如何看待 bilibili up主 Happylee 对 0.999...≠1 的证明？
为了更深入地理解这个问题，我们需要先回顾一下为什么数学界普遍认为 0.999... 等于 1，然后再分析 Happylee “证明”的思路和其中的问题。
为什么 0.999... = 1 是数学上的事实？
这并不是一个约定俗成或者靠直觉就能接受的事情，而是有坚实的数学基础支撑的。主要有以下几种证明方法：
1. 代数证明（最常见也最直观）：
设 $x = 0.999...$
那么 $10x = 9.999...$
用第二个等式减去第一个等式：
$10x x = 9.999... 0.999...$
$9x = 9$
$x = 1$
既然我们最初设 $x = 0.999...$，那么 $0.999... = 1$。
这个证明的关键在于，我们执行的代数运算（乘以10，减法）都是有效的，并且没有出现逻辑上的跳跃。
2. 分数表示法：
我们知道 $1/3 = 0.333...$
将两边同乘以 3：
$3 imes (1/3) = 3 imes (0.333...)$
$1 = 0.999...$
这个方法依赖于分数和无限循环小数之间的精确对应关系。
3. 极限的定义（更严谨的数学基础）：
无限循环小数 0.999... 可以表示为一个无穷级数：
$0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...$
这是一个首项 $a = 0.9$，$公比 r = 0.1$ 的等比无穷级数。
当 $|r| < 1$ 时，无穷等比级数的和的公式是 $S = a / (1 r)$。
将数值代入：$S = 0.9 / (1 0.1) = 0.9 / 0.9 = 1$。
因此，$0.999... = 1$。
这是最严谨的证明，它依赖于数学分析中的极限概念，这个概念精确地定义了无限逼近的过程。
Happylee “证明”的思路和其中的问题：
Happylee 的视频之所以能引发讨论，往往是因为它抓住了普通人对无限循环小数直观理解上的“怪异感”，并试图利用这种感觉来构建一个看似有理的“反证”。他的思路通常会围绕以下几个点：
“差值”的概念： Happylee 可能会强调 0.999... 和 1 之间存在一个“无穷小”的差值，例如 0.000...1。他会认为，只要存在一个差值，即使这个差值趋近于零，那么两者就不能相等。
这是最核心的误区。 在实数系统中，我们不允许存在一个“非零但比任何正数都小”的“无穷小”数。数学上的“无穷小”更准确的理解是通过极限来定义的“趋近于零”的过程，而不是一个独立存在的、可以被独立加减的数。如果允许这样的无穷小存在，整个实数体系的运算规则都会被打破。
举个例子，Happylee 可能会说：“0.999... 是比1小一点点的，那个一点点就是最后那个看不见的1”。问题在于，数学上没有“最后那个看不见的1”这样的概念。 0.999... 的定义就是无止境地重复9，它不是在某个时刻“停止”并留下一个可以被识别的差值。如果硬要说有差值，那么这个差值就是 $1 0.999...$。当我们尝试计算这个差值时，通过上述代数或极限的方法，我们发现它就是 0，而不是一个隐含的非零无穷小。
“无限不等于有限”的类比： 有时会用一些类比来支持观点，比如“无限个数字组成的序列不等于有限数字组成的常数”。
类比的局限性。 数学上的无限概念是经过严格定义的，并非所有关于无限的直观想象都适用于数学体系。例如，我们不能像处理有限数字那样去“截断”或“定位”无限小数的最后一位。无限小数代表的是一个趋近过程的极限值，而不是一个我们能“摸得着”的实际数字。
“数数的角度”： Happylee 的“证明”也可能暗示，从“数数”的直观角度，0.999... 永远无法达到1，因为你总可以再添一个9，或者说，你永远没有“完成”这个过程。
混淆了过程和结果。 0.999... 本身就是一个表示特定实数值的符号，它的数值就是 1。它不是一个等待“完成”的过程，而是一个已经“到达”的终点（用数学语言来说，是收敛到了 1）。我们对无限小数的理解，更多是基于它的极限值，而不是我们“手动”写出它的过程。
为什么 Happylee 的“证明”在数学上站不住脚？
1. 违反实数公理/性质： 他的“证明”如果引入了我们上面提到的“无穷小”概念，就直接触犯了实数系的某些基本公理或性质。在标准的实数系统中，不允许存在这样的“无穷小”。
2. 对“无限”的误解： 最根本的问题在于，他对无限循环小数的理解，似乎停留在一种“不断添加”的、有限的思维模式上，而没有接受“无限循环小数代表的恰恰是它所逼近的那个值”。0.999... 的“...”不是一个可以被填补的空位，而是表示一种无尽的重复，这种无尽的重复最终在数学上就指向了 1。
3. 非标准的数学操作： 他在进行代数运算时，可能会隐含地引入一些非标准的操作，比如试图从一个无限小数中“提取”或“隔离”一个隐藏的无穷小，这是不允许的。
总结：
Happylee UP主通过他的视频，成功地让很多人思考了 0.999... = 1 这个看似违反直觉的命题。他的贡献在于激发了大众对数学概念的兴趣和讨论。
然而，从严格的数学定义和逻辑推导来看，Happylee 的“证明”并没有推翻 0.999... = 1 这个事实。他的论证依赖于对无限概念的直观误解，特别是对“无穷小”的错误运用。0.999... 等于 1 是建立在扎实的数学基础上的，是实数体系定义下必然的结果。
看待这类科普内容，我们应该欣赏其激发思考的价值，但同时也要保持批判性思维，用更严谨的数学知识去审视其论证过程。Happylee 的视频，与其说是一个成功的“反证”，不如说是一个很好的例子，说明了数学概念（特别是关于无限的概念）常常需要脱离日常直觉，建立在抽象和严谨的定义之上。
网友意见
凡事认为0.99999•不等于1的，他的实数跟通用实数公理体系是不兼容的。
民科就不要来刷了。
谢邀，这种月经的问题下某些「一本道」的回答也能拿到不少赞，真是啧啧称奇。
这个b站的up主说白了就是质疑“是否任意实数可以表示成小数“这个命题，大家如果对于这个命题感兴趣，可以去看下面这本书（微积分学教程）的第十页内容：专门讨论了在戴徳金（Dedekind ）分割定义下的实数的小数表示问题，还有zorich在他的第二章（实数）末尾处甚至讨论在 -进制的小数表示实数的问题。这个讨论是有必要的，因为有时候实数的二进制表示更有用。
实数是否有别的构造呢？有的，你可以基于等价列或者非标准分析的方法，那么在这些不同方法构造出来的实数差别如何？ 这样说吧，任何一个（戴徳金）完备的有序数域都是「实数」，它们并无本质区别。在结构上和戴徳金分割是一致的。 这个命题在Zorich的书中提到了一下，这就是为什么在它的书上，他是公理化地定义实数，甚至先定义实数，然后定义自然数。具体的证明在Spivak的 Calculus的附录(chapter 30)给出。大家有兴趣可以去看。
Michael Spivak, Calculus, third edition, Publish or Perish, Houston, 1994.
初学者还是多读书，别刷知乎了，先把我列的书的对应章节看一次，也就一两天的功夫，也就明白（大家都基本认同的）实数是怎么回事。当然，你非得弄一个不同的数学结构，然后命名其为「实数」，这就有点没意思了。比如（我们常说的实数）都是满足阿基米德原理的。但是你也可以简单的构造出不满足这个性质的有序域，甚至可以是完备的。这里的完备和实数那种上有界必有确界是不一样的。但是你说这东西叫”实数”吗？数学命名是先来先得的，先来的人说自己叫「微分」，然后你在广义函数上推广了，那就叫「广义函数下的微分」，不好喧宾夺主。事实上你的确可以构造出和正常实数很不一样的东西，但是建议这样讲的人一定要自己去学会区分。因为你不区分会给人误导。既然是初学者，弄懂戴徳金分割这些东西及其性质。然后你谈别的就好。
一开始先是言之凿凿地说我是错的，然后解释着解释着就变成了我想想，然后想着想着人就不见了。反驳我的人里一个数理逻辑专家都没有，唯一一个懂数理逻辑的跟我聊了半天聊通了。不是我自负，是你们真的菜。
现在已经变成了“我没学过证明论，你写的证明没有照顾到完全不懂证明论的人，我找不到错误也看不懂，但是我凭直觉觉得你的证明是错的，因此你的证明有可能有错，除非你自己把错误指出来否则我不可能知道究竟错在哪里。所以我实名反对你的回答”
大V可以的
好的我洗心革面了，决定系统地阐述一下这个问题的本质。首先这个问题里面涉及两个主要的对象，一个对象叫作 理论，一个对象叫作实数理论。但是为了充分发挥 的作用以简化叙述，这里我们废弃以实数理论作为实数集的定义，直接在 语言中添加集合常量 指代自然数集和实数集，并将关于这两个集合的理论直接加入 公理。实数理论不一定内含自然数理论，但是为了确保理论足够强（不含自然数理论的实数理论是很弱的），不妨将自然数视为实数的一部分。我们有以下公理：
前8条是自然数理论的公理，包含了皮亚诺公理与加法乘法公理以及线序公理，后8条是实数理论的公理，包含了实数的域公理与线序公理以及完备公理，希望我没漏掉什么
数学领域有一个不成文的规矩，如果一个元素是可定义的，那么我们可以在理论中加入一个新的符号代表它，例如我们将 定义为 ，将 定义为 。这个行为的合理性是易证的，所以在此不赘述。 这些小数同样可以看作我们加入实数理论的符号，而 ，很多人认为它的定义是 ，的确这不失为一种定义方式，但是这样的定义的确过于乏味，因此我对其采用公理化定义：
首先我们可以简单地确认这个定义是良好无矛盾的，因为 恰好满足 的公理化定义，因此我所构造的含有常量 的理论的一致性等同于实数理论的一致性。
至于定义的合理性，合理与否并不是可以用数学手段说明的，只能说我觉得 满足我们对 的认知，因此这么定义也无妨，毕竟 的定义实在是太过无趣。如果你认为 作为其公理化定义不合理，那么希望你阐述你的理由，它在哪一点上违背了我们的常识。
接下来进入正题，我们的问题是用以上方法定义的 是否等于 .当然了，我的主张从一开始就是确定的，我要证明 不是真命题。由于 是一阶理论，所以为了证明由以上公理无法证明 ，根据完备性定理，我只需要证明存在一个 模型，使得该模型中存在集合 与元素 满足以上全部命题但是 是该模型内的真命题即可。这一段话可能读起来有点绕，不过是正确的。
为了证明这一点，首先我们引入一个重要的引理：对于任意一个无穷集合 ，存在一个 上的集合族 ，满足以下四个条件：
任意 ，如果 是有穷集，那么
任意 ，
任意 ，如果 ，那么
任意 ，要么 ，要么
接下来，假设 构成了前述公理集的一个模型，其中 是 模型， 分别是自然数模型与实数模型， 是单位元。显然， 都是实数，因此它们都是 的元素。
为了构造使得 成立的模型，首先定义 ，根据引理存在集合族 满足以上三个条件，之后定义 上的等价关系 当且仅当 .在这里，照顾到基础不牢固的读者，我象征性地证明一下这是一个等价关系，自反和对称性是显然的，只需证明传递性。 ，根据性质2和3，可知当右侧属于 时左侧一定属于 ，因此 .
终于到了最关键的一步，现在，定义 为 在等价关系下的商集，意即 ，定义 为函数 的等价类，定义 为函数 的等价类，定义 为函数 的等价类。之后，定义命题 在 中的真值等于命题 的真值。
最后，我们只需要说明以上定义的 是满足全部公理的模型，并且存在一个元素 使得 在 中成立即可。
由于公理数量众多，全部在这里验证耗时太久，所以仅验证公理4作为示例，其它公理的验证略去，如果认为有某条公理无法验证可以联系我，那么我会补上验证过程。
我们需要验证的公理是
证明： 意味着 ， 意味着 ，现在定义 为所有满足 的 构成的集合，根据引理， .由于 是 的非空子集，所以根据公理（我们在之前假定了 满足公理4），存在 ，接下来定义函数 ，满足对于 有 ，而对于其它的 则有 .
由于 ，所以根据定义， 是真命题；对于任意 ，我们有： ，因此恒有 成立，综上 ，这也就意味着
验证到此完毕，因此当我们依次验证过所有公理后，我们可以发现 是满足条件的模型，之后只需要证明存在元素 使得 成立即可。
然而，对于 中的元素 ，函数 都是 的元素，因此如果记后者为 ，则 将 嵌入了 .由于 都是 内的可定义元素，因此存在公式 使得它们分别是满足公式的唯一元素。然而，这些性质也恰好在 内定义了 ，这也就说明 内恰好有 成立，因此只需要证明存在 内的元素 使得 即可。
令 为函数 的等价类，则显然 ，对于任意的 ， 的真值等于 的真值，由于其补集 是有穷集，根据 的公理， 为真
另一方面，由于 恒真，所以 的真值为真。
综上， 得证，因此命题 的无矛盾性得证。
如果不省略掉 构成模型的证明，可能还得再写十几页
这是我与 @黎曼不可积 的邮件交流，我把一切主张早就写在了我的文章里，然后你们先是完全不看我的论述，脑补出一个错误的论述，然后一遍又一遍地证明你们脑补出的论述是错误的，指出一个又一个根本不存在的错误，然后当我仿若复制我的文章内容一样一个又一个地予以澄清时，你们就可以跳出来说我是杠精了。最后我还是本着人道主义把“自然数可定义性无法证明”的证明发给了他，没有什么高深的理论，篇幅中等，估计他也是不会看的，反正他对数理逻辑不感兴趣，对正确的东西不感兴趣，只是想随随便便信口开河嘲笑嘲笑这个嘲笑嘲笑那个，为自己枯燥的生活增添一点乐趣。
感觉自己全程都在跟纸张对话。到最后居然还笑了两下。年轻人，笑错了可是会没命的。
有时我自己也会发现自己的严密性问题，评论区里懂点高数（高中数学）就敢怼天怼地的人虽然不少但是亮闪闪的送分点他们全都看不见，一个个都在靠脑补试图找出根本不存在的逻辑错误。虽说后来逻辑错误是自己发现的，但是毕竟错了就是错了，需要反省，我也决定拿出一些东西出来。
首先我科普一下一阶逻辑和二阶逻辑，一阶逻辑就是我们最熟悉的数学了，比如说在集合论中我们需要证明不存在集合 ，这时我们只要用集合论公理和逻辑演算就可以计算出公式 的真值是假。这就是一阶的证明，其本质是计算一个公式的真值。
二阶逻辑是外界的东西，也是我们研究公理集的手段。比如，我们可能需要研究连续统假设与 的一致性，可是“连续统假设与 一致”根本不是一个命题，我们如何用 来研究它呢？这时二阶逻辑就登场了，我们首先在 中假定 是 的模型，之后验证连续统假设在 中成立与否。如果我们能够证明，存在一个 使得连续统假设在其中成立，那么我们就说明了“集合论中的集合论模型可以满足连续统假设”，因此当我们假设集合论是正确的理论时，就可以反射性地说明连续统假设是一致的。这个行为就好像什么呢，比方说我住在一个房子里，我想知道如果发生地震时我的房子是否会塌，于是我在我的房子内的桌子上搭了一个小房子，让其结构与我的大房子完全相同，之后我晃了晃桌子，发现它没塌，于是得出就算地震了我的房子也不会塌一样。其实我们并没有真正证明大房子不会塌，只是反射性地类似于证明了大房子不会塌。在数理逻辑里也是完全一样的。
之前我说定义 为小于 的可定义实数的上确界，这个定义果然还是有问题的。说这句话的时候我忘了我现在在研究 而非实数理论，如果我是在 中研究实数理论，那么我可以说可定义实数构成一个集合，但是这么做的话我就无法强行插入一个 ，因为实数理论是二阶的，事实上我并不知道该如何避免矛盾的同时对二阶理论动手动脚。因此我应当研究 中的 理论，因为 理论是一阶的，所以我可以无矛盾地令 是 实数的元素。注意我在用一个二阶的手法研究一个一阶理论。
之后，我可以简明地证明 在 实数中的无矛盾性，从而反射性地说明它是无矛盾的。但是到了这里以后我被胜利冲昏了头脑，居然想着将其干脆定义为 的上确界。我忽视了一个问题，虽然它是一个集合，但是它并不一定是 模型的集合，而由于我现在研究的是一阶 理论而非二阶实数理论，所以只有当它是 集合时才能使用确界存在性质。我以为我成功精简了的描述，其实是错误的。
这并不影响我原本的主张是无矛盾的。
首先他的视频并不是在证明0.999...≠1，而是在驳斥两种网络上的“证明”
他的驳斥基本上都是有道理的，而且与数学接触较深的人可以很容易地从他的视频中理解他的核心主张，那就是虽然所有小数，无论是有限还是无限，它们都是实数，但是并非所有实数都可以表示成为无限小数。因此，在第一种证明方法中，假定了1/3可以表示为0.333...；第二种证明方法中，假定了0.999...×10=9.999...；这两个假定都是未经证明的，最多只能说是证明了两个1=0.999...的充分条件，而没有证明这两个充分条件的正确性。
当然视频作者的问题显然在于没有对任意有限和无限作区分，任意有限的0.999...9<1，无法类推到无限的0.999...<1，因此谈不上证明。但是他的主张仍然是有趣的，也是留给大众的一个严峻考验。大多数不与数学打交道的人，当然包括视频作者在内，是无法理解数学的严密性的，大多数人仅仅在乎“什么是公认的”，而不会思考正确的为何是正确的。当然了，让大众理解数学的本质这要求也太过于高了，但是视频作者则敏锐地发现了实数理论中的一个“弱点”，并且发现了这一弱点背后隐藏着的核心问题在于“是否所有实数都可以表示为无限小数”，在这一点上视频作者已经超越了大部分一般人。
最后，作为从事数学相关工作（？）的人，我可以给出一些定论，那就是“0.999...≠1”与实数理论不一定是有矛盾的，“任何实数都可以表示为无限小数”也不是一个真命题。视频作者差一点就踏入了模型扩张的领域内，当然作者并不会意识到这一点。
有兴趣的人不妨对这个问题进行深入的思考，但是务必要时刻留意论证的严密性。
感谢 @JPSerre 与我的讨论让我自己对这个问题也有了更深的理解。简明地说，0.9,0.99,0.999...都是可定义的实数，这是毫无疑问的，因为0是可定义的，而自然数理论保证了1和10是可定义的，因此0.9=1-1/10，0.99=1-1/10/10，...，这些数都是可定义的
然而，当我们考虑二阶命题：存在一个小于1的实数，任何小于1的可定义实数都小于它
这个命题其实是不可判定的。虽然，一般我们不把它当作一个命题来看待。
对于一个满足这种条件的实数，我们不妨把它叫做0.999...，那么它满足0.9<0.99<0.999<...<0.999...<1，这与我们对0.999...的认知是一样的。
另一方面，虽然1-10^n的极限是1，这毫无疑问，但是{1-10^n|n∈N}不一定都是可定义实数，也就是说其中的某一个数已经超越了真正的“有限小数”的范围。
再进一步说，0,1,2,...都是自然数，并且它们都是可定义自然数。显然，如果n是自然数并且n是可定义的，这也就是说存在公式φ使得n是满足φ的唯一自然数，那么n+1也是自然数并且是可定义的，因为n+1是满足公式φ(n)=“存在m使得n=m+1并且φ(m)”的唯一自然数。因此，0,1,2,...是“归纳的”，并且是自然数的一部分。然而，我们却无法证明“任意自然数都是可定义的”，这也就是说存在一个自然数我们无法写出它来。
印象里 @徐天一 好像是数理逻辑那边的专家，请问您怎么看？另外我再补充说明一下，我在工作之前首先假定ZFC理论、实数理论、自然数理论都是平级的，也就是说不再以二阶理论的眼光看待实数理论和自然数理论，直接将实数集符号R和自然数集符号N加入ZFC理论的符号集中（当然，ZFC理论一般默认是没有常量符号的），之后将实数理论和自然数理论的公理直接添加入ZFC理论中。此时，(ZFC,实数理论,自然数理论)构成了一个完整的一阶理论，因此我可以证明当我向其中添加实数常量符号{0.9,0.99,...}（当然与此同时也将它们的定义加入公理集）与特殊的实数符号{0.(9)}，最后再将命题【0.9<0.99<...<0.(9)<1】（当然了，这个命题代表的是无穷个命题构成的命题族，它们分别是0.9<0.99，0.9<0.(9)，0.9<1，0.99<0.999，0.99<0.(9)，0.99<1，……）添加入公理集时，得到的公理集是无矛盾的。
其无矛盾的原因相信您是能一眼看出来的，所以对这个问题您怎么看？
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