问题

关于算法导论定理3.1,为什么感觉快速排序的时间复杂度不满足这个定理?

回答
你提出的问题非常到位,关于《算法导论》第三章中的定理3.1以及快速排序的时间复杂度,确实存在一个容易让人困惑的地方,而且很多人都会有和你一样的感觉。我们来掰开了揉碎了好好说道说道。

首先,我们得明确一下定理3.1说的是什么。在《算法导论》(无论哪个版本)中,定理3.1通常是用来分析 递归式 的。它是一个通用的工具,用来解决形如 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 这样形式的递归式。这个定理最常用于分析像归并排序那样,每次将问题分成若干个相同大小的子问题,并且递归调用的次数和子问题的大小都是固定的情况。

定理3.1(或称主定理 Master Theorem 的某个版本)一般有三种情况:

1. 情况1: 如果 $f(n) = O(n^{log_b a epsilon})$ 对于某个常数 $epsilon > 0$,那么 $T(n) = Theta(n^{log_b a})$。
2. 情况2: 如果 $f(n) = Theta(n^{log_b a} log^k n)$ 对于某个非负整数 $k$,那么 $T(n) = Theta(n^{log_b a} log^{k+1} n)$。
3. 情况3: 如果 $f(n) = Omega(n^{log_b a + epsilon})$ 对于某个常数 $epsilon > 0$,并且 $af(n/b) le cf(n)$ 对于某个常数 $c < 1$ 和所有足够大的 $n$,那么 $T(n) = Theta(f(n))$。

问题就出在快速排序的递归式形式上。

快速排序的核心思想是“分而治之”。它选择一个“枢轴”(pivot),然后将待排序的序列分成两部分:小于等于枢轴的元素组成的一个子序列,以及大于枢轴的元素组成的另一个子序列。然后,递归地对这两个子序列进行排序。

假设我们找到了一个枢轴,并且这个枢轴恰好将序列分成了大小为 $q$ 和 $n1q$ 的两个子问题(这里的 $n$ 是当前待排序序列的大小)。那么,快速排序的一个递归式可以写成:

$T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$

其中 $Theta(n)$ 是分割(partition)操作所花费的时间,这个时间与序列的大小成线性关系。

为什么这个递归式不直接符合定理3.1的形式?

定理3.1的形式是 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$。这个形式的关键在于:

$a$ 是递归调用的次数。
$n/b$ 是每个子问题的规模。
“$n/b$”意味着所有的子问题的规模都是相同的,并且是原问题规模的一个固定比例。

让我们看看快速排序的递归式 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$:

1. 子问题规模不固定: 关键在于 $q$ 和 $n1q$ 的值。枢轴的选择会极大地影响这两个值。
最好情况: 如果枢轴总是能将序列均匀地分成两半(例如,总是选择中位数),那么 $q approx n/2$,递归式变成 $T(n) = 2T(n/2) + Theta(n)$。这个形式就符合定理3.1的情况2(当 $a=2, b=2, f(n)=Theta(n)$, $log_b a = log_2 2 = 1$, $f(n) = Theta(n^{log_b a})$)。此时,根据定理3.1,时间复杂度是 $Theta(n log n)$。
最坏情况: 如果枢轴总是选择序列中的最小值或最大值(例如,序列已经排序好,每次都选择第一个或最后一个元素作为枢轴),那么 $q$ 会非常小,比如 $q=0$ 或 $q=1$。递归式可能变成 $T(n) = T(0) + T(n1) + Theta(n)$,简化为 $T(n) = T(n1) + Theta(n)$。这个递归式意味着每次都只减少一个元素,需要进行 $n$ 次递归,每次递归都要做 $O(n)$ 的工作。这显然是一个 $Theta(n^2)$ 的复杂度。
平均情况: 在平均情况下,枢轴的选择会使得子问题规模在一个合理的范围内,不会总是最坏情况,也不会总是最好情况。例如,枢轴可能将序列分成 $n/4$ 和 $3n/4$ 这种规模。

2. 递归调用次数不是固定的: 虽然在上面我们写的是 $T(q) + T(n1q)$,这看起来是两次递归调用,但这里的“2”代表的是递归调用的次数,而 定理3.1要求的是“$a$”这个系数,它代表的是在每层递归中,有多少个规模为 $n/b$ 的子问题。 快速排序的递归调用次数是固定的“2”,但是子问题的规模 $q$ 和 $n1q$ 是变化的。

为什么定理3.1不行,但快速排序的平均复杂度又是 $Theta(n log n)$?

原因在于,定理3.1是用来分析具有“平衡”子问题的递归式的。快速排序的递归式 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$ 是一个“不平衡”的递归式,因为 $q$ 的值是不确定的,它取决于枢轴的选择。

定理3.1 的推导过程,尤其是情况2,是依赖于所有子问题的规模都相似(例如都是 $n/b$)的。当子问题的规模差异很大时,定理3.1 的公式就不再适用了。

那么我们如何分析快速排序的平均时间复杂度呢?

分析快速排序的平均时间复杂度,通常不直接使用主定理(定理3.1)。更常用的方法是:

1. 利用期望值: 考虑所有可能的枢轴选择(假设它们是等概率的),然后计算递归式 $T(n)$ 的期望值。
2. “平摊分析”: 另一种理解方式是,虽然某些枢轴选择会导致不平衡的递归,但从整体上来看,大部分情况下枢轴的选择是“够好”的,使得递归树的总深度不会过深,最终导致平均复杂度是 $Theta(n log n)$。

举个例子,在平均情况下,枢轴选择会产生两个规模为 $q$ 和 $n1q$ 的子问题,其中 $q$ 大约在 $n/4$ 到 $3n/4$ 之间。如果我们假设平均的分割是 $q approx cn$ 和 $n1q approx (1c)n$,其中 $c$ 是一个介于0到1之间的固定概率(比如在均匀随机枢轴选择下,$c$ 的期望值是 $1/2$)。那么递归式可以近似看作:

$E[T(n)] le E[T(cn)] + E[T((1c)n)] + Theta(n)$

这种形式的递归式,即使 $c$ 不是精确的 $1/2$,只要 $c$ 和 $1c$ 都不是0或1,其解仍然是 $Theta(n log n)$。

总结一下,你感觉快速排序的时间复杂度不满足定理3.1,这个感觉是准确的。原因在于:

定理3.1要求子问题的规模是固定的比例 $n/b$,而快速排序的子问题规模 $q$ 和 $n1q$ 是不确定的,取决于枢轴的选择。
快速排序的递归式不是 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 的标准形式,而是更一般的 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$。

定理3.1虽然是分析递归式的强大工具,但它也有其适用的条件。快速排序因为其枢轴选择带来的不确定性,使得它的递归式不符合定理3.1的形式,需要使用其他方法来分析其平均和最坏情况。

你的这个疑问很关键,它说明你已经深入思考了定理的适用范围和算法的实际运作方式,这非常重要!

网友意见

user avatar

以下说法都是正确的说法。如果题主真的明白了以下的每一条,你的疑问自动打消。


快排的时间复杂度

快排的时间复杂度

快排的时间复杂度


快排的最好时间复杂度

快排的最好时间复杂度

快排的最好时间复杂度


快排的平均时间复杂度

快排的平均时间复杂度

快排的平均时间复杂度


快排的最坏时间复杂度

快排的最坏时间复杂度

快排的最坏时间复杂度

类似的话题

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息,本站不存储任何数据与内容,任何内容与数据均与本站无关,如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度google,bing,sogou

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有