矩阵链相乘的时间复杂度为什么末尾是dn呢，是那么算的呢？
矩阵链相乘，这个听起来有点技术性的名字，其实描绘的是一个我们日常生活中可能经常遇到的问题，只不过我们换了个方式来思考它。想象一下，你有好几个大小不一的矩阵要一个接一个地乘起来，比如 A B C D。你可能会问，这有什么难的？直接从左往右乘不就行了吗？
问题就出在这个“直接”上面。矩阵乘法有个特性，它满足结合律，也就是说，(A B) C 和 A (B C) 的结果是一样的。但关键是，它们计算起来的花费是完全不同的！这里我们就需要引入一个概念—— 计算一个矩阵乘法需要多少步。
假设我们有两个矩阵，一个是 $p imes q$ 的，另一个是 $q imes r$ 的。要计算它们的乘积，我们会得到一个 $p imes r$ 的矩阵。具体怎么算呢？最直观的方法是，结果矩阵中的每一个元素，都要通过将第一个矩阵的某一行与第二个矩阵的某一列进行点乘（也就是对应元素相乘再求和）得到。
一个元素需要 $q$ 次乘法和 $q1$ 次加法。如果结果矩阵有 $p imes r$ 个元素，那么总共需要 $p imes q imes r$ 次乘法和大量的加法。为了简化分析，我们通常只关注乘法次数，因为乘法通常比加法更耗费计算资源。所以，计算一个 $p imes q$ 矩阵乘以一个 $q imes r$ 矩阵，其基本操作（乘法）次数大约是 $p imes q imes r$。
现在回到矩阵链相乘的问题，比如 A B C D。如果我们有 A ($p_0 imes p_1$)，B ($p_1 imes p_2$)，C ($p_2 imes p_3$)，D ($p_3 imes p_4$)，我们可以有几种不同的组合方式：
1. ((A B) C) D
先算 A B：代价是 $p_0 imes p_1 imes p_2$。结果是 $(p_0 imes p_2)$ 的矩阵。
再算 (A B) C：代价是 $p_0 imes p_2 imes p_3$。结果是 $(p_0 imes p_3)$ 的矩阵。
最后算 ((A B) C) D：代价是 $p_0 imes p_3 imes p_4$。
总代价就是 $(p_0 imes p_1 imes p_2) + (p_0 imes p_2 imes p_3) + (p_0 imes p_3 imes p_4)$。
2. (A (B C)) D
先算 B C：代价是 $p_1 imes p_2 imes p_3$。结果是 $(p_1 imes p_3)$ 的矩阵。
再算 A (B C)：代价是 $p_0 imes p_1 imes p_3$。结果是 $(p_0 imes p_3)$ 的矩阵。
最后算 (A (B C)) D：代价是 $p_0 imes p_3 imes p_4$。
总代价就是 $(p_1 imes p_2 imes p_3) + (p_0 imes p_1 imes p_3) + (p_0 imes p_3 imes p_4)$。
3. A ((B C) D)
先算 B C：代价是 $p_1 imes p_2 imes p_3$。结果是 $(p_1 imes p_3)$ 的矩阵。
再算 (B C) D：代价是 $p_1 imes p_3 imes p_4$。结果是 $(p_1 imes p_4)$ 的矩阵。
最后算 A ((B C) D)：代价是 $p_0 imes p_1 imes p_4$。
总代价就是 $(p_1 imes p_2 imes p_3) + (p_1 imes p_3 imes p_4) + (p_0 imes p_1 imes p_4)$。
你会发现，即使只是这几种简单的组合，总代价也可能差异巨大。所以，找到一个最优的计算顺序，使得总乘法次数最少，这就是矩阵链相乘问题的目标。
为什么会扯到 "dn" 呢？
你问的 "dn" 可能指的是 时间复杂度中的某个项，而不是整个问题的最终复杂度。这个问题通常是用 动态规划 来解决的。
动态规划的核心思想是把一个大问题分解成许多更小的、重叠的子问题，然后记录这些子问题的解，避免重复计算。
对于矩阵链相乘，我们可以定义一个子问题：计算从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵相乘（记作 $M_{i..j}$）的最优代价。
假设我们有 n 个矩阵，从 $A_1$ 到 $A_n$。矩阵 $A_i$ 的维度是 $p_{i1} imes p_i$。
我们设 $m[i, j]$ 是计算矩阵链 $A_i, A_{i+1}, ldots, A_j$ 的最小代价。
当 i = j 时，只有一个矩阵，不需要乘法，所以 $m[i, i] = 0$。
当 i < j 时，要计算 $A_i, ldots, A_j$，我们需要在某个位置 k (i <= k < j) 将链分成两部分：$(A_i ldots A_k)$ 和 $(A_{k+1} ldots A_j)$。
那么，计算 $A_i ldots A_j$ 的总代价就是计算左边子链的最小代价，加上计算右边子链的最小代价，再加上将这两个结果矩阵相乘的代价。
$m[i, j] = min_{i le k < j} { m[i, k] + m[k+1, j] + p_{i1} imes p_k imes p_j }$
这里的 $p_{i1} imes p_k imes p_j$ 是计算 $(A_i ldots A_k)$（维度是 $p_{i1} imes p_k$）和 $(A_{k+1} ldots A_j)$（维度是 $p_k imes p_j$）的乘积的代价。
如何计算这个复杂度呢？
1. 子问题的数量： 我们需要计算 $m[i, j]$ 的值，其中 $1 le i le j le n$。有多少这样的 (i, j) 对呢？
当 j = i 时，有 n 个对 (1,1), (2,2), ..., (n,n)。
当 j = i+1 时，有 n1 个对 (1,2), (2,3), ..., (n1,n)。
当 j = i+2 时，有 n2 个对。
...
当 j = n 时，只有 1 个对 (1,n)。
总共有 $n + (n1) + ldots + 1 = frac{n(n+1)}{2}$ 个子问题，大约是 $O(n^2)$ 个。
2. 计算每个子问题的代价： 对于每一个 $m[i, j]$，我们需要遍历所有的可能的分割点 k。k 的取值范围是从 i 到 j1，所以最多有 ji 个选择。在最坏的情况下，ji 大约是 n。
所以，计算 $m[i, j]$ 需要 $O(ji)$ 的时间。
3. 总复杂度： 将这两部分相乘，我们得到一个粗略的估计：$O(n^2) imes O(n) = O(n^3)$。
那 "dn" 是从哪里来的？
如果你的问题是指在 具体实现 中，例如，你可能看到某些地方将输入矩阵的数量记为 `n`。那么，当计算一个子问题 $m[i, j]$ 时，你是在考虑从第 `i` 个矩阵到第 `j` 个矩阵的链，这个链的 长度 是 `j i + 1`。在你的 DP 计算中，最内层的循环是遍历分割点 `k`，而 `k` 的范围是 `i` 到 `j1`。这个 `ji` 的范围，对于长度为 `L` 的子链，最大值是 `L1`。
如果我们假设 `n` 是 矩阵的个数。那么，在计算 $m[i, j]$ 时，我们遍历的 `k` 的范围是 `i` 到 `j1`。这个 `ji` 的最大值发生在 $j=n, i=1$，此时 `ji = n1`。所以，对于每一个子问题，我们需要进行最多 `n1` 次尝试（分割点 k 的选择）。
DP 的过程是：
先计算长度为 2 的子链，例如 $m[1,2], m[2,3], ldots, m[n1, n]$。有 $n1$ 个这样的子链。
然后计算长度为 3 的子链，例如 $m[1,3], m[2,4], ldots, m[n2, n]$。有 $n2$ 个这样的子链。
...
最后计算长度为 n 的子链 $m[1, n]$。有 1 个这样的子链。
总共有 $O(n^2)$ 个子问题。
计算每个子问题 $m[i, j]$ 的代价是 $O(ji)$ 次分割尝试。
在这些子问题中，`ji` 的最大值是 `n1`（当 i=1, j=n 时）。
所以，总的时间复杂度是：
$sum_{L=2}^{n} sum_{i=1}^{nL+1} (L1)$
其中 L 是子链的长度。
更简洁地看：
有 $O(n^2)$ 个子问题 $(i, j)$。
对于每个子问题 $(i, j)$，需要 $O(ji)$ 的时间来找到最优的分割点 k。
因为 $1 le i le j le n$，所以 $ji$ 的最大值是 $n1$。
因此，计算所有子问题的总时间是 $O(n^2) imes O(n) = O(n^3)$。
这里可能存在一个误解：
“末尾是dn” 这个说法 不精确。矩阵链相乘的 整体时间复杂度是 $O(n^3)$，其中 `n` 是矩阵的个数。
如果 "dn" 是指在某个计算过程中，比如在计算某个特定长度的子链的最小代价时，需要进行 `d` 次迭代，而 `d` 又与 `n` 相关（例如 `d` 可能等于 `n` 或 `n1`），那也说得通。
举个例子，当我们计算长度为 `L` 的所有子链的最小代价时，对于每个子链（例如 $A_i ldots A_j$），我们需要尝试 `L1` 个分割点 `k`。如果我们将 `L` 看作是当前正在处理的“层级”或“长度”，那么在这个层级上，我们做 `L1` 次操作。当 `L` 接近 `n` 时，这个次数就接近 `n`。
总结来说：
矩阵链相乘的时间复杂度是 $O(n^3)$，这个 $n^3$ 是这样来的：
1. 有 $O(n^2)$ 个需要解决的子问题（计算 $A_i ldots A_j$ 的最小代价）。
2. 解决每个子问题，需要 $O(n)$ 的时间（尝试所有可能的分割点 $k$）。
所以，总的时间是 $O(n^2 imes n) = O(n^3)$。
如果有人提到“末尾是dn”，可能是在描述某个循环的次数，这个循环的次数可能与矩阵链的长度有关，而最大链的长度就是 `n`。比如，在计算长度为 `L` 的子链时，我们需要进行 `L1` 次尝试。当 `L` 等于 `n` 时，这部分就是 `n1` 次。但这只是复杂度构成的一部分，而不是最终的整体复杂度。
希望这个详细的解释能帮助你理解矩阵链相乘的时间复杂度是如何计算出来的！
问题就出在这个“直接”上面。矩阵乘法有个特性，它满足结合律，也就是说，(A B) C 和 A (B C) 的结果是一样的。但关键是，它们计算起来的花费是完全不同的！这里我们就需要引入一个概念—— 计算一个矩阵乘法需要多少步。
假设我们有两个矩阵，一个是 $p imes q$ 的，另一个是 $q imes r$ 的。要计算它们的乘积，我们会得到一个 $p imes r$ 的矩阵。具体怎么算呢？最直观的方法是，结果矩阵中的每一个元素，都要通过将第一个矩阵的某一行与第二个矩阵的某一列进行点乘（也就是对应元素相乘再求和）得到。
一个元素需要 $q$ 次乘法和 $q1$ 次加法。如果结果矩阵有 $p imes r$ 个元素，那么总共需要 $p imes q imes r$ 次乘法和大量的加法。为了简化分析，我们通常只关注乘法次数，因为乘法通常比加法更耗费计算资源。所以，计算一个 $p imes q$ 矩阵乘以一个 $q imes r$ 矩阵，其基本操作（乘法）次数大约是 $p imes q imes r$。
现在回到矩阵链相乘的问题，比如 A B C D。如果我们有 A ($p_0 imes p_1$)，B ($p_1 imes p_2$)，C ($p_2 imes p_3$)，D ($p_3 imes p_4$)，我们可以有几种不同的组合方式：
1. ((A B) C) D
先算 A B：代价是 $p_0 imes p_1 imes p_2$。结果是 $(p_0 imes p_2)$ 的矩阵。
再算 (A B) C：代价是 $p_0 imes p_2 imes p_3$。结果是 $(p_0 imes p_3)$ 的矩阵。
最后算 ((A B) C) D：代价是 $p_0 imes p_3 imes p_4$。
总代价就是 $(p_0 imes p_1 imes p_2) + (p_0 imes p_2 imes p_3) + (p_0 imes p_3 imes p_4)$。
2. (A (B C)) D
先算 B C：代价是 $p_1 imes p_2 imes p_3$。结果是 $(p_1 imes p_3)$ 的矩阵。
再算 A (B C)：代价是 $p_0 imes p_1 imes p_3$。结果是 $(p_0 imes p_3)$ 的矩阵。
最后算 (A (B C)) D：代价是 $p_0 imes p_3 imes p_4$。
总代价就是 $(p_1 imes p_2 imes p_3) + (p_0 imes p_1 imes p_3) + (p_0 imes p_3 imes p_4)$。
3. A ((B C) D)
先算 B C：代价是 $p_1 imes p_2 imes p_3$。结果是 $(p_1 imes p_3)$ 的矩阵。
再算 (B C) D：代价是 $p_1 imes p_3 imes p_4$。结果是 $(p_1 imes p_4)$ 的矩阵。
最后算 A ((B C) D)：代价是 $p_0 imes p_1 imes p_4$。
总代价就是 $(p_1 imes p_2 imes p_3) + (p_1 imes p_3 imes p_4) + (p_0 imes p_1 imes p_4)$。
你会发现，即使只是这几种简单的组合，总代价也可能差异巨大。所以，找到一个最优的计算顺序，使得总乘法次数最少，这就是矩阵链相乘问题的目标。
为什么会扯到 "dn" 呢？
你问的 "dn" 可能指的是 时间复杂度中的某个项，而不是整个问题的最终复杂度。这个问题通常是用 动态规划 来解决的。
动态规划的核心思想是把一个大问题分解成许多更小的、重叠的子问题，然后记录这些子问题的解，避免重复计算。
对于矩阵链相乘，我们可以定义一个子问题：计算从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵相乘（记作 $M_{i..j}$）的最优代价。
假设我们有 n 个矩阵，从 $A_1$ 到 $A_n$。矩阵 $A_i$ 的维度是 $p_{i1} imes p_i$。
我们设 $m[i, j]$ 是计算矩阵链 $A_i, A_{i+1}, ldots, A_j$ 的最小代价。
当 i = j 时，只有一个矩阵，不需要乘法，所以 $m[i, i] = 0$。
当 i < j 时，要计算 $A_i, ldots, A_j$，我们需要在某个位置 k (i <= k < j) 将链分成两部分：$(A_i ldots A_k)$ 和 $(A_{k+1} ldots A_j)$。
那么，计算 $A_i ldots A_j$ 的总代价就是计算左边子链的最小代价，加上计算右边子链的最小代价，再加上将这两个结果矩阵相乘的代价。
$m[i, j] = min_{i le k < j} { m[i, k] + m[k+1, j] + p_{i1} imes p_k imes p_j }$
这里的 $p_{i1} imes p_k imes p_j$ 是计算 $(A_i ldots A_k)$（维度是 $p_{i1} imes p_k$）和 $(A_{k+1} ldots A_j)$（维度是 $p_k imes p_j$）的乘积的代价。
如何计算这个复杂度呢？
1. 子问题的数量： 我们需要计算 $m[i, j]$ 的值，其中 $1 le i le j le n$。有多少这样的 (i, j) 对呢？
当 j = i 时，有 n 个对 (1,1), (2,2), ..., (n,n)。
当 j = i+1 时，有 n1 个对 (1,2), (2,3), ..., (n1,n)。
当 j = i+2 时，有 n2 个对。
...
当 j = n 时，只有 1 个对 (1,n)。
总共有 $n + (n1) + ldots + 1 = frac{n(n+1)}{2}$ 个子问题，大约是 $O(n^2)$ 个。
2. 计算每个子问题的代价： 对于每一个 $m[i, j]$，我们需要遍历所有的可能的分割点 k。k 的取值范围是从 i 到 j1，所以最多有 ji 个选择。在最坏的情况下，ji 大约是 n。
所以，计算 $m[i, j]$ 需要 $O(ji)$ 的时间。
3. 总复杂度： 将这两部分相乘，我们得到一个粗略的估计：$O(n^2) imes O(n) = O(n^3)$。
那 "dn" 是从哪里来的？
如果你的问题是指在 具体实现 中，例如，你可能看到某些地方将输入矩阵的数量记为 `n`。那么，当计算一个子问题 $m[i, j]$ 时，你是在考虑从第 `i` 个矩阵到第 `j` 个矩阵的链，这个链的 长度 是 `j i + 1`。在你的 DP 计算中，最内层的循环是遍历分割点 `k`，而 `k` 的范围是 `i` 到 `j1`。这个 `ji` 的范围，对于长度为 `L` 的子链，最大值是 `L1`。
如果我们假设 `n` 是 矩阵的个数。那么，在计算 $m[i, j]$ 时，我们遍历的 `k` 的范围是 `i` 到 `j1`。这个 `ji` 的最大值发生在 $j=n, i=1$，此时 `ji = n1`。所以，对于每一个子问题，我们需要进行最多 `n1` 次尝试（分割点 k 的选择）。
DP 的过程是：
先计算长度为 2 的子链，例如 $m[1,2], m[2,3], ldots, m[n1, n]$。有 $n1$ 个这样的子链。
然后计算长度为 3 的子链，例如 $m[1,3], m[2,4], ldots, m[n2, n]$。有 $n2$ 个这样的子链。
...
最后计算长度为 n 的子链 $m[1, n]$。有 1 个这样的子链。
总共有 $O(n^2)$ 个子问题。
计算每个子问题 $m[i, j]$ 的代价是 $O(ji)$ 次分割尝试。
在这些子问题中，`ji` 的最大值是 `n1`（当 i=1, j=n 时）。
所以，总的时间复杂度是：
$sum_{L=2}^{n} sum_{i=1}^{nL+1} (L1)$
其中 L 是子链的长度。
更简洁地看：
有 $O(n^2)$ 个子问题 $(i, j)$。
对于每个子问题 $(i, j)$，需要 $O(ji)$ 的时间来找到最优的分割点 k。
因为 $1 le i le j le n$，所以 $ji$ 的最大值是 $n1$。
因此，计算所有子问题的总时间是 $O(n^2) imes O(n) = O(n^3)$。
这里可能存在一个误解：
“末尾是dn” 这个说法 不精确。矩阵链相乘的 整体时间复杂度是 $O(n^3)$，其中 `n` 是矩阵的个数。
如果 "dn" 是指在某个计算过程中，比如在计算某个特定长度的子链的最小代价时，需要进行 `d` 次迭代，而 `d` 又与 `n` 相关（例如 `d` 可能等于 `n` 或 `n1`），那也说得通。
举个例子，当我们计算长度为 `L` 的所有子链的最小代价时，对于每个子链（例如 $A_i ldots A_j$），我们需要尝试 `L1` 个分割点 `k`。如果我们将 `L` 看作是当前正在处理的“层级”或“长度”，那么在这个层级上，我们做 `L1` 次操作。当 `L` 接近 `n` 时，这个次数就接近 `n`。
总结来说：
矩阵链相乘的时间复杂度是 $O(n^3)$，这个 $n^3$ 是这样来的：
1. 有 $O(n^2)$ 个需要解决的子问题（计算 $A_i ldots A_j$ 的最小代价）。
2. 解决每个子问题，需要 $O(n)$ 的时间（尝试所有可能的分割点 $k$）。
所以，总的时间是 $O(n^2 imes n) = O(n^3)$。
如果有人提到“末尾是dn”，可能是在描述某个循环的次数，这个循环的次数可能与矩阵链的长度有关，而最大链的长度就是 `n`。比如，在计算长度为 `L` 的子链时，我们需要进行 `L1` 次尝试。当 `L` 等于 `n` 时，这部分就是 `n1` 次。但这只是复杂度构成的一部分，而不是最终的整体复杂度。
希望这个详细的解释能帮助你理解矩阵链相乘的时间复杂度是如何计算出来的！
网友意见
每一步都要算
如果算一次时间复杂度是
那总共不就是
想要进一步理解矩阵链相乘，可以看算法导论
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