如何理解矩阵相乘的几何意义或现实意义？
矩阵相乘的几何意义，用最直观的方式来理解，那就是一系列的线性变换组合在一起的效果。试想一下，你在纸上画了一些点，它们构成了一个图形。你可以对这些点进行各种操作：旋转、缩放、倾斜、镜像等等。这些操作，在数学上都可以用矩阵来表示。而当你要同时进行多个这样的操作时，它们合在一起的效果，就是这些操作矩阵相乘的结果。
让我们一点点拆解这个概念，让它变得生动起来。
1. 先从一个点说起：向量与矩阵
想象一下你有一个二维平面上的点，比如坐标是 (x, y)。我们可以把这个点看作一个向量：$egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$。
现在，我们想对这个点做一个简单的操作，比如让它沿着x轴伸长一倍，沿着y轴保持不变。怎么表示这个操作呢？
如果我们把原来点的位置看作一个向量 $v = egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$，那么新的点的位置 $v' = egin{pmatrix} x' \ y' end{pmatrix}$，可以表示为：
$x' = 2x$
$y' = 1y$
用矩阵的形式来写，就是：
$egin{pmatrix} x' \ y' end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$
这个 $egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$ 就是一个 变换矩阵。它告诉我们，一个点 (x, y) 经过这个变换后，会变成 (2x, y)。
你可以试试看，如果原来的点是 (3, 4)，经过这个变换后就会变成 (23, 14) = (6, 4)。
这个矩阵的作用，就是把一个向量“变成”另一个向量。
2. 从一个点到一群点：图形的变换
单个点变成另一个点，这是最基础的。但矩阵的威力体现在它能同时变换“一群”点。假设我们有一系列点，它们构成了一个三角形。如果我们想对整个三角形进行同样的伸长操作，我们只需要将构成三角形的每个顶点的坐标向量，都乘以同一个变换矩阵。
比如，一个三角形的三个顶点是 A=(1,1), B=(3,1), C=(1,3)。
它们的向量表示是：
$v_A = egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$, $v_B = egin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix}$, $v_C = egin{pmatrix} 1 \ 3 end{pmatrix}$
将它们都乘以我们刚才的伸长矩阵 $M = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$：
$v'_A = M v_A = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix}$
$v'_B = M v_B = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 6 \ 1 end{pmatrix}$
$v'_C = M v_C = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 3 end{pmatrix}$
原来的三角形 (1,1), (3,1), (1,3) 就变成了一个新的三角形 (2,1), (6,1), (2,3)。这个新的三角形，是原来三角形沿着x轴方向被拉伸了一倍。
所以，一个矩阵可以看作是一个“形状改变器”，它作用在所有的点上，从而改变整个图形的形状和位置。
3. 组合变换：矩阵相乘的精髓
现在，我们来点更有趣的。如果我们想先做一次变换，然后再做另一次变换，会怎么样？
假设我们有两个变换矩阵：
$M_1 = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$ (沿着x轴伸长一倍)
$M_2 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$ (逆时针旋转90度)
如果我们先对一个点 $v = egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$ 进行伸长操作，得到 $v' = M_1 v$。
然后，再对 $v'$ 进行旋转操作，得到 $v'' = M_2 v'$。
那么，我们最终的点 $v''$ 和原来的点 $v$ 之间的关系是什么呢？
$v'' = M_2 v' = M_2 (M_1 v)$
根据矩阵乘法的结合律，我们知道 $M_2 (M_1 v) = (M_2 M_1) v$。
所以，如果我们计算出 $M_3 = M_2 M_1$，那么 $M_3$ 这个矩阵就直接表示了“先伸长再旋转”这两个操作合在一起的最终效果。
我们来计算一下 $M_2 M_1$：
$M_2 M_1 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
矩阵乘法的规则是：结果矩阵中 $(i, j)$ 位置的元素，等于第一个矩阵的第 $i$ 行与第二个矩阵的第 $j$ 列对应元素相乘后的总和。
结果矩阵 $(1, 1)$ 位置：$(0 imes 2) + (1 imes 0) = 0$
结果矩阵 $(1, 2)$ 位置：$(0 imes 0) + (1 imes 1) = 1$
结果矩阵 $(2, 1)$ 位置：$(1 imes 2) + (0 imes 0) = 2$
结果矩阵 $(2, 2)$ 位置：$(1 imes 0) + (0 imes 1) = 0$
所以，$M_3 = M_2 M_1 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 2 & 0 end{pmatrix}$。
这个新的矩阵 $M_3$ 是什么作用呢？让我们用它来变换同一个点 $v = egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$：
$v'' = M_3 v = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 2 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 imes 1 + (1) imes 1 \ 2 imes 1 + 0 imes 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$
我们回头验证一下：
1. 先伸长：$v' = M_1 v = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix}$
2. 再旋转：$v'' = M_2 v' = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 imes 2 + (1) imes 1 \ 1 imes 2 + 0 imes 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$
结果一致！
这就是矩阵相乘的几何意义：它将多个线性变换按照一定的顺序“串联”起来，形成一个新的、等效的单一线性变换。
4. 基向量的变换：更深层的理解
有时候，我们也可以从基向量的角度来理解矩阵变换。在二维平面上，我们通常用x轴的单位向量 $egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$ (记为 $e_1$) 和y轴的单位向量 $egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$ (记为 $e_2$) 作为基向量。任何一个向量都可以由这两个基向量的线性组合表示。
一个变换矩阵 $M = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$ 实际上就是它如何变换这两个基向量的记录。
将 $e_1$ 乘以 $M$：$M e_1 = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$。这说明 $e_1$ 经过变换后，变成了向量 $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$。
将 $e_2$ 乘以 $M$：$M e_2 = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$。这说明 $e_2$ 经过变换后，变成了向量 $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$。
所以，矩阵 $M$ 的第一列就是 $e_1$ 变换后的结果，第二列就是 $e_2$ 变换后的结果。
现在来理解矩阵乘法 $C = AB$ 的几何意义。
假设 $A$ 是第一个变换， $B$ 是第二个变换。我们将一个向量 $v$ 输入。
$Cv = (AB)v$
我们知道 $Bv$ 是一个向量。如果我们把 $B$ 看作是将基向量 $e_1, e_2$ 分别变成 $Be_1, Be_2$，那么 $Bv$ 就是将原来的向量 $v$ 按照这种变换方式“重塑”了。
然后，再用 $A$ 去变换 $Bv$。 $A$ 同样是对基向量做变换。
$A(Be_1)$ 和 $A(Be_2)$ 分别是 $Be_1$ 和 $Be_2$ 经过变换 $A$ 后的结果。
而矩阵乘积 $AB$ 的几何意义，就是将 $B$ 变换后的基向量 再经过 $A$ 的变换。
$(AB)e_1 = A(Be_1)$：这是 $e_1$ 先经过 $B$ 变换，再经过 $A$ 变换的最终结果。
$(AB)e_2 = A(Be_2)$：这是 $e_2$ 先经过 $B$ 变换，再经过 $A$ 变换的最终结果。
所以，矩阵乘积 $C = AB$ 的列向量，就是将 $B$ 矩阵的列向量（即 $B$ 变换后的基向量）再通过 $A$ 的变换得到的结果。这完美地解释了为什么矩阵乘法会将两个变换的效果叠加起来。
5. 现实世界的应用举例
矩阵乘法不仅仅是数学理论，它在现实世界中有着广泛的应用：
计算机图形学: 这是最直观的例子。你玩的3D游戏，画面中的物体（角色、场景）都需要经过大量的矩阵变换才能在屏幕上显示出来。比如，你想让一个角色站着不动，然后摄像机围绕着他旋转，这就要用到旋转矩阵。如果你想让角色走近或远离，那就是缩放矩阵。将这些变换组合起来（比如摄像机旋转的同时，角色自己也在做动作），就是通过矩阵相乘来实现的。比如，模型的局部坐标到世界坐标的变换，再到摄像机坐标的变换，最后到屏幕坐标的变换，每一个步骤都可能是一个矩阵乘法。
物理学与工程学: 描述物理系统的很多方程都是线性的，例如振动、弹性力学、电路分析等。这些系统状态的变化往往可以用矩阵来表示。如果你要模拟一个系统在不同时间点或不同条件下（比如施加不同的外力）的状态变化，就需要用到矩阵乘法来推进模拟。比如，一个机械臂的运动学计算，要将关节的角度转换成末端执行器的位置和姿态，就需要一系列的变换矩阵相乘。
经济学与金融学: 经济模型经常涉及多个变量之间的线性关系。比如，在一个国家的不同产业之间，原材料的消耗和产出的关系可以用矩阵表示（投入产出表）。如果你想预测整个经济体在需求变化后的生产调整，就需要用到矩阵乘法。在金融领域，资产的组合（比如股票投资组合）的风险和回报的计算，以及资产价格的模拟，也大量使用矩阵运算。
机器学习与人工智能: 神经网络的核心就是大量的矩阵乘法和矩阵加法。输入数据（比如一张图片像素值组成的向量）会经过一层层的神经元，每一层神经元都相当于一个线性变换（由权重矩阵和偏置向量决定），然后经过激活函数进行非线性处理。这些层层叠加的线性变换，本质上就是矩阵乘法的组合。例如，一个简单的全连接层就是一个矩阵乘以输入向量。
总结来说，矩阵相乘的几何意义就是多个线性变换的复合。它提供了一种简洁高效的方式来描述和计算一系列操作对点、向量或整个图形的影响。而这些操作的本质，就是对空间的拉伸、压缩、旋转、倾斜、镜像等改变。在现实世界中，任何涉及到系统状态变化、坐标转换、多因素联动效应的场景，都可以找到矩阵乘法的身影。
让我们一点点拆解这个概念，让它变得生动起来。
1. 先从一个点说起：向量与矩阵
想象一下你有一个二维平面上的点，比如坐标是 (x, y)。我们可以把这个点看作一个向量：$egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$。
现在，我们想对这个点做一个简单的操作，比如让它沿着x轴伸长一倍，沿着y轴保持不变。怎么表示这个操作呢？
如果我们把原来点的位置看作一个向量 $v = egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$，那么新的点的位置 $v' = egin{pmatrix} x' \ y' end{pmatrix}$，可以表示为：
$x' = 2x$
$y' = 1y$
用矩阵的形式来写，就是：
$egin{pmatrix} x' \ y' end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$
这个 $egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$ 就是一个 变换矩阵。它告诉我们，一个点 (x, y) 经过这个变换后，会变成 (2x, y)。
你可以试试看，如果原来的点是 (3, 4)，经过这个变换后就会变成 (23, 14) = (6, 4)。
这个矩阵的作用，就是把一个向量“变成”另一个向量。
2. 从一个点到一群点：图形的变换
单个点变成另一个点，这是最基础的。但矩阵的威力体现在它能同时变换“一群”点。假设我们有一系列点，它们构成了一个三角形。如果我们想对整个三角形进行同样的伸长操作，我们只需要将构成三角形的每个顶点的坐标向量，都乘以同一个变换矩阵。
比如，一个三角形的三个顶点是 A=(1,1), B=(3,1), C=(1,3)。
它们的向量表示是：
$v_A = egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$, $v_B = egin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix}$, $v_C = egin{pmatrix} 1 \ 3 end{pmatrix}$
将它们都乘以我们刚才的伸长矩阵 $M = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$：
$v'_A = M v_A = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix}$
$v'_B = M v_B = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 6 \ 1 end{pmatrix}$
$v'_C = M v_C = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 3 end{pmatrix}$
原来的三角形 (1,1), (3,1), (1,3) 就变成了一个新的三角形 (2,1), (6,1), (2,3)。这个新的三角形，是原来三角形沿着x轴方向被拉伸了一倍。
所以，一个矩阵可以看作是一个“形状改变器”，它作用在所有的点上，从而改变整个图形的形状和位置。
3. 组合变换：矩阵相乘的精髓
现在，我们来点更有趣的。如果我们想先做一次变换，然后再做另一次变换，会怎么样？
假设我们有两个变换矩阵：
$M_1 = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$ (沿着x轴伸长一倍)
$M_2 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$ (逆时针旋转90度)
如果我们先对一个点 $v = egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$ 进行伸长操作，得到 $v' = M_1 v$。
然后，再对 $v'$ 进行旋转操作，得到 $v'' = M_2 v'$。
那么，我们最终的点 $v''$ 和原来的点 $v$ 之间的关系是什么呢？
$v'' = M_2 v' = M_2 (M_1 v)$
根据矩阵乘法的结合律，我们知道 $M_2 (M_1 v) = (M_2 M_1) v$。
所以，如果我们计算出 $M_3 = M_2 M_1$，那么 $M_3$ 这个矩阵就直接表示了“先伸长再旋转”这两个操作合在一起的最终效果。
我们来计算一下 $M_2 M_1$：
$M_2 M_1 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
矩阵乘法的规则是：结果矩阵中 $(i, j)$ 位置的元素，等于第一个矩阵的第 $i$ 行与第二个矩阵的第 $j$ 列对应元素相乘后的总和。
结果矩阵 $(1, 1)$ 位置：$(0 imes 2) + (1 imes 0) = 0$
结果矩阵 $(1, 2)$ 位置：$(0 imes 0) + (1 imes 1) = 1$
结果矩阵 $(2, 1)$ 位置：$(1 imes 2) + (0 imes 0) = 2$
结果矩阵 $(2, 2)$ 位置：$(1 imes 0) + (0 imes 1) = 0$
所以，$M_3 = M_2 M_1 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 2 & 0 end{pmatrix}$。
这个新的矩阵 $M_3$ 是什么作用呢？让我们用它来变换同一个点 $v = egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$：
$v'' = M_3 v = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 2 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 imes 1 + (1) imes 1 \ 2 imes 1 + 0 imes 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$
我们回头验证一下：
1. 先伸长：$v' = M_1 v = egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix}$
2. 再旋转：$v'' = M_2 v' = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 imes 2 + (1) imes 1 \ 1 imes 2 + 0 imes 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$
结果一致！
这就是矩阵相乘的几何意义：它将多个线性变换按照一定的顺序“串联”起来，形成一个新的、等效的单一线性变换。
4. 基向量的变换：更深层的理解
有时候，我们也可以从基向量的角度来理解矩阵变换。在二维平面上，我们通常用x轴的单位向量 $egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$ (记为 $e_1$) 和y轴的单位向量 $egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$ (记为 $e_2$) 作为基向量。任何一个向量都可以由这两个基向量的线性组合表示。
一个变换矩阵 $M = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$ 实际上就是它如何变换这两个基向量的记录。
将 $e_1$ 乘以 $M$：$M e_1 = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$。这说明 $e_1$ 经过变换后，变成了向量 $egin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$。
将 $e_2$ 乘以 $M$：$M e_2 = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$。这说明 $e_2$ 经过变换后，变成了向量 $egin{pmatrix} b \ d end{pmatrix}$。
所以，矩阵 $M$ 的第一列就是 $e_1$ 变换后的结果，第二列就是 $e_2$ 变换后的结果。
现在来理解矩阵乘法 $C = AB$ 的几何意义。
假设 $A$ 是第一个变换， $B$ 是第二个变换。我们将一个向量 $v$ 输入。
$Cv = (AB)v$
我们知道 $Bv$ 是一个向量。如果我们把 $B$ 看作是将基向量 $e_1, e_2$ 分别变成 $Be_1, Be_2$，那么 $Bv$ 就是将原来的向量 $v$ 按照这种变换方式“重塑”了。
然后，再用 $A$ 去变换 $Bv$。 $A$ 同样是对基向量做变换。
$A(Be_1)$ 和 $A(Be_2)$ 分别是 $Be_1$ 和 $Be_2$ 经过变换 $A$ 后的结果。
而矩阵乘积 $AB$ 的几何意义，就是将 $B$ 变换后的基向量 再经过 $A$ 的变换。
$(AB)e_1 = A(Be_1)$：这是 $e_1$ 先经过 $B$ 变换，再经过 $A$ 变换的最终结果。
$(AB)e_2 = A(Be_2)$：这是 $e_2$ 先经过 $B$ 变换，再经过 $A$ 变换的最终结果。
所以，矩阵乘积 $C = AB$ 的列向量，就是将 $B$ 矩阵的列向量（即 $B$ 变换后的基向量）再通过 $A$ 的变换得到的结果。这完美地解释了为什么矩阵乘法会将两个变换的效果叠加起来。
5. 现实世界的应用举例
矩阵乘法不仅仅是数学理论，它在现实世界中有着广泛的应用：
计算机图形学: 这是最直观的例子。你玩的3D游戏，画面中的物体（角色、场景）都需要经过大量的矩阵变换才能在屏幕上显示出来。比如，你想让一个角色站着不动，然后摄像机围绕着他旋转，这就要用到旋转矩阵。如果你想让角色走近或远离，那就是缩放矩阵。将这些变换组合起来（比如摄像机旋转的同时，角色自己也在做动作），就是通过矩阵相乘来实现的。比如，模型的局部坐标到世界坐标的变换，再到摄像机坐标的变换，最后到屏幕坐标的变换，每一个步骤都可能是一个矩阵乘法。
物理学与工程学: 描述物理系统的很多方程都是线性的，例如振动、弹性力学、电路分析等。这些系统状态的变化往往可以用矩阵来表示。如果你要模拟一个系统在不同时间点或不同条件下（比如施加不同的外力）的状态变化，就需要用到矩阵乘法来推进模拟。比如，一个机械臂的运动学计算，要将关节的角度转换成末端执行器的位置和姿态，就需要一系列的变换矩阵相乘。
经济学与金融学: 经济模型经常涉及多个变量之间的线性关系。比如，在一个国家的不同产业之间，原材料的消耗和产出的关系可以用矩阵表示（投入产出表）。如果你想预测整个经济体在需求变化后的生产调整，就需要用到矩阵乘法。在金融领域，资产的组合（比如股票投资组合）的风险和回报的计算，以及资产价格的模拟，也大量使用矩阵运算。
机器学习与人工智能: 神经网络的核心就是大量的矩阵乘法和矩阵加法。输入数据（比如一张图片像素值组成的向量）会经过一层层的神经元，每一层神经元都相当于一个线性变换（由权重矩阵和偏置向量决定），然后经过激活函数进行非线性处理。这些层层叠加的线性变换，本质上就是矩阵乘法的组合。例如，一个简单的全连接层就是一个矩阵乘以输入向量。
总结来说，矩阵相乘的几何意义就是多个线性变换的复合。它提供了一种简洁高效的方式来描述和计算一系列操作对点、向量或整个图形的影响。而这些操作的本质，就是对空间的拉伸、压缩、旋转、倾斜、镜像等改变。在现实世界中，任何涉及到系统状态变化、坐标转换、多因素联动效应的场景，都可以找到矩阵乘法的身影。
网友意见
取了坐标后，线性映射就表现为矩阵，这是矩阵的本质。
矩阵相乘就是线性映射的复合（即相继做线性映射），这是矩阵乘法的本质。
同一空间里的可逆线性映射可视为坐标系线性变换，既旋转拉伸你的坐标系的轴或者给它们照镜子，这就是几何意义。
一般的线性映射和上述的差别在于，它们所来之处有些维数可能被压缩没了，它们所去之处有些维数可能没被填满。
综上，矩阵相乘的几何意义，就是上两个自然段里描述的几何操作接连进行。
我看 @温酒 的回答有接近上千个赞，说明确实是大家认可的答案。当然我觉得他的回答也确实揭示了矩阵乘法的现实意义。
但里面的评论就很搞笑了，说什么顿悟、国内教材垃圾什么的。实际上，他的回答完全就是被人们唾弃的同济线性代数第六版P27例2和P34例2（续）的内容。（实际情景有些许差别，但揭示的道理完全一致）
所以如果没好好看书，大学没好好学习的话，不要怪教材垃圾。我个人最讨厌推脱责任、跟风喷、双标的行为。如果真喷对地方，我都是支持的。
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自由主义和新自由主义是两种重要的思想体系，它们在政治哲学、经济学和社会政策等领域具有深远的影响。以下是对这两个概念的详细解析： 一、自由主义的定义与核心特征自由主义（Liberalism）是一种以个人自由、法治、民主和理性为价值基础的政治哲学思想体系，其核心在于保障个体权利和限制国家权力。自由主义的.............
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无政府主义（Anarchism）是一种深刻批判国家权力、追求个体自由与社会平等的政治哲学和实践运动。它并非主张“混乱”或“无序”，而是反对一切形式的强制性权威，尤其是国家对个人生活的控制。以下从多个维度深入解析这一复杂的思想体系： 一、核心定义与本质特征1. 对国家的彻底否定 无政府主义者认.............
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“爱国家不等于爱朝廷”这句话在理解中国古代政治和文化时非常重要。它揭示了国家与政权（即朝廷）之间的区别，以及臣民对这两者的情感和责任的不同层面。要理解这句话，我们需要先拆解其中的概念： 国家（Guó Jiā）： 在古代，我们通常将其理解为国家的疆土、人民、文化、民族认同和长期的历史延续。它是根植.............
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理解中国人民银行工作论文中提到的“东南亚国家掉入中等收入陷阱的原因之一是‘文科生太多’”这一论断，需要从多个层面进行深入分析，因为这是一个相对复杂且具有争议性的议题。下面我将尽量详细地解释其背后的逻辑和可能含义：一、 背景：中等收入陷阱首先，我们需要理解什么是“中等收入陷阱”。 定义： 中等收入.............
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郭主席对房地产的表述“不希望房地产剧烈波动”可以从多个层面来理解，这背后反映了他对中国经济稳定和健康发展的深切关切。要详细理解这一点，我们需要从房地产在中国经济中的地位、波动可能带来的影响、以及“不剧烈波动”的具体含义等角度进行分析。一、 房地产在中国经济中的特殊地位：首先，理解为什么房地产会引起如.............
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如何理解科幻小说《时间的二分法》？ 详细解读科幻小说《时间的二分法》（英文原名：The Time Machine），由英国著名作家赫伯特·乔治·威尔斯（H.G. Wells）于1895年创作，是科幻文学史上的经典之作。这部小说不仅为我们描绘了一个令人着迷的未来世界，更通过其深刻的社会寓言和哲学思考，.............
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