这张算数入门图（一只兔子加一只兔子）里的题在算什么？

这幅图呀，说白了就是关于“加法”这门学问的开端。它用了一个特别直观的方式，来告诉你“加法”到底是什么意思，以及它是怎么运作的。

咱们来拆解一下，看图里有什么：

首先，最显眼的是那只毛茸茸的兔子，它孤零零地站在那里。这只兔子，你可以把它看作是一个“数量”的代表，也就是“一”。在算数里，我们用数字来表示数量，所以这只兔子就代表了数字“1”。

然后，画面里又出现了一只一模一样的兔子，它也孤零零地站在那里。同样地，这只兔子也代表了“一”，也就是另一个数字“1”。

接着，你会看到一个显眼的“+”号，就夹在两只兔子中间。这个“+”号，就是加法的符号，它告诉我们接下来要做的事情——“合并”、“放在一起”、“数一数总共有多少”。

最后，在“+”号的右边，你会看到一个小小的等号“=”，然后是一个空白的地方。这个等号就表示“等于”，它告诉我们前面两个数量合并之后，总共是多少。而后面的空白地方，就是要我们填上答案的地方。

所以，这幅图真正想告诉你的事情，就是这样一个过程：

1. 我们有两个东西，每个东西的数量都是“一”。 图里就是两只兔子，每只算一只。
2. 我们要把这两个东西“加起来”。 这里的“加”不是简单的放在一起，而是要把它们合并成一个整体，然后数一数合并之后有多少。
3. 数一数总共有多少。 当你把这两只兔子放在一起数的时候，你会发现，哦，一共有两只了。
4. 把结果填到等号后面。 所以，在这个例子里，答案就是“二”。

这幅图就像一个特别温柔的老师，用最简单易懂的方式，把加法的概念植入到我们心里。它不是直接给你一个冰冷的“1 + 1 = 2”，而是让你通过看到具体的、可爱的兔子，去理解“一”和“一”合在一起，就变成了“二”这个事实。

说白了，这幅图就在教你“数的合并”和“数量的增长”。当你把一个数量和另一个数量放在一起时，总的数量会怎么变化。这正是加法最核心的意义所在。对于刚开始接触算数的小朋友来说，这种具象化的教学方式，比任何抽象的数字符号都来得更容易理解和接受。它用最生活化的场景，开启了他们对数字世界的好奇和探索。

网友意见

@Kushim Jiang 给出了图中第一个公式的证明，下面证明第二个公式（即连续形式的Stirling公式）

由图可知， 所以

而根据离散形式的Stirling公式，有：

其中 为某待定常数， 为周期延拓的一阶伯努利多项式。现在再根据Gamma函数的极限定义^[1]，得：

求对数，便有：

对于红色部分，利用(1)可得：

对于蓝色部分，带入欧拉-麦克劳林公式（Euler-Maclaurin formula），得：

红减蓝，得：

回代至(2)，得（定义 ）：

令 便有：

对于绿色积分，我们很容易得出：

带入回去我们便得到了连续形式的Stirling公式：

确定常数A

尽管现在我们已经完成了原图内容上所有公式的推导，我们仍然对A感到好奇。为什么不顺便把它搞出来呢？

根据Gamma函数的Legendre倍元公式（Legendre's duplication formula）^[2]，有：

求对数，便得：

利用(3)，可得：

回代至(4)，便有：

现在根据 ，我们便能通过计算极限 来得到A的值：

带入回(3)，我们就得到Stirling公式的最终版本：

倘若对(4)求指数，则得Stirling近似公式（Stirling's approximation）：

参考

1. ^Gamma函数的那些事儿（1）——定义 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258
2. ^勒让德倍元公式如何证明？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/403116146/answer/1300619113

注意到 ，考虑化成 Euler–Maclaurin 求和公式的形式。

对任意闭区间 连续开区间 可导的函数 而言，

注意到图中的

考虑取 ，从而取 。于是 (1) 式特化为

由于 ，。

另外，注意到 ，从而整个公式段的 函数解析式唯一。考虑到等号左边一直是 的形式，应该在讨论 Stirling 公式之类的事情吧。

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