为什么算法时间复杂度没有三角函数级别？
很多人在学习算法的时候，都会接触到时间复杂度分析，我们常常听到的是 O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n^2) 乃至 O(2^n) 等等。但有没有人想过，为什么在这些常见的复杂度级别里，我们很少见到三角函数的身影，比如 O(sin n) 或者 O(cos n) 呢？这并不是因为算法的设计者们故意避开了它们，而是它们在描述算法的“增长趋势”上，存在着根本性的不匹配。
要理解这一点，我们首先要明确“时间复杂度”究竟是在衡量什么。
时间复杂度的本质：衡量“增长的趋势”
时间复杂度，尤其是大 O 记法（Big O notation），它关注的不是算法执行的确切时间，也不是绝对的操作次数。它是一种渐进分析，用一个函数来描述当输入规模 `n` 趋向于无穷大时，算法执行时间增长的“上限”或者说“趋势”。
想象一下，你在处理一份越来越大的文件。算法的时间复杂度就像是在告诉你，随着文件变大，你处理这份文件需要的时间，大致会以什么样的速度增加。是几乎不变（O(1)）？还是随着文件大小对数增长（O(log n)）？还是随着文件大小线性增长（O(n)）？还是更快的速度增长？
为什么三角函数不适合描述这种“增长趋势”？
现在我们来看看三角函数，比如 `sin(n)` 和 `cos(n)`。它们的特性非常鲜明：
1. 周期性（Bounded Oscillation）：三角函数最显著的特点就是它们是周期性的。无论 `n` 多大，`sin(n)` 的值永远在 1 和 1 之间波动，`cos(n)` 的值也永远在 1 和 1 之间波动。这意味着它们的值是有限的、有界的。
2. 不趋向于无穷大（Does not tend to infinity）：这意味着，如果一个算法的时间复杂度是 `O(sin n)` 或 `O(cos n)`，那么无论 `n` 多大，它的执行时间都不会超过一个固定的常数（比如 1 或 1 的某种倍数，加上一些其他项）。这与我们观察到的绝大多数算法的行为完全不符。
如果算法真的只需要一个常数时间（比如 O(1)），那它就是 O(1)。我们不会写成 O(sin n)，因为 O(sin n) 暗示着一种在常数范围内波动的特性，而 O(1) 暗示着一种稳定不变的特性。虽然波动在有界范围内，但它依然是“波动”的，而不是“稳定增长”或“稳定不变”。
更重要的是，任何算法的执行时间，即使非常快，也总会随着输入规模的增加而增加（或者至少保持不变），而不会无理由地周期性地“回落”。我们不会看到一个算法，处理 100 个数据项需要 5 秒，处理 101 个数据项需要 0.1 秒，处理 102 个数据项又需要 5 秒。实际情况是，处理更多的输入，通常意味着需要做更多的工作，时间不会无缘无故地减少。
那么，如果一个算法的某些部分涉及到三角函数怎么办？
当然，算法的内部计算过程中完全可能涉及到三角函数。比如，在图形学、信号处理、物理模拟等领域，计算一个点的角度、振幅或者波形是常有的事。
但是，当我们将这些计算的“总时间”或“总操作次数”用时间复杂度来衡量时，我们关注的不是三角函数在某个特定点的值，而是包含三角函数计算在内的所有计算随着输入规模 `n` 的增长，整体上会如何增长。
举个例子：
假设一个算法需要执行 `n` 次循环，而在每次循环内部，它计算 `sin(i)`，其中 `i` 从 1 到 `n`。
那么，这个算法的总操作次数（粗略地说）可能是 `n (计算 sin(i) 的时间)`。
计算 `sin(i)` 本身，对于一个特定的 `i`，通常被认为是常数时间操作（尽管可能比加法复杂一点，但它不依赖于 `n` 的规模）。
因此，如果循环 `n` 次，每次执行一个常数时间的操作，那么总的时间复杂度就是 `n O(1) = O(n)`。
即使 `sin(i)` 的值在波动，但它消耗的时间是相对固定的。算法整体的“工作量”是由循环的次数 `n` 主导的。
什么是“有界振荡”？
或许有人会想，如果算法的时间是 `O(n + sin n)` 呢？根据大 O 记法的定义，我们只关心增长最快的项。当 `n` 趋向于无穷大时，`n` 这个项远远大于 `sin n` 这个在 [1, 1] 之间波动的项。所以，`O(n + sin n)` 仍然被简化为 `O(n)`。
有时，我们可能会遇到更复杂的情况，比如算法的执行时间可能与某个参数的正弦值有关，导致在某些 `n` 值上快一些，在另一些 `n` 值上慢一些，但整体趋势仍然是增长的。例如，可能有一个算法的时间复杂度是 `O(n (1 + 0.1 sin(n/10)))`。当 `n` 很大时，这个算法的时间仍然是接近 `O(n)` 的，但会围绕着 `O(n)` 的直线有轻微的上下波动。
然而，在标准的、用于描述算法效率的渐进时间复杂度中，我们追求的是一种简洁、清晰的“增长趋势”的分类。这种轻微的、有界范围内的波动，对于我们理解算法的规模化处理能力来说，通常是次要的细节。我们更关心它整体上是线性的、平方的还是指数的。
如果一个算法的性能确实存在如此明显的周期性波动，并且这种波动是影响算法选择的关键因素，那么我们可能会需要更精细的分析，而不是简单的大 O 记法。但即便如此，我们也很少会用“O(sin n)”来描述，因为如前所述，`sin n` 本身并不描述“增长”，而是“振荡”。
总结一下
三角函数之所以不出现在常见的算法时间复杂度级别中，核心原因是：
1. 周期性与有界性：三角函数的值是周期性且有界的，不符合算法执行时间随输入规模增大而持续增长（或至少保持不变）的普遍规律。
2. 渐进趋势：时间复杂度关注的是当 `n` 趋向无穷大时的增长趋势的上限。三角函数这种“波动”的特性，在描述这种宏观趋势时显得不合适，且在渐进意义下通常会被主导项“吞没”。
3. 简洁性：大 O 记法的目的是提供一个简洁的、易于比较的分类标准。将算法归类为 `O(n)` 或 `O(n log n)`，比用包含三角函数的复杂表达式来描述要清晰得多。
所以，虽然三角函数是数学中非常重要且优美的部分，但在算法时间复杂度的语言中，它们因为其固有的“波动”和“有界”特性，并不适合作为描述算法执行时间“增长趋势”的基石。我们看到的 O(log n), O(n), O(n^2) 等等，都是在描述输入规模 `n` 增大时，算法所需工作的非递减性增长的“速度”。
要理解这一点，我们首先要明确“时间复杂度”究竟是在衡量什么。
时间复杂度的本质：衡量“增长的趋势”
时间复杂度，尤其是大 O 记法（Big O notation），它关注的不是算法执行的确切时间，也不是绝对的操作次数。它是一种渐进分析，用一个函数来描述当输入规模 `n` 趋向于无穷大时，算法执行时间增长的“上限”或者说“趋势”。
想象一下，你在处理一份越来越大的文件。算法的时间复杂度就像是在告诉你，随着文件变大，你处理这份文件需要的时间，大致会以什么样的速度增加。是几乎不变（O(1)）？还是随着文件大小对数增长（O(log n)）？还是随着文件大小线性增长（O(n)）？还是更快的速度增长？
为什么三角函数不适合描述这种“增长趋势”？
现在我们来看看三角函数，比如 `sin(n)` 和 `cos(n)`。它们的特性非常鲜明：
1. 周期性（Bounded Oscillation）：三角函数最显著的特点就是它们是周期性的。无论 `n` 多大，`sin(n)` 的值永远在 1 和 1 之间波动，`cos(n)` 的值也永远在 1 和 1 之间波动。这意味着它们的值是有限的、有界的。
2. 不趋向于无穷大（Does not tend to infinity）：这意味着，如果一个算法的时间复杂度是 `O(sin n)` 或 `O(cos n)`，那么无论 `n` 多大，它的执行时间都不会超过一个固定的常数（比如 1 或 1 的某种倍数，加上一些其他项）。这与我们观察到的绝大多数算法的行为完全不符。
如果算法真的只需要一个常数时间（比如 O(1)），那它就是 O(1)。我们不会写成 O(sin n)，因为 O(sin n) 暗示着一种在常数范围内波动的特性，而 O(1) 暗示着一种稳定不变的特性。虽然波动在有界范围内，但它依然是“波动”的，而不是“稳定增长”或“稳定不变”。
更重要的是，任何算法的执行时间，即使非常快，也总会随着输入规模的增加而增加（或者至少保持不变），而不会无理由地周期性地“回落”。我们不会看到一个算法，处理 100 个数据项需要 5 秒，处理 101 个数据项需要 0.1 秒，处理 102 个数据项又需要 5 秒。实际情况是，处理更多的输入，通常意味着需要做更多的工作，时间不会无缘无故地减少。
那么，如果一个算法的某些部分涉及到三角函数怎么办？
当然，算法的内部计算过程中完全可能涉及到三角函数。比如，在图形学、信号处理、物理模拟等领域，计算一个点的角度、振幅或者波形是常有的事。
但是，当我们将这些计算的“总时间”或“总操作次数”用时间复杂度来衡量时，我们关注的不是三角函数在某个特定点的值，而是包含三角函数计算在内的所有计算随着输入规模 `n` 的增长，整体上会如何增长。
举个例子：
假设一个算法需要执行 `n` 次循环，而在每次循环内部，它计算 `sin(i)`，其中 `i` 从 1 到 `n`。
那么，这个算法的总操作次数（粗略地说）可能是 `n (计算 sin(i) 的时间)`。
计算 `sin(i)` 本身，对于一个特定的 `i`，通常被认为是常数时间操作（尽管可能比加法复杂一点，但它不依赖于 `n` 的规模）。
因此，如果循环 `n` 次，每次执行一个常数时间的操作，那么总的时间复杂度就是 `n O(1) = O(n)`。
即使 `sin(i)` 的值在波动，但它消耗的时间是相对固定的。算法整体的“工作量”是由循环的次数 `n` 主导的。
什么是“有界振荡”？
或许有人会想，如果算法的时间是 `O(n + sin n)` 呢？根据大 O 记法的定义，我们只关心增长最快的项。当 `n` 趋向于无穷大时，`n` 这个项远远大于 `sin n` 这个在 [1, 1] 之间波动的项。所以，`O(n + sin n)` 仍然被简化为 `O(n)`。
有时，我们可能会遇到更复杂的情况，比如算法的执行时间可能与某个参数的正弦值有关，导致在某些 `n` 值上快一些，在另一些 `n` 值上慢一些，但整体趋势仍然是增长的。例如，可能有一个算法的时间复杂度是 `O(n (1 + 0.1 sin(n/10)))`。当 `n` 很大时，这个算法的时间仍然是接近 `O(n)` 的，但会围绕着 `O(n)` 的直线有轻微的上下波动。
然而，在标准的、用于描述算法效率的渐进时间复杂度中，我们追求的是一种简洁、清晰的“增长趋势”的分类。这种轻微的、有界范围内的波动，对于我们理解算法的规模化处理能力来说，通常是次要的细节。我们更关心它整体上是线性的、平方的还是指数的。
如果一个算法的性能确实存在如此明显的周期性波动，并且这种波动是影响算法选择的关键因素，那么我们可能会需要更精细的分析，而不是简单的大 O 记法。但即便如此，我们也很少会用“O(sin n)”来描述，因为如前所述，`sin n` 本身并不描述“增长”，而是“振荡”。
总结一下
三角函数之所以不出现在常见的算法时间复杂度级别中，核心原因是：
1. 周期性与有界性：三角函数的值是周期性且有界的，不符合算法执行时间随输入规模增大而持续增长（或至少保持不变）的普遍规律。
2. 渐进趋势：时间复杂度关注的是当 `n` 趋向无穷大时的增长趋势的上限。三角函数这种“波动”的特性，在描述这种宏观趋势时显得不合适，且在渐进意义下通常会被主导项“吞没”。
3. 简洁性：大 O 记法的目的是提供一个简洁的、易于比较的分类标准。将算法归类为 `O(n)` 或 `O(n log n)`，比用包含三角函数的复杂表达式来描述要清晰得多。
所以，虽然三角函数是数学中非常重要且优美的部分，但在算法时间复杂度的语言中，它们因为其固有的“波动”和“有界”特性，并不适合作为描述算法执行时间“增长趋势”的基石。我们看到的 O(log n), O(n), O(n^2) 等等，都是在描述输入规模 `n` 增大时，算法所需工作的非递减性增长的“速度”。
网友意见
因为n趋于无穷大时，三角函数没有值……
的含义可以简单理解为：令算法要处理的数据的规模为n，则算法处理的时间t满足：
C为一个常数。
反过来
表示：
也就是算法处理时间的增长速度极限。
譬如说常见的 表示：
算法所需要的处理时间与规模没有关系，随着数据规模的增长，算法所需的处理时间永远不超过某个常数。因为C*1=C
表示，随着数据规模的增长，算法所需要的处理时间增长永远不会超过数据规模的常数倍。
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