丁同仁常微分方程第二版2.2第五题怎么解？
好的，我们来详细解析一下丁同仁《常微分方程》第二版中第2.2节的第五题。这道题通常是关于求解一阶线性非齐次常微分方程的初值问题。为了让你有更清晰的理解，我会尽量从基础概念入手，一步一步地讲解解题思路和具体步骤。
首先，我们假设这道题是形如这样的标准形式：
$$y' + p(x)y = q(x)$$
其中 $y$ 是关于 $x$ 的未知函数，$p(x)$ 和 $q(x)$ 是已知函数，$y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的一阶导数。
题目通常会给出一个具体的方程和初值条件。 例如，一个典型的题目可能是：
求解初值问题：$y' frac{1}{x}y = x^2$ ， $y(1) = 2$
解题步骤解析：
这类型的一阶线性非齐次常微分方程，我们一般采用积分因子法来求解。这个方法的核心思想是，将原方程变形，使其左边能够写成某个函数乘以 $y$ 的导数的形式，从而方便地进行积分。
第一步：确定方程的形式，并找到积分因子。
首先，我们需要将给定的方程化为标准形式：$y' + p(x)y = q(x)$。
在上面的例子中，$y' frac{1}{x}y = x^2$ 已经是标准形式了。
这里，$p(x) = frac{1}{x}$ 并且 $q(x) = x^2$。
接下来，我们要计算积分因子 $mu(x)$。积分因子定义为：
$$mu(x) = e^{int p(x) dx}$$
这个 $int p(x) dx$ 是 $p(x)$ 的一个不定积分。在计算积分因子时，我们通常会选择一个最简的形式，也就是说，常数项可以省略（因为最终会约去）。
对于我们的例子：
$p(x) = frac{1}{x}$
$int p(x) dx = int frac{1}{x} dx = ln|x|$
为了方便，我们通常会选择 $x > 0$ 的情况，所以可以写成 $ln x$。
那么，积分因子 $mu(x)$ 就是：
$mu(x) = e^{ln x} = e^{ln(x^{1})} = x^{1} = frac{1}{x}$
第二步：将原方程两边同乘以积分因子。
将方程 $y' frac{1}{x}y = x^2$ 的两边都乘以积分因子 $mu(x) = frac{1}{x}$:
$$(frac{1}{x})y' (frac{1}{x})(frac{1}{x})y = (frac{1}{x})x^2$$
化简后得到：
$$frac{1}{x}y' frac{1}{x^2}y = x$$
第三步：识别左边是某个乘积的导数。
仔细观察左边：$frac{1}{x}y' frac{1}{x^2}y$。
这正好是 $frac{d}{dx}(frac{1}{x}y)$ 的展开形式。
我们可以用乘积法则来验证：
$frac{d}{dx}(frac{1}{x}y) = (frac{1}{x})' y + frac{1}{x} y' = (frac{1}{x^2})y + frac{1}{x}y' = frac{1}{x}y' frac{1}{x^2}y$。
所以，方程可以写成：
$$frac{d}{dx}(frac{1}{x}y) = x$$
第四步：对两边进行积分。
现在方程的左边是 $frac{1}{x}y$ 的导数，右边是 $x$。我们可以对两边关于 $x$ 进行积分：
$$int frac{d}{dx}(frac{1}{x}y) dx = int x dx$$
左边的积分很容易，直接得到 $frac{1}{x}y$。
右边的积分是 $frac{1}{2}x^2 + C$，其中 $C$ 是积分常数。
所以，我们得到：
$$frac{1}{x}y = frac{1}{2}x^2 + C$$
第五步：求解 $y(x)$。
为了得到 $y(x)$ 的表达式，我们将方程两边同乘以 $x$:
$$y(x) = x(frac{1}{2}x^2 + C)$$
$$y(x) = frac{1}{2}x^3 + Cx$$
这是该微分方程的通解。
第六步：利用初值条件确定常数 $C$。
题目给出了初值条件 $y(1) = 2$。这意味着当 $x=1$ 时，$y$ 的值为 $2$。
我们将这个条件代入通解：
$2 = frac{1}{2}(1)^3 + C(1)$
$2 = frac{1}{2} + C$
解出 $C$:
$C = 2 frac{1}{2} = frac{3}{2}$
第七步：写出特解。
将求出的 $C$ 值代回到通解中，就得到了满足初值条件的特解：
$$y(x) = frac{1}{2}x^3 + frac{3}{2}x$$
总结一下整个解题流程：
1. 标准化方程： 将给定的方程化为 $y' + p(x)y = q(x)$ 的形式。
2. 计算积分因子： 求出 $mu(x) = e^{int p(x) dx}$。
3. 乘以积分因子： 将标准形式方程两边同乘以 $mu(x)$。
4. 识别导数形式： 确认左边可以写成 $frac{d}{dx}(mu(x)y)$ 的形式。
5. 积分求解： 对方程两边积分，得到 $mu(x)y = int mu(x)q(x) dx + C$。
6. 分离 $y$： 求出通解 $y(x) = frac{1}{mu(x)} (int mu(x)q(x) dx + C)$。
7. 应用初值条件： 将给定的初值代入通解，求解出常数 $C$。
8. 写出特解： 将 $C$ 的值代回通解，得到满足初值问题的特解。
一些需要注意的点：
积分常数 $C$ 的处理： 在计算积分因子时，常数项可以省略；但在求解通解时，积分常数 $C$ 是必不可少的。
定义域的考虑： 如果 $p(x)$ 或 $q(x)$ 在某个区间内有定义，那么解也是在该区间内有效的。例如，例子中的 $p(x) = frac{1}{x}$，它在 $x=0$ 处没有定义，所以我们的解是在 $x eq 0$ 的区间上有效的。初值条件通常会指定一个区间，解也应该在该区间内。
其他求解方法： 除了积分因子法，对于一些特殊形式的一阶线性非齐次方程，也可以用常数变易法（即假设特解形式为 $y_p(x) = C(x)y_h(x)$，其中 $y_h(x)$ 是对应齐次方程的通解）来求解。不过，积分因子法通常是更为通用的方法。
如果你的题目是其他形式的，但仍然是一阶线性非齐次方程，请提供具体的题目，我可以根据你的题目进行更精确的解答。希望这个详细的解释能帮助你理解这道题的解法！
首先，我们假设这道题是形如这样的标准形式：
$$y' + p(x)y = q(x)$$
其中 $y$ 是关于 $x$ 的未知函数，$p(x)$ 和 $q(x)$ 是已知函数，$y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的一阶导数。
题目通常会给出一个具体的方程和初值条件。 例如，一个典型的题目可能是：
求解初值问题：$y' frac{1}{x}y = x^2$ ， $y(1) = 2$
解题步骤解析：
这类型的一阶线性非齐次常微分方程，我们一般采用积分因子法来求解。这个方法的核心思想是，将原方程变形，使其左边能够写成某个函数乘以 $y$ 的导数的形式，从而方便地进行积分。
第一步：确定方程的形式，并找到积分因子。
首先，我们需要将给定的方程化为标准形式：$y' + p(x)y = q(x)$。
在上面的例子中，$y' frac{1}{x}y = x^2$ 已经是标准形式了。
这里，$p(x) = frac{1}{x}$ 并且 $q(x) = x^2$。
接下来，我们要计算积分因子 $mu(x)$。积分因子定义为：
$$mu(x) = e^{int p(x) dx}$$
这个 $int p(x) dx$ 是 $p(x)$ 的一个不定积分。在计算积分因子时，我们通常会选择一个最简的形式，也就是说，常数项可以省略（因为最终会约去）。
对于我们的例子：
$p(x) = frac{1}{x}$
$int p(x) dx = int frac{1}{x} dx = ln|x|$
为了方便，我们通常会选择 $x > 0$ 的情况，所以可以写成 $ln x$。
那么，积分因子 $mu(x)$ 就是：
$mu(x) = e^{ln x} = e^{ln(x^{1})} = x^{1} = frac{1}{x}$
第二步：将原方程两边同乘以积分因子。
将方程 $y' frac{1}{x}y = x^2$ 的两边都乘以积分因子 $mu(x) = frac{1}{x}$:
$$(frac{1}{x})y' (frac{1}{x})(frac{1}{x})y = (frac{1}{x})x^2$$
化简后得到：
$$frac{1}{x}y' frac{1}{x^2}y = x$$
第三步：识别左边是某个乘积的导数。
仔细观察左边：$frac{1}{x}y' frac{1}{x^2}y$。
这正好是 $frac{d}{dx}(frac{1}{x}y)$ 的展开形式。
我们可以用乘积法则来验证：
$frac{d}{dx}(frac{1}{x}y) = (frac{1}{x})' y + frac{1}{x} y' = (frac{1}{x^2})y + frac{1}{x}y' = frac{1}{x}y' frac{1}{x^2}y$。
所以，方程可以写成：
$$frac{d}{dx}(frac{1}{x}y) = x$$
第四步：对两边进行积分。
现在方程的左边是 $frac{1}{x}y$ 的导数，右边是 $x$。我们可以对两边关于 $x$ 进行积分：
$$int frac{d}{dx}(frac{1}{x}y) dx = int x dx$$
左边的积分很容易，直接得到 $frac{1}{x}y$。
右边的积分是 $frac{1}{2}x^2 + C$，其中 $C$ 是积分常数。
所以，我们得到：
$$frac{1}{x}y = frac{1}{2}x^2 + C$$
第五步：求解 $y(x)$。
为了得到 $y(x)$ 的表达式，我们将方程两边同乘以 $x$:
$$y(x) = x(frac{1}{2}x^2 + C)$$
$$y(x) = frac{1}{2}x^3 + Cx$$
这是该微分方程的通解。
第六步：利用初值条件确定常数 $C$。
题目给出了初值条件 $y(1) = 2$。这意味着当 $x=1$ 时，$y$ 的值为 $2$。
我们将这个条件代入通解：
$2 = frac{1}{2}(1)^3 + C(1)$
$2 = frac{1}{2} + C$
解出 $C$:
$C = 2 frac{1}{2} = frac{3}{2}$
第七步：写出特解。
将求出的 $C$ 值代回到通解中，就得到了满足初值条件的特解：
$$y(x) = frac{1}{2}x^3 + frac{3}{2}x$$
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1. 标准化方程： 将给定的方程化为 $y' + p(x)y = q(x)$ 的形式。
2. 计算积分因子： 求出 $mu(x) = e^{int p(x) dx}$。
3. 乘以积分因子： 将标准形式方程两边同乘以 $mu(x)$。
4. 识别导数形式： 确认左边可以写成 $frac{d}{dx}(mu(x)y)$ 的形式。
5. 积分求解： 对方程两边积分，得到 $mu(x)y = int mu(x)q(x) dx + C$。
6. 分离 $y$： 求出通解 $y(x) = frac{1}{mu(x)} (int mu(x)q(x) dx + C)$。
7. 应用初值条件： 将给定的初值代入通解，求解出常数 $C$。
8. 写出特解： 将 $C$ 的值代回通解，得到满足初值问题的特解。
一些需要注意的点：
积分常数 $C$ 的处理： 在计算积分因子时，常数项可以省略；但在求解通解时，积分常数 $C$ 是必不可少的。
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其他求解方法： 除了积分因子法，对于一些特殊形式的一阶线性非齐次方程，也可以用常数变易法（即假设特解形式为 $y_p(x) = C(x)y_h(x)$，其中 $y_h(x)$ 是对应齐次方程的通解）来求解。不过，积分因子法通常是更为通用的方法。
如果你的题目是其他形式的，但仍然是一阶线性非齐次方程，请提供具体的题目，我可以根据你的题目进行更精确的解答。希望这个详细的解释能帮助你理解这道题的解法！
网友意见
题目(丁, 2.2/5题) 设微分方程
其中 在 的某邻域（例如区间 ）内连续， 在所考虑的区间连续，而且 则在直线 上的每一点，方程(1)的解都是局部唯一的，当且仅当瑕积分
证明：“ ”: 设 其中 都是待定的数. 显然 就是(1)的解. 假设(1)有另一个不同的解 . 不妨设 (根据这样设是合理的). 取 使得 考虑
则 可微，且
根据可知 在区间 内是单射. 改写(2)式为 , 对(2)式在区间 上积分，可得
(3)式右边小于正无穷是因为 连续. 因此对(3)式左边换元 (注意这里 是这个区间内的单射, 所以才可以这样换元). 那么 与条件矛盾.
“ ”: 没想好
【参考】Osgood定理. 见@inversioner 的
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