrt{1frac{1}{n^2}})}{n(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})} $$
消掉一个 $n$:
$$ L = lim_{n o infty} frac{sqrt{1+frac{1}{n^2}} sqrt{1frac{1}{n^2}}}{sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} sqrt[3]{1frac{1}{n^3}}} $$

仔细地用泰勒展开 $(1+x)^a approx 1 + ax + frac{a(a1)}{2}x^2$

分子展开：
令 $f(x) = (1+x)^{1/2}$，其中 $x = frac{1}{n^2}$（趋向于0）。
$f'(x) = frac{1}{2}(1+x)^{1/2}$
$f''(x) = frac{1}{2}(frac{1}{2})(1+x)^{3/2} = frac{1}{4}(1+x)^{3/2}$
$f(0) = 1$
$f'(0) = frac{1}{2}$
$f''(0) = frac{1}{4}$

所以，$(1+x)^{1/2} approx f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 = 1 + frac{1}{2}x frac{1}{8}x^2$。

代入 $x = frac{1}{n^2}$ 和 $x = frac{1}{n^2}$：
$sqrt{1+frac{1}{n^2}} = (1+frac{1}{n^2})^{1/2} approx 1 + frac{1}{2}frac{1}{n^2} frac{1}{8}(frac{1}{n^2})^2 = 1 + frac{1}{2n^2} frac{1}{8n^4}$
$sqrt{1frac{1}{n^2}} = (1frac{1}{n^2})^{1/2} approx 1 + frac{1}{2}(frac{1}{n^2}) frac{1}{8}(frac{1}{n^2})^2 = 1 frac{1}{2n^2} frac{1}{8n^4}$

分子 $= (1 + frac{1}{2n^2} frac{1}{8n^4}) (1 frac{1}{2n^2} frac{1}{8n^4})$
$= 1 + frac{1}{2n^2} frac{1}{8n^4} 1 + frac{1}{2n^2} + frac{1}{8n^4}$
$= frac{1}{n^2}$

分母展开：
令 $g(x) = (1+x)^{1/3}$，其中 $x = frac{1}{n^3}$（趋向于0）。
$g'(x) = frac{1}{3}(1+x)^{2/3}$
$g''(x) = frac{1}{3}(frac{2}{3})(1+x)^{5/3} = frac{2}{9}(1+x)^{5/3}$
$g(0) = 1$
$g'(0) = frac{1}{3}$
$g''(0) = frac{2}{9}$

所以，$(1+x)^{1/3} approx g(0) + g'(0)x + frac{g''(0)}{2}x^2 = 1 + frac{1}{3}x frac{1}{9}x^2$。

代入 $x = frac{1}{n^3}$ 和 $x = frac{1}{n^3}$：
$sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} = (1+frac{1}{n^3})^{1/3} approx 1 + frac{1}{3}frac{1}{n^3} frac{1}{9}(frac{1}{n^3})^2 = 1 + frac{1}{3n^3} frac{1}{9n^6}$
$sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} = (1frac{1}{n^3})^{1/3} approx 1 + frac{1}{3}(frac{1}{n^3}) frac{1}{9}(frac{1}{n^3})^2 = 1 frac{1}{3n^3} frac{1}{9n^6}$

分母 $= (1 + frac{1}{3n^3} frac{1}{9n^6}) (1 frac{1}{3n^3} frac{1}{9n^6})$
$= 1 + frac{1}{3n^3} frac{1}{9n^6} 1 + frac{1}{3n^3} + frac{1}{9n^6}$
$= frac{2}{3n^3}$

现在将这些更精确的展开结果代入原式：

$$ L = lim_{n o infty} frac{ ext{分子}}{ ext{分母}} = lim_{n o infty} frac{frac{1}{n^2}}{frac{2}{3n^3}} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{1}{n^2} cdot frac{3n^3}{2} $$
$$ = lim_{n o infty} frac{3n}{2} $$

我还是又回到了这个无穷大的结果！一定是我对“主导项”的理解在最后一步出了偏差。

让我把思路拉回到最基础的共轭量相乘。

原式：
$$ L = lim_{n o infty} frac{sqrt{n^2+1} sqrt{n^21}}{sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31}} $$

分子乘以 $(sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21})$ 得到 $2$。
所以分子 $= frac{2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}$。

分母乘以 $[(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2]$ 得到 $2$。
所以分母 $= frac{2}{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}$。

所以，原式就变成了：
$$ L = lim_{n o infty} frac{frac{2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}}{frac{2}{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}} $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}} imes frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{2} $$
消去 $2$:
$$ L = lim_{n o infty} frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}} $$

这和我之前那个步骤是一样的，关键在于如何分析那个比值。

让我们在分子和分母同时除以一个合适的项来提取主导项。
比如，分子中的最高阶是 $n^2$ (来自 $(sqrt[3]{n^3})^2$)。
分母中的最高阶是 $n$ (来自 $sqrt{n^2}$) 。

我们将分子分母同时除以 $n^2$ （分母的最高阶是 $n$，分子的最高阶是 $n^2$，我们通常把分母的最高阶提取出来作为基准，或者都除以共同的最高阶）。
让我们都除以 $n^2$。

分子除以 $n^2$:
$$ frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2}{n^2} + frac{sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31}}{n^2} + frac{(sqrt[3]{n^31})^2}{n^2} $$
$$ = frac{n^2(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2}{n^2} + frac{nsqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} cdot nsqrt[3]{1frac{1}{n^3}}}{n^2} + frac{n^2(sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2}{n^2} $$
$$ = (sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2 + sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}}sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} + (sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2 $$
当 $n o infty$，$frac{1}{n^3} o 0$。
所以这部分趋向于 $(sqrt[3]{1})^2 + sqrt[3]{1}sqrt[3]{1} + (sqrt[3]{1})^2 = 1+1+1 = 3$。

分母除以 $n^2$:
$$ frac{sqrt{n^2+1}}{n^2} + frac{sqrt{n^21}}{n^2} $$
$$ = frac{nsqrt{1+frac{1}{n^2}}}{n^2} + frac{nsqrt{1frac{1}{n^2}}}{n^2} $$
$$ = frac{sqrt{1+frac{1}{n^2}}}{n} + frac{sqrt{1frac{1}{n^2}}}{n} $$
当 $n o infty$，$sqrt{1+frac{1}{n^2}} o 1$，$sqrt{1frac{1}{n^2}} o 1$。
所以这部分趋向于 $frac{1}{n} + frac{1}{n}$。
当 $n o infty$ 时，$frac{1}{n} o 0$。所以整个分母趋向于 $0+0=0$。

我又遇到了一个分母趋向于0的情况。这说明我的除法选的不对。

正确的思路应该是：我们希望得到一个有限的、非零的常数。

回顾 $L = lim_{n o infty} frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}$

分子的主导项是 $n^2$。
分母的主导项是 $n$。

所以整个表达式的最高阶是 $frac{n^2}{n} = n$。
这意味着当 $n o infty$，这个表达式应该趋向于无穷大。

我怀疑原题或者我的理解是不是哪里有误。让我再仔细核对一下基本的化简。

让我想想，如果题目是这样，它期望得到的答案是什么？通常这类题目会有一个确定的常数值。

让我再用共轭量乘法，这次只关注“能化简成常数的项”。

分子 $= sqrt{n^2+1} sqrt{n^21} = frac{2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}$
当 $n o infty$ 时，$sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21} approx n+n = 2n$。
所以分子 $approx frac{2}{2n} = frac{1}{n}$。

分母 $= sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31} = frac{2}{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}$
当 $n o infty$ 时，$(sqrt[3]{n^3+1})^2 approx n^2$，$sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} approx n^2$，$(sqrt[3]{n^31})^2 approx n^2$。
所以分母的共轭量 $approx n^2+n^2+n^2 = 3n^2$。
因此分母 $approx frac{2}{3n^2}$。

原式极限 $approx lim_{n o infty} frac{1/n}{2/(3n^2)} = lim_{n o infty} frac{1}{n} cdot frac{3n^2}{2} = lim_{n o infty} frac{3n}{2} = infty$。

这再次印证了我的计算结果。难道这道题的极限确实是无穷大？通常这种形式的题目，答案是常数。

让我仔细回顾一下题目本身，有没有可能是我读错或者写错了题目？
假设题目无误。那么，我的方法是正确的，即 用共轭量化简，然后分析主导项。

有没有可能，我的泰勒展开或者近似不够精确？
我在用 $f(x) approx 1+ax$ 和 $f(x) approx 1+ax+frac{a(a1)}{2}x^2$ 展开时，似乎都得到了一个趋向于无穷大的结果。

让我们回到最基础的提取公因式。

分子：$sqrt{n^2+1} sqrt{n^21} = nsqrt{1+frac{1}{n^2}} nsqrt{1frac{1}{n^2}} = n(sqrt{1+frac{1}{n^2}} sqrt{1frac{1}{n^2}})$
分母：$sqrt[3]{n^3+1} sqrt[3]{n^31} = nsqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} nsqrt[3]{1frac{1}{n^3}} = n(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})$

原式 $= lim_{n o infty} frac{n(sqrt{1+frac{1}{n^2}} sqrt{1frac{1}{n^2}})}{n(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})} = lim_{n o infty} frac{sqrt{1+frac{1}{n^2}} sqrt{1frac{1}{n^2}}}{sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}} sqrt[3]{1frac{1}{n^3}}}$

让我们用洛必达法则来验证一下。
虽然洛必达法则通常用于 $0/0$ 或 $infty/infty$，但这里 $n o infty$，表达式趋于 $frac{inftyinfty}{inftyinfty}$ 的不定式，我们先用共轭量化简一下，使其变成 $0/0$ 或 $infty/infty$ 的形式。

我们已经得到：
原式 $= lim_{n o infty} frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}$
分子 $ o infty$，分母 $ o infty$。

现在我们可以考虑对分子和分母使用洛必达法则。

设 $f(n) = (sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2$
设 $g(n) = sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}$

求 $f'(n)$:
$(sqrt[3]{n^3+1})^2 = (n^3+1)^{2/3}$
$frac{d}{dn}(n^3+1)^{2/3} = frac{2}{3}(n^3+1)^{1/3} cdot 3n^2 = 2n^2(n^3+1)^{1/3}$

$sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} = (n^3+1)^{1/3}(n^31)^{1/3} = ((n^3+1)(n^31))^{1/3} = (n^61)^{1/3}$
$frac{d}{dn}(n^61)^{1/3} = frac{1}{3}(n^61)^{2/3} cdot 6n^5 = 2n^5(n^61)^{2/3}$

$(sqrt[3]{n^31})^2 = (n^31)^{2/3}$
$frac{d}{dn}(n^31)^{2/3} = frac{2}{3}(n^31)^{1/3} cdot 3n^2 = 2n^2(n^31)^{1/3}$

所以 $f'(n) = 2n^2(n^3+1)^{1/3} + 2n^5(n^61)^{2/3} + 2n^2(n^31)^{1/3}$
当 $n o infty$，
$2n^2(n^3+1)^{1/3} approx 2n^2 (n^3)^{1/3} = 2n^2 cdot n^{1} = 2n$
$2n^5(n^61)^{2/3} approx 2n^5 (n^6)^{2/3} = 2n^5 cdot n^{4} = 2n$
$2n^2(n^31)^{1/3} approx 2n^2 (n^3)^{1/3} = 2n^2 cdot n^{1} = 2n$
所以 $f'(n) approx 2n + 2n + 2n = 6n$。

求 $g'(n)$:
$sqrt{n^2+1} = (n^2+1)^{1/2}$
$frac{d}{dn}(n^2+1)^{1/2} = frac{1}{2}(n^2+1)^{1/2} cdot 2n = n(n^2+1)^{1/2}$
$sqrt{n^21} = (n^21)^{1/2}$
$frac{d}{dn}(n^21)^{1/2} = frac{1}{2}(n^21)^{1/2} cdot 2n = n(n^21)^{1/2}$

所以 $g'(n) = n(n^2+1)^{1/2} + n(n^21)^{1/2}$
当 $n o infty$，
$n(n^2+1)^{1/2} approx n(n^2)^{1/2} = n cdot n^{1} = 1$
$n(n^21)^{1/2} approx n(n^2)^{1/2} = n cdot n^{1} = 1$
所以 $g'(n) approx 1 + 1 = 2$。

根据洛必达法则，极限是：
$$ lim_{n o infty} frac{f'(n)}{g'(n)} = lim_{n o infty} frac{6n}{2} = lim_{n o infty} 3n = infty $$

所有方法都导向无穷大。这让我不得不怀疑这道题的答案确实是无穷大，或者题目本身可能存在一些我未知的约定俗成，或者我忽略了某个很小的细节。

但如果在考试或者练习中遇到这样的题目，并且预期答案是常数，我会仔细检查我的共轭量乘法以及最后提取主导项的步骤。

让我们再最后一次检查那个核心等式：
$$ L = lim_{n o infty} frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}} $$

我们同时提取 $n$ 的项：
分子 $= n^2(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2 + n^2sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}}sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} + n^2(sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2$
$= n^2 [(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2 + sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}}sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} + (sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2]$

分母 $= nsqrt{1+frac{1}{n^2}} + nsqrt{1frac{1}{n^2}}$
$= n [sqrt{1+frac{1}{n^2}} + sqrt{1frac{1}{n^2}}]$

所以，原式变成：
$$ L = lim_{n o infty} frac{n^2 [(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2 + sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}}sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} + (sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2]}{n [sqrt{1+frac{1}{n^2}} + sqrt{1frac{1}{n^2}}]} $$
$$ L = lim_{n o infty} n cdot frac{(sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}})^2 + sqrt[3]{1+frac{1}{n^3}}sqrt[3]{1frac{1}{n^3}} + (sqrt[3]{1frac{1}{n^3}})^2}{sqrt{1+frac{1}{n^2}} + sqrt{1frac{1}{n^2}}} $$

现在，看后面的那个比值：
当 $n o infty$，
分子里的 $[(sqrt[3]{1})^2 + sqrt[3]{1}sqrt[3]{1} + (sqrt[3]{1})^2] = 1+1+1 = 3$。
分母里的 $[sqrt{1} + sqrt{1}] = 1+1 = 2$。

所以，那个比值趋向于 $frac{3}{2}$。

那么，整个极限就是：
$$ L = lim_{n o infty} n cdot frac{3}{2} $$
$$ L = infty $$

一切的计算都指向同一个结果：这个极限是无穷大。

在没有其他信息或约束的情况下，基于标准的数学计算方法，这个极限确实是无穷大。

结论：
通过对分子和分母分别使用共轭量进行化简，并将化简后的表达式进行整理，我们发现原极限表达式等价于 $lim_{n o infty} frac{(sqrt[3]{n^3+1})^2 + sqrt[3]{n^3+1}sqrt[3]{n^31} + (sqrt[3]{n^31})^2}{sqrt{n^2+1} + sqrt{n^21}}$。
进一步分析，分子主导项为 $3n^2$，分母主导项为 $2n$。
因此，原极限可以看作 $lim_{n o infty} frac{3n^2}{2n} = lim_{n o infty} frac{3n}{2}$，这个极限趋向于无穷大。

所以，这道题的极限就是无穷大。

等我改好bug之后再来考虑用正常的方法怎么做

用洛必达是可以做的