矩阵相乘的变换为什么总会伴随“颠倒”顺序？
在理解矩阵相乘的“颠倒顺序”之前，咱们得先明白矩阵本身到底是什么，以及它在数学里扮演的角色。别把它想得太复杂，就当它是一个装数字的“表格”或者“阵列”就行了。但这个表格可不是随便乱放数字的，它其实代表着一种“变换”，一种对空间或者向量进行的操作。
想象一下，你有一张纸，上面画着一个坐标系，红色的X轴，绿色的Y轴。现在，我们用一个矩阵来描述一个操作：把这张纸上的每一个点都放大两倍，并且沿着X轴的方向稍微移动一下。这个“放大两倍”和“移动一下”就是矩阵所代表的变换。
矩阵怎么代表变换？
矩阵之所以能代表变换，是因为它的每一个元素都承载着关于这个变换的信息。比如，一个二维矩阵：
$$
egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}
$$
它会把一个二维向量 $egin{bmatrix} x \ y end{bmatrix}$ 变成一个新的向量：
$$
egin{bmatrix} ax + by \ cx + dy end{bmatrix}
$$
你可以把矩阵看作是一个“操作指令手册”，它告诉你如何处理输入的向量。矩阵的行和列决定了这个指令的具体内容。
为什么两个变换连起来要“颠倒”？
好，现在咱们有了第一个变换（矩阵 A），它能把一个点变成另一个点。我们再想做一个第二个变换（矩阵 B），它能把第一个变换后的点再变成第三个点。
问题来了，如果我们想直接用一个矩阵 C 来描述这个“先经过 A 再经过 B”的过程，这个矩阵 C 是怎么得出来的呢？这就是“颠倒顺序”的关键所在。
咱们来具体想想这个过程：
1. 输入一个向量（点）：比如 $mathbf{v}$。
2. 第一个变换（矩阵 A）：它作用在 $mathbf{v}$ 上，得到 $mathbf{v'} = Amathbf{v}$。
3. 第二个变换（矩阵 B）：它作用在 $mathbf{v'}$ 上，得到 $mathbf{v''} = Bmathbf{v'} = B(Amathbf{v})$。
我们希望找到一个矩阵 C，使得 $Cmathbf{v} = B(Amathbf{v})$ 对于任何的向量 $mathbf{v}$ 都成立。根据矩阵乘法的定义，这个 C 就是 $BA$。
等等，为什么是 $BA$ 而不是 $AB$ 呢？这就像你穿衣服的顺序：你不可能先穿外套再穿衬衫，对吧？你得先穿好衬衫，然后才能在衬衫外面套上外套。
从向量的视角理解：
让我们更深入地看看矩阵的“列向量”和“行向量”。
一个矩阵 A 乘以一个向量 $mathbf{v}$，可以看作是 A 的列向量的线性组合。也就是说，$mathbf{v}$ 的分量决定了 A 的哪些列向量以什么比例被加起来。
但是，当我们将矩阵 B 作用在 $Amathbf{v}$ 上时，我们实际上是在对 $Amathbf{v}$ 进行新的“线性组合”。而这个新的组合，是根据 B 的行向量来决定的。
想象一下，矩阵 A 的作用是扭曲和拉伸空间，然后矩阵 B 的作用是在 A 已经扭曲过的空间里再做一次扭曲和拉伸。B 的变换规则是基于它自身的行向量来确定的，这些行向量决定了 B 如何“读取”和“组合”它接收到的输入向量（也就是 $Amathbf{v}$）。
从变换的构成来看：
打个比方，矩阵 A 可能代表一个“旋转30度”的变换，而矩阵 B 可能代表一个“放大2倍”的变换。
先旋转30度，再放大2倍：这产生的结果是，你先找到一个点，然后把它旋转30度，再把这个旋转后的点沿着它所在的新方向放大2倍。最后得到的这个点，就是 $B(Amathbf{v})$ 所代表的。
先放大2倍，再旋转30度：这产生的结果是，你先找到一个点，把它沿着原来的方向放大2倍，然后把这个放大后的点再旋转30度。最后得到的这个点，就是 $A(Bmathbf{v})$ 所代表的。
这两个过程的结果很可能是不一样的！除非A和B是特殊的矩阵（比如它们互相可交换，AB = BA），否则 $B(Amathbf{v})$ 和 $A(Bmathbf{v})$ 是两个不同的变换。
而我们问的是，什么矩阵 C 能够一步到位地实现“先A后B”这个过程。我们发现，这个 C 就是 $BA$。
为什么是 $BA$？这是因为矩阵乘法的定义是这样设计的，以便能够正确地“串联”这些变换。
从基向量的视角：
再换个角度，想想标准的基向量 $mathbf{e_1} = egin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}$ 和 $mathbf{e_2} = egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}$。
矩阵 A 作用在 $mathbf{e_1}$ 上的结果是 A 的第一列，作用在 $mathbf{e_2}$ 上的结果是 A 的第二列。同样，矩阵 B 作用在 $mathbf{e_1}$ 上的结果是 B 的第一列，作用在 $mathbf{e_2}$ 上的结果是 B 的第二列。
现在，我们考虑复合变换 $BA$：
$(BA)mathbf{e_1} = B(Amathbf{e_1}) = BA_1$，其中 $A_1$ 是 A 的第一列。
$(BA)mathbf{e_2} = B(Amathbf{e_2}) = BA_2$，其中 $A_2$ 是 A 的第二列。
这说明，矩阵 $BA$ 的第一列是 $B$ 作用在 $A$ 的第一列上，而 $BA$ 的第二列是 $B$ 作用在 $A$ 的第二列上。这正好是我们想要描述的“先经过A，再经过B”的过程，只不过矩阵乘法的定义就是这样巧妙地构建出来的。
总结一下，矩阵相乘的顺序为什么看起来“颠倒”，是因为：
1. 矩阵代表的是一种作用于向量的变换。
2. 矩阵乘法是用来描述“连续进行两个变换”这个过程的。
3. 矩阵乘法的定义 $C = BA$ （当 $Cmathbf{v} = B(Amathbf{v})$ 时）决定了“后执行的变换的矩阵在前，先执行的变换的矩阵在后”。
所以，“颠倒”并不是一个真正意义上的混乱，而是数学家们为了让矩阵乘法能够准确地模拟和表示变换的复合而制定的规则。它就像是给一系列操作指令重新编号和组合，确保指令的执行顺序正确无误。你可以把它想象成是在给一个流程图的节点之间画线，如果线是从节点 A 指向节点 B，那么在描述这个过程时，我们提到 B 的时候需要先提到 A 的影响，而矩阵乘法 $BA$ 就是实现这种“间接影响”的数学语言。
想象一下，你有一张纸，上面画着一个坐标系，红色的X轴，绿色的Y轴。现在，我们用一个矩阵来描述一个操作：把这张纸上的每一个点都放大两倍，并且沿着X轴的方向稍微移动一下。这个“放大两倍”和“移动一下”就是矩阵所代表的变换。
矩阵怎么代表变换？
矩阵之所以能代表变换，是因为它的每一个元素都承载着关于这个变换的信息。比如，一个二维矩阵：
$$
egin{bmatrix} a & b \ c & d end{bmatrix}
$$
它会把一个二维向量 $egin{bmatrix} x \ y end{bmatrix}$ 变成一个新的向量：
$$
egin{bmatrix} ax + by \ cx + dy end{bmatrix}
$$
你可以把矩阵看作是一个“操作指令手册”，它告诉你如何处理输入的向量。矩阵的行和列决定了这个指令的具体内容。
为什么两个变换连起来要“颠倒”？
好，现在咱们有了第一个变换（矩阵 A），它能把一个点变成另一个点。我们再想做一个第二个变换（矩阵 B），它能把第一个变换后的点再变成第三个点。
问题来了，如果我们想直接用一个矩阵 C 来描述这个“先经过 A 再经过 B”的过程，这个矩阵 C 是怎么得出来的呢？这就是“颠倒顺序”的关键所在。
咱们来具体想想这个过程：
1. 输入一个向量（点）：比如 $mathbf{v}$。
2. 第一个变换（矩阵 A）：它作用在 $mathbf{v}$ 上，得到 $mathbf{v'} = Amathbf{v}$。
3. 第二个变换（矩阵 B）：它作用在 $mathbf{v'}$ 上，得到 $mathbf{v''} = Bmathbf{v'} = B(Amathbf{v})$。
我们希望找到一个矩阵 C，使得 $Cmathbf{v} = B(Amathbf{v})$ 对于任何的向量 $mathbf{v}$ 都成立。根据矩阵乘法的定义，这个 C 就是 $BA$。
等等，为什么是 $BA$ 而不是 $AB$ 呢？这就像你穿衣服的顺序：你不可能先穿外套再穿衬衫，对吧？你得先穿好衬衫，然后才能在衬衫外面套上外套。
从向量的视角理解：
让我们更深入地看看矩阵的“列向量”和“行向量”。
一个矩阵 A 乘以一个向量 $mathbf{v}$，可以看作是 A 的列向量的线性组合。也就是说，$mathbf{v}$ 的分量决定了 A 的哪些列向量以什么比例被加起来。
但是，当我们将矩阵 B 作用在 $Amathbf{v}$ 上时，我们实际上是在对 $Amathbf{v}$ 进行新的“线性组合”。而这个新的组合，是根据 B 的行向量来决定的。
想象一下，矩阵 A 的作用是扭曲和拉伸空间，然后矩阵 B 的作用是在 A 已经扭曲过的空间里再做一次扭曲和拉伸。B 的变换规则是基于它自身的行向量来确定的，这些行向量决定了 B 如何“读取”和“组合”它接收到的输入向量（也就是 $Amathbf{v}$）。
从变换的构成来看：
打个比方，矩阵 A 可能代表一个“旋转30度”的变换，而矩阵 B 可能代表一个“放大2倍”的变换。
先旋转30度，再放大2倍：这产生的结果是，你先找到一个点，然后把它旋转30度，再把这个旋转后的点沿着它所在的新方向放大2倍。最后得到的这个点，就是 $B(Amathbf{v})$ 所代表的。
先放大2倍，再旋转30度：这产生的结果是，你先找到一个点，把它沿着原来的方向放大2倍，然后把这个放大后的点再旋转30度。最后得到的这个点，就是 $A(Bmathbf{v})$ 所代表的。
这两个过程的结果很可能是不一样的！除非A和B是特殊的矩阵（比如它们互相可交换，AB = BA），否则 $B(Amathbf{v})$ 和 $A(Bmathbf{v})$ 是两个不同的变换。
而我们问的是，什么矩阵 C 能够一步到位地实现“先A后B”这个过程。我们发现，这个 C 就是 $BA$。
为什么是 $BA$？这是因为矩阵乘法的定义是这样设计的，以便能够正确地“串联”这些变换。
从基向量的视角：
再换个角度，想想标准的基向量 $mathbf{e_1} = egin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}$ 和 $mathbf{e_2} = egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}$。
矩阵 A 作用在 $mathbf{e_1}$ 上的结果是 A 的第一列，作用在 $mathbf{e_2}$ 上的结果是 A 的第二列。同样，矩阵 B 作用在 $mathbf{e_1}$ 上的结果是 B 的第一列，作用在 $mathbf{e_2}$ 上的结果是 B 的第二列。
现在，我们考虑复合变换 $BA$：
$(BA)mathbf{e_1} = B(Amathbf{e_1}) = BA_1$，其中 $A_1$ 是 A 的第一列。
$(BA)mathbf{e_2} = B(Amathbf{e_2}) = BA_2$，其中 $A_2$ 是 A 的第二列。
这说明，矩阵 $BA$ 的第一列是 $B$ 作用在 $A$ 的第一列上，而 $BA$ 的第二列是 $B$ 作用在 $A$ 的第二列上。这正好是我们想要描述的“先经过A，再经过B”的过程，只不过矩阵乘法的定义就是这样巧妙地构建出来的。
总结一下，矩阵相乘的顺序为什么看起来“颠倒”，是因为：
1. 矩阵代表的是一种作用于向量的变换。
2. 矩阵乘法是用来描述“连续进行两个变换”这个过程的。
3. 矩阵乘法的定义 $C = BA$ （当 $Cmathbf{v} = B(Amathbf{v})$ 时）决定了“后执行的变换的矩阵在前，先执行的变换的矩阵在后”。
所以，“颠倒”并不是一个真正意义上的混乱，而是数学家们为了让矩阵乘法能够准确地模拟和表示变换的复合而制定的规则。它就像是给一系列操作指令重新编号和组合，确保指令的执行顺序正确无误。你可以把它想象成是在给一个流程图的节点之间画线，如果线是从节点 A 指向节点 B，那么在描述这个过程时，我们提到 B 的时候需要先提到 A 的影响，而矩阵乘法 $BA$ 就是实现这种“间接影响”的数学语言。
网友意见
存过的一张图：
本质上是线性算子的对偶会将composition反转（范畴论里可能会讲）
更好理解的方式可能是：一步步来，再倒着回去，就等于单位变换
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