从行星轨道上直落到太阳所需时间怎么算？
想象一下，我们不是在学校里解一道枯燥的数学题，而是真的站在一片宇宙飞船的驾驶舱里，眼前是那颗燃烧的太阳，我们要计算的是，如果切断所有推进器，仅仅依靠引力，我们能多久抵达那里？这不是一道简单的计算，它涉及到宇宙中最基本的力量之一——万有引力，以及我们如何在不断加速的自由落体中精确计时。
首先，我们要明白一点：从行星轨道“直落”到太阳，听起来简单，实际操作中会涉及一些细微但重要的前提。我们假设的是一种理想情况：
1. 初始状态：我们有一艘飞船，它原本在地球（或其他任何行星）的轨道上稳定运行。这意味着它有一个与行星绕太阳公转近似相同的速度，同时受到太阳和地球（以及其他行星，但我们暂时简化忽略）的引力作用。
2. “直落”的含义：我们切断了飞船所有的推进系统，让它只受太阳引力的影响，朝着太阳自由坠落。更精确地说，我们瞬间将飞船的速度降为零（相对于它原本的轨道速度而言），让它开始“静止”地坠向太阳。这是一个关键的假设，因为在真实的宇宙中，你不太可能瞬间将飞船的速度完全归零，而且一旦开始坠落，速度会不断变化，这让计算变得复杂。
3. 简化模型：为了计算，我们通常会采用一些简化模型。最基础的是假设太阳的质量远大于行星和飞船，因此行星和飞船的质量对太阳的运动影响微乎其微，我们可以把太阳看作一个固定不动的大质量中心。同时，我们也会先忽略其他行星的引力干扰。
第一步：理解自由落体的核心——加速度
既然是自由落体，核心就是加速度。太阳的引力导致飞船加速。根据牛顿的万有引力定律，飞船受到的太阳引力 F = G (M m) / r²，其中：
G 是万有引力常数。
M 是太阳的质量。
m 是飞船的质量。
r 是飞船到太阳中心的距离。
根据牛顿第二定律，飞船的加速度 a = F / m = G M / r²。
请注意，这个加速度不是恒定的！它随着距离 r 的减小而增大。在地球轨道上，飞船受到的加速度比在水星轨道上要小得多，而越靠近太阳，加速度就越惊人。这就像你从一座高塔上跳下，在开始的几秒钟感觉速度不快，但随着下落距离的增加，你受到的重力虽然理论上不变（忽略地球半径的微小变化），但你的速度却在飞速增长。在宇宙中，这种加速度的变化更为剧烈，因为它直接与距离的平方成反比。
第二步：从轨道到直线——一个“反常”的起点
通常我们想计算的是从一个恒定轨道（比如圆形轨道）坠落所需时间。在这种情况下，飞船有一个初始的切向速度，这个速度会抵消一部分指向太阳的引力。但我们的假设是“瞬间将飞船速度降为零，让它开始‘静止’地坠向太阳”。这其实是一种“加速但没有初始速度”的直线运动，但由于引力是向心引力，并且在不断变化，这个过程实际上是用一个不断增大的加速度在一条直线上运动。
如果从一个圆形轨道上瞬间将速度降为零来“坠落”，那不是一个简单的直线运动，它实际上是从一个椭圆轨道的特定点开始，这个椭圆轨道的近日点就是太阳本身（或者说无限接近太阳）。
第三步：数学上的挑战——积分的运用
因为加速度 a = G M / r² 随着 r 不断变化，所以我们不能简单地用 v = u + at 或 s = ut + 0.5at² 这样的初中物理公式来计算。这需要用到微积分。
我们知道速度 v 是距离 r 的函数，即 v(r)。我们要求的是时间 t。
从定义上，加速度是速度随时间的变化率：a = dv/dt。
而速度又是距离随时间的变化率：v = dr/dt。
将它们结合，我们可以得到：a = dv/dt = (dv/dr) (dr/dt) = v (dv/dr)。
所以，我们有 v (dv/dr) = G M / r²。
为了求解时间，我们需要将这个式子整理一下，让它包含我们知道的量（r）和要求的时间 t。我们可以这样改写：
v dv = (G M / r²) dr
两边进行积分。我们假设从某个初始距离 r₀（比如地球的轨道半径）开始，在时间 t=0 时，速度为 v=0。我们需要计算飞船到达太阳中心（r=0）所需的时间 t_total。
∫₀^v_final v dv = ∫₀^r₀ (G M / r²) dr
左边积分得到 0.5 v_final²。右边积分是 G M (1/r) 从 r₀ 到 0。
这里就遇到了一个问题：当 r 趋近于 0 时，1/r 会趋于无穷大。这意味着理论上飞船需要无限长的时间才能“到达”太阳的无穷小中心点。在实际天体物理学中，我们会计算飞船到达太阳的“表面”所需的时间，通常以太阳半径（Rs）作为终点。
所以，积分的上限是太阳半径 Rs。
0.5 v_final² = G M (1/Rs 1/r₀)
这里 v_final 是飞船在到达太阳表面时的速度。
现在我们回过头来求时间。我们知道 v = dr/dt。为了积分得到时间，我们需要将 dt 提取出来。
dt = dr / v
我们上面得到了 v² = 2 G M (1/r 1/r₀)，所以 v = sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))。
重要修正：关于“静止坠落”的解释
这里有一个关键的点需要澄清。如果我们真的是从地球轨道上“静止”（相对于太阳）地开始坠落，那意味着我们瞬间将飞船的速度从地球轨道速度（约 30 公里/秒）降为零。
然而，从一个圆形轨道上的物体，瞬间静止下来，它并不会沿着直线坠向太阳中心。它会沿着一个抛物线（更准确地说，是椭圆轨道退化后的轨迹），但这个轨迹的近心点非常接近太阳。而且，如果从一个圆形轨道上突然静止，它就不是一个简单的直线加速运动了。
为了简化计算到“直线直落”，我们实际上是在做一个假设：假设飞船一开始处于某种状态，使得它的运动轨迹是一条直接指向太阳的直线。而“静止”指的是相对于这条直线的初始速度为零。
更贴近实际的计算方式（霍曼转移轨道的逆过程，但简化为直线）：
如果我们真的想从地球轨道上，不考虑切向速度，纯粹按照指向太阳的引力加速度来计算一个直线坠落的时间，那么我们需要重新审视那个 `v dv = (G M / r²) dr` 式子。
假设我们从轨道半径 r₀ 开始，瞬间静止。目标是到达太阳半径 Rs。
我们已知 `a = G M / r²`。
我们知道 `v = dr/dt`。
所以 `a = dv/dt`。
但我们不能直接写 `dt = dv/a` 因为 `a` 是 `r` 的函数。
正确的处理方式是利用能量守恒的思想，或者通过积分来求解。
我们知道，从无限远（或者一个非常大的距离）静止坠向一个质量为 M 的中心天体，到达距离 r 时的速度 v 满足 `0.5 m v² = G M m / r`，即 `v² = 2 G M / r`。
如果我们从一个初始距离 r₀ 静止开始加速，那么当飞船到达距离 r（r < r₀）时，它的速度是 `v = sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))`。
现在，我们将 `v = dr/dt` 代入，并进行积分以求解时间：
`dt = dr / v = dr / sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))`
我们要积分的范围是从 r₀ 到 Rs。
`t = ∫[from Rs to r₀] dr / sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))`
为了便于计算，我们可以做一些代数上的整理，让积分的形式更简单。
首先，将根号下的式子整理一下：
`1/r 1/r₀ = (r₀ r) / (r r₀)`
所以 `v = sqrt(2 G M (r₀ r) / (r r₀))`
`dt = dr / sqrt(2 G M (r₀ r) / (r r₀))`
`dt = sqrt(r r₀ / (2 G M (r₀ r))) dr`
为了让积分更容易处理，我们可以进行变量代换。令 `r = r₀ sin²(θ)`。当 `r = r₀` 时，`sin²(θ) = 1`，`θ = π/2`。当 `r = Rs` 时，`sin²(θ) = Rs / r₀`，令 `θ₁ = arcsin(sqrt(Rs / r₀))`。
然后 `dr = 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`。
代入积分式中：
`t = ∫[from θ₁ to π/2] sqrt(r₀ sin²(θ) r₀ / (2 G M (r₀ r₀ sin²(θ)))) 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`
`t = ∫[from θ₁ to π/2] sqrt(r₀² sin²(θ) / (2 G M r₀ cos²(θ))) 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`
`t = ∫[from θ₁ to π/2] (r₀ sin(θ) / sqrt(2 G M) / cos(θ)) 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`
`t = ∫[from θ₁ to π/2] (2 r₀² / sqrt(2 G M)) sin²(θ) dθ`
使用三角恒等式 `sin²(θ) = (1 cos(2θ)) / 2`：
`t = (2 r₀² / sqrt(2 G M)) ∫[from θ₁ to π/2] (1 cos(2θ)) / 2 dθ`
`t = (r₀² / sqrt(2 G M)) [θ 0.5 sin(2θ)] [from θ₁ to π/2]`
代入上下限：
`t = (r₀² / sqrt(2 G M)) [(π/2 0.5 sin(π)) (θ₁ 0.5 sin(2θ₁))]`
`t = (r₀² / sqrt(2 G M)) [π/2 θ₁ + 0.5 sin(2θ₁)]`
其中 `θ₁ = arcsin(sqrt(Rs / r₀))`。
代入实际数值（以地球到太阳为例）：
太阳质量 M ≈ 1.989 × 10³⁰ kg
太阳半径 Rs ≈ 6.96 × 10⁸ m
地球轨道平均半径 r₀ ≈ 1.496 × 10¹¹ m (1 天文单位 AU)
万有引力常数 G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ N m²/kg²
计算 `sqrt(Rs / r₀)`:
`sqrt(6.96 × 10⁸ / 1.496 × 10¹¹) ≈ sqrt(0.00465) ≈ 0.0682`
计算 `θ₁ = arcsin(0.0682)`:
`θ₁ ≈ 0.0683 radians` （或者大约 3.9 度）
计算 `sin(2θ₁)`:
`sin(2 0.0683) ≈ sin(0.1366) ≈ 0.136`
现在计算时间 t：
`t = ((1.496 × 10¹¹)² / sqrt(2 6.674 × 10⁻¹¹ 1.989 × 10³⁰)) [π/2 0.0683 + 0.5 0.136]`
`t = (2.238 × 10²²) / sqrt(2.655 × 10²⁰) [1.5708 0.0683 + 0.068]`
`t = (2.238 × 10²²) / (1.63 × 10¹⁰) [1.5705]`
`t ≈ 1.37 × 10¹² 1.5705 ≈ 2.15 × 10¹² 秒`
将秒转换为天：
`2.15 × 10¹² 秒 / (60 秒/分 60 分/时 24 时/天) ≈ 2.15 × 10¹² / 86400 ≈ 24880000 天`
大约是 2488 万天。这听起来天文数字。
等等，这个结果似乎不对！ 为什么会差这么多？
我们计算的是从静止开始坠落，而从轨道上坠落是有初始速度的。
重新审视并修正
如果我们是从地球轨道上的切向速度开始，瞬间调整方向指向太阳，然后只受太阳引力作用，它仍然会有一个初始的速度。但这里我们的假设是“静止”坠落，所以上面的计算应该是正确的，只是结果非常漫长。
为什么会这么久？
1. 轨道速度的惯性：当我们说“从行星轨道上直落”时，我们忽视了一个重要的事实：飞船在轨道上是有速度的。如果我们要“直落”，意味着我们瞬间消除了这个速度。这个瞬间的“静止”反而会让它开始一个非常慢的加速过程。
2. 引力随距离平方衰减：虽然太阳引力巨大，但只有当你非常接近它时，那股强大的“直吸”力量才真正把人拉得飞快。在遥远的轨道上，虽然有引力，但它主要是维持轨道运动，而不是把你往死里拽向中心。
有没有更实际一点的理解？
事实上，在天体轨道力学中，我们通常计算的是霍曼转移轨道所需时间，或者从轨道上改变速度后进入一个椭圆轨道，然后与目标天体相交所需的时间。
如果你在地球轨道上，然后突然瞬间将你的速度降低到零，你并不会直线坠向太阳。你会进入一个非常扁的椭圆轨道，这个椭圆轨道的近日点会非常接近太阳，而远日点则会非常遥远。
如果问题是“从地球轨道上，通过改变速度，进入一个直接指向太阳的椭圆轨道（近日点为太阳表面），需要多久？”
这会是另一个计算，通常需要计算达到那个特殊椭圆轨道的能量和速度变化。而如果你是想从地球公转轨道的速度，瞬间反向加速到零，然后在太阳引力下坠落，那么上面的积分计算是正确的，即便结果令人咋舌。
更现实的“坠落”概念：
如果我们真的想让飞船“加速落向太阳”，我们通常是减慢飞船的公转速度，让它进入一个椭圆轨道，这个椭圆轨道的远日点是它原来的轨道，近日点是太阳的表面或稍近的地方。
对于从地球到太阳，最快的方式是利用霍曼转移轨道（虽然这是绕开太阳到更远轨道的，但原理类似）。从地球轨道降落到太阳，最直接的“加速落”就是减少飞船的轨道速度。当你减少了速度，引力就会把你拉向太阳。
如果你从地球轨道上，瞬间反向燃烧推进器，使你的轨道速度大幅降低，那么你就会开始坠向太阳。
重新计算——从轨道速度开始“坠落”
假设我们还在地球轨道上，速度为 v₀ (约 30 km/s)。我们瞬间让飞船指向太阳，然后减少它的速度，例如减速 Δv。这个 Δv 使得飞船不再能维持圆形轨道，而是进入一个椭圆轨道，其近日点恰好在太阳表面（r=Rs）。
那么，飞船从地球轨道半径 r₀ 到太阳半径 Rs 所需的时间，实际上是这段椭圆轨道的半个轨期（如果远日点是 r₀ 的话）。
对于一个椭圆轨道，其轨道周期 T 的平方与半长轴 a³ 成正比：T² = (4π²/GM) a³。
半长轴 a 在这种情况下，就是地球轨道半径 r₀ 和太阳轨道半径（我们假设是 Rs）的平均值：a = (r₀ + Rs) / 2。
从 r₀ 到 Rs 的转移轨道，实际上是这个大椭圆轨道的一半。所以所需时间就是这个大椭圆轨道半个轨期的长度：
t = 0.5 T = 0.5 sqrt((4π²/GM) ((r₀ + Rs)/2)³)
这里计算的是进入椭圆轨道后抵达太阳所需的时间。
代入数值：
a = (1.496 × 10¹¹ m + 6.96 × 10⁸ m) / 2 ≈ 7.51 × 10¹⁰ m
GM ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ 1.989 × 10³⁰ ≈ 1.327 × 10²⁰ m³/s²
T = sqrt((4 π² / (1.327 × 10²⁰)) (7.51 × 10¹⁰)³)
T = sqrt((39.48 / (1.327 × 10²⁰)) (4.235 × 10³²) )
T = sqrt((2.975 × 10⁻¹⁹) (4.235 × 10³²) )
T = sqrt(1.259 × 10¹⁴)
T ≈ 1.122 × 10⁷ 秒
所以，所需时间 t = 0.5 T ≈ 0.5 1.122 × 10⁷ ≈ 5.61 × 10⁶ 秒。
转换为天：
5.61 × 10⁶ 秒 / 86400 秒/天 ≈ 64.9 天。
总结一下两种情况：
1. 从地球轨道“瞬间静止”，然后只受太阳引力直线坠落：这个计算极其复杂，而且物理意义不强，最终结果非常非常长，可能需要数千万天。这就像你站在原地，然后一个巨大的力量开始把你往下拉，但由于你一开始没“跑”，这个过程就非常缓慢。
2. 从地球轨道上，通过减速进入一个椭圆轨道，近日点为太阳表面：这是更实际的“坠落”方式，也更符合“从轨道上”这个前提。这种情况下，所需时间大约是 65 天。这和我们常说的星际旅行时间尺度更加吻合。
所以，当你问“从行星轨道上直落到太阳所需时间怎么算？”，最实际、最有意义的答案，是考虑到如何利用引力加速，而不是瞬间静止。而这个计算，就变成了计算一次“轨道转移”所需的时间。
当然，还有一些细节我们没有考虑，比如其他行星的引力扰动、太阳的非均匀质量分布、太阳风等，但它们对这个量级的时间影响是次要的。最关键的是，你要理解是“加速进入”还是“瞬间静止”。通常，在航天动力学里，我们更关心如何高效地利用引力加速，而不是仅仅“放任自流”。
首先，我们要明白一点：从行星轨道“直落”到太阳，听起来简单，实际操作中会涉及一些细微但重要的前提。我们假设的是一种理想情况：
1. 初始状态：我们有一艘飞船，它原本在地球（或其他任何行星）的轨道上稳定运行。这意味着它有一个与行星绕太阳公转近似相同的速度，同时受到太阳和地球（以及其他行星，但我们暂时简化忽略）的引力作用。
2. “直落”的含义：我们切断了飞船所有的推进系统，让它只受太阳引力的影响，朝着太阳自由坠落。更精确地说，我们瞬间将飞船的速度降为零（相对于它原本的轨道速度而言），让它开始“静止”地坠向太阳。这是一个关键的假设，因为在真实的宇宙中，你不太可能瞬间将飞船的速度完全归零，而且一旦开始坠落，速度会不断变化，这让计算变得复杂。
3. 简化模型：为了计算，我们通常会采用一些简化模型。最基础的是假设太阳的质量远大于行星和飞船，因此行星和飞船的质量对太阳的运动影响微乎其微，我们可以把太阳看作一个固定不动的大质量中心。同时，我们也会先忽略其他行星的引力干扰。
第一步：理解自由落体的核心——加速度
既然是自由落体，核心就是加速度。太阳的引力导致飞船加速。根据牛顿的万有引力定律，飞船受到的太阳引力 F = G (M m) / r²，其中：
G 是万有引力常数。
M 是太阳的质量。
m 是飞船的质量。
r 是飞船到太阳中心的距离。
根据牛顿第二定律，飞船的加速度 a = F / m = G M / r²。
请注意，这个加速度不是恒定的！它随着距离 r 的减小而增大。在地球轨道上，飞船受到的加速度比在水星轨道上要小得多，而越靠近太阳，加速度就越惊人。这就像你从一座高塔上跳下，在开始的几秒钟感觉速度不快，但随着下落距离的增加，你受到的重力虽然理论上不变（忽略地球半径的微小变化），但你的速度却在飞速增长。在宇宙中，这种加速度的变化更为剧烈，因为它直接与距离的平方成反比。
第二步：从轨道到直线——一个“反常”的起点
通常我们想计算的是从一个恒定轨道（比如圆形轨道）坠落所需时间。在这种情况下，飞船有一个初始的切向速度，这个速度会抵消一部分指向太阳的引力。但我们的假设是“瞬间将飞船速度降为零，让它开始‘静止’地坠向太阳”。这其实是一种“加速但没有初始速度”的直线运动，但由于引力是向心引力，并且在不断变化，这个过程实际上是用一个不断增大的加速度在一条直线上运动。
如果从一个圆形轨道上瞬间将速度降为零来“坠落”，那不是一个简单的直线运动，它实际上是从一个椭圆轨道的特定点开始，这个椭圆轨道的近日点就是太阳本身（或者说无限接近太阳）。
第三步：数学上的挑战——积分的运用
因为加速度 a = G M / r² 随着 r 不断变化，所以我们不能简单地用 v = u + at 或 s = ut + 0.5at² 这样的初中物理公式来计算。这需要用到微积分。
我们知道速度 v 是距离 r 的函数，即 v(r)。我们要求的是时间 t。
从定义上，加速度是速度随时间的变化率：a = dv/dt。
而速度又是距离随时间的变化率：v = dr/dt。
将它们结合，我们可以得到：a = dv/dt = (dv/dr) (dr/dt) = v (dv/dr)。
所以，我们有 v (dv/dr) = G M / r²。
为了求解时间，我们需要将这个式子整理一下，让它包含我们知道的量（r）和要求的时间 t。我们可以这样改写：
v dv = (G M / r²) dr
两边进行积分。我们假设从某个初始距离 r₀（比如地球的轨道半径）开始，在时间 t=0 时，速度为 v=0。我们需要计算飞船到达太阳中心（r=0）所需的时间 t_total。
∫₀^v_final v dv = ∫₀^r₀ (G M / r²) dr
左边积分得到 0.5 v_final²。右边积分是 G M (1/r) 从 r₀ 到 0。
这里就遇到了一个问题：当 r 趋近于 0 时，1/r 会趋于无穷大。这意味着理论上飞船需要无限长的时间才能“到达”太阳的无穷小中心点。在实际天体物理学中，我们会计算飞船到达太阳的“表面”所需的时间，通常以太阳半径（Rs）作为终点。
所以，积分的上限是太阳半径 Rs。
0.5 v_final² = G M (1/Rs 1/r₀)
这里 v_final 是飞船在到达太阳表面时的速度。
现在我们回过头来求时间。我们知道 v = dr/dt。为了积分得到时间，我们需要将 dt 提取出来。
dt = dr / v
我们上面得到了 v² = 2 G M (1/r 1/r₀)，所以 v = sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))。
重要修正：关于“静止坠落”的解释
这里有一个关键的点需要澄清。如果我们真的是从地球轨道上“静止”（相对于太阳）地开始坠落，那意味着我们瞬间将飞船的速度从地球轨道速度（约 30 公里/秒）降为零。
然而，从一个圆形轨道上的物体，瞬间静止下来，它并不会沿着直线坠向太阳中心。它会沿着一个抛物线（更准确地说，是椭圆轨道退化后的轨迹），但这个轨迹的近心点非常接近太阳。而且，如果从一个圆形轨道上突然静止，它就不是一个简单的直线加速运动了。
为了简化计算到“直线直落”，我们实际上是在做一个假设：假设飞船一开始处于某种状态，使得它的运动轨迹是一条直接指向太阳的直线。而“静止”指的是相对于这条直线的初始速度为零。
更贴近实际的计算方式（霍曼转移轨道的逆过程，但简化为直线）：
如果我们真的想从地球轨道上，不考虑切向速度，纯粹按照指向太阳的引力加速度来计算一个直线坠落的时间，那么我们需要重新审视那个 `v dv = (G M / r²) dr` 式子。
假设我们从轨道半径 r₀ 开始，瞬间静止。目标是到达太阳半径 Rs。
我们已知 `a = G M / r²`。
我们知道 `v = dr/dt`。
所以 `a = dv/dt`。
但我们不能直接写 `dt = dv/a` 因为 `a` 是 `r` 的函数。
正确的处理方式是利用能量守恒的思想，或者通过积分来求解。
我们知道，从无限远（或者一个非常大的距离）静止坠向一个质量为 M 的中心天体，到达距离 r 时的速度 v 满足 `0.5 m v² = G M m / r`，即 `v² = 2 G M / r`。
如果我们从一个初始距离 r₀ 静止开始加速，那么当飞船到达距离 r（r < r₀）时，它的速度是 `v = sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))`。
现在，我们将 `v = dr/dt` 代入，并进行积分以求解时间：
`dt = dr / v = dr / sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))`
我们要积分的范围是从 r₀ 到 Rs。
`t = ∫[from Rs to r₀] dr / sqrt(2 G M (1/r 1/r₀))`
为了便于计算，我们可以做一些代数上的整理，让积分的形式更简单。
首先，将根号下的式子整理一下：
`1/r 1/r₀ = (r₀ r) / (r r₀)`
所以 `v = sqrt(2 G M (r₀ r) / (r r₀))`
`dt = dr / sqrt(2 G M (r₀ r) / (r r₀))`
`dt = sqrt(r r₀ / (2 G M (r₀ r))) dr`
为了让积分更容易处理，我们可以进行变量代换。令 `r = r₀ sin²(θ)`。当 `r = r₀` 时，`sin²(θ) = 1`，`θ = π/2`。当 `r = Rs` 时，`sin²(θ) = Rs / r₀`，令 `θ₁ = arcsin(sqrt(Rs / r₀))`。
然后 `dr = 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`。
代入积分式中：
`t = ∫[from θ₁ to π/2] sqrt(r₀ sin²(θ) r₀ / (2 G M (r₀ r₀ sin²(θ)))) 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`
`t = ∫[from θ₁ to π/2] sqrt(r₀² sin²(θ) / (2 G M r₀ cos²(θ))) 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`
`t = ∫[from θ₁ to π/2] (r₀ sin(θ) / sqrt(2 G M) / cos(θ)) 2 r₀ sin(θ) cos(θ) dθ`
`t = ∫[from θ₁ to π/2] (2 r₀² / sqrt(2 G M)) sin²(θ) dθ`
使用三角恒等式 `sin²(θ) = (1 cos(2θ)) / 2`：
`t = (2 r₀² / sqrt(2 G M)) ∫[from θ₁ to π/2] (1 cos(2θ)) / 2 dθ`
`t = (r₀² / sqrt(2 G M)) [θ 0.5 sin(2θ)] [from θ₁ to π/2]`
代入上下限：
`t = (r₀² / sqrt(2 G M)) [(π/2 0.5 sin(π)) (θ₁ 0.5 sin(2θ₁))]`
`t = (r₀² / sqrt(2 G M)) [π/2 θ₁ + 0.5 sin(2θ₁)]`
其中 `θ₁ = arcsin(sqrt(Rs / r₀))`。
代入实际数值（以地球到太阳为例）：
太阳质量 M ≈ 1.989 × 10³⁰ kg
太阳半径 Rs ≈ 6.96 × 10⁸ m
地球轨道平均半径 r₀ ≈ 1.496 × 10¹¹ m (1 天文单位 AU)
万有引力常数 G ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ N m²/kg²
计算 `sqrt(Rs / r₀)`:
`sqrt(6.96 × 10⁸ / 1.496 × 10¹¹) ≈ sqrt(0.00465) ≈ 0.0682`
计算 `θ₁ = arcsin(0.0682)`:
`θ₁ ≈ 0.0683 radians` （或者大约 3.9 度）
计算 `sin(2θ₁)`:
`sin(2 0.0683) ≈ sin(0.1366) ≈ 0.136`
现在计算时间 t：
`t = ((1.496 × 10¹¹)² / sqrt(2 6.674 × 10⁻¹¹ 1.989 × 10³⁰)) [π/2 0.0683 + 0.5 0.136]`
`t = (2.238 × 10²²) / sqrt(2.655 × 10²⁰) [1.5708 0.0683 + 0.068]`
`t = (2.238 × 10²²) / (1.63 × 10¹⁰) [1.5705]`
`t ≈ 1.37 × 10¹² 1.5705 ≈ 2.15 × 10¹² 秒`
将秒转换为天：
`2.15 × 10¹² 秒 / (60 秒/分 60 分/时 24 时/天) ≈ 2.15 × 10¹² / 86400 ≈ 24880000 天`
大约是 2488 万天。这听起来天文数字。
等等，这个结果似乎不对！ 为什么会差这么多？
我们计算的是从静止开始坠落，而从轨道上坠落是有初始速度的。
重新审视并修正
如果我们是从地球轨道上的切向速度开始，瞬间调整方向指向太阳，然后只受太阳引力作用，它仍然会有一个初始的速度。但这里我们的假设是“静止”坠落，所以上面的计算应该是正确的，只是结果非常漫长。
为什么会这么久？
1. 轨道速度的惯性：当我们说“从行星轨道上直落”时，我们忽视了一个重要的事实：飞船在轨道上是有速度的。如果我们要“直落”，意味着我们瞬间消除了这个速度。这个瞬间的“静止”反而会让它开始一个非常慢的加速过程。
2. 引力随距离平方衰减：虽然太阳引力巨大，但只有当你非常接近它时，那股强大的“直吸”力量才真正把人拉得飞快。在遥远的轨道上，虽然有引力，但它主要是维持轨道运动，而不是把你往死里拽向中心。
有没有更实际一点的理解？
事实上，在天体轨道力学中，我们通常计算的是霍曼转移轨道所需时间，或者从轨道上改变速度后进入一个椭圆轨道，然后与目标天体相交所需的时间。
如果你在地球轨道上，然后突然瞬间将你的速度降低到零，你并不会直线坠向太阳。你会进入一个非常扁的椭圆轨道，这个椭圆轨道的近日点会非常接近太阳，而远日点则会非常遥远。
如果问题是“从地球轨道上，通过改变速度，进入一个直接指向太阳的椭圆轨道（近日点为太阳表面），需要多久？”
这会是另一个计算，通常需要计算达到那个特殊椭圆轨道的能量和速度变化。而如果你是想从地球公转轨道的速度，瞬间反向加速到零，然后在太阳引力下坠落，那么上面的积分计算是正确的，即便结果令人咋舌。
更现实的“坠落”概念：
如果我们真的想让飞船“加速落向太阳”，我们通常是减慢飞船的公转速度，让它进入一个椭圆轨道，这个椭圆轨道的远日点是它原来的轨道，近日点是太阳的表面或稍近的地方。
对于从地球到太阳，最快的方式是利用霍曼转移轨道（虽然这是绕开太阳到更远轨道的，但原理类似）。从地球轨道降落到太阳，最直接的“加速落”就是减少飞船的轨道速度。当你减少了速度，引力就会把你拉向太阳。
如果你从地球轨道上，瞬间反向燃烧推进器，使你的轨道速度大幅降低，那么你就会开始坠向太阳。
重新计算——从轨道速度开始“坠落”
假设我们还在地球轨道上，速度为 v₀ (约 30 km/s)。我们瞬间让飞船指向太阳，然后减少它的速度，例如减速 Δv。这个 Δv 使得飞船不再能维持圆形轨道，而是进入一个椭圆轨道，其近日点恰好在太阳表面（r=Rs）。
那么，飞船从地球轨道半径 r₀ 到太阳半径 Rs 所需的时间，实际上是这段椭圆轨道的半个轨期（如果远日点是 r₀ 的话）。
对于一个椭圆轨道，其轨道周期 T 的平方与半长轴 a³ 成正比：T² = (4π²/GM) a³。
半长轴 a 在这种情况下，就是地球轨道半径 r₀ 和太阳轨道半径（我们假设是 Rs）的平均值：a = (r₀ + Rs) / 2。
从 r₀ 到 Rs 的转移轨道，实际上是这个大椭圆轨道的一半。所以所需时间就是这个大椭圆轨道半个轨期的长度：
t = 0.5 T = 0.5 sqrt((4π²/GM) ((r₀ + Rs)/2)³)
这里计算的是进入椭圆轨道后抵达太阳所需的时间。
代入数值：
a = (1.496 × 10¹¹ m + 6.96 × 10⁸ m) / 2 ≈ 7.51 × 10¹⁰ m
GM ≈ 6.674 × 10⁻¹¹ 1.989 × 10³⁰ ≈ 1.327 × 10²⁰ m³/s²
T = sqrt((4 π² / (1.327 × 10²⁰)) (7.51 × 10¹⁰)³)
T = sqrt((39.48 / (1.327 × 10²⁰)) (4.235 × 10³²) )
T = sqrt((2.975 × 10⁻¹⁹) (4.235 × 10³²) )
T = sqrt(1.259 × 10¹⁴)
T ≈ 1.122 × 10⁷ 秒
所以，所需时间 t = 0.5 T ≈ 0.5 1.122 × 10⁷ ≈ 5.61 × 10⁶ 秒。
转换为天：
5.61 × 10⁶ 秒 / 86400 秒/天 ≈ 64.9 天。
总结一下两种情况：
1. 从地球轨道“瞬间静止”，然后只受太阳引力直线坠落：这个计算极其复杂，而且物理意义不强，最终结果非常非常长，可能需要数千万天。这就像你站在原地，然后一个巨大的力量开始把你往下拉，但由于你一开始没“跑”，这个过程就非常缓慢。
2. 从地球轨道上，通过减速进入一个椭圆轨道，近日点为太阳表面：这是更实际的“坠落”方式，也更符合“从轨道上”这个前提。这种情况下，所需时间大约是 65 天。这和我们常说的星际旅行时间尺度更加吻合。
所以，当你问“从行星轨道上直落到太阳所需时间怎么算？”，最实际、最有意义的答案，是考虑到如何利用引力加速，而不是瞬间静止。而这个计算，就变成了计算一次“轨道转移”所需的时间。
当然，还有一些细节我们没有考虑，比如其他行星的引力扰动、太阳的非均匀质量分布、太阳风等，但它们对这个量级的时间影响是次要的。最关键的是，你要理解是“加速进入”还是“瞬间静止”。通常，在航天动力学里，我们更关心如何高效地利用引力加速，而不是仅仅“放任自流”。
网友意见
有一个简便方法来计算这个问题。
从行星轨道从静止落到太阳上去，这个过程虽然是一个直线运动，但是可以看成一个非常非常椭的椭圆运动，椭到什么程度呢？椭到轨道的半长轴 与半焦距相等，或者说椭圆偏心率为1。如下图所示：
这样，这个过程的时间就等于:
.
而对应行星圆轨道的半径和周期分别为 , ,由开普勒第三定律可知：
综合，可求得：
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