根据相对论，中国空间站三个月比地面能慢多少时间？
首先，咱们得说说狭义相对论里的时间膨胀效应。简单来说，就是运动速度越快，时间过得就越慢。中国空间站绕着地球转，它的速度可是相当快的，每秒钟大概有7.66公里（大约27576公里每小时）。你可能觉得这听起来不至于慢多少，但别忘了，光速可是每秒将近30万公里。空间站的速度即使只有光速的万分之几，累积起来也会产生微小但可测的时间差异。
狭义相对论的时间膨胀公式是这样的：$T' = T / sqrt{1 v^2/c^2}$，其中$T'$是我们观察到的时间（在地面上），$T$是运动物体上的时间，$v$是运动速度，$c$是光速。由于空间站的速度远小于光速，我们可以用一个近似公式来计算这个时间差。速度越大，$v^2/c^2$就越大，$sqrt{1 v^2/c^2}$就越小，所以$T'$就越大于$T$。换句话说，空间站上的时间$T$比地面上的时间$T'$要慢。
具体到空间站，它的速度大约是7.66公里/秒。光速是299792.458公里/秒。所以，$v/c$ 大约是 $7.66 / 299792.458 approx 2.55 imes 10^{5}$。
那么，$v^2/c^2$ 大约就是 $(2.55 imes 10^{5})^2 approx 6.5 imes 10^{10}$。
狭义相对论的时间膨胀因子是 $1/sqrt{1 v^2/c^2}$。对于这么小的$v^2/c^2$值，我们可以用泰勒展开近似计算，即 $1 + frac{1}{2} frac{v^2}{c^2}$。
所以，时间膨胀的比例大约是 $1 + frac{1}{2} imes 6.5 imes 10^{10} = 1 + 3.25 imes 10^{10}$。
这意味着，每过一秒钟，空间站的时间就比地面慢大约 $3.25 imes 10^{10}$ 秒。
接下来，我们再看看广义相对论的效应。广义相对论说的是，引力场越强，时间流逝得越慢。空间站虽然在绕着地球转，但它离地球的中心比我们在地面上要远得多。地球的引力在空间站那里当然也存在，但强度要比地表弱一些。这个效应跟狭义相对论的效应是相反的，因为它会让空间站上的时间 过得更快 一点点。
广义相对论的时间膨胀公式（在地表与高处的比对）可以简化理解为：$T' = T sqrt{1 2GM/(rc^2)}$，其中$G$是引力常数，$M$是地球质量，$r$是到地球中心的距离，$c$是光速。这个公式表示，在引力场中，$r$越小（离中心越近），引力势能越负，时间就过得越慢。反之，离中心越远，$r$越大，引力场越弱，时间就过得越快。
空间站的高度大约是400公里，而地球半径是约6371公里。所以，空间站到地心的距离大约是 $r_{space} = 6371 + 400 = 6771$ 公里。我们地面的时间是相对于地球表面来算的，假设我们就在一个“平均”高度上。
地球的质量$M approx 5.972 imes 10^{24}$千克，引力常数$G approx 6.674 imes 10^{11} ext{ N m}^2/ ext{kg}^2$，光速$c approx 299792458$ 米/秒。
首先计算地球引力场的强度参数 $GM/c^2$：
$GM/c^2 = (6.674 imes 10^{11} ext{ N m}^2/ ext{kg}^2 imes 5.972 imes 10^{24} ext{ kg}) / (299792458 ext{ m/s})^2 approx 0.007059$ 米。
现在算算空间站和地面（我们以平均半径$r_{ground} approx 6371$公里 = $6.371 imes 10^6$米为例）的引力时间膨胀因子。
空间站到地心的距离是 $r_{space} approx 6.771 imes 10^6$ 米。
地面引力时间膨胀因子（相对于无限远的地方）：$1 GM/(r_{ground}c^2)$
空间站引力时间膨胀因子（相对于无限远的地方）：$1 GM/(r_{space}c^2)$
广义相对论效应导致的时间差（地面比空间站快）可以用近似公式：
$Delta t_{GR} approx frac{GM}{c^2} (frac{1}{r_{space}} frac{1}{r_{ground}}) imes T$
$Delta t_{GR} approx 0.007059 ext{ m} imes (frac{1}{6.771 imes 10^6 ext{ m}} frac{1}{6.371 imes 10^6 ext{ m}}) imes T$
$Delta t_{GR} approx 0.007059 imes (1.4768 imes 10^{7} 1.5696 imes 10^{7}) imes T$
$Delta t_{GR} approx 0.007059 imes (0.0928 imes 10^{7}) imes T$
$Delta t_{GR} approx 6.55 imes 10^{10} imes T$
这里的负号表示，地面上的时间（相对于高处）是更慢的。换句话说，在地面上时间过得比空间站慢，这是由于引力较强的缘故。这个效应让空间站上的时间比地面过得快了约 $6.55 imes 10^{10}$ 秒/秒。
现在我们把这两个效应合起来看。
狭义相对论效应：空间站时间比地面慢 $3.25 imes 10^{10}$ 秒/秒。
广义相对论效应：空间站时间比地面快 $6.55 imes 10^{10}$ 秒/秒。
总的时间差是两者相加：
总时间差（每秒） $approx (6.55 imes 10^{10}) (3.25 imes 10^{10}) approx 3.3 imes 10^{10}$ 秒/秒。
这意味着，空间站上的时间，每过一秒，比地面上的时间快了大约3.3乘10的负10次方秒。
问题是问“慢多少”，所以我们算地面比空间站慢多少，就是 $3.3 imes 10^{10}$ 秒/秒。
现在我们来看三个月。三个月大概是90天，也就是 $90 ext{天} imes 24 ext{小时/天} imes 3600 ext{秒/小时} approx 7.776 imes 10^6$ 秒。
那么，三个月下来，地面比空间站总共慢的时间就是：
总慢时间 $approx (3.3 imes 10^{10} ext{ 秒/秒}) imes (7.776 imes 10^6 ext{ 秒})$
总慢时间 $approx 2.566 imes 10^{3}$ 秒。
所以，根据相对论的计算，中国空间站运行三个月，地面上的人会比空间站里的人多经历大约 0.002566 秒，也就是差不多是千分之二点五秒。
这个时间差非常非常小，小到我们日常生活中几乎无法察觉。但是，它确实存在，而且是可以用高精度原子钟测量出来的。所以，下次你听到说宇航员从太空回来时间会“变慢”时，你就可以知道，这是个真事儿，只不过通常情况下，这个“慢”的幅度微乎其微。这种效应在GPS卫星等需要极高精度的导航系统中就非常重要，如果不考虑相对论效应，GPS的定位就会出现巨大的误差。
网友意见
2021-06-22：
根据爱因斯坦广义相对论场方程的史瓦西真空解： ，可以近似推导出空间站与地面的时间差表达式为
，
取万有引力常数 ，地球质量，光速 ，地球赤道半径 ，中国空间站高度400~450km，取平均425km，则空间站到地心的距离 ，地球赤道线速度 ，空间站运行速度 ，中国空间站累计时间 （以90天计），得 。
由 公式可见，方括号中第一项表示的是狭义相对论效应，为正，说明狭相效应使时间流逝变慢，三个月能慢2.6ms；第二项是广义相对论效应，为负，说明广相效应使时间流逝变快，三个月能快0.34ms。综合起来为正，说明整体上空间站时间流逝变慢。
另外，因为地球近似为椭球体，赤道相比中高纬度地区虽然线速度更大，但是因为隆起，引力势更小，在计算狭义、广义相对论效应时效果正好抵消，所以采用赤道半径和线速度不影响计算结果，对中国地区同样适用。
所以，根据相对论，中国空间站三个月比地面能慢2.3ms。
另外，扩展着说些内容。
（1）平均下来，中国空间站每天比地面能慢25.4 。别小看这点时间差异，如果不修正，那么理论上基于自身解算的定位误差每天将达到7.6km，3个月误差累计达到686km。因此相对论对时间的修正极其重要。
（2）相对论修正中狭相占主要成分还是广相占主要成分，要看航天器的运行高度。结合万有引力公式和圆周运动向心力公式，简单推导可得上述二效应相当（时间流逝快慢相抵）的航天器运行半径 ，即在距离地面高度约3173km处，时间流逝速度与地面相同。当航天器运行轨道低于此高度时，时间流逝比地球慢，狭义相对论效应占主要成分；当航天器运行轨道高于此高度时，时间流逝比地球快，广义相对论效应占主要成分。运行高度在数万公里的北斗、GPS导航卫星，它们的时间流逝都比地球快。
2021-06-27：
鉴于@李平 的建议，周末抽空用Kerr解来分析一下。
因为地球存在自转，有自转角动量，但基本认为整体电荷为0，因此可以用Kerr度规来分析。几何单位制下，以Boyer-Lindquist坐标写出Kerr真空解为
， ， 。
近似认为空间站在一定高度圆形轨道飞行，地球表面位置也同样为圆形轨道，则 。
为了便于计算，写出Kerr真空解在 条件下的国际单位制形式：
， ， 。
当然，如果令地球单位质量角动量 ，则Kerr真空解退化为Schwarzschild真空解。Schwarzschild解是静态球对称解，Kerr解是稳态轴对称解。
我们考虑一般情况：计算地球单位质量角动量 ， 为地球自转角速度；中国空间站的轨道倾角为42°~43°，取平均值 ， 空间站横向角速度分量 ， 纵向角速度分量 （将坐标时t替换成地面固有时 ，对速度的影响不到 倍，不会对计算带来超出精度要求的影响。）； 随运行过程均发生变化， ， 。
则固有时与坐标时比值的平方 。
则空间站与地面时间差 （因 ）。
因计算过程与空间站的 有关，所以每时每刻空间站时间流逝与地面时间流逝的比值是不断变化的。空间站在赤道与最高能到达的纬度42.5°之间时间流逝速度见下图。
以空间站在赤道上空的时间流逝速度为准，一天下来比地面能慢 ；以在（南）北纬42.5°上空的时间流逝速度为准，一天下来比地面能慢 。平均下来，中国空间站一天比地面能慢 ，三个月能慢 。
2021-06-28：
略去高阶小量，可以近似推导出基于Kerr真空解的空间站与地面时间差 。
与施瓦西解相比，Kerr解除了有狭义相对论效应项和广义相对论效应项以外，还有第3项，为狭相、广相效应耦合项。需要指出的是，由于大量使用略去高阶小量的操作，上式关于 与 的函数关系已与原方程明显不同，但结果近似。
在计算角速度时，如果不直接用 替换 ，则应在角速度后配上系数 ，即
， 、 为代入地球赤道半径 的值。
解关于 的二次方程，得 （舍去负值解）。
求出 后，再带入原方程求出 ，便可进一步得到该问题的最终解。可以看到，这样不换元直接求解非常繁琐，而结果的精度并没有显著改变，所以一般采用 替换 的方式求解。
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