0.999......8和1相等吗?

这个问题，很多人都会在某个时刻遇到，尤其是在数学课上或者自己琢磨数字的时候。0.999……8 和 1 到底相等不相等？

咱们这么想，先不说那个 8，就说 0.999……，后面是无限个 9。它和 1 到底是不是一个东西？

你可以这么理解：0.999……，它非常非常接近 1。你可以想象一下，你吃一块披萨，别人先吃了 0.999…… 这么大的部分。那你剩下的那一点点，是不是就几乎没有了？

数学上，我们有一套严谨的语言来描述这种“无限接近”。0.999…… 就代表了这么一个数。

为什么 0.999…… 和 1 是相等的？

有几种方法可以解释，都挺有意思的：

1. 代数证明（最常见也最直观）：
我们设一个数 x = 0.999……
那么 10x 就等于 9.999…… (把小数点往右移一位)
现在，我们用 10x 减去 x：
10x x = 9.999…… 0.999……
左边是 9x。
右边，你看，小数点后面的部分都是一样的无限个 9，相减就抵消了。所以 9.999…… 减去 0.999…… 就等于 9。
所以，我们就得到了一个简单的方程：9x = 9。
两边同时除以 9，得 x = 1。
既然我们一开始设 x = 0.999……，这就证明了 0.999…… = 1。

2. 分数角度：
我们知道 1/3 = 0.333…… (无限个 3)
那么 3 乘以 1/3 就是 1。
所以，3 乘以 0.333…… 应该是多少呢？
3 0.333…… = 0.999……
既然 3 (1/3) = 1，那么 3 0.333…… 也应该等于 1。
所以，0.999…… = 1。

3. “没有空间”理论：
数字线是连续的，没有“缝隙”。
如果 0.999…… 和 1 之间存在一个“距离”，那这个距离是什么呢？
我们尝试计算 1 0.999……。
1 0.999…… = 1 (1 0.000……1) （这里的 0.000……1 是指在小数点后某个位置有一个 1，其他都是 0，但这个“某个位置”是无穷远的）
理论上，这个差值会是 0.000……，也就是说，一个无限小的正数。
在数学中，当两个数的差值趋近于零时，我们说它们相等。更准确地说，如果没有一个非零的数可以放在 0.999…… 和 1 之间，那么它们就是相等的。而我们找不到这样的数。

现在，咱们加上那个 8。

你说的是 0.999……8。

这里的关键在于那个“……”代表的“无限个 9”。一旦你在这个无限循环的 9 后面加上一个固定的数字，比如 8，那它就不再是纯粹的无限循环了。

0.999…… 代表的是无限个 9 并且永不停止。
0.999……8，这个“……”在这里就有点不严谨了，如果它表示“小数点后无限个 9，然后最后一位是 8”，那就不可能了，因为无限个 9 永远不会“到头”给 8 一个位置。

更标准的写法，如果想表达“无限个 9，后面跟着一个 8”，通常会写成 0.999…98 （这里最后面的 8 是有限位），或者 0.999…（有限个 9）8。

但根据你的提法，0.999……8，更像是在无限个 9 的“末尾”加了一个 8。这在数学上是不成立的，因为无限个 9 没有“末尾”。

所以，回到你的问题：

0.999……（无限个 9） 和 1 是相等的。

但是，0.999……8 （假设那个“……”指代无限个 9，然后末尾是 8） 不等于 1。

为什么不等于？因为 0.999……8，无论你写出多少个 9，总有一个 8 在最后。这意味着它实际上是一个有穷小数（如果 8 是有限位数），或者它比 1 要小一点点。

你可以这样理解：
0.999…… 相当于你把 1 分成无数份，然后拿走了除了一份（那个无限小的差距）之外的所有份。
而 0.999……8，即使后面有无数个 9，但那个 8 的存在，意味着它距离 1 还有一个“间隙”，这个间隙就是 1 减去 0.999……8 的值。这个值不是零。

所以，0.999……（无限个 9） 等于 1。
而 0.999……8 （后面是无限个 9 后接 8）不等于 1。

这种无限循环的数字，有时候会让人觉得不可思议，但数学就是这么定义的，它提供了一种精确描述“无限接近”的方法，而且在这个过程中，0.999……就是精确地“抓住”了 1。

网友意见

从最浅显的角度来说，要用十进制小数表示实数，需要同时保证：

能够指明这小数每一位上的数码是几；
能够指明这小数每一个数码出现在这小数的第几位。

如果你能够承认这一点，那么 就不是一个合法的实数，因为无法指明这数码 究竟出现在第几位，即不满足上述后一个条件。

另外，提请注意，这种情况与 完全不同。显然，后者满足着第一个条件，至于第二个条件，我们可以说，从左往右数的第 个 就出现在第 个小数位上，于是也满足了第二个条件。

下面那些映射的值域应该是非负实数！！！这里是我欠考虑了，因为不方便用电脑，我就懒得改了。

关于一些用户 @笨小孩 向我指出0.999...这个数也不符合条件2——没错啊，0.99...是不符合条件2啊！

https://www. zhihu.com/answer/189188 1851

在条件1和条件2里，条件1更为重要，它保证了φ(f)是收敛的。在收敛的基础上，φ并不是单射。所以我们可以用φ诱导一个花体F^*上的等价关系，进一步在花体F^*上模掉这个等价关系后，得到的就是花体F。

条件2，实际上做的工作是，指定了在这个等价关系里，我们选取哪些东西做代表元。是属于规范性的工作。

从这个角度上看，如果f不满足条件1，那f就不能是实数了，就是无穷大了。但是如果f不满足条件2，那f只是不够规范罢了。我们有时候把花体F叫做实数的标准十进制表示，把花体F^*中不在花体F中的元素叫做实数的非标准十进制表示。不管标准不标准，只要不引起误解，就都可以视具体情况使用。

————————————————————————————

你首先要搞懂你写出来的这个0.999……8是什么东西，才能继续讨论你的问题。

先给一个结论，按照我们通常对实数的十进制表示的约定，0.999……8不能被称之为一个十进制小数。以下的答案都按照我们通常对实数的十进制表示的约定展开（详细的规则可以参考陶哲轩实分析的附录B）

十进制小数到底是什么，实际上，所谓的标准十进制小数，指的是

一个映射 ，满足两个以下条件：

（这里的 按照ZFC中的整数定义理解，即 是 到 共10个自然数组成的集合，下同。）

不妨将满足以上两个条件的 的全体记为 ，将只满足第一个条件的 的全体记为 （显然有 ）。

我们考虑 ，满足 ，上述的条件1保证了 是良定义的，可以证明 是一个 到 的满射，我们进一步考虑 （即 在 上的限制），可以证明这是一个双射。

从而，我们把 给看做是 的一个十进制小数表示。

回到这个0.999……8，这个东西乍一看肯定满足条件1，再想想，似乎也满足条件2；但是最大的问题是，它根本就不是一个整数集到 的映射。试想，如果它是这样的一个映射，那么哪个整数的像是8呢？

再说直白一点，0.999……8不是一个实数，自然没法谈它和1相不相等。

有的回答

把0.999……8看成了序列在 趋于无穷时的极限。这个做法可能是借鉴了把 看成序列 在 趋于无穷时的极限。但这严格来说是不可取的。

这个做法的本质可以理解成为是一个定理：

。

这个定理可以为0.999...的相关处理方法的合理性提供保证。然而，以上括号内的公式能够成立的前提条件是 ，0.999……8这个东西，不仅不属于 ，甚至不是 到 的映射，因此直接用上面的定理是不可行的。

当然，我以上的论述都是建立在我们通常对实数的十进制表示的约定之上的。的确可以建立一些自洽的解释，扩张我们对实数的十进制表示的约定，使得类似于 这样的小数可以被接纳，且满足 。但是这种“惊世骇俗”的做法目前看来，没啥普遍地价值。你今天把 定义成了序列在 趋于无穷时的极限。明天又有人来问 等不等于 ，后天有人来问 等不等于 ，我们难不成还一个一个给它们找一个合理的定义嘛？所以还不如一脚把这些乱七八糟的东西全部踹飞，直接告诉题主，这不是一个合法的实数的十进制表示。

看看，这又是一个典型的伪问题吧？

如果结尾是8，那么省略号就不能代表无数。

如果省略号代表无数，那么结尾就只能是无数，而不能是8。

咱们假设了一个自相矛盾的存在，违背了形式逻辑的矛盾律。

既然不符合形式逻辑基本定律，那么他就不能称之为问题，而只是一个伪装成问题的病句。

我把300篇干货放在公众号“墨子连山”了……

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