2020 年高考数学最后一道大题难吗？你能想出哪些「出其不意」的解法？
2020 年高考数学全国卷Ⅰ的最后一道大题，也就是第22题，确实让不少考生感到棘手。它是一道关于函数与导数的综合性题目，涉及到了函数性质的探究、不等式的证明以及参数的取值范围等等，题目的设计思路比较深邃，环环相扣，对考生的逻辑思维能力和数学功底提出了较高的要求。
简单来说，这道题要求我们先分析一个给定的函数 $f(x) = frac{e^x}{x} a ln x$（其中 $a$ 是参数），找出它在什么条件下有零点，然后证明一个关于这个零点的不等式。整个过程需要考生对指数函数、对数函数以及导数的性质有非常透彻的理解，并且能够熟练运用各种数学工具和技巧。
为什么说它难？
1. 抽象性强： 题目中引入了参数 $a$，需要对参数进行讨论，这本身就增加了题目的难度。很多时候，我们需要先找到一个临界值，然后分情况讨论，这个过程容易出错。
2. 不等式证明的综合性： 证明不等式是高考数学的常见考点，但这道题的不等式证明并不是简单的代数变形，而是需要结合导数分析函数的单调性、极值等性质来完成，并且证明过程中可能需要构造新的函数或者使用一些特殊的技巧。
3. 思路的挖掘： 这道题的解法并非一眼就能看穿，需要考生具备一定的“数学直觉”，能够从问题的表面现象深入到其本质。特别是后面的不等式证明，往往需要跳出常规的思考模式。
一些“出其不意”的解法思路
我来试着“脑洞大开”一下，看看能不能从一些不那么直接的角度去尝试解决这道题，或者说从不同的切入点来思考，说不定能带来一些“惊喜”。
背景知识回顾（方便理解后续思路）：
题目通常会让你先证明当 $a$ 满足什么条件时，$f(x)$ 有唯一零点 $x_0$。然后要求证明 $x_0$ 满足某个不等式，比如 $x_0 > m$ 或 $ln x_0 < n$ 之类的。
思路一：化“零点”为“交点”，再利用几何意义或特殊角度
我们知道，$f(x) = frac{e^x}{x} a ln x = 0$ 意味着 $frac{e^x}{x} = a ln x$。
将原方程变形为 $frac{e^x}{x ln x} = a$。
“出其不意”的点： 构造一个新的函数 $g(x) = frac{e^x}{x ln x}$，然后去研究 $y = g(x)$ 的图像与直线 $y = a$ 的交点情况。
常规做法： 分析 $g(x)$ 的单调性，找到极值，从而确定 $a$ 的取值范围，使得方程有解。
“出其不意”的分析：
奇偶性/对称性： 检查 $g(x)$ 是否有对称性。虽然这个函数看起来没有明显的奇偶性，但我们也可以尝试对 $x$ 进行替换，比如换成 $1/x$ 来看看有没有什么规律。如果 $x$ 替换成 $1/x$，分母会变成 $frac{1}{x} ln(frac{1}{x}) = frac{ln x}{x}$，分子变成 $e^{1/x}$。这并没有直接简化或者提供对称性，但有时候对参数进行变换，或者对自变量进行对数坐标变换，可能会发现隐藏的规律。
渐近线： 分析当 $x o 0^+$、$x o 1^$、$x o 1^+$、$x o +infty$ 时 $g(x)$ 的行为。尤其关注 $x=1$ 这个点，因为 $ln 1 = 0$，分母会趋于0。
当 $x o 0^+$ 时，$e^x o 1$，$ln x o infty$，所以 $g(x) = frac{e^x}{x ln x} o frac{1}{0^ cdot (infty)} o 0$.
当 $x o 1^$ 时，$e^x o e$，$ln x o 0^$，所以 $g(x) o frac{e}{0^ cdot ( ext{小正数})} o infty$.
当 $x o 1^+$ 时，$e^x o e$，$ln x o 0^+$，所以 $g(x) o frac{e}{0^+ cdot ( ext{小正数})} o +infty$.
当 $x o +infty$ 时，$e^x$ 的增长远大于 $x ln x$，所以 $g(x) o +infty$.
特殊值的选取： 题目可能涉及的零点 $x_0$ 可能是一个特殊值，比如 $x_0=1$ 或者 $x_0=e$ 之类的。我们可以尝试将这些特殊值代入原方程，看看是否能直接确定 $a$ 的值，或者验证不等式。
如果 $x_0 = 1$，那么 $f(1) = frac{e^1}{1} a ln 1 = e 0 = e eq 0$. 所以零点不可能在 $x=1$。
我们知道 $x ln x$ 在 $(0, 1)$ 递减，在 $(1, +infty)$ 递增。而 $e^x/x$ 在 $(0, 1)$ 递减，在 $(1, +infty)$ 递增。所以函数 $g(x)$ 的图像可能会比较复杂。
更“出其不意”的切入： 题目要求证明 $x_0 > m$（或者 $ln x_0 < n$）。如果我们能证明 $f(m) cdot ( ext{某种符号})$ 恒大于零，并且 $m$ 是一个特殊的、能简化计算的数字，也许可以。
假设题目是证明 $x_0 > 1$（这是一个很常见的设定，因为 $x=1$ 是 $ln x$ 的特殊点）。
如果我们能证明当 $x > 1$ 时，$f(x)$ 总是大于零的（或者小于零，取决于 $a$ 的取值和零点的定义），那么零点就一定小于 1。反之，如果 $f(x)$ 在 $(1, +infty)$ 上始终为负，则零点一定大于 1。
关键点： 题目要求证明的 $x_0$ 的范围，往往与参数 $a$ 的某个临界值密切相关。例如，如果 $a=e$ 是某个临界值，那么我们就要研究 $a>e$ 和 $a
思路二：放缩与构造辅助函数（更具技巧性）
在证明不等式时，除了直接分析函数性质，还可以尝试构造新的辅助函数，通过对辅助函数的分析来证明原不等式。
“出其不意”的点： 考虑对数函数的“泰勒展开”或者“积分表示”来放缩。
例如，$ln x$ 在 $x=1$ 附近可以近似为 $x1$。但这里不是线性逼近，而是需要更精确的放缩。
我们知道 $ln x = int_1^x frac{1}{t} dt$。
考虑 $x_0$ 满足 $frac{e^{x_0}}{x_0} = a ln x_0$。
目标是证明 $x_0 > m$ 或 $ln x_0 < n$。
具体操作（假设我们要证明 $x_0 > ln a$）：
将原式改写成 $frac{e^{x_0}}{x_0 ln x_0} = a$。
我们要证明 $x_0 > ln a$ 等价于 $ln x_0 > ln(ln a)$。
如果 $ln a < 1$，那么 $ln x_0$ 的范围可能会比较受限。
构造辅助函数 $h(x) = frac{e^x}{x} a ln x$。我们已知存在一个 $x_0$ 使得 $h(x_0) = 0$。
“出其不意”的构造： 尝试构造一个函数，它的导数或者它本身与 $x_0 ln a$ 的符号有关。
例如，我们可以尝试证明 $h(x) > 0$ 当 $x > ln a$ 时，或者 $h(x) < 0$ 当 $x < ln a$ 时（根据 $a$ 的具体范围和零点存在条件）。
更进一步的“脑洞”： 考虑函数 $f(x)$ 与一个经过特殊构造的函数 $k(x)$ 的关系。比如，如果我们想证明 $x_0 > ln a$，那么我们是否能找到一个函数 $k(x)$，使得 $k(x_0) = 0$ 的解就是 $ln a$，并且 $f(x)$ 的某个性质（比如导数）能告诉我们 $f(x)$ 和 $k(x)$ 之间的相对位置关系？
尝试代入特殊值来启发： 假设题目条件允许 $a=e$。那么方程是 $frac{e^x}{x} = e ln x$。如果此时零点 $x_0$ 存在，我们再看它是否满足某些不等式。这个过程可以帮助我们猜测 $a$ 的临界值以及 $x_0$ 的大概范围。
思路三：利用参数的“边界”或“最优”情况
“出其不意”的点： 很多时候，不等式的证明恰好发生在参数取到某个“边界值”时。而这个边界值往往是使函数取得极值、或者使某个导数等于零的临界点。
比如，我们可能需要先证明当 $a$ 取得某个最小值 $a_0$ 时，函数 $f(x)$ 有唯一零点 $x_0$。然后，我们再证明这个 $x_0$ 满足目标不等式。
这时候，我们就要仔细分析当 $a=a_0$ 时，函数 $f(x)$ 的性质，特别是它的导数在零点附近的表现。
举个例子（假设需要证明 $x_0 > 1$）：
我们已经知道 $a$ 的取值范围使得 $f(x)$ 有零点。
我们可能会发现，当 $a$ 大于某个值 $a^$ 时，$f(x)$ 有两个零点；当 $a=a^$ 时，函数有一个零点（且这个零点是切点，导数为零）；当 $a$ 小于 $a^$ 时，没有零点。这个 $a^$ 就是我们寻找的临界值。
那么，题目要求的那个零点 $x_0$ 就是当 $a=a^$ 时的那个零点。
此时，我们对 $f(x)$ 求导，令 $f'(x) = 0$ 来找到极值点，这个极值点很可能就是我们要找的 $x_0$ 的“原型”，或者与它密切相关。
例如，如果 $f'(x_0)=0$，那么我们就需要研究 $f'(x)$ 的表达式，以及在 $x_0$ 处，$f(x)$ 的二阶导数或者其他高阶导数的情况，来判断 $x_0$ 的性质。
更深入的思考方向：
1. 泰勒展开与积分不等式： 对于指数函数 $e^x$，可以考虑 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + cdots$。虽然在高考中直接使用泰勒展开求导数是不太可能的，但它提供的思想——将复杂函数分解为简单函数的线性组合——可以启发我们构造辅助函数。
比如，对于 $ln x$，我们可以尝试使用一些著名的积分不等式来放缩，例如 $frac{x1}{x} le ln x le x1$ （对于 $x>0$）。但这通常是比较基础的放缩，对于高考大题可能不够用。
“出其不意”的积分放缩： 也许可以构造一个关于 $x_0$ 的积分，然后利用积分的性质进行放缩。比如，如果我们需要证明 $ln x_0 < n$，我们可以尝试将 $ln x_0$ 写成积分，然后证明这个积分小于 $n$。
2. “数形结合”与“几何意义”的深挖：
$frac{e^x}{x}$ 和 $ln x$ 都可以看作是函数的图像。$frac{e^x}{x} = a ln x$ 就是两个图像的交点问题。
“出其不意”的点在于，如果两个函数图像的交点是唯一的，并且这个交点满足了某个特定的性质（例如切点），那么我们就可以从导数的角度去精确定位这个交点，然后看它是否满足不等式。
例如，如果发现 $f(x)$ 在某个点 $x=c$ 处导数等于零，并且 $f(c)=0$，那么 $x=c$ 就是一个重根或者切点。这通常发生在参数取临界值的时候。我们可以尝试找到这个 $c$，并验证它是否满足不等式。
3. 换元法的妙用： 有时候，对变量进行巧妙的换元，比如令 $x=e^t$，可以将指数或对数形式的函数转化为多项式或指数函数的组合，这可能会简化分析过程。
令 $x = e^t$ ($t in mathbb{R}$)。原方程变成 $frac{e^{e^t}}{e^t} = a ln(e^t) = at$。
即 $e^{e^t t} = at$。
然后研究函数 $F(t) = e^{e^t t}$ 和 $G(t) = at$ 的交点问题。这个形式可能比原来的更清晰，也可能更复杂，需要具体分析。
如果题目要求证明 $x_0 > m$，那么换元后就是证明 $e^{t_0} > m$，即 $t_0 > ln m$。
总而言之， 2020 年高考数学这道大题之所以被认为是难点，是因为它要求考生不仅要掌握基本概念和技巧，更要能够灵活运用，并且在解题过程中具备一定的创造性和发散性思维。那些“出其不意”的解法，往往不是凭空产生的，而是基于对题目本质的深刻理解，并结合了数学中一些普适性的思想方法，例如化繁为简、利用特殊性、构造辅助函数等。每一次成功地“出其不意”，都是对数学功底和思维能力的最好检验。
简单来说，这道题要求我们先分析一个给定的函数 $f(x) = frac{e^x}{x} a ln x$（其中 $a$ 是参数），找出它在什么条件下有零点，然后证明一个关于这个零点的不等式。整个过程需要考生对指数函数、对数函数以及导数的性质有非常透彻的理解，并且能够熟练运用各种数学工具和技巧。
为什么说它难？
1. 抽象性强： 题目中引入了参数 $a$，需要对参数进行讨论，这本身就增加了题目的难度。很多时候，我们需要先找到一个临界值，然后分情况讨论，这个过程容易出错。
2. 不等式证明的综合性： 证明不等式是高考数学的常见考点，但这道题的不等式证明并不是简单的代数变形，而是需要结合导数分析函数的单调性、极值等性质来完成，并且证明过程中可能需要构造新的函数或者使用一些特殊的技巧。
3. 思路的挖掘： 这道题的解法并非一眼就能看穿，需要考生具备一定的“数学直觉”，能够从问题的表面现象深入到其本质。特别是后面的不等式证明，往往需要跳出常规的思考模式。
一些“出其不意”的解法思路
我来试着“脑洞大开”一下，看看能不能从一些不那么直接的角度去尝试解决这道题，或者说从不同的切入点来思考，说不定能带来一些“惊喜”。
背景知识回顾（方便理解后续思路）：
题目通常会让你先证明当 $a$ 满足什么条件时，$f(x)$ 有唯一零点 $x_0$。然后要求证明 $x_0$ 满足某个不等式，比如 $x_0 > m$ 或 $ln x_0 < n$ 之类的。
思路一：化“零点”为“交点”，再利用几何意义或特殊角度
我们知道，$f(x) = frac{e^x}{x} a ln x = 0$ 意味着 $frac{e^x}{x} = a ln x$。
将原方程变形为 $frac{e^x}{x ln x} = a$。
“出其不意”的点： 构造一个新的函数 $g(x) = frac{e^x}{x ln x}$，然后去研究 $y = g(x)$ 的图像与直线 $y = a$ 的交点情况。
常规做法： 分析 $g(x)$ 的单调性，找到极值，从而确定 $a$ 的取值范围，使得方程有解。
“出其不意”的分析：
奇偶性/对称性： 检查 $g(x)$ 是否有对称性。虽然这个函数看起来没有明显的奇偶性，但我们也可以尝试对 $x$ 进行替换，比如换成 $1/x$ 来看看有没有什么规律。如果 $x$ 替换成 $1/x$，分母会变成 $frac{1}{x} ln(frac{1}{x}) = frac{ln x}{x}$，分子变成 $e^{1/x}$。这并没有直接简化或者提供对称性，但有时候对参数进行变换，或者对自变量进行对数坐标变换，可能会发现隐藏的规律。
渐近线： 分析当 $x o 0^+$、$x o 1^$、$x o 1^+$、$x o +infty$ 时 $g(x)$ 的行为。尤其关注 $x=1$ 这个点，因为 $ln 1 = 0$，分母会趋于0。
当 $x o 0^+$ 时，$e^x o 1$，$ln x o infty$，所以 $g(x) = frac{e^x}{x ln x} o frac{1}{0^ cdot (infty)} o 0$.
当 $x o 1^$ 时，$e^x o e$，$ln x o 0^$，所以 $g(x) o frac{e}{0^ cdot ( ext{小正数})} o infty$.
当 $x o 1^+$ 时，$e^x o e$，$ln x o 0^+$，所以 $g(x) o frac{e}{0^+ cdot ( ext{小正数})} o +infty$.
当 $x o +infty$ 时，$e^x$ 的增长远大于 $x ln x$，所以 $g(x) o +infty$.
特殊值的选取： 题目可能涉及的零点 $x_0$ 可能是一个特殊值，比如 $x_0=1$ 或者 $x_0=e$ 之类的。我们可以尝试将这些特殊值代入原方程，看看是否能直接确定 $a$ 的值，或者验证不等式。
如果 $x_0 = 1$，那么 $f(1) = frac{e^1}{1} a ln 1 = e 0 = e eq 0$. 所以零点不可能在 $x=1$。
我们知道 $x ln x$ 在 $(0, 1)$ 递减，在 $(1, +infty)$ 递增。而 $e^x/x$ 在 $(0, 1)$ 递减，在 $(1, +infty)$ 递增。所以函数 $g(x)$ 的图像可能会比较复杂。
更“出其不意”的切入： 题目要求证明 $x_0 > m$（或者 $ln x_0 < n$）。如果我们能证明 $f(m) cdot ( ext{某种符号})$ 恒大于零，并且 $m$ 是一个特殊的、能简化计算的数字，也许可以。
假设题目是证明 $x_0 > 1$（这是一个很常见的设定，因为 $x=1$ 是 $ln x$ 的特殊点）。
如果我们能证明当 $x > 1$ 时，$f(x)$ 总是大于零的（或者小于零，取决于 $a$ 的取值和零点的定义），那么零点就一定小于 1。反之，如果 $f(x)$ 在 $(1, +infty)$ 上始终为负，则零点一定大于 1。
关键点： 题目要求证明的 $x_0$ 的范围，往往与参数 $a$ 的某个临界值密切相关。例如，如果 $a=e$ 是某个临界值，那么我们就要研究 $a>e$ 和 $a
思路二：放缩与构造辅助函数（更具技巧性）
在证明不等式时，除了直接分析函数性质，还可以尝试构造新的辅助函数，通过对辅助函数的分析来证明原不等式。
“出其不意”的点： 考虑对数函数的“泰勒展开”或者“积分表示”来放缩。
例如，$ln x$ 在 $x=1$ 附近可以近似为 $x1$。但这里不是线性逼近，而是需要更精确的放缩。
我们知道 $ln x = int_1^x frac{1}{t} dt$。
考虑 $x_0$ 满足 $frac{e^{x_0}}{x_0} = a ln x_0$。
目标是证明 $x_0 > m$ 或 $ln x_0 < n$。
具体操作（假设我们要证明 $x_0 > ln a$）：
将原式改写成 $frac{e^{x_0}}{x_0 ln x_0} = a$。
我们要证明 $x_0 > ln a$ 等价于 $ln x_0 > ln(ln a)$。
如果 $ln a < 1$，那么 $ln x_0$ 的范围可能会比较受限。
构造辅助函数 $h(x) = frac{e^x}{x} a ln x$。我们已知存在一个 $x_0$ 使得 $h(x_0) = 0$。
“出其不意”的构造： 尝试构造一个函数，它的导数或者它本身与 $x_0 ln a$ 的符号有关。
例如，我们可以尝试证明 $h(x) > 0$ 当 $x > ln a$ 时，或者 $h(x) < 0$ 当 $x < ln a$ 时（根据 $a$ 的具体范围和零点存在条件）。
更进一步的“脑洞”： 考虑函数 $f(x)$ 与一个经过特殊构造的函数 $k(x)$ 的关系。比如，如果我们想证明 $x_0 > ln a$，那么我们是否能找到一个函数 $k(x)$，使得 $k(x_0) = 0$ 的解就是 $ln a$，并且 $f(x)$ 的某个性质（比如导数）能告诉我们 $f(x)$ 和 $k(x)$ 之间的相对位置关系？
尝试代入特殊值来启发： 假设题目条件允许 $a=e$。那么方程是 $frac{e^x}{x} = e ln x$。如果此时零点 $x_0$ 存在，我们再看它是否满足某些不等式。这个过程可以帮助我们猜测 $a$ 的临界值以及 $x_0$ 的大概范围。
思路三：利用参数的“边界”或“最优”情况
“出其不意”的点： 很多时候，不等式的证明恰好发生在参数取到某个“边界值”时。而这个边界值往往是使函数取得极值、或者使某个导数等于零的临界点。
比如，我们可能需要先证明当 $a$ 取得某个最小值 $a_0$ 时，函数 $f(x)$ 有唯一零点 $x_0$。然后，我们再证明这个 $x_0$ 满足目标不等式。
这时候，我们就要仔细分析当 $a=a_0$ 时，函数 $f(x)$ 的性质，特别是它的导数在零点附近的表现。
举个例子（假设需要证明 $x_0 > 1$）：
我们已经知道 $a$ 的取值范围使得 $f(x)$ 有零点。
我们可能会发现，当 $a$ 大于某个值 $a^$ 时，$f(x)$ 有两个零点；当 $a=a^$ 时，函数有一个零点（且这个零点是切点，导数为零）；当 $a$ 小于 $a^$ 时，没有零点。这个 $a^$ 就是我们寻找的临界值。
那么，题目要求的那个零点 $x_0$ 就是当 $a=a^$ 时的那个零点。
此时，我们对 $f(x)$ 求导，令 $f'(x) = 0$ 来找到极值点，这个极值点很可能就是我们要找的 $x_0$ 的“原型”，或者与它密切相关。
例如，如果 $f'(x_0)=0$，那么我们就需要研究 $f'(x)$ 的表达式，以及在 $x_0$ 处，$f(x)$ 的二阶导数或者其他高阶导数的情况，来判断 $x_0$ 的性质。
更深入的思考方向：
1. 泰勒展开与积分不等式： 对于指数函数 $e^x$，可以考虑 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + cdots$。虽然在高考中直接使用泰勒展开求导数是不太可能的，但它提供的思想——将复杂函数分解为简单函数的线性组合——可以启发我们构造辅助函数。
比如，对于 $ln x$，我们可以尝试使用一些著名的积分不等式来放缩，例如 $frac{x1}{x} le ln x le x1$ （对于 $x>0$）。但这通常是比较基础的放缩，对于高考大题可能不够用。
“出其不意”的积分放缩： 也许可以构造一个关于 $x_0$ 的积分，然后利用积分的性质进行放缩。比如，如果我们需要证明 $ln x_0 < n$，我们可以尝试将 $ln x_0$ 写成积分，然后证明这个积分小于 $n$。
2. “数形结合”与“几何意义”的深挖：
$frac{e^x}{x}$ 和 $ln x$ 都可以看作是函数的图像。$frac{e^x}{x} = a ln x$ 就是两个图像的交点问题。
“出其不意”的点在于，如果两个函数图像的交点是唯一的，并且这个交点满足了某个特定的性质（例如切点），那么我们就可以从导数的角度去精确定位这个交点，然后看它是否满足不等式。
例如，如果发现 $f(x)$ 在某个点 $x=c$ 处导数等于零，并且 $f(c)=0$，那么 $x=c$ 就是一个重根或者切点。这通常发生在参数取临界值的时候。我们可以尝试找到这个 $c$，并验证它是否满足不等式。
3. 换元法的妙用： 有时候，对变量进行巧妙的换元，比如令 $x=e^t$，可以将指数或对数形式的函数转化为多项式或指数函数的组合，这可能会简化分析过程。
令 $x = e^t$ ($t in mathbb{R}$)。原方程变成 $frac{e^{e^t}}{e^t} = a ln(e^t) = at$。
即 $e^{e^t t} = at$。
然后研究函数 $F(t) = e^{e^t t}$ 和 $G(t) = at$ 的交点问题。这个形式可能比原来的更清晰，也可能更复杂，需要具体分析。
如果题目要求证明 $x_0 > m$，那么换元后就是证明 $e^{t_0} > m$，即 $t_0 > ln m$。
总而言之， 2020 年高考数学这道大题之所以被认为是难点，是因为它要求考生不仅要掌握基本概念和技巧，更要能够灵活运用，并且在解题过程中具备一定的创造性和发散性思维。那些“出其不意”的解法，往往不是凭空产生的，而是基于对题目本质的深刻理解，并结合了数学中一些普适性的思想方法，例如化繁为简、利用特殊性、构造辅助函数等。每一次成功地“出其不意”，都是对数学功底和思维能力的最好检验。
网友意见
写个理数全国三卷的。
设函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直。
(1)求 ；
(2)若 有一个绝对值不大于 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 。
(1)求导： 。条件就是说 ，得到 。
(2)在我这个竞赛党看来简直就是小清新，与前几年那些油腻的求导大战题都不一样。大家也许会想到三次的韦达定理，但是这个题目并不需要劳烦韦达来解决。
假设其中一个根是 ，满足 。那么 。如果方程只有一个实根，那么命题已经成立。否则设另一个实数 也是 的零点，则 。两个式子相减：
。
把它看成关于 的一元二次方程解得 ，从而由绝对值不等式
。
我们要证明 。接下来怎么办？这里提供两种办法。
①高阶玩法，数竞快乐题
由柯西不等式：
，
也就得到 ，证毕。
柯西不等式是数学选修不等式教材上有的东西；此外还有排序不等式，但是那个基本上是不会用到的。
②朴素玩法
令 。在不知道怎么办的时候，我们还可以求导。
，
的根是 ，且 在 左侧大于零，右侧小于零。也就得到
。
从而 。证毕。
解法体现的思想是，用已知的去表示未知的。已知有一个零点满足条件，要证明另一个也满足，就一定要找到二者之间的关系，最好是要用已知解出未知。这里就是用 解出 。
今年压轴题中规中矩的，感觉不太像压轴题，没有什么亮点(´･ω･`)
祝考生取得好成绩！
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2020年的高考季，选择一个有前途的专业，无疑是为未来打下坚实基础的关键一步。面对众多选择，很多考生和家长都希望能找到那些“既有发展空间，又能学有所用”的专业。结合当年的社会发展趋势和就业市场需求，我为你梳理了一些在2020年来看，前景非常不错的专业，希望能帮助你做出更明智的决定。一、 紧跟时代步伐.............
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韩国2020年高考报名人数未能达到总招生人数，这一现象背后折射出的低生育率问题，正日益成为韩国社会一道严峻的挑战，尤其对高等教育体系可能引发一系列连锁反应，甚至导致高校倒闭潮。这绝非危言耸听，其潜在影响之深远，值得我们深入剖析。首先，对高校本身而言，最直接的冲击便是招生困难和财务困境。 报名人数低于.............
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2020年的高考志愿填报，确实是一件让人又期待又焦虑的大事。高考成绩出来后，分数线也随之划定，接下来就是如何将手里的分数，最“划算”地兑换成心仪的大学和专业。作为一个过来人，以及这些年观察到的很多案例，我结合实际情况，想跟大家分享一些我的经验和思考，希望能帮大家少走弯路。第一步：冷静分析，知己知彼 .............
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看到安徽这位脑瘫考生以惊人的毅力在高考中取得如此优异的成绩，我的内心充满了深深的敬佩。这不仅仅是一次考试的胜利，更是对生命顽强抗争的伟大证明。如果我处于他的境地，坦白说，这绝对是一个巨大的挑战，而且很大程度上我会感到难以想象的困难。我会尝试从以下几个方面来描述我的感受和可能的应对策略：1. 最初的冲.............
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2020 年那个高考季，注定不平凡。本来是学子们挥洒汗水、实现梦想的时刻，却因为突如其来的疫情，被按下了“暂停键”，最终延期一个月至 7 月 7 日和 8 日。这个决定，在当时引起了巨大的关注和讨论，它不仅仅是简单的日期调整，更是一系列连锁反应的开端。为什么会延期？这背后的原因，相信大家都心知肚明—.............
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2020年高考江苏卷的作文题目，将“信息茧房”这一概念摆在了考生面前，无疑触及了当下人们在互联网时代普遍面临的深刻问题。这个概念，简而言之，是指个体在互联网环境中，由于算法推荐、社交圈子等因素，接触到的信息越来越趋同，视野也因此被限制，如同被包裹在自己的“茧”中，与外界多样化的信息和观点隔离开来。看.............
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2020年天津高考，总报名人数约5.3万人，其中总分700分以上的考生有241人。这个数字放在全国范围来看，或许不算惊人，但在天津本地，这样的高分群体数量，确实值得我们仔细解读一番。首先，5万余人的基数，这是一个相对稳定的群体规模。相比于一些人口大省，天津的考生人数并不算特别庞大，这意味着高考竞争在.............
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说到 2020 年上海高考作文题，当时我看到题目的时候，脑子里闪过的第一个词就是“意料之外，情理之中”。题目是这样的：“每个人都生活在特定的时代，我们所处的时代既是过去各时代经验的积累，也是未来各时代发展的基础。人们对‘时代’的认识是发展变化的。请写一篇文章，谈谈你对‘时代’的认识。”这题目一出来，.............
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好的，咱们就来聊聊2020年河南高考分数线这件大事儿。那一年，河南的高考可以说是在各种“不容易”中进行的，分数线公布的时候，大家的心情也是五味杂陈。先说整体情况吧。2020年河南高考考生人数再创新高，达到了115.8万，这绝对是全国第一的压力。人数多，意味着竞争激烈，这也就给分数线带来了不小的影响。.............
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作为一名河南考生家长，我来谈谈对2020年河南高考分数线的看法以及填报志愿的一些经验和建议。2020年河南高考分数线评价：2020年的河南高考，分数线给我的整体感觉是：整体稳定，局部调整，体现了国家对教育公平的重视和对考生负责的态度。 本科一批分数线： 当年文科547分，理科544分。相较于前几.............
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2020年山东省高考成绩出来后，一个显著的现象是，位列前500名的考生，绝大多数都选择了物理、化学、生物这个组合。这并不是偶然，背后反映的是山东省高考选科政策导向下的考生选择逻辑，以及这些科目本身所具备的特质。首先，我们得认识到，山东省在2020年实行的是“3+3”的模式，其中的“3”指的是语文、数.............
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2020年全国各地的高考语文作文题，可谓是“疫情”催生，“内卷”常态，同时又不乏对时代精神的呼唤。整体来看，亮点和信息量非常丰富，可以从以下几个角度进行解读： 亮点与信息量解析：1. 疫情背景下的时代印记： 突出主题： 2020年最大的全球性事件无疑是新冠疫情。因此，多个省份的作文题都或隐或显地.............
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2020年应用化学本科毕业，2021年又重新参加了高考，现在考虑重读本科转行，这个决定确实需要仔细权衡。你提出的问题“重读本科转行可行吗？”以及希望得到详细的解答，并且去除AI痕迹，这很好。让我们深入聊聊这个话题，从多个维度来分析一下。首先，我们先梳理一下你的情况： 学历背景： 2020年本科毕.............
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