学习数论图论有必要先学抽代和高代吗？
这个问题很有意思，也触及了很多数学学习者在进阶过程中会遇到的一个普遍困惑。我来详细聊聊我的看法，尽量用一种更自然、不那么“AI”的方式来展开。
首先，咱们得明确一下这几个学科大致都研究点啥：
数论（Number Theory）：顾名思义，它是研究整数性质的学科。从最基础的整除、素数，到丢番图方程、同余理论、二次互反律，再到现代的一些高级课题，比如解析数论、代数数论，它本质上是在“数”这个最基本、最熟悉的数学对象上玩出花样来。
图论（Graph Theory）：这是研究图（Graph）这种数学结构的学科。图由顶点（Vertices）和连接顶点的边（Edges）组成。它被广泛应用于描述和分析各种关系，比如社交网络、计算机网络、道路交通、分子结构等等。核心概念包括连通性、通路、环、匹配、着色等等。
抽象代数（Abstract Algebra）：这门学科研究的是代数结构，比如群（Groups）、环（Rings）、域（Fields）等。它更关注的是运算的性质，而不是具体的数字或对象。比如，群论研究的是满足特定规则的“集合+运算”，它提供了一个通用的框架来理解对称性、对称变换等概念。
高等代数（Linear Algebra）：主要研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等。它提供了一种处理多维空间和线性关系的方法，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着极其广泛的应用。
现在回到问题本身：学习数论图论有必要先学抽代和高代吗？
我的回答是：不一定“必须”，但“强烈建议”。这就像问学做菜有没有必要先学化学和物理一样。你可以直接上手炒菜，但如果你理解了其中的化学反应（比如美拉德反应）和物理现象（比如传热），你的烹饪技艺会更上一层楼，也能更好地理解为什么这样做会产生这样的效果。
咱们分开来看：
对数论的影响：
数论，特别是代数数论，与抽象代数的关系是极其深厚的。
代数数论，如其名，就是将抽象代数的工具（群、环、域、理想、模等）应用到数论的研究中。比如，我们研究整数环$mathbb{Z}$，它的性质（唯一因子分解性）是数论的基础。但如果我们把目光放到更一般的代数整数环（例如二次域$mathbb{Q}(sqrt{d})$中的代数整数），那么很多数论中的问题（比如费马大定理的某些推广）就会转化为研究这些环的性质。
模算术（Congruence Arithmetic），这是数论的核心内容之一，实际上就是在研究整数模$n$构成的环$mathbb{Z}_n$。同余类可以看作是环$mathbb{Z}$关于理想$nmathbb{Z}$的商环。所以，对环论的理解，能让你更深刻地理解同余的本质。
群论在数论中也有应用，例如伽罗瓦理论（Galois Theory）在代数数论中扮演了重要角色，用来研究方程根的性质，而伽罗瓦群本身就是一个群。
那么，如果没学抽象代数，能学数论吗？
基础数论（整除、素数、最大公约数、最小公倍数、模运算、线性同余方程、中国剩余定理等），这些内容完全可以独立学习，并且是很多数学竞赛和计算机科学入门的常用知识。你可以先掌握这些“工具”，然后发现它们在代数结构中有更深刻的体现。
现代数论，尤其是代数数论，则非常依赖抽象代数。如果你想深入理解代数数论的很多定理和证明，比如狄利克雷单位定理（Dirichlet's Unit Theorem）、类域论（Class Field Theory）等，那么抽象代数，特别是环论、域论和表示论，是必不可少的。
高等代数（线性代数）对数论的影响相对较小，除非是某些特定的、比较“交叉”的领域。比如，在解析数论中，可能会用到一些与函数逼近、积分相关的技巧，这些技巧可能借鉴了线性代数的一些思想，但不是核心依赖。
对图论的影响：
图论与抽象代数和高等代数的关系，不像数论那样“天生一对”，但也有很多有趣的交叉和应用。
高等代数（线性代数）在图论中的应用可以说是非常广泛且重要的。
图的矩阵表示：邻接矩阵（Adjacency Matrix）、关联矩阵（Incidence Matrix）、拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）等等，都是线性代数在图论中的核心工具。通过研究这些矩阵的特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors），我们可以揭示图的许多重要性质，比如连通性、直径、谱聚类等。
谱图论（Spectral Graph Theory）：这是一个专门研究图的代数性质（主要通过其拉普拉斯矩阵或邻接矩阵的特征值）的领域。通过“谱”来理解图的结构，是线性代数强大应用的一个典范。
随机游走（Random Walks）：在图上的随机游走，其转移概率矩阵（Transition Matrix）的性质，很大程度上决定了游走在图上的长期行为，这又与线性代数的特征值和特征向量紧密相关。
抽象代数在图论中的应用则更偏向于研究图的对称性。
图的自同构群（Automorphism Group of a Graph）：一个图的自同构群是所有保持图的结构（顶点和边）不变的置换的集合。这个集合在特定的运算下构成一个群。研究图的自同构群，可以帮助我们理解图的对称性，判断两个图是否同构，以及分析图的结构。
代数图论（Algebraic Graph Theory）：虽然“代数图论”这个词有时候特指谱图论，但广义上，它也包括利用群论等抽象代数工具来研究图的理论。例如，Cayley图（Cayley Graphs）就是通过群的结构来构造图，研究群的性质。
编码理论和组合设计：在一些更专业的图论分支，比如编码理论中的设计理论（Design Theory），可能会用到一些抽象代数（如有限域）的工具来构造和分析复杂的图结构。
那么，如果没学高代和抽代，能学图论吗？
基础图论（图的定义、路径、环、连通性、树、图的遍历算法如BFS/DFS、最短路径算法如Dijkstra/Floyd、最小生成树算法如Prim/Kruskal、图的着色问题等），这些内容完全可以独立学习，并且是计算机科学、运筹学等领域非常重要的基础。你可以先熟练掌握这些算法和概念，它们本身就构成了一个完整的知识体系。
现代图论，特别是谱图论、一些深入的组合优化问题、以及与代数结构紧密集成的图论分支，强烈依赖线性代数。如果你想去理解图的谱性质，或者更高效地处理大规模图数据，那么线性代数是不可或缺的。
抽象代数对图论的影响相对不那么“直接”和“普遍”，更多是用于研究图的深层对称性或特定构造。如果你对图的对称性特别感兴趣，或者研究一些专门的图论领域（如组合设计），那么了解抽象代数会有很大帮助。
总结与建议：
综合来看：
数论：基础数论可以独立学习。但要深入学习，尤其是代数数论，抽象代数（尤其是环论、域论）是关键。
图论：基础图论可以独立学习。但要深入学习，尤其是谱图论，高等代数（线性代数）是关键。抽象代数在研究图的对称性或特定构造时有用。
那么，是不是就得“先”学？
这取决于你的学习目标和路径。
1. 目标是掌握基础数论和图论，并应用于算法、编程等领域：你可以不必先学抽象代数和高等代数。直接进入数论和图论的基础概念和算法学习，你会发现它们本身就很有趣且实用。很多算法题、编程挑战就要求掌握这些。
2. 目标是深入理解数学理论，进行数学研究，或者接触更前沿的领域：那么强烈建议你至少将高等代数（线性代数）学扎实。对于数论，如果想走代数数论这条路，抽象代数（群、环、域）是必修课。
3. 并行学习：你也可以选择并行学习。比如，在学习图论的同时，开始学习高等代数。当遇到图论中需要矩阵表示或谱分析的地方，你会发现高等代数的学习为之铺垫了道路。同样，在学习数论时，可以初步接触模运算，然后学习抽象代数中的环和理想，再回头看模运算，会有更深的理解。
为什么建议学了再学？
更深刻的理解：高等代数提供了分析图的“代数工具箱”（矩阵、特征值），抽象代数提供了分析数的“结构框架”（群、环、域）。拥有这些工具和框架，你对数论和图论的理解会从“怎么做”上升到“为什么这么做”，从“具体例子”上升到“普遍规律”。
解决更复杂的问题：很多高级的数论问题和图论问题，其解决方法本身就建立在抽象代数和高等代数之上。没有这些基础，很多文献或研究课题你可能根本无法理解。
触类旁通：学好抽象代数和高等代数，它们在数学的其他分支（如群论、拓扑学、表示论、概率论等）也有广泛应用。一旦掌握了这些“底层语言”，你学习其他数学领域会更容易。
学习效率：虽然可以分开学习，但如果知识是相互关联的，同时或在合适的时候学习，往往会形成“1+1>2”的效果。比如，学习了矩阵后，再去看图的邻接矩阵，会觉得非常自然；学习了环后，再看整数环$mathbb{Z}$，会发现其性质的根源。
我的个人经验（如果允许的话，这部分会更“人”一点）：
我学图论的时候，一开始就是各种算法，BFS, DFS, Dijkstra, Prim，这些都是直接能用的。但后来遇到一些关于图的“性质”问题，比如图的连通性与特征值之间的关系，或者处理大规模网络时，感觉直接用算法难以深入，直到学了线性代数，特别是矩阵和特征值分解，才真正打开了谱图论的大门。那感觉就像，之前是拿到一个锁，硬猜密码，现在是学会了开锁的原理，直接就能打开。
数论方面，我一开始学的是基础数论，素数定理、费马小定理这些，完全没问题。但当我想去理解一些数论中的“结构”，比如二次互反律的更深刻的证明，或者想研究椭圆曲线（它在现代数论和密码学中非常重要），就发现离不开代数数论，而代数数论的基石就是抽象代数。没有群、环、域的概念，很多证明逻辑会变得非常晦涩。
总而言之，
如果你只是想了解数论和图论的一些基本概念和算法，它们完全可以独立入门。但如果你想更深入地研究，或者理解这些理论的“骨架”，那么高等代数（线性代数）对于图论来说是极其重要的基础，而抽象代数（群、环、域）对于深入理解数论（尤其是代数数论）来说是不可或缺的。
我的建议是：先对数论和图论的基础知识有个大致了解，然后将高等代数（线性代数）作为学习图论的重点推进。同时，如果对数论的代数性质感兴趣，那么尽早开始抽象代数的学习，并将其与数论中的同余、整数性质等联系起来。 这样做，可以让你在学习过程中，随着知识的深入，自然而然地看到这些学科之间的联系，并且在学习效率和理解深度上都获得更大的提升。
首先，咱们得明确一下这几个学科大致都研究点啥：
数论（Number Theory）：顾名思义，它是研究整数性质的学科。从最基础的整除、素数，到丢番图方程、同余理论、二次互反律，再到现代的一些高级课题，比如解析数论、代数数论，它本质上是在“数”这个最基本、最熟悉的数学对象上玩出花样来。
图论（Graph Theory）：这是研究图（Graph）这种数学结构的学科。图由顶点（Vertices）和连接顶点的边（Edges）组成。它被广泛应用于描述和分析各种关系，比如社交网络、计算机网络、道路交通、分子结构等等。核心概念包括连通性、通路、环、匹配、着色等等。
抽象代数（Abstract Algebra）：这门学科研究的是代数结构，比如群（Groups）、环（Rings）、域（Fields）等。它更关注的是运算的性质，而不是具体的数字或对象。比如，群论研究的是满足特定规则的“集合+运算”，它提供了一个通用的框架来理解对称性、对称变换等概念。
高等代数（Linear Algebra）：主要研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等。它提供了一种处理多维空间和线性关系的方法，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着极其广泛的应用。
现在回到问题本身：学习数论图论有必要先学抽代和高代吗？
我的回答是：不一定“必须”，但“强烈建议”。这就像问学做菜有没有必要先学化学和物理一样。你可以直接上手炒菜，但如果你理解了其中的化学反应（比如美拉德反应）和物理现象（比如传热），你的烹饪技艺会更上一层楼，也能更好地理解为什么这样做会产生这样的效果。
咱们分开来看：
对数论的影响：
数论，特别是代数数论，与抽象代数的关系是极其深厚的。
代数数论，如其名，就是将抽象代数的工具（群、环、域、理想、模等）应用到数论的研究中。比如，我们研究整数环$mathbb{Z}$，它的性质（唯一因子分解性）是数论的基础。但如果我们把目光放到更一般的代数整数环（例如二次域$mathbb{Q}(sqrt{d})$中的代数整数），那么很多数论中的问题（比如费马大定理的某些推广）就会转化为研究这些环的性质。
模算术（Congruence Arithmetic），这是数论的核心内容之一，实际上就是在研究整数模$n$构成的环$mathbb{Z}_n$。同余类可以看作是环$mathbb{Z}$关于理想$nmathbb{Z}$的商环。所以，对环论的理解，能让你更深刻地理解同余的本质。
群论在数论中也有应用，例如伽罗瓦理论（Galois Theory）在代数数论中扮演了重要角色，用来研究方程根的性质，而伽罗瓦群本身就是一个群。
那么，如果没学抽象代数，能学数论吗？
基础数论（整除、素数、最大公约数、最小公倍数、模运算、线性同余方程、中国剩余定理等），这些内容完全可以独立学习，并且是很多数学竞赛和计算机科学入门的常用知识。你可以先掌握这些“工具”，然后发现它们在代数结构中有更深刻的体现。
现代数论，尤其是代数数论，则非常依赖抽象代数。如果你想深入理解代数数论的很多定理和证明，比如狄利克雷单位定理（Dirichlet's Unit Theorem）、类域论（Class Field Theory）等，那么抽象代数，特别是环论、域论和表示论，是必不可少的。
高等代数（线性代数）对数论的影响相对较小，除非是某些特定的、比较“交叉”的领域。比如，在解析数论中，可能会用到一些与函数逼近、积分相关的技巧，这些技巧可能借鉴了线性代数的一些思想，但不是核心依赖。
对图论的影响：
图论与抽象代数和高等代数的关系，不像数论那样“天生一对”，但也有很多有趣的交叉和应用。
高等代数（线性代数）在图论中的应用可以说是非常广泛且重要的。
图的矩阵表示：邻接矩阵（Adjacency Matrix）、关联矩阵（Incidence Matrix）、拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）等等，都是线性代数在图论中的核心工具。通过研究这些矩阵的特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors），我们可以揭示图的许多重要性质，比如连通性、直径、谱聚类等。
谱图论（Spectral Graph Theory）：这是一个专门研究图的代数性质（主要通过其拉普拉斯矩阵或邻接矩阵的特征值）的领域。通过“谱”来理解图的结构，是线性代数强大应用的一个典范。
随机游走（Random Walks）：在图上的随机游走，其转移概率矩阵（Transition Matrix）的性质，很大程度上决定了游走在图上的长期行为，这又与线性代数的特征值和特征向量紧密相关。
抽象代数在图论中的应用则更偏向于研究图的对称性。
图的自同构群（Automorphism Group of a Graph）：一个图的自同构群是所有保持图的结构（顶点和边）不变的置换的集合。这个集合在特定的运算下构成一个群。研究图的自同构群，可以帮助我们理解图的对称性，判断两个图是否同构，以及分析图的结构。
代数图论（Algebraic Graph Theory）：虽然“代数图论”这个词有时候特指谱图论，但广义上，它也包括利用群论等抽象代数工具来研究图的理论。例如，Cayley图（Cayley Graphs）就是通过群的结构来构造图，研究群的性质。
编码理论和组合设计：在一些更专业的图论分支，比如编码理论中的设计理论（Design Theory），可能会用到一些抽象代数（如有限域）的工具来构造和分析复杂的图结构。
那么，如果没学高代和抽代，能学图论吗？
基础图论（图的定义、路径、环、连通性、树、图的遍历算法如BFS/DFS、最短路径算法如Dijkstra/Floyd、最小生成树算法如Prim/Kruskal、图的着色问题等），这些内容完全可以独立学习，并且是计算机科学、运筹学等领域非常重要的基础。你可以先熟练掌握这些算法和概念，它们本身就构成了一个完整的知识体系。
现代图论，特别是谱图论、一些深入的组合优化问题、以及与代数结构紧密集成的图论分支，强烈依赖线性代数。如果你想去理解图的谱性质，或者更高效地处理大规模图数据，那么线性代数是不可或缺的。
抽象代数对图论的影响相对不那么“直接”和“普遍”，更多是用于研究图的深层对称性或特定构造。如果你对图的对称性特别感兴趣，或者研究一些专门的图论领域（如组合设计），那么了解抽象代数会有很大帮助。
总结与建议：
综合来看：
数论：基础数论可以独立学习。但要深入学习，尤其是代数数论，抽象代数（尤其是环论、域论）是关键。
图论：基础图论可以独立学习。但要深入学习，尤其是谱图论，高等代数（线性代数）是关键。抽象代数在研究图的对称性或特定构造时有用。
那么，是不是就得“先”学？
这取决于你的学习目标和路径。
1. 目标是掌握基础数论和图论，并应用于算法、编程等领域：你可以不必先学抽象代数和高等代数。直接进入数论和图论的基础概念和算法学习，你会发现它们本身就很有趣且实用。很多算法题、编程挑战就要求掌握这些。
2. 目标是深入理解数学理论，进行数学研究，或者接触更前沿的领域：那么强烈建议你至少将高等代数（线性代数）学扎实。对于数论，如果想走代数数论这条路，抽象代数（群、环、域）是必修课。
3. 并行学习：你也可以选择并行学习。比如，在学习图论的同时，开始学习高等代数。当遇到图论中需要矩阵表示或谱分析的地方，你会发现高等代数的学习为之铺垫了道路。同样，在学习数论时，可以初步接触模运算，然后学习抽象代数中的环和理想，再回头看模运算，会有更深的理解。
为什么建议学了再学？
更深刻的理解：高等代数提供了分析图的“代数工具箱”（矩阵、特征值），抽象代数提供了分析数的“结构框架”（群、环、域）。拥有这些工具和框架，你对数论和图论的理解会从“怎么做”上升到“为什么这么做”，从“具体例子”上升到“普遍规律”。
解决更复杂的问题：很多高级的数论问题和图论问题，其解决方法本身就建立在抽象代数和高等代数之上。没有这些基础，很多文献或研究课题你可能根本无法理解。
触类旁通：学好抽象代数和高等代数，它们在数学的其他分支（如群论、拓扑学、表示论、概率论等）也有广泛应用。一旦掌握了这些“底层语言”，你学习其他数学领域会更容易。
学习效率：虽然可以分开学习，但如果知识是相互关联的，同时或在合适的时候学习，往往会形成“1+1>2”的效果。比如，学习了矩阵后，再去看图的邻接矩阵，会觉得非常自然；学习了环后，再看整数环$mathbb{Z}$，会发现其性质的根源。
我的个人经验（如果允许的话，这部分会更“人”一点）：
我学图论的时候，一开始就是各种算法，BFS, DFS, Dijkstra, Prim，这些都是直接能用的。但后来遇到一些关于图的“性质”问题，比如图的连通性与特征值之间的关系，或者处理大规模网络时，感觉直接用算法难以深入，直到学了线性代数，特别是矩阵和特征值分解，才真正打开了谱图论的大门。那感觉就像，之前是拿到一个锁，硬猜密码，现在是学会了开锁的原理，直接就能打开。
数论方面，我一开始学的是基础数论，素数定理、费马小定理这些，完全没问题。但当我想去理解一些数论中的“结构”，比如二次互反律的更深刻的证明，或者想研究椭圆曲线（它在现代数论和密码学中非常重要），就发现离不开代数数论，而代数数论的基石就是抽象代数。没有群、环、域的概念，很多证明逻辑会变得非常晦涩。
总而言之，
如果你只是想了解数论和图论的一些基本概念和算法，它们完全可以独立入门。但如果你想更深入地研究，或者理解这些理论的“骨架”，那么高等代数（线性代数）对于图论来说是极其重要的基础，而抽象代数（群、环、域）对于深入理解数论（尤其是代数数论）来说是不可或缺的。
我的建议是：先对数论和图论的基础知识有个大致了解，然后将高等代数（线性代数）作为学习图论的重点推进。同时，如果对数论的代数性质感兴趣，那么尽早开始抽象代数的学习，并将其与数论中的同余、整数性质等联系起来。 这样做，可以让你在学习过程中，随着知识的深入，自然而然地看到这些学科之间的联系，并且在学习效率和理解深度上都获得更大的提升。
网友意见
说说图论。
传统的图论（结构图论）跟代数学关系很小，用到的工具主要是组合证明技巧（归纳构造，极端原理，算两次之类），以及图论自己的那套体系（比如Menger定理和最大流最小割定理，很多图论问题用这套定理转一下就解了并且还有算法）。学这些不需要代数知识。
不过图论还有一个方向叫代数图论（说广一点吧，代数组合）。里面是用线性代数和抽象代数的工具研究组合问题。研究哪些问题呢？图上的随机游走，树上的计数(matrix-tree等等），整数分拆和杨表，以及题主提到的群作用下的计数(Polya定理)。这个方向肯定要求你有一点代数学基础，至少基本的概念要明白（不需要太深的代数知识，只需要概念）。话又说回来，个人觉得这些基本的代数知识比传统的结构图论简单很多，如果你能学进去传统的那套的话，学这个也应该没问题。
题主可能是MOer或者OIer。MO里面据我所知，代数组合的东西似乎是很少见的；但是OI里面，拜一些出题人所赐，现在这种题目很常见，应该说是必须掌握的内容了。去年信息学冬令营(WC2019)考察了树上的计数，今年的IOI集训队论文里面也有好几篇是讲代数组合的。
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