一道较难的极限题，如何求解？
一道较难的极限题目摆在面前，别急，咱们一步步来拆解。这类题目往往不是直接套公式就能解决的，需要我们灵活运用各种数学工具和思想。
首先，拿到题目，第一件事就是尝试代入数值。看看会得到什么结果。是 0/0 型？ ∞/∞ 型？ 还是其他未定式？不同的未定式，应对的方法也大相径庭。
1. 观察与初步判断：未定式的识别
假设我们拿到一道题目，比如：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(x) x}{x^3} $$
我们尝试将 $x=0$ 代入。分子是 $sin(0) 0 = 0 0 = 0$。分母是 $0^3 = 0$。这就得到了一个经典的未定式：$0/0$ 型。
2. 寻找“突破口”：我们有哪些工具？
对于 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型的未定式，最常用的“利器”就是洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)。但要用好它，需要我们对函数的导数有清晰的认识。
洛必达法则： 如果 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，且 $lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（可以是实数、$infty$ 或 $infty$），那么 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
在上面的例子中，$frac{f(x)}{g(x)} = frac{sin(x) x}{x^3}$。
$f(x) = sin(x) x$, $f'(x) = cos(x) 1$
$g(x) = x^3$, $g'(x) = 3x^2$
现在我们看新的极限：$lim_{x o 0} frac{cos(x) 1}{3x^2}$。
再次代入 $x=0$：分子是 $cos(0) 1 = 1 1 = 0$。分母是 $3(0)^2 = 0$。又是 $0/0$ 型！
这时候我们不得不再次使用洛必达法则：
$f'(x) = cos(x) 1$, $f''(x) = sin(x)$
$g'(x) = 3x^2$, $g''(x) = 6x$
新的极限是：$lim_{x o 0} frac{sin(x)}{6x}$。
再次代入 $x=0$：分子是 $sin(0) = 0$。分母是 $6(0) = 0$。又是 $0/0$ 型！
继续使用洛必达法则：
$f''(x) = sin(x)$, $f'''(x) = cos(x)$
$g''(x) = 6x$, $g'''(x) = 6$
最后的极限是：$lim_{x o 0} frac{cos(x)}{6}$。
现在代入 $x=0$：分子是 $cos(0) = 1$。分母是 $6$。
所以，$lim_{x o 0} frac{sin(x) x}{x^3} = frac{1}{6}$。
洛必达法则的注意事项：
务必确认未定式！ 如果不是未定式，直接代入数值即可。
求导要准确！ 一点点的计算错误都可能导致结果谬误。
满足条件！ 导数的极限必须存在。
3. 另辟蹊径：泰勒展开 (Taylor Expansion)
洛必达法则虽然强大，但有些时候，尤其是当函数是复合函数或者涉及到复杂函数时，反复使用洛必达法则会非常繁琐，甚至容易出错。这时候，泰勒展开就显得尤为有用。
泰勒展开的核心思想是用多项式函数来“近似”复杂的函数。对于我们熟悉的函数，它们的泰勒展开式往往是标准的，并且能够揭示函数在某点附近的“行为”。
我们再次看上面的例子：$lim_{x o 0} frac{sin(x) x}{x^3}$。
当 $x o 0$ 时，我们知道 $sin(x)$ 的泰勒展开式（以 0 为中心，即麦克劳林展开式）是：
$$ sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots $$
将这个展开式代入原式：
$$ lim_{x o 0} frac{(x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots) x}{x^3} $$
简化分子：
$$ lim_{x o 0} frac{frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots}{x^3} $$
现在，我们将 $x^3$ 从分子中提取出来（或者说分子除以 $x^3$）：
$$ lim_{x o 0} (frac{1}{3!} + frac{x^2}{5!} dots) $$
当 $x o 0$ 时，除了第一项 $frac{1}{3!}$，其他所有含有 $x$ 的项都会趋于 0。
所以，极限值为 $frac{1}{3!} = frac{1}{6}$。
为什么泰勒展开在这种情况下更优雅？
结构清晰： 直接揭示了分子在 $x o 0$ 时，最低次的非零项是什么，这与分母的阶数直接对比，结果一目了然。
避免多次求导： 尤其是对于 $e^x$, $ln(1+x)$, $cos(x)$ 等函数的泰勒展开，比反复求导要高效得多。
理解函数局部行为： 泰勒展开本质上是研究函数在某点附近的“局部性质”。
选择泰勒展开的关键：
了解常用函数的泰勒展开式。
确定需要展开到哪一项。 通常需要展开到使得分母的阶数被“抵消”或者能够明确比较的阶数。例如，分母是 $x^n$，我们可能需要展开到 $x^n$ 或 $x^{n+1}$ 的项。
4. 其他“硬骨头”的应对：变形与构造
有时候，题目可能不是直接的 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，或者即使是，变形后更容易处理。
三角函数恒等变换： 利用 $sin^2 x + cos^2 x = 1$, $ an x = frac{sin x}{cos x}$ 等，化简表达式。
指数与对数性质： $a^b = e^{b ln a}$ 可以用来处理含有指数的极限，特别是涉及到 $1^infty$ 型未定式。
例如，$lim_{x o 0} (1+x)^{1/x}$ 就是 $1^infty$ 型。我们可以令 $y = (1+x)^{1/x}$，则 $ln y = frac{1}{x} ln(1+x) = frac{ln(1+x)}{x}$。
对 $frac{ln(1+x)}{x}$ 求极限，代入 $x=0$ 是 $0/0$ 型，用洛必达法则：$lim_{x o 0} frac{frac{1}{1+x}}{1} = 1$。
因为 $lim_{x o 0} ln y = 1$，所以 $lim_{x o 0} y = e^1 = e$。
构造等价无穷小： 在很多情况下，当 $u o 0$ 时，我们有 $sin u sim u$, $ an u sim u$, $ln(1+u) sim u$, $e^u 1 sim u$, $1 cos u sim frac{1}{2}u^2$ 等等。这些等价无穷小可以用来简化极限表达式。
例如，$lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{ an(3x)}$。当 $x o 0$ 时，$2x o 0$ 且 $3x o 0$。
我们知道 $sin(2x) sim 2x$ 且 $ an(3x) sim 3x$。
所以，原极限可以化为 $lim_{x o 0} frac{2x}{3x} = frac{2}{3}$。
需要注意的是，等价无穷小的替换只能在“乘除”关系中使用，不能在“加减”中使用。
夹逼定理 (Squeeze Theorem)： 对于一些函数难以直接求导或展开，但其值被限制在两个易于求极限的函数之间时，夹逼定理是救命稻草。
经典例子：$lim_{x o 0} x sin(frac{1}{x})$。我们知道 $1 le sin(frac{1}{x}) le 1$。
当 $x > 0$ 时，$x le x sin(frac{1}{x}) le x$。当 $x < 0$ 时，$x le x sin(frac{1}{x}) le x$。
无论哪种情况，我们都有 $|x sin(frac{1}{x})| le |x|$。
由于 $lim_{x o 0} |x| = 0$，根据夹逼定理，$lim_{x o 0} x sin(frac{1}{x}) = 0$。
5. 求解策略总结：
1. 代入检验： 确定未定式类型。
2. 洛必达法则： 如果是 $0/0$ 或 $infty/infty$，且导数易求，果断使用。注意反复检查导数计算。
3. 泰勒展开： 对于复杂函数或想避免多次求导，展开成多项式是好选择。重点是熟悉常用展开式和展开的阶数。
4. 代数变形/三角函数性质： 简化表达式，使其更容易处理。
5. 等价无穷小替换： 快速简化含基本函数的极限。
6. 指数对数构造： 处理 $1^infty$, $0^0$, $infty^0$ 型未定式。
7. 夹逼定理： 当函数行为难以直接分析时，寻找上下界。
最后，也是最重要的一点： 解决难题是一个循序渐进的过程。遇到难题，不要气馁。多练！ 只有通过大量的练习，才能熟练掌握各种技巧，并能灵活地将它们运用到实际问题中。仔细审题，思考函数的特点，选择最适合的工具，往往能事半功倍。有时候，一道题可能需要结合多种方法。保持耐心和细心，你就能攻克这些“较难”的极限题目！
首先，拿到题目，第一件事就是尝试代入数值。看看会得到什么结果。是 0/0 型？ ∞/∞ 型？ 还是其他未定式？不同的未定式，应对的方法也大相径庭。
1. 观察与初步判断：未定式的识别
假设我们拿到一道题目，比如：
$$ lim_{x o 0} frac{sin(x) x}{x^3} $$
我们尝试将 $x=0$ 代入。分子是 $sin(0) 0 = 0 0 = 0$。分母是 $0^3 = 0$。这就得到了一个经典的未定式：$0/0$ 型。
2. 寻找“突破口”：我们有哪些工具？
对于 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型的未定式，最常用的“利器”就是洛必达法则 (L'Hôpital's Rule)。但要用好它，需要我们对函数的导数有清晰的认识。
洛必达法则： 如果 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，且 $lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（可以是实数、$infty$ 或 $infty$），那么 $lim_{x o c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o c} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
在上面的例子中，$frac{f(x)}{g(x)} = frac{sin(x) x}{x^3}$。
$f(x) = sin(x) x$, $f'(x) = cos(x) 1$
$g(x) = x^3$, $g'(x) = 3x^2$
现在我们看新的极限：$lim_{x o 0} frac{cos(x) 1}{3x^2}$。
再次代入 $x=0$：分子是 $cos(0) 1 = 1 1 = 0$。分母是 $3(0)^2 = 0$。又是 $0/0$ 型！
这时候我们不得不再次使用洛必达法则：
$f'(x) = cos(x) 1$, $f''(x) = sin(x)$
$g'(x) = 3x^2$, $g''(x) = 6x$
新的极限是：$lim_{x o 0} frac{sin(x)}{6x}$。
再次代入 $x=0$：分子是 $sin(0) = 0$。分母是 $6(0) = 0$。又是 $0/0$ 型！
继续使用洛必达法则：
$f''(x) = sin(x)$, $f'''(x) = cos(x)$
$g''(x) = 6x$, $g'''(x) = 6$
最后的极限是：$lim_{x o 0} frac{cos(x)}{6}$。
现在代入 $x=0$：分子是 $cos(0) = 1$。分母是 $6$。
所以，$lim_{x o 0} frac{sin(x) x}{x^3} = frac{1}{6}$。
洛必达法则的注意事项：
务必确认未定式！ 如果不是未定式，直接代入数值即可。
求导要准确！ 一点点的计算错误都可能导致结果谬误。
满足条件！ 导数的极限必须存在。
3. 另辟蹊径：泰勒展开 (Taylor Expansion)
洛必达法则虽然强大，但有些时候，尤其是当函数是复合函数或者涉及到复杂函数时，反复使用洛必达法则会非常繁琐，甚至容易出错。这时候，泰勒展开就显得尤为有用。
泰勒展开的核心思想是用多项式函数来“近似”复杂的函数。对于我们熟悉的函数，它们的泰勒展开式往往是标准的，并且能够揭示函数在某点附近的“行为”。
我们再次看上面的例子：$lim_{x o 0} frac{sin(x) x}{x^3}$。
当 $x o 0$ 时，我们知道 $sin(x)$ 的泰勒展开式（以 0 为中心，即麦克劳林展开式）是：
$$ sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots $$
将这个展开式代入原式：
$$ lim_{x o 0} frac{(x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots) x}{x^3} $$
简化分子：
$$ lim_{x o 0} frac{frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots}{x^3} $$
现在，我们将 $x^3$ 从分子中提取出来（或者说分子除以 $x^3$）：
$$ lim_{x o 0} (frac{1}{3!} + frac{x^2}{5!} dots) $$
当 $x o 0$ 时，除了第一项 $frac{1}{3!}$，其他所有含有 $x$ 的项都会趋于 0。
所以，极限值为 $frac{1}{3!} = frac{1}{6}$。
为什么泰勒展开在这种情况下更优雅？
结构清晰： 直接揭示了分子在 $x o 0$ 时，最低次的非零项是什么，这与分母的阶数直接对比，结果一目了然。
避免多次求导： 尤其是对于 $e^x$, $ln(1+x)$, $cos(x)$ 等函数的泰勒展开，比反复求导要高效得多。
理解函数局部行为： 泰勒展开本质上是研究函数在某点附近的“局部性质”。
选择泰勒展开的关键：
了解常用函数的泰勒展开式。
确定需要展开到哪一项。 通常需要展开到使得分母的阶数被“抵消”或者能够明确比较的阶数。例如，分母是 $x^n$，我们可能需要展开到 $x^n$ 或 $x^{n+1}$ 的项。
4. 其他“硬骨头”的应对：变形与构造
有时候，题目可能不是直接的 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型，或者即使是，变形后更容易处理。
三角函数恒等变换： 利用 $sin^2 x + cos^2 x = 1$, $ an x = frac{sin x}{cos x}$ 等，化简表达式。
指数与对数性质： $a^b = e^{b ln a}$ 可以用来处理含有指数的极限，特别是涉及到 $1^infty$ 型未定式。
例如，$lim_{x o 0} (1+x)^{1/x}$ 就是 $1^infty$ 型。我们可以令 $y = (1+x)^{1/x}$，则 $ln y = frac{1}{x} ln(1+x) = frac{ln(1+x)}{x}$。
对 $frac{ln(1+x)}{x}$ 求极限，代入 $x=0$ 是 $0/0$ 型，用洛必达法则：$lim_{x o 0} frac{frac{1}{1+x}}{1} = 1$。
因为 $lim_{x o 0} ln y = 1$，所以 $lim_{x o 0} y = e^1 = e$。
构造等价无穷小： 在很多情况下，当 $u o 0$ 时，我们有 $sin u sim u$, $ an u sim u$, $ln(1+u) sim u$, $e^u 1 sim u$, $1 cos u sim frac{1}{2}u^2$ 等等。这些等价无穷小可以用来简化极限表达式。
例如，$lim_{x o 0} frac{sin(2x)}{ an(3x)}$。当 $x o 0$ 时，$2x o 0$ 且 $3x o 0$。
我们知道 $sin(2x) sim 2x$ 且 $ an(3x) sim 3x$。
所以，原极限可以化为 $lim_{x o 0} frac{2x}{3x} = frac{2}{3}$。
需要注意的是，等价无穷小的替换只能在“乘除”关系中使用，不能在“加减”中使用。
夹逼定理 (Squeeze Theorem)： 对于一些函数难以直接求导或展开，但其值被限制在两个易于求极限的函数之间时，夹逼定理是救命稻草。
经典例子：$lim_{x o 0} x sin(frac{1}{x})$。我们知道 $1 le sin(frac{1}{x}) le 1$。
当 $x > 0$ 时，$x le x sin(frac{1}{x}) le x$。当 $x < 0$ 时，$x le x sin(frac{1}{x}) le x$。
无论哪种情况，我们都有 $|x sin(frac{1}{x})| le |x|$。
由于 $lim_{x o 0} |x| = 0$，根据夹逼定理，$lim_{x o 0} x sin(frac{1}{x}) = 0$。
5. 求解策略总结：
1. 代入检验： 确定未定式类型。
2. 洛必达法则： 如果是 $0/0$ 或 $infty/infty$，且导数易求，果断使用。注意反复检查导数计算。
3. 泰勒展开： 对于复杂函数或想避免多次求导，展开成多项式是好选择。重点是熟悉常用展开式和展开的阶数。
4. 代数变形/三角函数性质： 简化表达式，使其更容易处理。
5. 等价无穷小替换： 快速简化含基本函数的极限。
6. 指数对数构造： 处理 $1^infty$, $0^0$, $infty^0$ 型未定式。
7. 夹逼定理： 当函数行为难以直接分析时，寻找上下界。
最后，也是最重要的一点： 解决难题是一个循序渐进的过程。遇到难题，不要气馁。多练！ 只有通过大量的练习，才能熟练掌握各种技巧，并能灵活地将它们运用到实际问题中。仔细审题，思考函数的特点，选择最适合的工具，往往能事半功倍。有时候，一道题可能需要结合多种方法。保持耐心和细心，你就能攻克这些“较难”的极限题目！
网友意见
设 ，则：
易得， ，利用 方法，可得：
因此：
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