如何理解矩阵对矩阵求导？
矩阵对矩阵求导，听起来就够让人头皮发麻的。毕竟，我们平时求导，都是对一个变量，比如 $f(x) = x^2$，求导就是 $f'(x) = 2x$。现在变成矩阵对矩阵求导，这脑子里面的概念一下子就模糊了。但别担心，咱们一步步来拆解，把这层窗户纸捅破。
首先，咱们得明确几个基本概念。
你看到“矩阵对矩阵求导”，别第一反应就想着把整个大矩阵塞进一个求导公式里。那太抽象了，而且也不是这么玩的。
求导的本质是什么？是看一个量（函数值）随着另一个量（自变量）的微小变化而变化的速度和方向。
那么，矩阵对矩阵求导，就是看一个矩阵（我们称之为输出矩阵，或者说被求导的函数）的元素，随着另一个矩阵（我们称之为输入矩阵，或者说自变量）的元素发生微小变化时的反应。
想象一个场景：
你有一个加工厂，生产零件。这个加工厂接收来自不同部门的原材料（这就是你的输入矩阵），然后通过一套复杂的机器（这就是你的函数关系），最终产出成品零件（这就是你的输出矩阵）。
现在，你想知道，如果某个原材料的价格稍微涨一点点（输入矩阵的某个元素变了），那么成品零件的成本会怎么变化？这个变化幅度有多大？这就是矩阵对矩阵求导想要告诉你的。
核心思想：链式法则的扩展
我们知道，微积分里的链式法则非常强大，它让我们能够处理复合函数的导数。矩阵对矩阵的求导，本质上也是链式法则的一种更复杂的应用。
想想看，如果 $Y$ 是一个矩阵，它的每个元素 $y_{ij}$ 都依赖于另一个矩阵 $X$ 的所有元素 $x_{kl}$。那么，要计算 $Y$ 对 $X$ 的“导数”，我们实际上是在看 $Y$ 的每一个元素如何响应 $X$ 的每一个元素的变化。
我们到底在求什么？导数矩阵！
当你说“矩阵 $Y$ 对矩阵 $X$ 求导”时，你最终得到的不是一个数字，也不是一个向量，而是一个新的矩阵。这个新的矩阵，我们通常称之为雅可比矩阵（Jacobian Matrix），或者在某些约定下也称为导数矩阵。
这个导数矩阵，我们记作 $frac{partial Y}{partial X}$。它的维度是多少呢？如果 $Y$ 是一个 $m imes n$ 的矩阵，而 $X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵，那么 $frac{partial Y}{partial X}$ 将是一个 $m imes n imes p imes q$ 的“张量”。这听起来更吓人了，但别急，我们通常有更方便的表示方法。
把大问题拆成小问题：元素级别的导数
最直观的理解方式，就是把矩阵求导看作是对矩阵中每个元素分别求导，然后把这些导数按某种规则排列起来。
假设 $Y$ 是一个 $m imes n$ 的矩阵，$X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵。
我们定义 $frac{partial Y}{partial X}$ 这个导数矩阵的维度是 $m imes n imes p imes q$。
更具体地说，$frac{partial Y}{partial X}$ 的一个“切片”，比如说 $(frac{partial Y}{partial X})_{i,j,k,l}$，它代表的是 $Y$ 的元素 $y_{ij}$ 随着 $X$ 的元素 $x_{kl}$ 的变化率。
也就是：
$$ left(frac{partial Y}{partial X} ight)_{i,j,k,l} = frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}} $$
这里的 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}}$ 就是我们熟悉的标量对标量的求导。
这是最基础的定义，但这样表示太繁琐了。实际操作中，我们有更简洁的表示方式。
常用的表示法和“规则”
为了简化表示，我们约定了一些规则，让我们可以用一个矩阵来表示“矩阵对矩阵”的导数。这有点像我们把一个多维数组压缩成一个表格。
最常见的一种约定是：
将导数矩阵 $frac{partial Y}{partial X}$ 的维度看作是输出矩阵的维度（$m imes n$），但是矩阵的每个元素本身是一个向量，这个向量的长度是输入矩阵的元素个数（$p imes q$）。
或者反过来，将导数矩阵的维度看作是输入矩阵的维度（$p imes q$），而矩阵的每个元素是一个向量，其长度是输出矩阵的元素个数（$m imes n$）。
这两种约定都很常用，具体用哪种取决于你所在的领域或书籍的习惯。关键是理解每个元素代表的含义。
一个更常见的约定是：
我们定义 $frac{partial Y}{partial X}$ 是一个 $m imes n$ 维度的矩阵，其中矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是一个列向量，这个列向量的维度是 $p imes q$（或者说，如果我们将 $X$ 展成一个向量 $ ext{vec}(X)$，这个列向量就是 $frac{partial y_{ij}}{partial ext{vec}(X)}$）。
这样一来，导数矩阵 $frac{partial Y}{partial X}$ 就成了一个“矩阵的矩阵”或者说一个“包含了向量的矩阵”。
为了进一步简化，我们通常会把这些向量“拉直”，按照某种固定的顺序排列起来。
举个例子来“触摸”一下：
假设 $Y$ 是一个标量（$1 imes 1$ 矩阵），$X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵。
那么 $frac{partial Y}{partial X}$ 就变成了一个 $1 imes 1 imes p imes q$ 的张量。
但通常我们把它表示成一个 $p imes q$ 的矩阵，其中 $(frac{partial Y}{partial X})_{kl} = frac{partial Y}{partial x_{kl}}$。
这个就像我们熟悉的标量对向量的求导，只是这里的“向量”是一个矩阵。
再举个例子：
假设 $Y$ 是一个 $m imes 1$ 的列向量（$m$ 个元素），$X$ 是一个 $1 imes 1$ 的标量。
我们求 $frac{partial Y}{partial X}$。
这里的 $Y$ 是 $m imes 1$，$X$ 是 $1 imes 1$。
我们定义 $frac{partial Y}{partial X}$ 是一个 $m imes 1$ 的列向量，其中第 $i$ 个元素是 $frac{partial y_i}{partial X}$。
这符合我们对向量对标量求导的认知。
现在，我们来看一个更“矩阵对矩阵”的例子：
假设 $Y = X^T$，其中 $X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵，$Y$ 就是一个 $q imes p$ 的矩阵。
我们要计算 $frac{partial Y}{partial X}$。
我们来看 $Y$ 的元素 $y_{ij}$ 和 $X$ 的元素 $x_{kl}$ 之间的关系。
$y_{ij}$ 是 $Y$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
$x_{kl}$ 是 $X$ 的第 $k$ 行第 $l$ 列的元素。
根据矩阵转置的定义，$y_{ij} = x_{ji}$。
现在，我们考虑 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}}$：
如果 $j = k$ 且 $i = l$，那么 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}} = frac{partial x_{ji}}{partial x_{kl}} = 1$。
在其他所有情况下，$frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}} = 0$。
所以，对于一个给定的 $(i, j)$，它对应 $Y$ 的一个元素。而 $frac{partial y_{ij}}{partial X}$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵，它的 $(k, l)$ 位置的元素是 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}}$。
换句话说，对于给定的 $(i, j)$，$frac{partial y_{ij}}{partial X}$ 这个矩阵，只有当 $x_{kl}$ 恰好是 $y_{ij}$ 的“来源”时，才不是零。
如果我们将 $frac{partial Y}{partial X}$ 看作一个 $q imes p imes p imes q$ 的张量，那么 $(frac{partial Y}{partial X})_{i,j,k,l} = delta_{ik}delta_{jl}$ （克罗内克 $delta$）。
如何用一个矩阵来表示呢？
常见的处理方式是，我们将 $frac{partial Y}{partial X}$ 表示成一个 $q imes p$ 的矩阵，但这个矩阵的每个元素本身是 $p imes q$ 的矩阵。
或者，我们将其展平成一个 $q imes p$ 维度的矩阵，其中每个元素是一个 标量。
关键规则：处理迹（Trace）和向量化（Vectorization）
在实际应用中，我们经常会遇到一些非常方便的导数公式，它们往往利用了迹（Trace）和向量化（Vectorization）的概念。
1. 向量化（Vectorization）：将一个矩阵展平成一个长向量。
$ ext{vec}(X)$：将矩阵 $X$ 的列按顺序连接成一个向量。
例如：
$X = egin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \ x_{21} & x_{22} end{bmatrix}$
$ ext{vec}(X) = egin{bmatrix} x_{11} \ x_{21} \ x_{12} \ x_{22} end{bmatrix}$
如果我们求 $frac{partial Y}{partial ext{vec}(X)}$，那么结果就是一个列向量。
而 $frac{partial Y}{partial X}$ 的某种约定表示就与这个向量化后的导数密切相关。
2. 迹（Trace）：方阵对角线上元素的和。$ ext{Tr}(A)$。
迹有一个非常重要的性质：$ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA)$，只要矩阵乘法和迹是合法的。
我们经常会看到一些导数公式，它们形如：
$frac{partial ext{Tr}(AX)}{partial X} = A^T$ （这里 $X$ 是一个任意形状的矩阵，而 $A$ 是一个与 $X$ 的转置形状匹配的矩阵）。
$frac{partial ext{Tr}(XA)}{partial X} = A$ （与上面类似）。
$frac{partial ext{Tr}(X^T A)}{partial X} = A$。
$frac{partial ext{Tr}(AX^T)}{partial X} = A^T$。
这些公式看着很简洁，但理解它们需要一些推导。比如，我们来看 $frac{partial ext{Tr}(AX)}{partial X}$。
设 $Y = ext{Tr}(AX)$，我们要计算 $frac{partial Y}{partial X}$。
$Y = sum_i (AX)_{ii} = sum_i sum_j a_{ij} x_{ji}$。
现在我们对 $X$ 的元素 $x_{kl}$ 求偏导：
$frac{partial Y}{partial x_{kl}} = frac{partial}{partial x_{kl}} sum_i sum_j a_{ij} x_{ji}$。
只有当 $j=k$ 且 $i=l$ 时，导数才非零。
所以 $frac{partial Y}{partial x_{kl}} = a_{lk}$。
这意味着 $frac{partial Y}{partial X}$ 的元素 $(frac{partial Y}{partial X})_{kl}$ 就是 $a_{lk}$。
因此，$frac{partial Y}{partial X}$ 这个矩阵就是 $A^T$。
为什么要有这些复杂的约定？
因为在很多机器学习和优化问题中，我们都需要对损失函数（通常是标量）对模型参数（通常是矩阵）进行求导。直接展开成元素级别的导数会非常混乱。利用迹和向量化的技巧，可以推导出一些简洁的导数公式，极大地简化了计算过程。
一个形象的比喻：
你可以把矩阵对矩阵求导看作是“形状变换”的导数。
输入是一个矩阵，输出是另一个矩阵。我们关心的是，当输入矩阵的形状或内容以某种方式“扭曲”时，输出矩阵的形状或内容会如何跟着“扭曲”。
总结一下理解的关键点：
1. 不是简单的数字导数：结果是一个“导数矩阵”或“张量”。
2. 元素级别的变化率：核心是理解输出矩阵的每个元素如何随输入矩阵的每个元素变化。
3. 约定很重要：不同的教材和领域可能有不同的表示约定，但核心思想一致。
4. 迹和向量化是工具：它们是简化计算和理解的关键。
一开始接触矩阵求导，感到困惑是很正常的。关键在于多看例子，多推导一些基本公式，比如前面提到的迹相关的公式。一旦掌握了这些基本规则和约定，你就会发现它其实是微积分思想在多维空间中的自然延伸。不要被它的“矩阵”外表吓倒，把它拆解成我们熟悉的标量求导逻辑，一切都会变得清晰起来。
首先，咱们得明确几个基本概念。
你看到“矩阵对矩阵求导”，别第一反应就想着把整个大矩阵塞进一个求导公式里。那太抽象了，而且也不是这么玩的。
求导的本质是什么？是看一个量（函数值）随着另一个量（自变量）的微小变化而变化的速度和方向。
那么，矩阵对矩阵求导，就是看一个矩阵（我们称之为输出矩阵，或者说被求导的函数）的元素，随着另一个矩阵（我们称之为输入矩阵，或者说自变量）的元素发生微小变化时的反应。
想象一个场景：
你有一个加工厂，生产零件。这个加工厂接收来自不同部门的原材料（这就是你的输入矩阵），然后通过一套复杂的机器（这就是你的函数关系），最终产出成品零件（这就是你的输出矩阵）。
现在，你想知道，如果某个原材料的价格稍微涨一点点（输入矩阵的某个元素变了），那么成品零件的成本会怎么变化？这个变化幅度有多大？这就是矩阵对矩阵求导想要告诉你的。
核心思想：链式法则的扩展
我们知道，微积分里的链式法则非常强大，它让我们能够处理复合函数的导数。矩阵对矩阵的求导，本质上也是链式法则的一种更复杂的应用。
想想看，如果 $Y$ 是一个矩阵，它的每个元素 $y_{ij}$ 都依赖于另一个矩阵 $X$ 的所有元素 $x_{kl}$。那么，要计算 $Y$ 对 $X$ 的“导数”，我们实际上是在看 $Y$ 的每一个元素如何响应 $X$ 的每一个元素的变化。
我们到底在求什么？导数矩阵！
当你说“矩阵 $Y$ 对矩阵 $X$ 求导”时，你最终得到的不是一个数字，也不是一个向量，而是一个新的矩阵。这个新的矩阵，我们通常称之为雅可比矩阵（Jacobian Matrix），或者在某些约定下也称为导数矩阵。
这个导数矩阵，我们记作 $frac{partial Y}{partial X}$。它的维度是多少呢？如果 $Y$ 是一个 $m imes n$ 的矩阵，而 $X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵，那么 $frac{partial Y}{partial X}$ 将是一个 $m imes n imes p imes q$ 的“张量”。这听起来更吓人了，但别急，我们通常有更方便的表示方法。
把大问题拆成小问题：元素级别的导数
最直观的理解方式，就是把矩阵求导看作是对矩阵中每个元素分别求导，然后把这些导数按某种规则排列起来。
假设 $Y$ 是一个 $m imes n$ 的矩阵，$X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵。
我们定义 $frac{partial Y}{partial X}$ 这个导数矩阵的维度是 $m imes n imes p imes q$。
更具体地说，$frac{partial Y}{partial X}$ 的一个“切片”，比如说 $(frac{partial Y}{partial X})_{i,j,k,l}$，它代表的是 $Y$ 的元素 $y_{ij}$ 随着 $X$ 的元素 $x_{kl}$ 的变化率。
也就是：
$$ left(frac{partial Y}{partial X} ight)_{i,j,k,l} = frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}} $$
这里的 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}}$ 就是我们熟悉的标量对标量的求导。
这是最基础的定义，但这样表示太繁琐了。实际操作中，我们有更简洁的表示方式。
常用的表示法和“规则”
为了简化表示，我们约定了一些规则，让我们可以用一个矩阵来表示“矩阵对矩阵”的导数。这有点像我们把一个多维数组压缩成一个表格。
最常见的一种约定是：
将导数矩阵 $frac{partial Y}{partial X}$ 的维度看作是输出矩阵的维度（$m imes n$），但是矩阵的每个元素本身是一个向量，这个向量的长度是输入矩阵的元素个数（$p imes q$）。
或者反过来，将导数矩阵的维度看作是输入矩阵的维度（$p imes q$），而矩阵的每个元素是一个向量，其长度是输出矩阵的元素个数（$m imes n$）。
这两种约定都很常用，具体用哪种取决于你所在的领域或书籍的习惯。关键是理解每个元素代表的含义。
一个更常见的约定是：
我们定义 $frac{partial Y}{partial X}$ 是一个 $m imes n$ 维度的矩阵，其中矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素是一个列向量，这个列向量的维度是 $p imes q$（或者说，如果我们将 $X$ 展成一个向量 $ ext{vec}(X)$，这个列向量就是 $frac{partial y_{ij}}{partial ext{vec}(X)}$）。
这样一来，导数矩阵 $frac{partial Y}{partial X}$ 就成了一个“矩阵的矩阵”或者说一个“包含了向量的矩阵”。
为了进一步简化，我们通常会把这些向量“拉直”，按照某种固定的顺序排列起来。
举个例子来“触摸”一下：
假设 $Y$ 是一个标量（$1 imes 1$ 矩阵），$X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵。
那么 $frac{partial Y}{partial X}$ 就变成了一个 $1 imes 1 imes p imes q$ 的张量。
但通常我们把它表示成一个 $p imes q$ 的矩阵，其中 $(frac{partial Y}{partial X})_{kl} = frac{partial Y}{partial x_{kl}}$。
这个就像我们熟悉的标量对向量的求导，只是这里的“向量”是一个矩阵。
再举个例子：
假设 $Y$ 是一个 $m imes 1$ 的列向量（$m$ 个元素），$X$ 是一个 $1 imes 1$ 的标量。
我们求 $frac{partial Y}{partial X}$。
这里的 $Y$ 是 $m imes 1$，$X$ 是 $1 imes 1$。
我们定义 $frac{partial Y}{partial X}$ 是一个 $m imes 1$ 的列向量，其中第 $i$ 个元素是 $frac{partial y_i}{partial X}$。
这符合我们对向量对标量求导的认知。
现在，我们来看一个更“矩阵对矩阵”的例子：
假设 $Y = X^T$，其中 $X$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵，$Y$ 就是一个 $q imes p$ 的矩阵。
我们要计算 $frac{partial Y}{partial X}$。
我们来看 $Y$ 的元素 $y_{ij}$ 和 $X$ 的元素 $x_{kl}$ 之间的关系。
$y_{ij}$ 是 $Y$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
$x_{kl}$ 是 $X$ 的第 $k$ 行第 $l$ 列的元素。
根据矩阵转置的定义，$y_{ij} = x_{ji}$。
现在，我们考虑 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}}$：
如果 $j = k$ 且 $i = l$，那么 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}} = frac{partial x_{ji}}{partial x_{kl}} = 1$。
在其他所有情况下，$frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}} = 0$。
所以，对于一个给定的 $(i, j)$，它对应 $Y$ 的一个元素。而 $frac{partial y_{ij}}{partial X}$ 是一个 $p imes q$ 的矩阵，它的 $(k, l)$ 位置的元素是 $frac{partial y_{ij}}{partial x_{kl}}$。
换句话说，对于给定的 $(i, j)$，$frac{partial y_{ij}}{partial X}$ 这个矩阵，只有当 $x_{kl}$ 恰好是 $y_{ij}$ 的“来源”时，才不是零。
如果我们将 $frac{partial Y}{partial X}$ 看作一个 $q imes p imes p imes q$ 的张量，那么 $(frac{partial Y}{partial X})_{i,j,k,l} = delta_{ik}delta_{jl}$ （克罗内克 $delta$）。
如何用一个矩阵来表示呢？
常见的处理方式是，我们将 $frac{partial Y}{partial X}$ 表示成一个 $q imes p$ 的矩阵，但这个矩阵的每个元素本身是 $p imes q$ 的矩阵。
或者，我们将其展平成一个 $q imes p$ 维度的矩阵，其中每个元素是一个 标量。
关键规则：处理迹（Trace）和向量化（Vectorization）
在实际应用中，我们经常会遇到一些非常方便的导数公式，它们往往利用了迹（Trace）和向量化（Vectorization）的概念。
1. 向量化（Vectorization）：将一个矩阵展平成一个长向量。
$ ext{vec}(X)$：将矩阵 $X$ 的列按顺序连接成一个向量。
例如：
$X = egin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \ x_{21} & x_{22} end{bmatrix}$
$ ext{vec}(X) = egin{bmatrix} x_{11} \ x_{21} \ x_{12} \ x_{22} end{bmatrix}$
如果我们求 $frac{partial Y}{partial ext{vec}(X)}$，那么结果就是一个列向量。
而 $frac{partial Y}{partial X}$ 的某种约定表示就与这个向量化后的导数密切相关。
2. 迹（Trace）：方阵对角线上元素的和。$ ext{Tr}(A)$。
迹有一个非常重要的性质：$ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA)$，只要矩阵乘法和迹是合法的。
我们经常会看到一些导数公式，它们形如：
$frac{partial ext{Tr}(AX)}{partial X} = A^T$ （这里 $X$ 是一个任意形状的矩阵，而 $A$ 是一个与 $X$ 的转置形状匹配的矩阵）。
$frac{partial ext{Tr}(XA)}{partial X} = A$ （与上面类似）。
$frac{partial ext{Tr}(X^T A)}{partial X} = A$。
$frac{partial ext{Tr}(AX^T)}{partial X} = A^T$。
这些公式看着很简洁，但理解它们需要一些推导。比如，我们来看 $frac{partial ext{Tr}(AX)}{partial X}$。
设 $Y = ext{Tr}(AX)$，我们要计算 $frac{partial Y}{partial X}$。
$Y = sum_i (AX)_{ii} = sum_i sum_j a_{ij} x_{ji}$。
现在我们对 $X$ 的元素 $x_{kl}$ 求偏导：
$frac{partial Y}{partial x_{kl}} = frac{partial}{partial x_{kl}} sum_i sum_j a_{ij} x_{ji}$。
只有当 $j=k$ 且 $i=l$ 时，导数才非零。
所以 $frac{partial Y}{partial x_{kl}} = a_{lk}$。
这意味着 $frac{partial Y}{partial X}$ 的元素 $(frac{partial Y}{partial X})_{kl}$ 就是 $a_{lk}$。
因此，$frac{partial Y}{partial X}$ 这个矩阵就是 $A^T$。
为什么要有这些复杂的约定？
因为在很多机器学习和优化问题中，我们都需要对损失函数（通常是标量）对模型参数（通常是矩阵）进行求导。直接展开成元素级别的导数会非常混乱。利用迹和向量化的技巧，可以推导出一些简洁的导数公式，极大地简化了计算过程。
一个形象的比喻：
你可以把矩阵对矩阵求导看作是“形状变换”的导数。
输入是一个矩阵，输出是另一个矩阵。我们关心的是，当输入矩阵的形状或内容以某种方式“扭曲”时，输出矩阵的形状或内容会如何跟着“扭曲”。
总结一下理解的关键点：
1. 不是简单的数字导数：结果是一个“导数矩阵”或“张量”。
2. 元素级别的变化率：核心是理解输出矩阵的每个元素如何随输入矩阵的每个元素变化。
3. 约定很重要：不同的教材和领域可能有不同的表示约定，但核心思想一致。
4. 迹和向量化是工具：它们是简化计算和理解的关键。
一开始接触矩阵求导，感到困惑是很正常的。关键在于多看例子，多推导一些基本公式，比如前面提到的迹相关的公式。一旦掌握了这些基本规则和约定，你就会发现它其实是微积分思想在多维空间中的自然延伸。不要被它的“矩阵”外表吓倒，把它拆解成我们熟悉的标量求导逻辑，一切都会变得清晰起来。
网友意见
如果题主学过泛函分析，可能会更容易理解矩阵对矩阵的求导。
定义：假设和为赋范向量空间，是一个映射，那么在可导的意思是说存在一个有界线性算子，使得对于任意的都存在，对于满足的都有.我们称为在点的导数。
取一些特殊情况，比如当的时候就被称作梯度；当的时候被称作雅可比，等等。从这个一般化的定义出发的好处是，我们可以更好的理解矩阵到矩阵映射的"导数"，甚至是从一个函数空间到另一个函数空间的“导数"。
以上定义有一个等价的表述，往往计算起来更方便：对于距离足够近的点，即，有
（注：此处应该理解为线性算子在这个点的值，而不是乘以。不过在有限维空间所有线性算子都可以用矩阵表述，在这个点的值便正好可以表述为矩阵与向量的乘积！这个notation正好巧妙的一致。）
例子：假设是一个的映射，其中为n维对称阵的空间。那么的导数就应该是的一个有界线性算子。究竟是什么样可以从定义出发计算：
所以我们有，这个就是在点的导数。这个函数(有界线性算子)可以用张量来表述，这里就不详细说了。
例子：最小二乘问题，是一个的映射。
所以我们有，这个就是在点的导数。在这种情况下，这个有界线性算子可以用梯度来表述(recall Riesz表示定理)：
所以梯度。
例子：单层神经网络，是一个的映射。这里是一个elementwise的logistic function。算起来
其中为Hadamard乘积（elementwise乘积），为长度为m的元素均为1的向量。这里我使用了一维logistic函数的导数公式。所以
。
注：这个例子的倒数第二步到最后一步的计算影射了微积分中的一个重要的思想——链式法则(chain rule)。链式法则能够成立的本质是和。
最后，由于和是同构的，所以可以通过vectorization把矩阵映射到中再进行计算，见 @SS Wang 的答案。
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“自称迪士尼在逃公主”的现象在网络上出现后，引发了广泛讨论。这一说法通常指一些女性在社交媒体、论坛或网络社区中自称是“迪士尼公主”，并可能涉及身份扮演、文化认同、心理需求等多重层面。以下从多个角度详细分析这一现象的可能内涵和背景： 一、文化符号的再诠释：迪士尼公主的象征意义1. 迪士尼公主的原始形象.............
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自由主义和新自由主义是两种重要的思想体系，它们在政治哲学、经济学和社会政策等领域具有深远的影响。以下是对这两个概念的详细解析： 一、自由主义的定义与核心特征自由主义（Liberalism）是一种以个人自由、法治、民主和理性为价值基础的政治哲学思想体系，其核心在于保障个体权利和限制国家权力。自由主义的.............
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无政府主义（Anarchism）是一种深刻批判国家权力、追求个体自由与社会平等的政治哲学和实践运动。它并非主张“混乱”或“无序”，而是反对一切形式的强制性权威，尤其是国家对个人生活的控制。以下从多个维度深入解析这一复杂的思想体系： 一、核心定义与本质特征1. 对国家的彻底否定 无政府主义者认.............
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“爱国家不等于爱朝廷”这句话在理解中国古代政治和文化时非常重要。它揭示了国家与政权（即朝廷）之间的区别，以及臣民对这两者的情感和责任的不同层面。要理解这句话，我们需要先拆解其中的概念： 国家（Guó Jiā）： 在古代，我们通常将其理解为国家的疆土、人民、文化、民族认同和长期的历史延续。它是根植.............
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理解中国人民银行工作论文中提到的“东南亚国家掉入中等收入陷阱的原因之一是‘文科生太多’”这一论断，需要从多个层面进行深入分析，因为这是一个相对复杂且具有争议性的议题。下面我将尽量详细地解释其背后的逻辑和可能含义：一、 背景：中等收入陷阱首先，我们需要理解什么是“中等收入陷阱”。 定义： 中等收入.............
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郭主席对房地产的表述“不希望房地产剧烈波动”可以从多个层面来理解，这背后反映了他对中国经济稳定和健康发展的深切关切。要详细理解这一点，我们需要从房地产在中国经济中的地位、波动可能带来的影响、以及“不剧烈波动”的具体含义等角度进行分析。一、 房地产在中国经济中的特殊地位：首先，理解为什么房地产会引起如.............
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如何理解科幻小说《时间的二分法》？ 详细解读科幻小说《时间的二分法》（英文原名：The Time Machine），由英国著名作家赫伯特·乔治·威尔斯（H.G. Wells）于1895年创作，是科幻文学史上的经典之作。这部小说不仅为我们描绘了一个令人着迷的未来世界，更通过其深刻的社会寓言和哲学思考，.............
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