如何通俗并尽可能详细地解释卡尔曼滤波？
卡尔曼滤波，这个名字听起来有点高大上，但其实它的核心思想非常接地气，就像我们生活中处理不确定性一样。想象一下，你想知道一辆车在路上的确切位置，但你手里只有一块不太准的GPS，它会告诉你一个大概范围，但不会给你一个绝对精确的点。同时，你也知道这辆车会怎么开，比如它会加速或者减速，这个运动规律是相对可预测的。
卡尔曼滤波，就像一个聪明的“估算器”，它能结合这两方面的信息：我们对事物运动的“预测” 和 我们从传感器获得的“测量”，来得出一个比单独任何一方都更靠谱的估算结果。
咱们把它拆解开，一步步说清楚。
第一步：有什么“不确定性”需要我们处理？
生活中，几乎所有的事情都存在不确定性。我们想知道的东西，就像上面说的车的确切位置，我们称之为“状态”。这个状态不是一成不变的，它会随着时间变化。
状态 (State): 比如车的“位置”和“速度”。如果你想追踪一个物体，你可能需要知道它的位置、速度、加速度，甚至姿态等等。这些就是它的“状态”。我们通常用一个向量来表示，里面包含了很多个数值。
不确定性 (Uncertainty): 为什么我们不能直接知道确切的位置？因为我们用的设备不完美，或者外部环境有干扰。比如GPS信号会漂移，轮胎打滑会影响速度的测量。这种不确定性，在卡尔曼滤波里，我们用“协方差矩阵”来描述。你可以想象它是一个“误差的散布图”，告诉我们各个状态量之间误差的大小以及它们之间的关联性。
第二步：我们怎么“预测”事物的状态？
我们的大脑总是会根据经验去“预测”接下来会发生什么。比如，你知道一辆车刚刚加速了，你自然会预测它下一秒会比现在快一些。卡尔曼滤波也有一个“预测模型”。
状态转移模型 (State Transition Model): 这个模型描述了事物状态是如何随着时间变化的。比如，如果我们知道一辆车当前的位置 `x` 和速度 `v`，并且假设它在下一秒内匀速运动，那么下一秒的位置就是 `x + vdt` (dt是时间间隔)，下一秒的速度仍然是 `v`。这个模型就像一套“物理定律”，告诉我们状态会怎么“进化”。
预测状态 (Predicted State): 根据上一个时间点的“最优估算”和这个“状态转移模型”，我们就能“预测”出当前时间点事物可能的状态。
预测不确定性 (Predicted Uncertainty): 不仅状态会变化，我们预测本身也会带来新的不确定性。因为我们的预测模型也不是100%准确的，它可能会受到一些“过程噪声”的影响。比如，除了车本身的运动，可能还有风吹或者路面不平造成的额外影响。这个过程噪声也会增加我们预测的不确定性。
简单来说，这一步就是：“根据过去最好的估算和运动规律，猜一猜现在应该是什么样子。”
第三步：有什么“测量”可以帮我们修正预测？
光靠预测是不够的，因为我们的预测模型总有误差。这时候，我们从传感器那里获得的“测量”就派上用场了。
测量 (Measurement): 就是传感器给我们的原始数据。比如GPS给我们的位置读数，或者雷达给我们的速度读数。
测量模型 (Measurement Model): 这个模型告诉我们，我们想知道的“真实状态”是如何体现在“测量值”里的。比如，GPS测量的就是车的“位置”，它直接反映了我们状态里的“位置”这一项。但如果是其他传感器，比如测量磁场强度的传感器，它可能反映的是车的位置和速度的某种组合。
测量不确定性 (Measurement Uncertainty): 传感器也不是完美的，它的测量值也有误差，我们称之为“测量噪声”。这个噪声的大小，我们也需要知道，通常也是由传感器的精度决定的。
这一步就是：“从传感器那里得到一些‘参考信息’，这些信息跟我们想知道的东西有关，但也有自己的误差。”
第四步：如何结合预测和测量，做出更优的估算？
这就是卡尔曼滤波的核心环节了，它要做的是一个“权衡”和“融合”。
想象一下，你有一个预测值，说车大概在A点附近。这时，GPS告诉你车在B点附近，但你知道GPS有点误差。卡尔曼滤波会怎么做？
它不会简单地信任预测，也不会简单地信任测量，而是会根据它们各自的“靠谱程度”来决定听谁的话更多一些。
“靠谱程度”是怎么衡量的？ 就是前面提到的“不确定性”或者说“方差”。如果预测的误差很小，而测量误差很大，那么它会更倾向于相信预测。反之，如果预测误差很大，测量误差很小，它就会更倾向于相信测量。
卡尔曼增益 (Kalman Gain): 这个“权衡因子”就是卡尔曼增益。它是一个根据预测不确定性和测量不确定性计算出来的数值。卡尔曼增益越大，说明测量值越“值得信赖”，我们就会更多地用测量值来修正预测。
更新状态 (Update State): 卡尔曼滤波会用这个卡尔曼增益，将预测值和测量值进行一个“加权平均”，得到一个“更新后的最优估算”。这个更新后的估算，比单纯的预测或者单纯的测量都要更精确。
更新不确定性 (Update Uncertainty): 不仅状态被更新了，我们对状态的“不确定性”也会随之减小。因为我们成功地融合了新的信息，我们对事物的了解更进了一步。
打个比方：
假设你想知道一个球的温度。
1. 预测： 你知道这个球在恒温箱里，而且恒温箱的温度是20度，但恒温箱的温度会波动一点点（过程噪声）。所以你预测球的温度会在20度附近，但也不是绝对精确。
2. 测量： 你拿一个体温计去量球的温度，体温计也不是100%准确，它也有自己的测量误差。
3. 融合： 如果你的恒温箱非常稳定，温度波动很小，而体温计又不怎么准，那么你就会更相信恒温箱的“预测”。反之，如果恒温箱温度波动很大，而体温计很灵敏准确，你就会更相信体温计的“测量”。
卡尔曼滤波就像一个聪明的中间人，它会根据“恒温箱的温度稳定性”和“体温计的准确性”来决定给哪个信息更多的“权重”。最终得出的球的温度，会比单纯看恒温箱或者单纯用体温计得出的结果更接近真实值。
卡尔曼滤波的循环
卡尔曼滤波的工作方式是一个循环：
1. 预测： 根据上一时刻的最优估算和运动模型，预测当前时刻的状态和不确定性。
2. 测量： 获取当前时刻的传感器测量值和测量不确定性。
3. 更新： 利用预测值、测量值以及卡尔曼增益，计算出当前时刻的最优估算和更新后的不确定性。
然后，这个“更新后的最优估算”就成为了下一时刻的“上一时刻最优估算”，继续进行预测，如此循环往复。
总结一下，卡尔曼滤波做了什么？
1. 处理不确定性： 它能够量化和管理我们信息中的不确定性（用协方差矩阵）。
2. 预测未来： 它能根据事物的运动模型，预测事物未来的状态。
3. 融合信息： 它能够智能地结合来自不同来源（预测和测量）的不确定性信息，进行最优融合。
4. 实时跟踪： 通过不断地预测和更新，它能够对事物的状态进行持续、实时的估算，即使传感器读数有噪音或者模型不完全准确。
举几个生活中的例子，你可能就更明白了：
手机定位： 你的手机GPS接收器并不是每时每刻都那么精准，它可能会受到建筑物遮挡、信号反射等影响。同时，你也知道手机在移动（比如走路、开车），有一个运动趋势。卡尔曼滤波会结合GPS的测量和手机的运动模型，给你一个更平滑、更准确的位置估算。
无人机飞行控制： 无人机需要精确地知道自己的高度、速度、姿态，才能稳定飞行。传感器（如陀螺仪、加速度计、气压计）会提供测量数据，但这些数据都有噪音。无人机的动力学模型可以预测它接下来的运动。卡尔曼滤波就是将这些测量和预测融合起来，为无人机提供精确的导航信息。
股票价格预测： 虽然很难，但理论上也可以用类似的思路。你可以根据历史价格走势建立一个“价格模型”进行预测，同时观察每天公布的各种经济数据作为“测量”。卡尔曼滤波可以尝试结合这两种信息来预测股票价格的波动。
卡尔曼滤波就像一个永不疲倦的侦探，他总是在收集线索（测量），分析可能的案情进展（预测），然后根据新线索和过去的经验，不断修正自己对“真相”（真实状态）的判断，并告诉你这个判断有多大的把握。正是这种不断地“猜测——验证——修正”的过程，让它在科学和工程领域如此强大和流行。
卡尔曼滤波，就像一个聪明的“估算器”，它能结合这两方面的信息：我们对事物运动的“预测” 和 我们从传感器获得的“测量”，来得出一个比单独任何一方都更靠谱的估算结果。
咱们把它拆解开，一步步说清楚。
第一步：有什么“不确定性”需要我们处理？
生活中，几乎所有的事情都存在不确定性。我们想知道的东西，就像上面说的车的确切位置，我们称之为“状态”。这个状态不是一成不变的，它会随着时间变化。
状态 (State): 比如车的“位置”和“速度”。如果你想追踪一个物体，你可能需要知道它的位置、速度、加速度，甚至姿态等等。这些就是它的“状态”。我们通常用一个向量来表示，里面包含了很多个数值。
不确定性 (Uncertainty): 为什么我们不能直接知道确切的位置？因为我们用的设备不完美，或者外部环境有干扰。比如GPS信号会漂移，轮胎打滑会影响速度的测量。这种不确定性，在卡尔曼滤波里，我们用“协方差矩阵”来描述。你可以想象它是一个“误差的散布图”，告诉我们各个状态量之间误差的大小以及它们之间的关联性。
第二步：我们怎么“预测”事物的状态？
我们的大脑总是会根据经验去“预测”接下来会发生什么。比如，你知道一辆车刚刚加速了，你自然会预测它下一秒会比现在快一些。卡尔曼滤波也有一个“预测模型”。
状态转移模型 (State Transition Model): 这个模型描述了事物状态是如何随着时间变化的。比如，如果我们知道一辆车当前的位置 `x` 和速度 `v`，并且假设它在下一秒内匀速运动，那么下一秒的位置就是 `x + vdt` (dt是时间间隔)，下一秒的速度仍然是 `v`。这个模型就像一套“物理定律”，告诉我们状态会怎么“进化”。
预测状态 (Predicted State): 根据上一个时间点的“最优估算”和这个“状态转移模型”，我们就能“预测”出当前时间点事物可能的状态。
预测不确定性 (Predicted Uncertainty): 不仅状态会变化，我们预测本身也会带来新的不确定性。因为我们的预测模型也不是100%准确的，它可能会受到一些“过程噪声”的影响。比如，除了车本身的运动，可能还有风吹或者路面不平造成的额外影响。这个过程噪声也会增加我们预测的不确定性。
简单来说，这一步就是：“根据过去最好的估算和运动规律，猜一猜现在应该是什么样子。”
第三步：有什么“测量”可以帮我们修正预测？
光靠预测是不够的，因为我们的预测模型总有误差。这时候，我们从传感器那里获得的“测量”就派上用场了。
测量 (Measurement): 就是传感器给我们的原始数据。比如GPS给我们的位置读数，或者雷达给我们的速度读数。
测量模型 (Measurement Model): 这个模型告诉我们，我们想知道的“真实状态”是如何体现在“测量值”里的。比如，GPS测量的就是车的“位置”，它直接反映了我们状态里的“位置”这一项。但如果是其他传感器，比如测量磁场强度的传感器，它可能反映的是车的位置和速度的某种组合。
测量不确定性 (Measurement Uncertainty): 传感器也不是完美的，它的测量值也有误差，我们称之为“测量噪声”。这个噪声的大小，我们也需要知道，通常也是由传感器的精度决定的。
这一步就是：“从传感器那里得到一些‘参考信息’，这些信息跟我们想知道的东西有关，但也有自己的误差。”
第四步：如何结合预测和测量，做出更优的估算？
这就是卡尔曼滤波的核心环节了，它要做的是一个“权衡”和“融合”。
想象一下，你有一个预测值，说车大概在A点附近。这时，GPS告诉你车在B点附近，但你知道GPS有点误差。卡尔曼滤波会怎么做？
它不会简单地信任预测，也不会简单地信任测量，而是会根据它们各自的“靠谱程度”来决定听谁的话更多一些。
“靠谱程度”是怎么衡量的？ 就是前面提到的“不确定性”或者说“方差”。如果预测的误差很小，而测量误差很大，那么它会更倾向于相信预测。反之，如果预测误差很大，测量误差很小，它就会更倾向于相信测量。
卡尔曼增益 (Kalman Gain): 这个“权衡因子”就是卡尔曼增益。它是一个根据预测不确定性和测量不确定性计算出来的数值。卡尔曼增益越大，说明测量值越“值得信赖”，我们就会更多地用测量值来修正预测。
更新状态 (Update State): 卡尔曼滤波会用这个卡尔曼增益，将预测值和测量值进行一个“加权平均”，得到一个“更新后的最优估算”。这个更新后的估算，比单纯的预测或者单纯的测量都要更精确。
更新不确定性 (Update Uncertainty): 不仅状态被更新了，我们对状态的“不确定性”也会随之减小。因为我们成功地融合了新的信息，我们对事物的了解更进了一步。
打个比方：
假设你想知道一个球的温度。
1. 预测： 你知道这个球在恒温箱里，而且恒温箱的温度是20度，但恒温箱的温度会波动一点点（过程噪声）。所以你预测球的温度会在20度附近，但也不是绝对精确。
2. 测量： 你拿一个体温计去量球的温度，体温计也不是100%准确，它也有自己的测量误差。
3. 融合： 如果你的恒温箱非常稳定，温度波动很小，而体温计又不怎么准，那么你就会更相信恒温箱的“预测”。反之，如果恒温箱温度波动很大，而体温计很灵敏准确，你就会更相信体温计的“测量”。
卡尔曼滤波就像一个聪明的中间人，它会根据“恒温箱的温度稳定性”和“体温计的准确性”来决定给哪个信息更多的“权重”。最终得出的球的温度，会比单纯看恒温箱或者单纯用体温计得出的结果更接近真实值。
卡尔曼滤波的循环
卡尔曼滤波的工作方式是一个循环：
1. 预测： 根据上一时刻的最优估算和运动模型，预测当前时刻的状态和不确定性。
2. 测量： 获取当前时刻的传感器测量值和测量不确定性。
3. 更新： 利用预测值、测量值以及卡尔曼增益，计算出当前时刻的最优估算和更新后的不确定性。
然后，这个“更新后的最优估算”就成为了下一时刻的“上一时刻最优估算”，继续进行预测，如此循环往复。
总结一下，卡尔曼滤波做了什么？
1. 处理不确定性： 它能够量化和管理我们信息中的不确定性（用协方差矩阵）。
2. 预测未来： 它能根据事物的运动模型，预测事物未来的状态。
3. 融合信息： 它能够智能地结合来自不同来源（预测和测量）的不确定性信息，进行最优融合。
4. 实时跟踪： 通过不断地预测和更新，它能够对事物的状态进行持续、实时的估算，即使传感器读数有噪音或者模型不完全准确。
举几个生活中的例子，你可能就更明白了：
手机定位： 你的手机GPS接收器并不是每时每刻都那么精准，它可能会受到建筑物遮挡、信号反射等影响。同时，你也知道手机在移动（比如走路、开车），有一个运动趋势。卡尔曼滤波会结合GPS的测量和手机的运动模型，给你一个更平滑、更准确的位置估算。
无人机飞行控制： 无人机需要精确地知道自己的高度、速度、姿态，才能稳定飞行。传感器（如陀螺仪、加速度计、气压计）会提供测量数据，但这些数据都有噪音。无人机的动力学模型可以预测它接下来的运动。卡尔曼滤波就是将这些测量和预测融合起来，为无人机提供精确的导航信息。
股票价格预测： 虽然很难，但理论上也可以用类似的思路。你可以根据历史价格走势建立一个“价格模型”进行预测，同时观察每天公布的各种经济数据作为“测量”。卡尔曼滤波可以尝试结合这两种信息来预测股票价格的波动。
卡尔曼滤波就像一个永不疲倦的侦探，他总是在收集线索（测量），分析可能的案情进展（预测），然后根据新线索和过去的经验，不断修正自己对“真相”（真实状态）的判断，并告诉你这个判断有多大的把握。正是这种不断地“猜测——验证——修正”的过程，让它在科学和工程领域如此强大和流行。
网友意见
放几个相关视频，对想了解的同学应该会有很大帮助
【1】为什么使用卡尔曼滤波器？
【1】为什么使用卡尔曼滤波器？ https://www.zhihu.com/video/1161658604536479744【2】状态观察器
【2】状态观察器 https://www.zhihu.com/video/1161658853350977536【3】最佳状态估计器
【3】最佳状态估计器 https://www.zhihu.com/video/1162036710111367168【4】
【4】最佳状态估计器算法 https://www.zhihu.com/video/1162404317918375936【5】非线性状态估计器
【5】非线性状态估计器 https://www.zhihu.com/video/1163156542810726400【6】如何在Simulink中使用卡尔曼滤波器
【6】如何在Simulink中使用 https://www.zhihu.com/video/1163156693743112192【7】如何在Simulink中使用扩展卡尔曼滤波器
【7】在Simulink中使用扩展 https://www.zhihu.com/video/1163548516382646272——————————————————
花了好几天的时间，终于把字幕做完了，希望对大家有用。
别光收藏啊，也请点赞呦~~
如果可以的话，给个关注最好不过了~
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