如何用量子物理计算穿墙概率？
在量子物理的世界里，“穿墙”这个概念并非我们日常理解的物理屏障，而更多地指向了微观粒子穿越势垒的能力。这种能力不是凭借蛮力，而是源于粒子固有的波动性和不确定性。要理解这一点，我们需要深入量子力学的基本原理。
1. 粒子的波粒二象性：量子世界的基石
首先，我们要抛弃经典的粒子观，即认为粒子是扎实的、固定位置的小球。在量子力学中，一切粒子，无论是电子、质子，还是更复杂的原子、分子，都同时具有波和粒子的双重性质。这意味着，我们可以用波函数来描述一个粒子的状态。
波函数，通常用希腊字母 $psi$（psi）表示，是一个复数函数，它包含了粒子的一切信息。最重要的是，波函数本身的平方 $|psi|^2$ 在空间中代表了在那个位置找到粒子的概率密度。你可以想象，波函数就像一张“概率地图”，告诉你在哪里“看到”粒子的可能性最大。
2. 势垒：微观世界的“墙”
在经典的物理学中，要穿过一道墙，你需要拥有足够的能量，比如用锤子砸开它，或者绕过它。但在量子世界，“墙”通常表现为“势垒”。势垒是一个能量较高的区域，粒子在经典意义上无法越过这个区域。
想象一个能量景观，地面是低能量区域，而一道高高隆起的山丘就是一个势垒。在经典物理学里，如果你的能量不够，你根本不可能翻过这座山。
3. 量子隧穿：不按常理出牌的穿越
然而，量子粒子却可以“不按常理出牌”。即使粒子的能量低于势垒的高度，它仍然有一定概率能够“穿过”这个势垒。这个现象被称为“量子隧穿”（Quantum Tunneling）。
关键在于粒子的波函数。即使在势垒内部，波函数并不会立刻衰减到零。它会像在真空中的一样，以一种指数衰减的方式传播。这意味着，即使波函数在势垒内部变得非常微弱，它仍然具有非零的值。当波函数传播到势垒的另一侧时，它就会再次恢复，尽管振幅（也就是概率）会比最初小很多。
4. 如何计算穿墙概率？
要计算穿墙概率，我们需要运用量子力学的数学工具，特别是薛定谔方程。
薛定谔方程 (Schrödinger Equation): 这是描述量子系统随时间演化的核心方程。对于一个没有外力作用（或者处于稳定势场）的粒子，其时间无关薛定谔方程形式如下：
$$
frac{hbar^2}{2m} abla^2 psi(x) + V(x) psi(x) = E psi(x)
$$
其中：
$hbar$ 是约化普朗克常数（一个非常小的物理常数）。
$m$ 是粒子的质量。
$ abla^2$ 是拉普拉斯算子，代表了空间中的二阶导数（描述了波函数弯曲程度）。
$psi(x)$ 是粒子的波函数，描述了粒子在位置 $x$ 的状态。
$V(x)$ 是势能函数，描述了势垒的高度和形状。
$E$ 是粒子的总能量。
解决薛定谔方程： 我们的目标是找到能够满足这个方程的波函数 $psi(x)$。具体来说，我们需要考虑粒子处于势垒“左边”（低能量区域），势垒本身（高能量区域），以及势垒“右边”（低能量区域）的波函数。
势垒左侧和右侧： 在势垒外的低能量区域，波函数通常是振荡的（比如三角函数）。
势垒内部： 在势垒内部，当 $E < V(x)$ 时，薛定谔方程的解会变成指数衰减的形式。例如，在一个简单的“矩形势垒”中（一个固定高度和宽度的“墙”），势垒内部的波函数可能类似于 $e^{kappa x}$ 或 $e^{kappa x}$ 的形式，其中 $kappa$ 是一个与能量和势垒高度相关的常数。
边界条件 (Boundary Conditions): 为了得到具体的波函数，我们需要设定边界条件。想象一下，波函数必须在势垒的“边缘”是连续且其一阶导数也是连续的（在某些情况下，如果势垒是无穷高的，则在势垒内部波函数必须为零）。
我们假设粒子从左侧入射，穿过势垒。我们需要确保：
1. 在势垒左侧，除了入射波，没有反射波（粒子是从左侧来的）。
2. 在势垒的左边缘，左侧的波函数（入射波 + 反射波）必须等于势垒内部的波函数。
3. 在势垒的右边缘，势垒内部的波函数必须等于势垒右侧的透射波（穿过势垒的波）。
透射系数 (Transmission Coefficient): 通过解这些边界条件，我们可以得到描述粒子穿过势垒的“透射系数”，通常用 $T$ 表示。透射系数就是粒子成功穿过势垒的概率。
对于一个简单的矩形势垒，其宽度为 $a$，高度为 $V_0$，粒子能量为 $E$（且 $E < V_0$）：
$$
T = left[ 1 + frac{V_0^2 sinh^2(kappa a)}{4E(V_0E)} ight]^{1}
$$
其中 $kappa = frac{sqrt{2m(V_0E)}}{hbar}$。
从这个公式可以看出：
势垒越高 ($V_0$ 越大)，透射系数越小。
势垒越宽 ($a$ 越大)，透射系数越小。
粒子能量越接近势垒高度 ($E approx V_0$)，透射系数越大。
粒子质量越重 ($m$ 越大)，透射系数越小。
5. 实际应用举例
量子隧穿并非理论空谈，它在许多物理现象中扮演着至关重要的角色：
扫描隧道显微镜 (STM): STM 利用电子的量子隧穿效应来成像物质表面的原子结构。探针尖端非常接近样品表面，探针尖端和样品之间存在一个微小的空气间隙，可以视为一个势垒。当施加电压时，电子会隧穿过这个间隙，产生隧道电流。通过测量这个电流随探针位置的变化，就可以绘制出原子尺度的表面形貌。
放射性衰变 (Alpha Decay): 在某些放射性原子核中，一个阿尔法粒子（氦原子核）被束缚在原子核内部，被强大的核力势垒所包围。然而，阿尔法粒子仍然有概率隧穿出这个势垒，从而导致放射性衰变。
半导体器件 (Tunnel Diodes): 一些特殊的半导体二极管利用了量子隧穿效应来工作，实现了高速开关等特性。
核聚变 (Nuclear Fusion): 在恒星内部，质子之间的库仑斥力形成了一个巨大的势垒。然而，通过量子隧穿，即使质子的能量不足以克服这个势垒，它们仍然有足够大的概率接近彼此，发生核聚变，释放巨大的能量。
总结一下计算穿墙概率的思路：
1. 识别“墙”： 将物理上的“墙”理解为量子力学中的“势垒”，定义其能量函数 $V(x)$。
2. 描述粒子： 确定粒子的质量 $m$ 和能量 $E$。
3. 建立方程： 利用薛定谔方程来描述粒子在势垒及其两侧的行为。
4. 求解波函数： 求解薛定谔方程，找到在势垒两侧以及内部的波函数。
5. 应用边界条件： 利用波函数在势垒边缘的连续性和可微性（在特定条件下）来建立方程组。
6. 计算透射系数： 解方程组，得到能够反映粒子穿过势垒概率的透射系数 $T$。
这个过程涉及到复杂的数学计算，尤其对于形状不规则的势垒，通常需要数值方法来求解。但核心思想始终是利用粒子的波动性，通过波函数在势垒中的非零传播来计算穿过概率。这正是量子世界令人着迷之处——在经典物理学看来不可能的事情，在微观世界里却拥有着清晰的计算方法和存在的现实。
1. 粒子的波粒二象性：量子世界的基石
首先，我们要抛弃经典的粒子观，即认为粒子是扎实的、固定位置的小球。在量子力学中，一切粒子，无论是电子、质子，还是更复杂的原子、分子，都同时具有波和粒子的双重性质。这意味着，我们可以用波函数来描述一个粒子的状态。
波函数，通常用希腊字母 $psi$（psi）表示，是一个复数函数，它包含了粒子的一切信息。最重要的是，波函数本身的平方 $|psi|^2$ 在空间中代表了在那个位置找到粒子的概率密度。你可以想象，波函数就像一张“概率地图”，告诉你在哪里“看到”粒子的可能性最大。
2. 势垒：微观世界的“墙”
在经典的物理学中，要穿过一道墙，你需要拥有足够的能量，比如用锤子砸开它，或者绕过它。但在量子世界，“墙”通常表现为“势垒”。势垒是一个能量较高的区域，粒子在经典意义上无法越过这个区域。
想象一个能量景观，地面是低能量区域，而一道高高隆起的山丘就是一个势垒。在经典物理学里，如果你的能量不够，你根本不可能翻过这座山。
3. 量子隧穿：不按常理出牌的穿越
然而，量子粒子却可以“不按常理出牌”。即使粒子的能量低于势垒的高度，它仍然有一定概率能够“穿过”这个势垒。这个现象被称为“量子隧穿”（Quantum Tunneling）。
关键在于粒子的波函数。即使在势垒内部，波函数并不会立刻衰减到零。它会像在真空中的一样，以一种指数衰减的方式传播。这意味着，即使波函数在势垒内部变得非常微弱，它仍然具有非零的值。当波函数传播到势垒的另一侧时，它就会再次恢复，尽管振幅（也就是概率）会比最初小很多。
4. 如何计算穿墙概率？
要计算穿墙概率，我们需要运用量子力学的数学工具，特别是薛定谔方程。
薛定谔方程 (Schrödinger Equation): 这是描述量子系统随时间演化的核心方程。对于一个没有外力作用（或者处于稳定势场）的粒子，其时间无关薛定谔方程形式如下：
$$
frac{hbar^2}{2m} abla^2 psi(x) + V(x) psi(x) = E psi(x)
$$
其中：
$hbar$ 是约化普朗克常数（一个非常小的物理常数）。
$m$ 是粒子的质量。
$ abla^2$ 是拉普拉斯算子，代表了空间中的二阶导数（描述了波函数弯曲程度）。
$psi(x)$ 是粒子的波函数，描述了粒子在位置 $x$ 的状态。
$V(x)$ 是势能函数，描述了势垒的高度和形状。
$E$ 是粒子的总能量。
解决薛定谔方程： 我们的目标是找到能够满足这个方程的波函数 $psi(x)$。具体来说，我们需要考虑粒子处于势垒“左边”（低能量区域），势垒本身（高能量区域），以及势垒“右边”（低能量区域）的波函数。
势垒左侧和右侧： 在势垒外的低能量区域，波函数通常是振荡的（比如三角函数）。
势垒内部： 在势垒内部，当 $E < V(x)$ 时，薛定谔方程的解会变成指数衰减的形式。例如，在一个简单的“矩形势垒”中（一个固定高度和宽度的“墙”），势垒内部的波函数可能类似于 $e^{kappa x}$ 或 $e^{kappa x}$ 的形式，其中 $kappa$ 是一个与能量和势垒高度相关的常数。
边界条件 (Boundary Conditions): 为了得到具体的波函数，我们需要设定边界条件。想象一下，波函数必须在势垒的“边缘”是连续且其一阶导数也是连续的（在某些情况下，如果势垒是无穷高的，则在势垒内部波函数必须为零）。
我们假设粒子从左侧入射，穿过势垒。我们需要确保：
1. 在势垒左侧，除了入射波，没有反射波（粒子是从左侧来的）。
2. 在势垒的左边缘，左侧的波函数（入射波 + 反射波）必须等于势垒内部的波函数。
3. 在势垒的右边缘，势垒内部的波函数必须等于势垒右侧的透射波（穿过势垒的波）。
透射系数 (Transmission Coefficient): 通过解这些边界条件，我们可以得到描述粒子穿过势垒的“透射系数”，通常用 $T$ 表示。透射系数就是粒子成功穿过势垒的概率。
对于一个简单的矩形势垒，其宽度为 $a$，高度为 $V_0$，粒子能量为 $E$（且 $E < V_0$）：
$$
T = left[ 1 + frac{V_0^2 sinh^2(kappa a)}{4E(V_0E)} ight]^{1}
$$
其中 $kappa = frac{sqrt{2m(V_0E)}}{hbar}$。
从这个公式可以看出：
势垒越高 ($V_0$ 越大)，透射系数越小。
势垒越宽 ($a$ 越大)，透射系数越小。
粒子能量越接近势垒高度 ($E approx V_0$)，透射系数越大。
粒子质量越重 ($m$ 越大)，透射系数越小。
5. 实际应用举例
量子隧穿并非理论空谈，它在许多物理现象中扮演着至关重要的角色：
扫描隧道显微镜 (STM): STM 利用电子的量子隧穿效应来成像物质表面的原子结构。探针尖端非常接近样品表面，探针尖端和样品之间存在一个微小的空气间隙，可以视为一个势垒。当施加电压时，电子会隧穿过这个间隙，产生隧道电流。通过测量这个电流随探针位置的变化，就可以绘制出原子尺度的表面形貌。
放射性衰变 (Alpha Decay): 在某些放射性原子核中，一个阿尔法粒子（氦原子核）被束缚在原子核内部，被强大的核力势垒所包围。然而，阿尔法粒子仍然有概率隧穿出这个势垒，从而导致放射性衰变。
半导体器件 (Tunnel Diodes): 一些特殊的半导体二极管利用了量子隧穿效应来工作，实现了高速开关等特性。
核聚变 (Nuclear Fusion): 在恒星内部，质子之间的库仑斥力形成了一个巨大的势垒。然而，通过量子隧穿，即使质子的能量不足以克服这个势垒，它们仍然有足够大的概率接近彼此，发生核聚变，释放巨大的能量。
总结一下计算穿墙概率的思路：
1. 识别“墙”： 将物理上的“墙”理解为量子力学中的“势垒”，定义其能量函数 $V(x)$。
2. 描述粒子： 确定粒子的质量 $m$ 和能量 $E$。
3. 建立方程： 利用薛定谔方程来描述粒子在势垒及其两侧的行为。
4. 求解波函数： 求解薛定谔方程，找到在势垒两侧以及内部的波函数。
5. 应用边界条件： 利用波函数在势垒边缘的连续性和可微性（在特定条件下）来建立方程组。
6. 计算透射系数： 解方程组，得到能够反映粒子穿过势垒概率的透射系数 $T$。
这个过程涉及到复杂的数学计算，尤其对于形状不规则的势垒，通常需要数值方法来求解。但核心思想始终是利用粒子的波动性，通过波函数在势垒中的非零传播来计算穿过概率。这正是量子世界令人着迷之处——在经典物理学看来不可能的事情，在微观世界里却拥有着清晰的计算方法和存在的现实。
网友意见
1.单粒子穿过一维势阱的问题
这个问题的最简单情形是单粒子穿过一维势垒的问题，在随便一本量子力学教材里就能找到答案。下列截图来自曾谨言电子版
但相比于“人穿墙”的题设情形，这种假设还是太简单了。如果想要正确地估算自己穿墙的概率，就还要解决下面这两个问题——
- 真实的墙相当于什么样子的势垒？
- 怎么用单粒子的穿墙概率估算一个人穿墙的概率？
下面将分别讨论这两个问题
2.真实的墙，以及单粒子穿过真实的墙的概率
对真实的墙，第一个问题不好解决：我们实际上不知道把一个粒子塞进墙里需要多大的能量。不过我们可以把一面墙抽象成一系列互相独立的分子层，而把一个新粒子塞进分子层内，就需要打破原有的分子之间的相互作用。
这里用晶体做例子会比较好理解一些：如果想要把一个新的粒子塞进晶体之中，就意味着晶体中原本的粒子会不同程度地偏离正常的位置，而这种偏离需要克服化学键的连接。在最极端的情况之下，新的粒子将挤开原本的粒子，导致化学键的断裂。在这一例子中，让这些化学键断裂的能量就是把新的粒子塞到晶体中原本粒子的位置时所需要的能量，也就是我们关注的“势垒高度”。
以二氧化硅晶体为例，硅-氧键的键能是 460KJ/mol，那么破坏单个键所需要消耗的能量就是
不过让一个粒子穿过并不意味着需要把化学键完全破坏掉，通常只需要让路径附近处的原子出现轻微的位移。推动晶体内原子做这种微小位移所需要的能量很难计算，这里直接估计成键能的10%。考虑到这是很粗略的估算，只要保证量级正确就好。
这样一来，“单层”二氧化硅分子所对应的势垒高度也就是 0.48eV。此时可以将估算出的数据带回到单粒子穿过一维势垒的问题中处理了。各个参数分别为
- 势垒高度：取为化学键键能的10%，
- 势垒宽度：一层分子的厚度可以用化学键键长估算，取为
- 粒子质量：由于人体内70%左右的质量是水，这里可以直接取水分子质量
- 粒子能量：由于人的体温约为 310K，人体内分子的能量可以取为这一温度下粒子热运动的能量。约为 。
用这些参数会算出来此时的穿透概率是 ，这概率已经低得可怕了。一面 1cm 厚的墙里将会有 层这样的分子层，也就是说单个水分子穿透 1cm 厚的二氧化硅墙的概率是
这个数字已经离谱到单个水分子穿过单层二氧化硅分子层的概率看起来都不重要了，它意味着小数点后存在 个零……
它夸张到如下的程度：如果我们认为一页厚 0.1mm 的 A4 纸上可以写下 2000 个零，那么写下全部这些零会需要 张，或者说 17000 米厚的 A4 纸，大概相当于珠穆朗玛峰高度的两倍了。
而这还仅仅是单个水分子穿墙的概率……
3.真实的人，以及真实的人穿过真实的墙
想要真实的人一次性穿过一面真实的墙基本上是不可能的：由于退相干现象的存在，真实的人基本上不会有什么波函数，也表现不出什么量子效应。
不过如果我们只是为了有趣而计算出一个数据的话，可以参考很多科幻小说中对人体传送的设想：先把人体拆成一堆独立的分子，将这些分子传送到目的地之后再进行组合。这样的话，只要对前面的结果再做一次指数运算，也就得到了最终的概率。
取人体质量为 60kg，那么人体中大约会有 个分子。也就是说最后得到的“把真实的人打散成一堆独立的分子，再分别穿过一堵真实的墙”的概率大约是
这么个数，换句话讲现在我们大约需要写下 个零，同样按 A4 纸估算，这次的 A4 纸厚度将会达到 。而一光年也只有 ，换句话讲这些 A4 纸会堆出 亿光年。考虑到大部分宇宙学模型中给出的可观测宇宙半径大约是 200亿光年左右，这堆 A4 纸已经能堆穿百万亿个可观测宇宙了……
或许这就是宇宙级的幸运吧……
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