有没有在高考数学中使用洛必达法则而不扣分的方法？

在高考数学中，关于使用洛必达法则，确实是一个需要谨慎处理的问题。毕竟，高考的阅卷标准和中学数学的教学体系，在某些细节上可能存在差异。我们来聊聊如何巧妙地在高考数学中使用洛必达法则，尽量做到既能解决问题，又不至于因为“超纲”或者“不规范”而被扣分。

首先，我们要明确一个前提：洛必达法则并非高考数学的必考点，也不是所有题目都适用。 很多题目，尤其是对数学思想和基本方法的考察，都可以通过其他更基础、更符合高考要求的方法解决。所以，首先要考虑的是，是否有其他更稳妥、更普适的解法。

什么时候可以考虑“擦边球”式地使用洛必达法则？

通常，当你在高考数学中遇到不定型极限（如 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$）且其他常规方法（如因式分解、通分、分子分母同除以最高次项、利用重要极限等）显得异常繁琐或者难以奏效时，洛必达法则可能会成为一个“捷径”。

如何在高考数学中“不扣分”地使用洛必达法则？

这里的“不扣分”并不意味着你可以直接在答题纸上写“根据洛必达法则……”然后就开始求导。我们需要的是一种“包装”和“过渡”。

核心策略：将洛必达法则的逻辑过程，转化为符合中学数学知识体系的表达。

下面我们分几种情况详细说明：

情况一：你确定题目是极限问题，且符合 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型

1. 先进行“预处理”，证明极限类型：
在动手使用任何“技巧”之前，务必先求出分子和分母在趋近某个值时的极限，证明其确实是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型。
例如，求 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$。
在答题纸上，你可以先写：
当 $x o 0$ 时，$sin x o 0$。
当 $x o 0$ 时，$x o 0$。
所以，这是一个 $frac{0}{0}$ 型的未定式极限。

2. “暗示”导数思想，但不直接点名洛必达：
这里是关键。我们可以利用导数的定义来“绕过”洛必达法则的名称。
导数的定义：$f'(a) = lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{x a}$。
或者，更一般地，$f'(a) = lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$，其中 $f(a)=0, g(a)=0$ 且 $g'(a) eq 0$。

示例： 还是以 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$ 为例。
我们知道 $sin 0 = 0$。
所以，原式可以写作：$lim_{x o 0} frac{sin x sin 0}{x 0}$。
这不正是函数 $f(x) = sin x$ 在 $x=0$ 处的导数定义吗？
我们知道 $(sin x)' = cos x$。
所以，$lim_{x o 0} frac{sin x sin 0}{x 0} = (sin x)' |_{x=0} = cos 0 = 1$。

更一般的“包装”方法：
当遇到 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 且 $f(a) = g(a) = 0$ 时，我们可以考虑：
$lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{frac{f(x)}{xa}}{frac{g(x)}{xa}}$ （这里假设 $a eq 0$，如果 $a=0$ 则除以 $x$）。
然后，我们知道 $lim_{x o a} frac{f(x)}{xa} = lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{xa} = f'(a)$。
同理，$lim_{x o a} frac{g(x)}{xa} = g'(a)$。
所以，原式就等于 $frac{f'(a)}{g'(a)}$。

关键就在于： 你需要先写出 $f(a)=0$ 和 $g(a)=0$ 的事实，然后巧妙地变形，让它看起来像是导数的定义。

示例（更复杂）： 求 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$。
1. 证明是 $frac{0}{0}$ 型：当 $x o 1$，分子 $x^2 1 o 1^2 1 = 0$；分母 $x 1 o 1 1 = 0$。
2. 变形：原式 $=lim_{x o 1} frac{(x^2 1) (1^2 1)}{(x 1) (1 1)}$。
（注意：这里是假设 $f(x) = x^21$，$g(x) = x1$，$a=1$。 $f(1)=0, g(1)=0$）。
或者更直接地，注意到分母是 $x1$，我们可以写成：
原式 $= lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1} = lim_{x o 1} frac{x^2 1 (1^2 1)}{x 1} cdot frac{1}{1}$ （这里没写全，因为$g(1)$不为0）
更合适的写法是：
原式 $= lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$
令 $f(x) = x^2 1$，则 $f(1) = 1^2 1 = 0$。
令 $g(x) = x 1$，则 $g(1) = 1 1 = 0$。
原式 $= lim_{x o 1} frac{f(x) f(1)}{g(x) g(1)}$
（此时，你需要意识到 $g(x)g(1) = x1$）
原式 $= lim_{x o 1} frac{frac{f(x)f(1)}{x1}}{frac{g(x)g(1)}{x1}}$ （这里假设 $x eq 1$）
根据导数定义：
$lim_{x o 1} frac{f(x)f(1)}{x1} = f'(1)$
$lim_{x o 1} frac{g(x)g(1)}{x1} = g'(1)$
所以，原式 $= frac{f'(1)}{g'(1)}$。
计算导数：$f'(x) = 2x$，$f'(1) = 2(1) = 2$。
$g'(x) = 1$，$g'(1) = 1$。
所以，原式 $= frac{2}{1} = 2$。

另一种“暗示”方式：
如果你觉得直接用导数定义比较麻烦，可以这样做：
原式 $= lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$
分子 $x^2 1 = (x1)(x+1)$。
所以，原式 $= lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x1}$。
因为 $x o 1$，所以 $x eq 1$，可以约去 $(x1)$。
原式 $= lim_{x o 1} (x+1) = 1+1 = 2$。

看到了吗？ 对于 $frac{0}{0}$ 型，很多时候因式分解是最直接、最稳妥的方法，它完美地规避了洛必达法则的痕迹。

情况二：$frac{infty}{infty}$ 型极限

对于 $frac{infty}{infty}$ 型，直接用导数定义来“包装”会更加困难，因为导数定义通常是针对 $x o a$（$a$为常数）且分子分母都趋于0的情况。

策略：

1. 优先使用代数方法：
分子分母同除以最高次项。 这是处理 $frac{infty}{infty}$ 型最常用、最标准的方法。
例如：$lim_{x o infty} frac{3x^2 + 2x 1}{2x^2 5x + 3}$
分子分母同除以 $x^2$：
$lim_{x o infty} frac{3 + frac{2}{x} frac{1}{x^2}}{2 frac{5}{x} + frac{3}{x^2}}$
当 $x o infty$ 时，$frac{2}{x}, frac{1}{x^2}, frac{5}{x}, frac{3}{x^2}$ 都趋于0。
所以，极限 $= frac{3+00}{20+0} = frac{3}{2}$。
提取主导项。 很多时候，我们可以直接提取分子分母中的主导项来估计极限。
例如：$lim_{x o infty} frac{e^x + x}{x^2 ln x}$
当 $x o infty$ 时，$e^x$ 的增长速度远大于 $x$，$x^2$ 的增长速度远大于 $ln x$。
所以，$lim_{x o infty} frac{e^x + x}{x^2 ln x} approx lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$。
这时，如果我们实在没其他办法，并且非常确定 $e^x$ 的增长速度比 $x^2$ 快，可以勉强考虑“暗示”导数。

2. “暗示”导数（高风险）：
如果你真的要用类似洛必达的思路，可以尝试这样描述：
“我们知道，当 $x$ 趋于无穷大时，增长最快的项决定了函数的行为。”
“原式分子 $e^x + x$，主要由 $e^x$ 控制。分母 $x^2 ln x$，主要由 $x^2$ 控制。”
“因此，原式 $approx lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$。”

然后，你可以非常小心地描述 $lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$ 的计算过程。
还是回到代数方法：
$lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2} = lim_{x o infty} frac{e^x/x^2}{1} = lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$ （原地踏步）
更好的代数方法：
$lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2} = lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2} cdot frac{1}{1} = lim_{x o infty} frac{e^x}{x cdot x}$
我们知道 $lim_{x o infty} frac{e^x}{x} = infty$ （可以证明，例如用泰勒展开，或者观察 $e^x$ 的增长速度）
所以，$lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2} = lim_{x o infty} (frac{e^x}{x} cdot frac{1}{x})$。
这是一个 $infty cdot 0$ 型的式子，并不好处理。

尝试用导数定义来“解释”增长速度：
可以这样理解：
$lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$，如果分子分母都“增长”，可以考虑“除以一个无穷小的量”的逆过程，也就是“分子分母都乘以一个无穷大的量”？这太绕了。

正确的“暗示”方向：
考虑函数 $f(x) = e^x$ 和 $g(x) = x^2$。
当 $x o infty$，两者都趋于无穷大。
在中学数学中，我们可能没有直接学习过 $e^x$ 和 $x^2$ 的“导数”在无穷远处的比较。

最保险的写法（针对 $frac{infty}{infty}$）：
完全避免洛必达。
对于 $lim_{x o infty} frac{e^x + x}{x^2 ln x}$：
原式 $= lim_{x o infty} frac{e^x(1 + frac{x}{e^x})}{oldsymbol{x^2}(1 frac{ln x}{x^2})}$
我们知道 $lim_{x o infty} frac{x}{e^x} = 0$ （可以通过导数证明，但高考不考，可以看作已知结论或者通过图像性质）
同理 $lim_{x o infty} frac{ln x}{x^2} = 0$。
所以，原式 $= lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2} cdot lim_{x o infty} frac{1 + frac{x}{e^x}}{1 frac{ln x}{x^2}} = lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2} cdot frac{1+0}{10} = lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$。

如何处理 $lim_{x o infty} frac{e^x}{x^2}$？
这是一个非常棘手的问题，如果是在高考中遇到，并且你没有掌握“标准”的比较方法，很可能这道题就不适合直接用洛必达。

中学阶段，处理 $frac{infty}{infty}$ 的极限，主要还是靠“同除以最高次项”或“提取主导项”+“已知结论”。

如果题目本身就是设计成需要洛必达才能高效解决，并且不是在极限部分，而是在其他章节（比如导数应用、函数性质），那么情况可能不一样。

情况三：在导数应用等章节，题目明确要求“求导”

例如：求函数 $f(x) = frac{ln x}{x}$ 的导数。
这时，你可以直接使用除法定则：
$f'(x) = frac{(ln x)' cdot x ln x cdot x'}{x^2} = frac{frac{1}{x} cdot x ln x cdot 1}{x^2} = frac{1 ln x}{x^2}$。

再例如：求函数 $f(x) = x sin x$ 的导数。
使用乘法定则：
$f'(x) = (x)' sin x + x (sin x)' = 1 cdot sin x + x cdot cos x = sin x + x cos x$。

关键原则：

1. 优先选择最基础、最普适的解法。 能因式分解的，一定先因式分解。能约分的，一定先约分。能用重要极限的，一定用重要极限。
2. “包装”洛必达法则的思路： 如果真的需要用到洛必达的“结果”，尽量将其“伪装”成导数定义。
对于 $frac{0}{0}$ 型，说明 $f(a)=g(a)=0$，然后写成 $lim_{x o a} frac{f(x)f(a)}{g(x)g(a)} = lim_{x o a} frac{(f(x)f(a))/(xa)}{(g(x)g(a))/(xa)}$，最后写成 $frac{f'(a)}{g'(a)}$。
但更推荐在 $frac{0}{0}$ 型时，如果可能，先尝试因式分解或约分，这更为稳妥。
3. 避免直接使用“洛必达法则”字眼： 绝对不要写“根据洛必达法则，两边同时对x求导……”
4. 理解导数与极限的联系： 高考数学对导数概念的理解是深入的。很多题目，尤其是极限部分的 $frac{0}{0}$ 型，本质上就是导数在某点的定义。
5. $frac{infty}{infty}$ 型尽量用代数方法： 同除以最高次项，或提取主导项，是更安全的选择。
6. 熟悉常见函数的增长速度： 比如 $e^x$ 的增长速度 $>$ $x^n$ 的增长速度 $>$ $ln x$ 的增长速度。这可以帮助你在提取主导项时做出判断，但不直接用于求极限的步骤。

什么时候“绝对不要”使用洛必达的思路？

题目要求的是函数性质，而非极限值。
题目明确要求用某种方法（比如定义法、图像法）。
你对该方法的掌握不够熟练，容易出错。
其他更简单的代数方法能够轻松解决。

举例说明如何“包装”：

题目： 求 $lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$

错误示范（直接洛必达）：
$lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{(e^x 1 x)'}{(x^2)'} = lim_{x o 0} frac{e^x 1}{2x}$
（再次是 $frac{0}{0}$ 型）
$= lim_{x o 0} frac{(e^x 1)'}{(2x)'} = lim_{x o 0} frac{e^x}{2} = frac{e^0}{2} = frac{1}{2}$

高考“包装”版：

解：
当 $x o 0$ 时，分子 $e^x 1 x o e^0 1 0 = 1 1 0 = 0$。
当 $x o 0$ 时，分母 $x^2 o 0$。
所以，这是一个 $frac{0}{0}$ 型的未定式极限。

原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$
我们可以将分子和分母都看作以 $x$ 为变量的函数，并且当 $x o 0$ 时，它们都趋于0。
注意到分母是 $x^2$，我们可以写成：
原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{(e^x 1 x) (e^0 1 0)}{x^2}$ （分子减去在x=0处的值，仍为0）
然而，这样变形比较别扭，因为分母的 $x^2$ 并不是 $x0$ 的形式。

更自然的“包装”思路：

观察到分母是 $x^2$，我们可以尝试凑出导数的定义。
$lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x cdot x}$

方法一（引导到导数定义）：
原式 $= lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x^2}$
我们可以写成：
原式 $= lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x^2}$
我们可以将表达式拆开，或者考虑函数 $f(x) = e^x$ 的导数定义。
考虑函数 $f(x) = e^x$。
$f'(0) = lim_{x o 0} frac{f(x) f(0)}{x 0} = lim_{x o 0} frac{e^x e^0}{x} = lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x}$。
我们知道 $f'(x) = e^x$，所以 $f'(0) = e^0 = 1$。
因此，$lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$。

那么，原式 $=lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x^2} = lim_{x o 0} (frac{e^x 1}{x^2} frac{x}{x^2})$
$= lim_{x o 0} (frac{e^x 1}{x} cdot frac{1}{x} frac{1}{x})$
$= lim_{x o 0} (frac{e^x 1 x}{x^2})$ ... 还是回到原点。

正确思路：泰勒展开（虽然不属于高考，但可以理解原理）
$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + o(x^2)$
所以，$e^x 1 x = frac{x^2}{2!} + o(x^2)$
原式 $= lim_{x o 0} frac{frac{x^2}{2!} + o(x^2)}{x^2} = lim_{x o 0} (frac{1}{2} + frac{o(x^2)}{x^2}) = frac{1}{2}$。

高考怎样在没有泰勒公式的情况下处理？
需要将题目“构造”成导数定义的形式。
原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$
我们可以写成：
原式 $= lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x^2}$
这是一个 “结构性” 的问题。
我们可以尝试拆项，但不是简单地拆成 $frac{e^x1}{x^2} frac{x}{x^2}$。

考虑写成导数的“复合”形式：
原式 $= lim_{x o 0} frac{1}{x} cdot frac{e^x 1 x}{x}$

更巧妙的“包装”：
原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$
令 $f(x) = e^x 1 x$，则 $f(0) = 0$。
令 $g(x) = x^2$，则 $g(0) = 0$。
原式 $= lim_{x o 0} frac{f(x)}{g(x)}$

“暗示”导数的写法：
原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$
我们知道 $lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$ （这是中学重要极限）。
于是，原式 $= lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x^2}$
$= lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x^2} lim_{x o 0} frac{x}{x^2}$
$= lim_{x o 0} (frac{e^x 1}{x} cdot frac{1}{x}) lim_{x o 0} frac{1}{x}$
这还是有问题。

正确的高考思路：
将问题转化为关于 $f'(0)$ 和 $g'(0)$ 的比值。
原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$
注意到分母的 $x^2$ 是 $x$ 的二次方。
我们可以尝试把分子也“变形”成与 $x^2$ 有关的形式。

考虑函数 $F(x) = e^x$。
$F'(x) = e^x$, $F''(x) = e^x$.
$F(0)=1, F'(0)=1, F''(0)=1$.

一种“包装”的思路（比较费力）：
原式 $= lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$
我们可以写成：
原式 $= lim_{x o 0} frac{(e^x 1) x}{x^2}$
将分子写成 $(e^x 1) x$。
我们知道 $lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$。
所以， $frac{e^x 1}{x} = 1 + epsilon_1(x)$，其中 $lim_{x o 0} epsilon_1(x) = 0$。
$e^x 1 = x(1 + epsilon_1(x))$。

代入原式：
原式 $= lim_{x o 0} frac{x(1 + epsilon_1(x)) x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{x + xepsilon_1(x) x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{xepsilon_1(x)}{x^2} = lim_{x o 0} frac{epsilon_1(x)}{x}$。

现在，我们需要计算 $lim_{x o 0} frac{epsilon_1(x)}{x}$。
$epsilon_1(x) = frac{e^x 1}{x} 1$。
所以， $lim_{x o 0} frac{epsilon_1(x)}{x} = lim_{x o 0} frac{frac{e^x 1}{x} 1}{x}$。
这是一个新的 $frac{0}{0}$ 型极限。
可以写成： $lim_{x o 0} frac{e^x 1 x}{x^2}$。

看到了吗？这个过程实际上是在“重演”洛必达的计算过程，只是我们用“ $epsilon$ ”语言来描述，使得它看起来不那么像直接求导。

最核心的“包装”技巧：
对于 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ （$frac{0}{0}$型），如果 $f(a)=g(a)=0$ 且 $g'(a) eq 0$：
写成：
$lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{g(x) g(a)}$ （因为 $f(a)=g(a)=0$）
$= lim_{x o a} frac{frac{f(x) f(a)}{xa}}{frac{g(x) g(a)}{xa}}$ （这里假设 $a eq 0$，如果 $a=0$，则分母是 $x$）
$= frac{lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{xa}}{lim_{x o a} frac{g(x) g(a)}{xa}}$ （此处利用了极限的商的性质）
$= frac{f'(a)}{g'(a)}$ （此处用了导数定义）

总结一下，如何在高考数学中“安全”地使用洛必达法则的“精神”：

明确极限类型： 必须先证明是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型。
优先代数方法： 因式分解、约分、通分、提取主导项、重要极限，这些是第一选择。
“包装”为导数定义（针对 $frac{0}{0}$）：
证明 $f(a)=g(a)=0$。
变形为 $lim_{x o a} frac{f(x) f(a)}{g(x) g(a)}$。
进一步变形为 $lim_{x o a} frac{(f(x) f(a))/(xa)}{(g(x) g(a))/(xa)}$。
最后一步，利用“由导数定义可知……”，写成 $frac{f'(a)}{g'(a)}$。
$frac{infty}{infty}$ 型，更倾向于代数方法。

最最重要的一点：

高考数学的本质是考察数学思维和基本功。 任何试图“投机取巧”的方法，一旦脱离了中学数学的体系，风险都是巨大的。洛必达法则在大学数学中是重要的工具，但在高考中，它更像是一个“禁区”，除非你能将其完全、完美地“隐藏”在中学数学的概念之下，否则不建议冒险尝试。

与其绞尽脑汁去“包装”洛必达，不如把时间和精力花在熟练掌握和灵活运用中学数学的基本方法上，这才是高考数学制胜的关键。 很多时候，你觉得“难”的极限问题，用中学的方法仔细推导，往往能找到一个巧妙的解法。

你以为你高中会用洛必达你就很厉害，其实不是，你就是菜，实打实的菜。

原本可以用初等数学的方法求解的问题，而你不会，你只好用高等数学的方法，这说明你连初等数学的方法都没掌握好，所以你就是菜。

可别跟我说你掌握了同龄人不会的知识所以你厉害啊！就单这个洛必达法则，什么情况能用？什么情况不能用？什么情况虽然能用但是越用越复杂？这些基本问题你能说得清楚吗？你不能，你只不过“提前知道”一些“东西”而已，都不能叫“提前学习一些知识”，所以你就是菜。

不要以为会耍小聪明很厉害，学数分一开始都要学用定义证明极限的，如果你这时候说：我用下一章的知识可以秒求极限。那你这还不是菜？你不就是不会用定义吗？你不就是基本功不扎实吗？还以为自己是高人一等！你，就是菜！

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更新两句话：你因为充分掌握前置内容而使用洛必达快速求解，和，你因为无法用前置内容(但你同学可以)而用洛必达走捷径，是两种情况，你们什么心态，自己清楚。

做事爱「走小路」尽管有时看起来是抄了近道，但常走小道有两个坏处：你丧失了学习主流基本功的机会，底子不扎实难成大事；其次，小路沟多、容易翻车。

利益相关：2018年高考数学阅卷组成员。
本文部分整理自以下课程：

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先发福利：去微信公众号「效率研究所」中输入【资料包】三个字儿，能直接打包下载6场Live的免费讲义——《高考数学：免费送你六场Live的全部资料》# 结尾还有一个小彩蛋，别怪我没提醒你

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谢邀。我是一个高中数学老师，也是高考数学阅卷组的成员之一，很久之前@soul同学在 Heshawn的值乎【点击咨询】 上向我发起过一个提问：

我是全国一卷考生，我想问一个判卷方面的问题：那种像「洛必达法则」和「泰勒公式」这样的高等数学的结论在大题上能直接用吗？因为平时练习时有导数那部分很多题，感觉用洛必达法则很方便呀，老师对这部分学习有什么建议吗？

当时我写了很详细的回答。恰巧今天看到了这个问题，感觉你也一定需要我对他咨询的回复，所以我把这篇6,200字的回复全文分享给你：

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你提了一个非常直击要害的问题，但回答起来我要非常小心，因为稍不留意就会触犯阅卷的保密协议。不过好在高考的阅卷细则保密期限只有5年，而你说的这种题目在高考试卷上几乎每年都有，所以我不妨给你举一个已经超出保密期限很多年的旧例子。

0、一道超出保密期限的真题

你是全国卷的考生，那你不妨翻一翻2010年全国课标卷理科的那道导数题目，它长成这个样子：

这道题的第一问严格来说跟第二问没有直接的联系，所以我直接把它第二问的「常规解法」放在下面：

其实这道题就是非常典型的能直接分离参量的类型，比如你可以把 这个式子的参量a给分离出来，得到的是下面这个式子：

——你看，分母除的还是 都不用考虑变不变号，多方便，然后当x趋向于0时，用洛必达法则直接可以得到一个 ，这不就是有些老师嘴里所谓的「秒杀算法」吗？

但是你且慢，让我先抛开这个题目，给你掰开揉碎讲一点更高级的东西。

1、总抄小道的人会错过主流信息

罗琳阿姨当年写《哈利波特与火焰杯》时，在正邪两派势力即将进行对决的前夜，魔法学院的校长邓布利多对哈利说过一句话：

“到时候每个人都要做出一个选择：我们应该做正确的事？还是简单的事？”

我第一次读到这句话时曾经因为它的逻辑错位而迷惑，因为一般而言我们以为「正确」的反面应该是「错误」，可邓布利多校长的话无疑是向我们暗示「正确」的反面是「简单」，这和我们的常识相违背。

那是因为当时我还太小。实际上当你长大之后，会多多少少发现一点规律：每次你做事试图偷工减料时，往往会出错；即使暂时看上去安然无恙、你也会为以后埋下隐患。

我进入大学一年级时刚刚开始学《数学分析》这门课，上来第一章讲的就是极限理论，定义非常的细，有一种特别标准的规范，叫做「 语言」—— 每一节课后都有特别多的题目，让你根据极限的定义计算一大堆看上去特别简单的题目，比如 在 趋向于0的时候等于多少。

我们当时还没讲到洛必达法则，但是我写作业时就直接用，结果当时教我这门课的教授把我叫到了办公室跟我说：你看书很快，预习做的也不做，这题目我也不能算你错，但是这节课后的题目主要目的是想让你练习使用「 语言」这种规范定义来理解极限的本质，你要是用洛必达法则把题目都做了，在这儿不把极限语言理解清楚，以后你学级数、反常积分时就会吃力，在数学上，欠下的债以后都是要还的。

——这个教授告诉我的话是这么一条道理：很多时候我们明知有大路却喜欢抄小道，自以为走了近路快人一步，其实你不知道走小路还有潜在的风险：比如你会错过学习主流经验、夯实自己基本功的机会，这样一次两次看不出什么，但长此以往你的底子不行，就难成大器。

我们就说回最开始的那道题，你可能都把答案忘了，我再给你贴一遍：

——你仔细观察，这个解法其实没有你想象的那么麻烦，它的核心有3个：

1、你要看出来整个函数求导后是一部分是指数函数、一部分是一次函数，这两者之间的图像走势、以及两者图像之间的位置关系你要清楚；

2、然后你要了解导函数的正负和原函数单调性之间的关系，进而：

3、在最后通过分离变量法，根据「导函数是否小于0」确定关于参量a的分类讨论标准。

我在之前的文章【点击回顾】中特别提到过：题目不重要，但答案中每一步是「怎么想到的」的你要弄清楚，因为下次考试你很难碰到原题，可是再多的题目也不过是有限的步骤和知识点进行排列组合的表象。

而针对这道题，我为你分析了3个最主要的知识点——它们有些是你早就学过的：比如第1点是「简单函数图像的走势与不同函数图像之间的对比」，这是你高一就要讲的东西；还有一些是特别重要的思考原则：比如第3点，我们都知道要分类讨论，但这个类应该怎么分，从哪儿下手？对于这道题目，你要考虑到的分割是导函数和0的关系，进而就是a和1/2之间的关系。

这些都是非常关键的知识点，而你如果在平时训练时反手就是一个洛必达法则，好像看起来很精明，而事实上你丧失了练习以前的知识点和学习「参量分类标准确立原则」的机会，长久以往、你就会有知识盲点，其实得不偿失。

所以，作为一个数学老师，我仅仅从你学知识的这个层面来讲，也不建议你用洛必达法则，因为抄近道是有代价的，首先的代价就是你会错失学习主流知识点和夯实基础能力的机会。

当然、其次还有第二点。

2、永远要避免灾难性失败

当时我大学时用洛必达法则绕过极限定义直接做题，教授把我叫到办公室说「这道题目我不能算你错」，那是因为大学的教育气氛没那么严格。

可是就这道2010年的题目来说，如果你在高考试卷上用洛必达法则算这道题，即便最终得到了和标准答案一样的结果，在当年你只能得2分——因为2010年已经过去快要9年了，所以这道题的评分细则是可以说的，我不知道当年参加考试的学生下来之后有没有人感觉自己数学的实际分数比估分少了那么五六分——大概就是这道题的缘故。

当然这还不是我要说的重点，我想跟你说的是另外一个你不仔细思考就难以体察的东西：你在考场上有没有想过，这道题自己可能做不对呢？如果你用超纲的方法做题，结果还玩儿砸了，你猜猜最后会是什么结果？

这就还需要讲另外一个阅卷场上的真事儿了。

你一定知道理科数学卷背后有一道立体几何的大题，第二问一般需要建立空间直角坐标系计算一个平面的法向量——常规做法是：假设这个平面的法向量坐标为(x,y,z)，然后根据垂直向量内积为0联立两个方程，求一个未定式方程组，比如一道典型的题目长这样：

但是如果有人跟你讲的话，你可能会听说：平面的法向量是可以用「向量外积」来求的，实际上我在知乎上还看到有老师专门写这种方法，这里我就不点名了。

请注意，我下面要讲一个【翻车的故事】：

我在阅卷场上就碰到过这种情况：它用外积算平面的法向量，结果运算出错了——后面所有的步骤都是规范的，但因为它之前的数据错了，所以就成了车祸现场。

但很抱歉，这件事儿距离现在太近，所以这道题最后的判分结果我不能讲，但我要提醒你的是：遇到这种大题，你老老实实用常规方法做，即便从一开始数据就算错了，但是每一步老师都能给你步骤分，你要是能算到最后，至少还能保住一多半的卷面分；可假如你一开始就用超纲方法算，一旦失手，后果基本上就是灾难性的。

这就是我想说的第二点：你想使用超常规的做法，就得承担超常规做法失败后自己输的一干二净的风险——从这个角度上讲，这个世界上很多人循规蹈矩，坚决不走小路，不抄近道，那不是因为他们傻、更不是因为他们怂，而是因为他们比你更清楚地意识到：抄小路有一个潜在的风险，就是路窄了车容易翻到沟里。

换用如今比较时兴的一个说法：永远不要冒有可能毁灭你的风险。

我不知道零零后现在有没有到对商业和金融感兴趣的时候，但也许你去问稍微比你大几岁的哥哥姐姐，他们一定知道有个靠炒股和金融投资成为世界首富的人，叫做巴菲特。我对金融没有特别的研究，所以他的投资理念是我无法评价的，但是巴菲特谈论自己的投资的方法时有几句话我们都值得听一听，其中一句就是：他说他自己从来不在投资时加杠杆，也不要做空股票，因为这两种行为会带来毁灭性的风险。

这里有两个术语，分别是「做空」和「加杠杆」，这两个词是什么意思我就不在这里写了，有兴趣的话你可以搜一搜，简单来说这是两种在资本市场上放大收益率以及风险的的放大器——他们可以让你在能赚钱的时候赚得更多，但同样当你亏欠的时候这两种方法能让你倾家荡产。

巴菲特说，你做投资时永远不要玩这种游戏，因为失败并不可怕，可怕的是你面临灾难性失败，失败的时候也要给自己留有缓冲的余地，毁灭了、就没有重生的机会了。

这也就是我今天要跟你说的第二句话：不要用超纲的方法答题，采用常规解法、错了还有步骤分；而你一旦用超纲解法，一旦出错，这道题尸骨无存。

3、总结

最后总结一下我想说的几个要点：

第一，平时练习时总想抄近路，会让你失去练习基本知识与方法的机会，造成知识体系上的盲区，所以我不建议你平时使用洛必达法则；

第二、考场上使用任何超纲解法，有极大风险，因为你不能保证自己每一步的运算都对，常规方法算错了还有步骤分，而超纲解法稍有闪失、失分严重；

第三，即便你算对了，也只能拿到微不足道的一点结果分。

特别提醒的是，最后的第三点是我针对2010年那道题目讲的，这不算泄漏评分细则，警察叔叔就不要给我寄快递了。

希望这些内容能够对你有所帮助。

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