如何通俗地解释因子分析？

好嘞，咱们来唠唠因子分析这玩意儿，保证讲得明明白白，就像平时跟朋友聊天一样，绝对没那种机器硬邦邦的感觉。

想象一下，咱们平时接触到的信息，那叫一个五花八门。比如，你去商场买衣服，你会关注价格、款式、品牌、面料、颜色、剪裁，是不是？然后你可能还会考虑这个牌子是不是流行，穿着舒不舒服，值不值这个价，等等等等。这些东西零零散散的，数量也挺多。

然后呢，你回家了，你可能还要考虑今天天气怎么样，是不是要洗衣服，明天有没有考试，作业写完了没，晚饭吃什么，是不是得陪爸妈聊聊天…… 同样，信息一大堆，乱七八糟的。

我们人脑子里有个特聪明的小技巧，就是自动地把这些零散的信息给“归类”或者“提炼”出一个更核心、更概括的概念来。比如，你看到一件衣服，关注了价格、品牌、款式，你可能会一下子想到：“这件衣服挺贵的，是个大牌子。” 你就不需要把价格、品牌、款式这三个信息分别拿出来思考，而是直接得到了一个“高档”或者“奢侈”的印象。再比如，你今天觉得天气不错，又觉得心情挺好，那可能你就会想：“今天真是个好日子。” 这就是把“天气好”和“心情好”这两个信息整合成了“好日子”这个更高级的概念。

因子分析，说白了，就是把我们脑子里这种自动归类、提炼信息的能力，用一种数学工具给它模拟出来。

咱们还是拿买衣服的例子。你说，我关注了价格、款式、品牌、面料、颜色、剪裁，这都是我能直接看到或者感受到的东西，我们把它们叫做“观测变量”。就好比你手里拿着这些信息点，一个一个地在研究。

但是呢，你心里可能隐隐约约觉得，这些变量之间好像有点关联。比如，价格高的衣服，款式和品牌可能也比较讲究；面料好的衣服，剪裁一般也不会差。这些关联性，就说明它们背后可能隐藏着一些更本质、更根本的东西，是我们直接看不见的，但却影响着这些观测变量的。

因子分析就是想找出这些“幕后老板”，把它们叫做“潜在因子”或者“公共因子”。

打个比方，你去看医生，医生会问你很多问题：头疼不疼？嗓子疼不疼？有没有流鼻涕？咳嗽不咳嗽？有没有发烧？这些都是医生可以问你、你能感受到的“观测变量”。但医生通过这些信息，能判断出你是不是感冒了，或者是不是得了什么别的病。这个“感冒”或者“得了什么病”，就是那个隐藏在背后的“潜在因子”。它能解释为什么你会出现头疼、嗓子疼、流鼻涕这些症状。

因子分析就是用数学的方法，把那些相互之间有点关联的“观测变量”，看作是受同一个或几个“潜在因子”影响的结果。它做的就是，从你给它的一堆数据（比如你对很多衣服的评价，包括价格、款式、品牌等等），去反推出这些“潜在因子”到底是什么，以及每个“观测变量”在多大程度上受到了这些“潜在因子”的影响。

所以，因子分析的核心思想就是：把一大堆看起来杂乱、但彼此之间有一定关联的观测变量，用少数几个更抽象、更本质的潜在因子来解释。就像我们看到很多细小的水流汇聚在一起，最终形成一条大河一样。

举个更具体的例子，咱们来模拟一下：

假设我们调查了一批学生对几门课程的兴趣程度，我们问了他们：

1. 对数学的兴趣
2. 对物理的兴趣
3. 对化学的兴趣
4. 对文学的兴趣
5. 对历史的兴趣
6. 对艺术的兴趣

我们发现，那些对数学、物理、化学感兴趣的学生，往往也对彼此感兴趣，他们的分数会“一起动”。同样，对文学、历史、艺术感兴趣的学生，也常常互相有兴趣，分数也会“一起动”。但是，数学、物理、化学这拨人，跟文学、历史、艺术这拨人，兴趣程度之间关联性就没那么强了。

这时候，我们就可以怀疑，是不是有两个“潜在因子”在起作用？

潜在因子一：理科倾向 —— 这个因子能很好地解释为什么一个人对数学、物理、化学都感兴趣。
潜在因子二：文科倾向 —— 这个因子能很好地解释为什么一个人对文学、历史、艺术都感兴趣。

因子分析就能帮我们做这件事。它会分析你的数据，然后告诉你：

“数学兴趣”这个变量，有很大一部分（比如80%）是受到‘理科倾向’这个因子的影响，可能还有一小部分（比如10%）是受到‘文科倾向’的影响（也许有些学霸文理皆通）。”
“文学兴趣”这个变量，大概70%是受‘文科倾向’的影响，20%受‘理科倾向’的影响。”

这样一来，原来我们有6个观测变量，现在我们只需要用2个更抽象的“潜在因子”就能大致概括和解释这些学生的兴趣结构了。这就大大简化了问题，也让我们更深入地理解了学生兴趣的本质。

为什么要做因子分析呢？它有什么好处？

1. 降维（Dimensionality Reduction）：就像我们上面说的，把6个变量变成2个因子，这是最直观的好处。当你的数据里变量太多时，因子分析可以帮助你把它们浓缩成几个关键的维度，让分析和理解变得更容易。想象一下，你要分析一本厚厚的百科全书，直接看肯定头大，但如果你能提炼出它的核心主题和章节，就容易多了。

2. 识别潜在结构：有时候，我们并不知道数据背后隐藏着什么。因子分析可以帮助我们“挖”出这些看不见的结构，发现变量之间的深层联系。比如在市场研究中，我们调查消费者对很多产品属性的偏好，因子分析可能能找出几个关键的“购买动机”或者“消费群体特征”。

3. 变量筛选和构建复合指标：当你发现某几个观测变量高度相关，并且都受到同一个因子的强烈影响时，你就可以从中选择一个代表性的变量，或者把它们整合成一个复合指标来代表那个因子。这样可以减少冗余，提高分析的效率。

4. 构建问卷和量表：在心理学、教育学等领域，设计问卷来测量一些抽象的概念（比如“人格”、“满意度”、“学习动机”）时，因子分析非常有用。你可以先设计出很多个可能相关的题目（观测变量），然后通过因子分析来检验这些题目是否真的能衡量出你想要测量的那个“潜在概念”。如果很多题目都高度集中在一个因子上，说明它们可能都在测量同一个潜在的东西。

因子分析也不是万能的，它有一些前提和假设，需要注意：

变量是连续的：因子分析通常要求你的观测变量是连续型的（比如分数、身高、温度），或者至少可以近似地看作连续的。
变量之间需要有一定程度的相关性：如果你的变量之间一点关系都没有，那因子分析就没什么意义了，因为没有“共同的因子”可以被挖掘。
样本量要足够大：一般来说，样本量越大，因子分析的结果越可靠。
需要进行主观判断：虽然因子分析有很多数学算法来提取因子，但最终如何解释这些因子（比如给因子起名字，判断哪个变量属于哪个因子）还需要研究者结合专业知识进行主观判断。

最后，再来打个比方，让大家有个更直观的感受：

想想你玩一个大型RPG游戏，里面有很多角色属性，比如力量、敏捷、智力、耐力、魔法值、魔法回复速度、攻击力、防御力、闪避率等等。这些都是你直接能看到的“观测变量”。

但是，你会发现，有些属性是“天生一对”的。比如力量、敏捷、耐力，可能都受到“体质”这个隐藏属性的影响；而智力、魔法值、魔法回复速度，可能都受到“精神”或者“智力资质”这个隐藏属性的影响。

因子分析就像是你通过观察所有角色的这些具体属性表现，然后反推出“体质”和“精神”这两个更基础、更核心的隐藏属性。它能告诉你，某个角色之所以力量、敏捷都很高，是因为他的“体质”好；某个角色之所以魔法值高、魔法回复快，是因为他的“精神”高。

它帮助我们从一堆细枝末节的属性数据里，提炼出几个更重要的“根本原因”或者“发展方向”，让我们能更好地理解这个游戏角色系统的设计逻辑。

总的来说，因子分析就是一种强大的数据分析工具，它像一位“洞察者”，能够从看似杂乱无章的观测数据中，发现背后隐藏的、更简洁、更本质的规律和结构。它不仅仅是数学游戏，更是帮助我们理解世界、简化复杂问题的一种智慧。

希望这样解释，能让你对因子分析有个更清晰、更贴近生活的认识！

网友意见

1、一个例子

上面是论文的原文。

标题：基于Probit-AISM模型的生态农业采纳行为分析 ——以湖南省298户小农户为例

作者田伟，魏雪

论文干的事就是她的摘要。

为探究小农户采纳生态农业的行为选择, 利用Probit方法分析小农户是否采纳生态农业的因素, 运用AISM 模型评估影响因素的层级划分及内部影响关系。结果表明, 农业年收入、学历层次、农业收入占比、健康状况、认知能力、邻里效应、合作社、技术培训、政策感知对小农户生态农业采纳行为有显著正向影响, 年龄对小农户采纳生态农业行为存在显著负向影响。其中, 户主年龄和邻里效应为根源性因素, 学历层次、农业收入占比、健康状况、认知能力为潜在因素, 年收入、政策效应、参与合作社、政策认知为表层因素。

2、相关性分析、聚类、降维

第一步，就是通过调查表获得数据。298户小农户，这个是实实在在的一个个调研。

上面的意思是主要分析14个要素，即14列。

然后把数据丢到一个统计软件里面，诸如SPSS、stata中，她用的是stata.

上面是结果，然后贴出来到论文中即可。这步肯定不会错的，就按几下按钮的事。

运用Stata 16.0对数据进行Probit分析，并采用Logit 回归结果与之相比较进行稳健性检验，结果显示基本一致。如表2所示。运用Probit和Logit得到的回归结果基本一致，证明结果稳健性较好，拟合优度较高，证明数据有较强说服力。小农户农业年收入、学历层次、农业收入占比、健康状况、认知能力、邻里效应、合作社、政策补贴、技术培训对小农户采纳生态农业意愿产生正向影响，户主年龄对小农户采纳生态农业行为产生负向影响。

到了这里解释因子分析结束了。

即10个要素是紧密相关的。

3、运用AISM要素的因果性分析

上面是对抗解释结构模型自动运算的地址。

它对10个紧密相关的要素进一步分析。分析整个的因果层次的问题。

最后画了一个非常难看的对抗层级拓扑图。

然后进行解释。

总结

解释因子分析，就是最后给出若干紧密相关的因子（要素、因素）。

有了这些关键要素后，可以进一步的分析。当然后面的属于创新的内容了。

对抗解释结构模型2020年才提出来。

因子分析就是一个降维的过程，可以基于数据的，也可以基于专家一起分析。

multiple correlation coefficient 要素多的话，叫复相关分析。

https://www. real-statistics.com/mul tiple-regression/multiple-correlation-advanced/

Advanced Multiple Correlation 上面的叫高级复相关分析。

具体原理就是对称矩阵弄一下即可，这种计算成熟的一点的统计软件都可以用到。

还记得高中文理科分班的时候你是怎么做选择的吗？

班主任老师要结合学生的自身情况，帮学生推荐去文科班或者理科班。

因为老师们知道一个常识：数学、物理、化学归理科；历史、地理、政治归文科。

老师们凭借经验，得出“数学、物理、化学归理科；历史、地理、政治归文科”的过程就是因子分析的过程。

所以，老师推荐理科学科成绩好的学生去理科班，反之亦然。

而这就是因子分析的作用。

然而，我们面对陌生的数据，多数情况并没有常识做支撑，这时候就可以用因子分析，来做到经验丰富的老师才能做到的事。

因子分析实战

假设我们拿到了学生的成绩数据，大概长这样：

这里我卖个关子，隐去了学科名称，这样你就不能凭借经验“因子分析”了。

STEP1 相关系数

拿到这组数据，我们首先要看的是各个学科之间的相关关系。

如果“学科1”成绩好的人，“学科2”的成绩也不差，那么学科1、学科2就是所谓的正相关关系。

R语言中就一句话：

       pairs.panels(Final.Test.Scores)

得到这张图：

图中的数字就是相关系数，例如：左上角第一个数字0.45，代表学科1和学科2的相关系数。

相关系数取值在（-1，1）之间，数值越接近0，相关越差；越接近±1，相关越强。

这里我们看到，学科4、学科5之间有很强的相关性，0.82。

如果数据之间有较强的相关性，我们就可以把它们打包到一起作为一个值。这就是所谓的数据降维。

有较强的相关性，是我们可以做因子分析的前提条件。

STEP2 平行分析

经过上一步的相关分析我们知道，这组数据是可以打包的。

那么下一步我们面临的问题是：

这组数据可以打成几个包？（如何决定因子个数？）

R语言一句话：

       Parallel.Result<-fa.parallel(Final.Test.Scores, fm="ml")

得到这张图：

这张图我们只看两条红线中下面的那条和蓝线带三角记号的那条。

（另外两组是给主成分分析用的）

可以看到图中红线上面有3个蓝三角，意思是“这组数据打成3个包，不多不少最能说明问题”。

也就是说，3个因子能很好解释原数据。

STEP3 因子分析

准备工作完毕，接下来我们进行因子分析。

       Factor.Result<-fa(r=Final.Test.Scores, nfactors=3, rotate="promax", fm="ml")

得出以下结果：（揭示谜底）

因子负荷表

ML1 ML2 ML3
语文 0.18 0.12 0.52
数学 0.79 -0.05 0.14
英语 0.12 -0.09 0.79
物理 0.94 -0.03 -0.02
化学 0.85 -0.01 0.08
政治 -0.21 0.64 0.19
生物 0.83 0.04 0.05
历史 -0.05 0.70 0.03
地理 0.23 0.64 -0.21

这里ML1、2、3代表因子，也就是打包得到的“某类学科合集”。

而学科对应的数字是，此因子对于这个学科的“解释力”（负荷Lodings），读法类似相关系数。

同时我们可以得到每个学生，对应ML123的得分。

重点：从学生的角度讲，ML123的得分可以解读为此学生的某项天赋。

回到上文的因子负荷表，这里可以发现：

ML1对应数学、物理、化学；ML2对应政治、历史、地理；ML3对应语文、英语。

STEP4 给因子起名

ML1可以叫做“理科天赋”，ML2可以叫做“文科天赋”，ML3可以叫成“语言天赋”等等。

给因子起名的过程，其实就是解释因子的过程。

这样我们不难得出结论：

理科天赋高的学生，推荐去学理；文科、语言天赋高的学生，建议去学文。

这样我们就和经验丰富的高中老师站在了同一高度解决这个问题。

不要小瞧起名的过程，分析实际数据时，这步最难。

STEP5 画图

经过以上的分析我们已经得出了结论。

如果还需要跟别人解释你的结论的话，推荐画出图，更直观清晰。

（仅限因子为2个和3个的情况，多了画不出来了。）

3D版看不太清楚，简化成2D版：

省略了ML3“语言天赋”

横轴是文科天赋，纵轴是理科天赋，蓝色的点代表学生在此地图中的位置。

可以发现：

1. 理科之间关系更紧密；

2. 地理偏理科；

3. 语文、英语不算文科，但语文偏文科，英语远离文科。

具体怎么解读，见仁见智。

以上。

同学们，大家好，今天我来给大家讲一讲什么是因子分析，想要理解因子分析，有一个概念要先清楚，那就是 ----- 高维数据。

这天，Johnny哥冲进一个女生宿舍，对宿舍内的女生的追求者人数做了一个调查，于是得到这样一个表，这个表有两列，讲的是一个女生的颜值和追求者人数的关系。这是一个二维数据。

二维数据有什么特点呢？那就是它是可以画出来的：

如果Johnny哥再多问一些隐私话题，我们给上面的表再加一列，就变成这样：

想一想，这样的表该怎么画呢？

嘿嘿，这就需要一个三维直角坐标系了，才能把他们都画出来~

Another day，Johnny哥精虫上脑，冲进一间女生宿舍，疯狂地问了每个人7个问题，于是得到一张这样的表！

它有7列！用了7个变量来描述一个女生! 是不是很详细呀~~ 现在问题来啦~ 如何把他们画出来呢？

哈哈，答案当然是不能啦~ 这是由于我们所处的世界就是一个三维空间，超过3个维度的数据是没办法用几何方式画出来的~ 也就是说，4列以上的数据就没法画了。( Taleau用颜色，形状表示除外 ——）

于是我们想到了一个重要的概念 ---- 降维！也叫 dimension reduction!

这是什么意思呢？简单的说，就是这个数据虽然有7列，但（长相，五官，颜值），（性格，脾气），（腿长，身高）貌似说的是一件事啊！

现在让我们排好队，一个一个来！

先看（长相，五官，颜值），这三个变量，有没有可能一个高，其他两个低？

没有！

为什么？因为这三个变量存在内在的联系！长相好看，五官必然好看，五官好看，颜值必然高！所以这三个变量永远是同步变化的，

协同！协同变化！

同理（性格，脾气），性格好，脾气也好。

还有（腿长，身高），一般来说，腿越长，身高越高，没问题吧？

所以呢，我们可以对数据做如下的变换：

谁来给我说说，这样的好处是什么？

没错！Johnny哥哥教你做人，就是降维啊！大兄弟，Dimension Reduction啊！说时迟那时快，数据就从7个维度变成了3个维度了，可以欢乐地做图了~ 意外不意外，惊喜不惊喜？

这时候，你可能会说了，这个龟儿子讲得怎么跟教授给老子在课堂上讲的不一样呢？我老师叫我用一个软件，叫什么 ---- SPSS ？

别慌，别慌~ 刚才只是讲个原理，原理晓得不？计算机木有办法看懂什么标题，他不知道（长相，颜值，五官）是一个意思。他需要通过计算哪两个变量是协同变化的，来判断其相关性。

看见了吗，这个就是帮你计算变量之间两两相关性的功能。顺便学习一个英文单词，Bivariate，就是bi（双） - variate（变量）, 双变量。也就是说，相关性，这个东西，只能在两个变量中间。

总之，两个变量协同变化 --- 一个升，另一个也升，相关性就大；两个变量不协同变化 --- 一个升，另一个不变，或升升降降，说明相关性不大。

比如：智商 vs 身高 ---- 没有相关性；智商 vs 学历 ---- 相关性很大。用SPSS对所有变量做完相关性分析以后，出来的矩阵就是相关性矩阵，复制到excel里面填上颜色，就一目了然了~

看到了嘛？标绿色的，跟我们之前分析的一样，相关性很大啊！

到现在这一步，计算机已经知道谁和谁相关，谁和谁不相关了。完全是从数据本身的pattern中来的。

这时候计算机会把所有相关的变量进行一下变换，用一个变量代替所有相关的变量，就像上面我们用 “颜值” 代替了（长相，五官，颜值）三个变量。

最后讲一下因子分析的好处，把复杂的数据变简单，易于后续分析，regression 等待。

再举一个例子，在描述国家的时候，你有可能发现这个国家的飞机数越多，汽车数也越多，那么这背后很可能可以用 “经济发展水平” 这个指标来解释。

公众号：内容中台产品经理

谢谢！（完）

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