如何从代数和几何的角度分别理解矩阵？
一、 从代数角度理解矩阵
从代数角度看，矩阵可以理解为一组有序的数集，它们以矩形的形式排列，并遵循特定的加法、减法、乘法规则。这些规则使得矩阵成为一种强大的代数工具，可以用来表示和解决各种数学问题。
1. 矩阵的本质：有序的数集
定义： 一个 $m imes n$ 的矩阵是一个包含 $m$ 行 $n$ 列的数字的矩形数组。这些数字可以是实数、复数，或者更一般的代数对象。
行 (Rows): 水平方向的数字序列。
列 (Columns): 垂直方向的数字序列。
元素 (Elements/Entries): 矩阵中的每一个数字，通常用 $a_{ij}$ 表示，其中 $i$ 是行号，$j$ 是列号。
例如：
$$ A = egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & dots & a_{mn} end{pmatrix} $$
作用： 矩阵提供了一种结构化的方式来存储和组织数据。当我们需要表示一组具有关联性的数值时，矩阵就派上了用场。
2. 矩阵的代数运算
矩阵的代数运算定义了一套规则，使得矩阵可以像数字一样进行组合和转化。
矩阵加法与减法 (Matrix Addition and Subtraction):
条件： 只有相同维度的矩阵才能进行加法或减法。
规则： 对应位置的元素相加或相减。
例如：
$$ A = egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}, B = egin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 end{pmatrix} $$
$$ A + B = egin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \ 3+7 & 4+8 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 end{pmatrix} $$
代数意义： 矩阵加法可以看作是将两个数据集（用矩阵表示）合并或组合起来。例如，如果矩阵 A 表示第一季度的销售额，矩阵 B 表示第二季度的销售额，那么 A+B 就表示两季度的总销售额（按对应产品）。
标量乘法 (Scalar Multiplication):
规则： 将一个标量（一个单独的数字）乘以矩阵的每一个元素。
例如：
$$ c = 2, A = egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} $$
$$ cA = 2 egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 imes 1 & 2 imes 2 \ 2 imes 3 & 2 imes 4 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 end{pmatrix} $$
代数意义： 标量乘法可以看作是“缩放”或“加权”一个数据集。例如，如果矩阵 A 表示每件商品的价格，标量 c=2 表示一个折扣为 50% (1/2)，那么 cA 表示打折后的价格。
矩阵乘法 (Matrix Multiplication):
条件： 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。如果 A 是 $m imes n$ 的矩阵，B 是 $n imes p$ 的矩阵，那么它们的乘积 C = AB 是一个 $m imes p$ 的矩阵。
规则： C 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $c_{ij}$ 是 A 的第 $i$ 行的元素与 B 的第 $j$ 列对应元素的乘积之和。
$$ c_{ij} = sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $$
例如：
$$ A = egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}, B = egin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 end{pmatrix} $$
$$ C = AB = egin{pmatrix} (1 imes 5 + 2 imes 7) & (1 imes 6 + 2 imes 8) \ (3 imes 5 + 4 imes 7) & (3 imes 6 + 4 imes 8) end{pmatrix} = egin{pmatrix} (5+14) & (6+16) \ (15+28) & (18+32) end{pmatrix} = egin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 end{pmatrix} $$
代数意义： 矩阵乘法是最复杂但也是最有用的代数运算。它在代数中扮演着至关重要的角色，例如：
表示复合线性变换： 如果矩阵 A 表示一个线性变换 T1，矩阵 B 表示另一个线性变换 T2，那么 AB 表示先应用 T2 再应用 T1 的复合变换。这在函数复合的代数表达中非常普遍。
解线性方程组： 一个线性方程组可以表示为 $Ax = b$，其中 A 是系数矩阵，$x$ 是变量向量，$b$ 是常数向量。矩阵乘法在求解这类方程组的过程中起核心作用（例如通过逆矩阵）。
多项式和递推关系的表示： 某些多项式运算或递推关系（如斐波那契数列）可以通过矩阵的幂运算来高效计算。
3. 矩阵的特殊类型
零矩阵 (Zero Matrix): 所有元素都为零的矩阵。
单位矩阵 (Identity Matrix): 主对角线上的元素都为 1，其余元素都为 0 的方阵。记作 $I$ 或 $I_n$。它在矩阵乘法中起到类似于数字 1 的作用，$AI = IA = A$。
方阵 (Square Matrix): 行数等于列数的矩阵。
对称矩阵 (Symmetric Matrix): $A^T = A$（转置矩阵等于自身）。
对角矩阵 (Diagonal Matrix): 非对角线上的元素都为零的矩阵。
4. 矩阵的代数性质
矩阵乘法不满足交换律（$AB eq BA$），但满足结合律（$(AB)C = A(BC)$）和分配律（$A(B+C) = AB + AC$，$ (A+B)C = AC + BC$）。这些性质使得矩阵成为一个环 (Ring) 的结构，具体来说是一个非交换环。
总结代数角度： 从代数上看，矩阵是一组有序的数，通过特定的加法、减法和乘法规则进行运算。它是一种强大的符号工具，用于表示和处理数据集合、线性关系以及进行复杂的数学运算。
二、 从几何角度理解矩阵
从几何角度看，矩阵主要扮演着线性变换的角色，它们作用于向量空间中的向量，对其进行旋转、缩放、剪切、投影等操作。理解这一点是掌握矩阵在几何和图形学、物理学、机器学习等领域应用的关键。
1. 向量与向量空间
在讨论矩阵的几何意义之前，我们需要先理解向量和向量空间：
向量 (Vector): 我们可以将一个 $n imes 1$ 的列向量看作是 $n$ 维空间中的一个点或一个有方向和大小的量。例如，二维空间中的向量 $egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$ 可以看作是从原点到点 $(x, y)$ 的箭头。
向量空间 (Vector Space): 是向量的集合，在这个集合中可以进行向量的加法和标量乘法运算，并且这些运算满足一定的性质。
2. 矩阵作为线性变换
一个 $m imes n$ 的矩阵 A 可以看作是将 $n$ 维向量空间中的向量映射到 $m$ 维向量空间中的向量的线性变换。
定义： 一个函数 $T: V o W$ 是一个线性变换，如果对于任意向量 $u, v in V$ 和标量 $c$，都满足：
1. $T(u+v) = T(u) + T(v)$ (加法保持不变)
2. $T(cu) = cT(u)$ (标量乘法保持不变)
矩阵如何实现线性变换： 如果 A 是一个 $m imes n$ 的矩阵，那么矩阵乘法 $y = Ax$ 定义了一个从 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}^m$ 的线性变换。这里的 $x$ 是一个 $n imes 1$ 的列向量（输入），$y$ 是一个 $m imes 1$ 的列向量（输出）。
例如（二维）： 考虑一个 $2 imes 2$ 的矩阵 A：
$$ A = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} $$
当 A 作用于一个二维向量 $v = egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$ 时：
$$ Av = egin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} ax + by \ cx + dy end{pmatrix} $$
这个运算将向量 $egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$ 映射到新的向量 $egin{pmatrix} x' \ y' end{pmatrix} = egin{pmatrix} ax + by \ cx + dy end{pmatrix}$。
3. 理解矩阵变换的几何含义
矩阵的元素如何影响向量的几何表现？这可以通过观察矩阵如何作用于基向量来理解。在 $n$ 维空间中，一组基向量（例如标准基向量 $e_1, e_2, dots, e_n$）张成了整个空间。一个线性变换作用于空间中的任意向量，实际上就是它作用于基向量后，再按照向量的线性组合进行变换。
矩阵的列向量的意义： 一个 $m imes n$ 的矩阵 A 的 $j$ 列就是标准基向量 $e_j$（一个 $n imes 1$ 的向量，只有一个 1 在第 $j$ 个位置，其余为 0）经过矩阵 A 作用后的像。
$$ Ae_j = egin{pmatrix} dots & dots & dots \ dots & a_{1j} & dots \ dots & a_{2j} & dots \ vdots & vdots & vdots \ dots & a_{mj} & dots \ dots & dots & dots end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 \ vdots \ 1 \ vdots \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} a_{1j} \ a_{2j} \ vdots \ a_{mj} end{pmatrix} $$
也就是说，矩阵的第 $j$ 列就是原空间中第 $j$ 个基向量变换后的新位置的坐标。
特殊变换示例：
缩放 (Scaling):
$$ S = egin{pmatrix} s_x & 0 \ 0 & s_y end{pmatrix} $$
这个矩阵将 $x$ 方向上的向量拉伸或压缩 $s_x$ 倍，将 $y$ 方向上的向量拉伸或压缩 $s_y$ 倍。
$$ S egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} s_x x \ s_y y end{pmatrix} $$
旋转 (Rotation): 在二维空间中，绕原点逆时针旋转 $ heta$ 角的矩阵是：
$$ R_ heta = egin{pmatrix} cos heta & sin heta \ sin heta & cos heta end{pmatrix} $$
作用于向量 $egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$ 时，得到旋转后的向量。
剪切 (Shearing):
$$ H_x = egin{pmatrix} 1 & k \ 0 & 1 end{pmatrix} $$
这个矩阵使向量在 $y$ 方向不变，但其 $x$ 分量会根据 $y$ 分量的大小进行偏移 ($x' = x + ky$)。这使得图形产生“倾斜”的效果。
投影 (Projection): 将向量投影到某个轴或子空间。例如，投影到 $x$ 轴的矩阵是：
$$ P_x = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} $$
$$ P_x egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} x \ 0 end{pmatrix} $$
它将所有向量“压扁”到 $x$ 轴上。
4. 复合变换与矩阵乘法
如果矩阵 A 表示变换 T1，矩阵 B 表示变换 T2，那么矩阵乘积 AB 就表示复合变换：先应用 T2，再应用 T1。
例如，先旋转再缩放一个向量 $v$：
$$ v_{rotated} = R_ heta v $$
$$ v_{final} = S v_{rotated} = S (R_ heta v) = (SR_ heta) v $$
因此，矩阵乘积 $SR_ heta$ 就代表了先旋转再缩放这个复合变换。
5. 特征值与特征向量的几何意义
特征向量 (Eigenvector): 当矩阵 A 作用于一个向量 $v$ 时，如果变换后的向量 $Av$ 仍然沿着原向量 $v$ 的方向（只是长度可能改变或反向），那么 $v$ 就是 A 的一个特征向量。数学上表示为 $Av = lambda v$，其中 $lambda$ 是一个标量。
特征值 (Eigenvalue): 对应于特征向量的缩放因子 $lambda$ 就是特征值。
几何意义： 特征向量指示了矩阵变换的不变方向。特征值则表示这些不变方向上的缩放比例。特征值为正表示保持方向不变的拉伸，特征值为负表示方向反转后的拉伸，特征值为零表示被压缩到了零向量。
6. 行列式 (Determinant) 的几何意义
定义： 行列式是方阵的一个标量值，记作 $det(A)$ 或 $|A|$。
几何意义： 对于一个 $n imes n$ 的矩阵 A，其行列式的绝对值表示该矩阵代表的线性变换对单位体积（在二维中是单位面积）的缩放因子。
如果 $det(A) > 0$，表示变换保持了空间的定向（例如，没有发生“翻转”）。
如果 $det(A) < 0$，表示变换反转了空间的定向。
如果 $det(A) = 0$，表示变换将 $n$ 维空间“压扁”到了一个维度更低的子空间（例如，二维图形被压扁到一条直线或一个点）。此时，矩阵是不可逆的。
总结几何角度： 从几何上看，矩阵是描述线性变换的工具，它告诉我们一个向量在经过变换后会移动到哪里，以及如何改变方向和长度。通过观察矩阵如何作用于基向量以及特征值、行列式的几何含义，我们可以直观地理解矩阵所代表的几何操作。
总结与关联：
代数和几何的理解是相互渗透的。
代数的运算规则（如矩阵乘法）正是为了能够精确地描述几何变换的复合和性质。
几何上的直观理解（如特征向量的不变方向）可以帮助我们更好地设计和分析代数算法（如特征值分解在数据降维中的应用）。
掌握这两方面的理解，才能真正驾驭矩阵这一强大的数学工具。
网友意见
谢邀。
我就按照题主的要求，主要分为代数和几何两个部分谈谈矩阵。
代数
矩阵与线性变换
开门见山，矩阵是线性变换的具体形式.
给定空间 中一组基 ，设一线性变换 ，则 对每个基的作用：
也就是说，
是 的“显灵“——容易证明，虽然在不同的基下，同一个线性变换对应的矩阵是不同的，但是这些不同的矩阵却是相似的，这有点同一个神仙有不同的“化身”的味道.
线性变换的退化
最典型的典型映射 ，即投影映射，是比较直观的退化的线性变换：
设 ， ，则
于是
也就是说典型映射 直接让子空间 “坍缩”为零空间，而只保留了子空间 ；子空间 的维数实际上就是 的秩 . 典型映射 在这组基下的矩阵为：
对于一般的线性变换 其实也是同样的道理——让其核空间坍缩为零空间（就像果核一样）. 所以得到如下结论是显然的：
由上面公式可知，对于满秩的线性变换，只是将 0 映射为 0，这意味着——
定理 1
非退化的线性变换将一组基映射为另外一组基.
证明
否则， 线性相关，即存在不全为零的系数 ，使得
而上式又等于
但是，满秩的线性变换只将 0 映射为 0，即
这与 是基相矛盾.
顺便说一下， 的矩阵可以看成是退化的 阶方阵，只不过增加的行、列都是零向量.
矩阵与线性方程组
将上面的过程反过来：已知某向量 经过线性变换 后的结果是 ，求 ？
因为
所以
即
于是得到线性方程组 .
以线性变换的角度去理解线性方程组的解的结构，是深刻的——
命题 1
元线性方程组 无解的充要条件为
证明
充分性：假设 ，那么 是一个 维空间 到其 维不变子空间 上的映射，即 . 假设 为方程的解，那么 也包含在 ；但是我们知道 是一个含在维数大于 的子空间的向量，因为 即 与矩阵 的列向量一组基线性无关，故矛盾.
必要性：若方程无解，即
说明 ，即 ，故
矩阵的特征理论
是 的特征向量，意思是 在 方向上的表现就好像是一个伸缩变换（数乘变换）：
我们发现零向量恒满足上式，这个平凡的情况我们无需考虑，所以特征向量不包含零向量.
如果某一线性变换 有若干线性无关的特征向量 ，那么将它们扩张为空间 中的一组基 ，
并设 ， ，则有
考虑 在子空间 上的作用：
也就是说子空间 在 保持不变. 而考虑 在这组基下的矩阵就会有很别致的感觉：
其中 是一个对角阵
特别的，如果 ，即 有 个线性无关的特征向量，那么矩阵就可以对角化.
矩阵与复数
这个映射看似简单，实际上——
即满足
这是一个同构映射，复数的性质可以完全用矩阵来刻画.
由欧拉公式，
以同构 将之映射为
这个映射被完美地分解为一个伸缩映射 和一个旋转映射 的乘积：
而同构 ，说明了伸缩映射 和一个旋转映射 在实平面同样适用.
讲到这里矩阵的几何性质也展露得差不多了.
几何
特征向量
若线性变换 保持直线 不动， 上的向量 就是特征向量.
例 1
线性变换 在标准正交基 下的矩阵为：
显然在这个线性变换下，保持 x 轴和 y 轴不变.
例 2
并不是总是有特征向量，比如
这个线性变换是旋转变换，以原点为圆心，逆时针旋转 45 度，试想整个平面上所有的直线，有哪个能保持方向不变呢？没有！所以 没有实特征向量.
不过，放到三维空间去看，事实上有一个特征向量在平面上是看不到的，想想地球仪的旋转，保持地轴不动，所以在三维空间旋转的特征方向是与旋转平面正交的方向——关于这个结论可以推广到到酉空间、酉变换上：若 是酉变换 的不变子，那么 也是 的不变子.
例 3
在象限对角线这两个正交的方向上保持不变；更进一步，会发现这样的性质：
验证：
这样的变换被称为对称变换（容易证明），试想平面上的对称变换的特征方向，不正是对称轴方向以及与对称轴正交的方向吗——关于这个结论可以推广到到酉空间、Hermite 变换上：若 是 Hermite 变换 的不变子，那么 也是 的不变子.
利用几何的视角，许多结论是非常直观的. 上面三个例子反映了伸缩、旋转、对称的特征方向的几何意义.
二次型
Hesse 矩阵判断极值的几何意义，就是研究函数在极值点处的近似二次曲面的性质.
行列式与体积
对角矩阵惹人喜爱不是没有原因的，其非常本质的原因是正交性.
由解析几何的知识可知，行列式绝对值表示的是 维平行多面体的体积，即
表示向量 、 所围成的平行四边形面积；
表示 、 、 所围成的平行六面体体积；
如果矩阵是对角阵，那么意味着所求体积是一个（超）长方体体积.
另外， Green 公式的退化版本也可由此初见端倪，考虑平面上一个包含原点、分段光滑的封闭曲线 ，考虑一个以原点以及曲线上两点为顶点微分三角形， ， ，那么这个微分三角形的面积（这里我们考虑有向面积，即꩜面积可为负）：
当我们把这些微分三角形“积”起来，就是曲线 所围成区域 的面积. 这就是 Green 公式——
令 ， 的退化形式.
同理，也可以推出 Gauss 公式的退化形式，这就又涉及到分析的领域了.
附：
分析
多元可微函数的导数
设可微向量值函数 ，记 ，
为其在 处的导数，几何意义则是函数在该点的超切平面，这在低维情况下是显而易见的.
双线性函数
双线性函数从很抽象的高度，将二次型、矩阵的迹、内积等等概念统合到一起加以研究. 其一般的形式为：
其中 是一个矩阵，双线性函数的全部信息都蕴含在其中；当令矩阵为一些特殊矩阵时，双线性函数就会得到十分多彩的性质：
- （对称阵）
- （斜对称阵）
- （标准内积）
- 正定或半正定
……
我们特别偏爱具有对称性质的双线性函数，并且称之为广义上的“内积”，尽管可能不一定拥有正定性（这意味着没有距离、夹角的概念），但是正交性还是被保留的，我们仍然认为拥有以下性质的向量是正交关系：
被赋予这样内积的空间称为正交空间，正交空间内可能会出现这样的迷之现象，就是非零向量可能和自己正交，这简直是 Bug 的存在！例如，在 Minkowski 空间内，
这样的非零向量被称为迷向向量，在狭义相对论中也称光向量；这样的内积使得在 Lorentz 变换下不变，从而满足相对性原理，保持了时-空间隔的平方不变：
所以“尺缩效应”的数学解释为：尺子在四维空间的时-空间隔是不变的（当尺子静止时，他的时空间隔就是它静止时的长度），但当速度太大接近光速的时候，为了保持“时空长度”不变，所以尺子的“空间长度”旋转到了第四维度中，而我们肉眼能看到的只是“时空长度”在三维空间的投影.
斜对称双线性函数也是很有市场的，配备这样的内积空间称为辛空间，有限维正则（非退化）辛空间一定是偶数维度；Hermite 内积定义了酉空间，将正交性推向了极致……
总结
能说得太多，以后慢慢补充吧。
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