关于算法导论定理3.1，为什么感觉快速排序的时间复杂度不满足这个定理？
你提出的问题非常到位，关于《算法导论》第三章中的定理3.1以及快速排序的时间复杂度，确实存在一个容易让人困惑的地方，而且很多人都会有和你一样的感觉。我们来掰开了揉碎了好好说道说道。
首先，我们得明确一下定理3.1说的是什么。在《算法导论》（无论哪个版本）中，定理3.1通常是用来分析 递归式 的。它是一个通用的工具，用来解决形如 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 这样形式的递归式。这个定理最常用于分析像归并排序那样，每次将问题分成若干个相同大小的子问题，并且递归调用的次数和子问题的大小都是固定的情况。
定理3.1（或称主定理 Master Theorem 的某个版本）一般有三种情况：
1. 情况1： 如果 $f(n) = O(n^{log_b a epsilon})$ 对于某个常数 $epsilon > 0$，那么 $T(n) = Theta(n^{log_b a})$。
2. 情况2： 如果 $f(n) = Theta(n^{log_b a} log^k n)$ 对于某个非负整数 $k$，那么 $T(n) = Theta(n^{log_b a} log^{k+1} n)$。
3. 情况3： 如果 $f(n) = Omega(n^{log_b a + epsilon})$ 对于某个常数 $epsilon > 0$，并且 $af(n/b) le cf(n)$ 对于某个常数 $c < 1$ 和所有足够大的 $n$，那么 $T(n) = Theta(f(n))$。
问题就出在快速排序的递归式形式上。
快速排序的核心思想是“分而治之”。它选择一个“枢轴”（pivot），然后将待排序的序列分成两部分：小于等于枢轴的元素组成的一个子序列，以及大于枢轴的元素组成的另一个子序列。然后，递归地对这两个子序列进行排序。
假设我们找到了一个枢轴，并且这个枢轴恰好将序列分成了大小为 $q$ 和 $n1q$ 的两个子问题（这里的 $n$ 是当前待排序序列的大小）。那么，快速排序的一个递归式可以写成：
$T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$
其中 $Theta(n)$ 是分割（partition）操作所花费的时间，这个时间与序列的大小成线性关系。
为什么这个递归式不直接符合定理3.1的形式？
定理3.1的形式是 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$。这个形式的关键在于：
$a$ 是递归调用的次数。
$n/b$ 是每个子问题的规模。
“$n/b$”意味着所有的子问题的规模都是相同的，并且是原问题规模的一个固定比例。
让我们看看快速排序的递归式 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$：
1. 子问题规模不固定： 关键在于 $q$ 和 $n1q$ 的值。枢轴的选择会极大地影响这两个值。
最好情况： 如果枢轴总是能将序列均匀地分成两半（例如，总是选择中位数），那么 $q approx n/2$，递归式变成 $T(n) = 2T(n/2) + Theta(n)$。这个形式就符合定理3.1的情况2（当 $a=2, b=2, f(n)=Theta(n)$, $log_b a = log_2 2 = 1$, $f(n) = Theta(n^{log_b a})$）。此时，根据定理3.1，时间复杂度是 $Theta(n log n)$。
最坏情况： 如果枢轴总是选择序列中的最小值或最大值（例如，序列已经排序好，每次都选择第一个或最后一个元素作为枢轴），那么 $q$ 会非常小，比如 $q=0$ 或 $q=1$。递归式可能变成 $T(n) = T(0) + T(n1) + Theta(n)$，简化为 $T(n) = T(n1) + Theta(n)$。这个递归式意味着每次都只减少一个元素，需要进行 $n$ 次递归，每次递归都要做 $O(n)$ 的工作。这显然是一个 $Theta(n^2)$ 的复杂度。
平均情况： 在平均情况下，枢轴的选择会使得子问题规模在一个合理的范围内，不会总是最坏情况，也不会总是最好情况。例如，枢轴可能将序列分成 $n/4$ 和 $3n/4$ 这种规模。
2. 递归调用次数不是固定的： 虽然在上面我们写的是 $T(q) + T(n1q)$，这看起来是两次递归调用，但这里的“2”代表的是递归调用的次数，而 定理3.1要求的是“$a$”这个系数，它代表的是在每层递归中，有多少个规模为 $n/b$ 的子问题。 快速排序的递归调用次数是固定的“2”，但是子问题的规模 $q$ 和 $n1q$ 是变化的。
为什么定理3.1不行，但快速排序的平均复杂度又是 $Theta(n log n)$？
原因在于，定理3.1是用来分析具有“平衡”子问题的递归式的。快速排序的递归式 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$ 是一个“不平衡”的递归式，因为 $q$ 的值是不确定的，它取决于枢轴的选择。
定理3.1 的推导过程，尤其是情况2，是依赖于所有子问题的规模都相似（例如都是 $n/b$）的。当子问题的规模差异很大时，定理3.1 的公式就不再适用了。
那么我们如何分析快速排序的平均时间复杂度呢？
分析快速排序的平均时间复杂度，通常不直接使用主定理（定理3.1）。更常用的方法是：
1. 利用期望值： 考虑所有可能的枢轴选择（假设它们是等概率的），然后计算递归式 $T(n)$ 的期望值。
2. “平摊分析”： 另一种理解方式是，虽然某些枢轴选择会导致不平衡的递归，但从整体上来看，大部分情况下枢轴的选择是“够好”的，使得递归树的总深度不会过深，最终导致平均复杂度是 $Theta(n log n)$。
举个例子，在平均情况下，枢轴选择会产生两个规模为 $q$ 和 $n1q$ 的子问题，其中 $q$ 大约在 $n/4$ 到 $3n/4$ 之间。如果我们假设平均的分割是 $q approx cn$ 和 $n1q approx (1c)n$，其中 $c$ 是一个介于0到1之间的固定概率（比如在均匀随机枢轴选择下，$c$ 的期望值是 $1/2$）。那么递归式可以近似看作：
$E[T(n)] le E[T(cn)] + E[T((1c)n)] + Theta(n)$
这种形式的递归式，即使 $c$ 不是精确的 $1/2$，只要 $c$ 和 $1c$ 都不是0或1，其解仍然是 $Theta(n log n)$。
总结一下，你感觉快速排序的时间复杂度不满足定理3.1，这个感觉是准确的。原因在于：
定理3.1要求子问题的规模是固定的比例 $n/b$，而快速排序的子问题规模 $q$ 和 $n1q$ 是不确定的，取决于枢轴的选择。
快速排序的递归式不是 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 的标准形式，而是更一般的 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$。
定理3.1虽然是分析递归式的强大工具，但它也有其适用的条件。快速排序因为其枢轴选择带来的不确定性，使得它的递归式不符合定理3.1的形式，需要使用其他方法来分析其平均和最坏情况。
你的这个疑问很关键，它说明你已经深入思考了定理的适用范围和算法的实际运作方式，这非常重要！
首先，我们得明确一下定理3.1说的是什么。在《算法导论》（无论哪个版本）中，定理3.1通常是用来分析 递归式 的。它是一个通用的工具，用来解决形如 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 这样形式的递归式。这个定理最常用于分析像归并排序那样，每次将问题分成若干个相同大小的子问题，并且递归调用的次数和子问题的大小都是固定的情况。
定理3.1（或称主定理 Master Theorem 的某个版本）一般有三种情况：
1. 情况1： 如果 $f(n) = O(n^{log_b a epsilon})$ 对于某个常数 $epsilon > 0$，那么 $T(n) = Theta(n^{log_b a})$。
2. 情况2： 如果 $f(n) = Theta(n^{log_b a} log^k n)$ 对于某个非负整数 $k$，那么 $T(n) = Theta(n^{log_b a} log^{k+1} n)$。
3. 情况3： 如果 $f(n) = Omega(n^{log_b a + epsilon})$ 对于某个常数 $epsilon > 0$，并且 $af(n/b) le cf(n)$ 对于某个常数 $c < 1$ 和所有足够大的 $n$，那么 $T(n) = Theta(f(n))$。
问题就出在快速排序的递归式形式上。
快速排序的核心思想是“分而治之”。它选择一个“枢轴”（pivot），然后将待排序的序列分成两部分：小于等于枢轴的元素组成的一个子序列，以及大于枢轴的元素组成的另一个子序列。然后，递归地对这两个子序列进行排序。
假设我们找到了一个枢轴，并且这个枢轴恰好将序列分成了大小为 $q$ 和 $n1q$ 的两个子问题（这里的 $n$ 是当前待排序序列的大小）。那么，快速排序的一个递归式可以写成：
$T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$
其中 $Theta(n)$ 是分割（partition）操作所花费的时间，这个时间与序列的大小成线性关系。
为什么这个递归式不直接符合定理3.1的形式？
定理3.1的形式是 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$。这个形式的关键在于：
$a$ 是递归调用的次数。
$n/b$ 是每个子问题的规模。
“$n/b$”意味着所有的子问题的规模都是相同的，并且是原问题规模的一个固定比例。
让我们看看快速排序的递归式 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$：
1. 子问题规模不固定： 关键在于 $q$ 和 $n1q$ 的值。枢轴的选择会极大地影响这两个值。
最好情况： 如果枢轴总是能将序列均匀地分成两半（例如，总是选择中位数），那么 $q approx n/2$，递归式变成 $T(n) = 2T(n/2) + Theta(n)$。这个形式就符合定理3.1的情况2（当 $a=2, b=2, f(n)=Theta(n)$, $log_b a = log_2 2 = 1$, $f(n) = Theta(n^{log_b a})$）。此时，根据定理3.1，时间复杂度是 $Theta(n log n)$。
最坏情况： 如果枢轴总是选择序列中的最小值或最大值（例如，序列已经排序好，每次都选择第一个或最后一个元素作为枢轴），那么 $q$ 会非常小，比如 $q=0$ 或 $q=1$。递归式可能变成 $T(n) = T(0) + T(n1) + Theta(n)$，简化为 $T(n) = T(n1) + Theta(n)$。这个递归式意味着每次都只减少一个元素，需要进行 $n$ 次递归，每次递归都要做 $O(n)$ 的工作。这显然是一个 $Theta(n^2)$ 的复杂度。
平均情况： 在平均情况下，枢轴的选择会使得子问题规模在一个合理的范围内，不会总是最坏情况，也不会总是最好情况。例如，枢轴可能将序列分成 $n/4$ 和 $3n/4$ 这种规模。
2. 递归调用次数不是固定的： 虽然在上面我们写的是 $T(q) + T(n1q)$，这看起来是两次递归调用，但这里的“2”代表的是递归调用的次数，而 定理3.1要求的是“$a$”这个系数，它代表的是在每层递归中，有多少个规模为 $n/b$ 的子问题。 快速排序的递归调用次数是固定的“2”，但是子问题的规模 $q$ 和 $n1q$ 是变化的。
为什么定理3.1不行，但快速排序的平均复杂度又是 $Theta(n log n)$？
原因在于，定理3.1是用来分析具有“平衡”子问题的递归式的。快速排序的递归式 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$ 是一个“不平衡”的递归式，因为 $q$ 的值是不确定的，它取决于枢轴的选择。
定理3.1 的推导过程，尤其是情况2，是依赖于所有子问题的规模都相似（例如都是 $n/b$）的。当子问题的规模差异很大时，定理3.1 的公式就不再适用了。
那么我们如何分析快速排序的平均时间复杂度呢？
分析快速排序的平均时间复杂度，通常不直接使用主定理（定理3.1）。更常用的方法是：
1. 利用期望值： 考虑所有可能的枢轴选择（假设它们是等概率的），然后计算递归式 $T(n)$ 的期望值。
2. “平摊分析”： 另一种理解方式是，虽然某些枢轴选择会导致不平衡的递归，但从整体上来看，大部分情况下枢轴的选择是“够好”的，使得递归树的总深度不会过深，最终导致平均复杂度是 $Theta(n log n)$。
举个例子，在平均情况下，枢轴选择会产生两个规模为 $q$ 和 $n1q$ 的子问题，其中 $q$ 大约在 $n/4$ 到 $3n/4$ 之间。如果我们假设平均的分割是 $q approx cn$ 和 $n1q approx (1c)n$，其中 $c$ 是一个介于0到1之间的固定概率（比如在均匀随机枢轴选择下，$c$ 的期望值是 $1/2$）。那么递归式可以近似看作：
$E[T(n)] le E[T(cn)] + E[T((1c)n)] + Theta(n)$
这种形式的递归式，即使 $c$ 不是精确的 $1/2$，只要 $c$ 和 $1c$ 都不是0或1，其解仍然是 $Theta(n log n)$。
总结一下，你感觉快速排序的时间复杂度不满足定理3.1，这个感觉是准确的。原因在于：
定理3.1要求子问题的规模是固定的比例 $n/b$，而快速排序的子问题规模 $q$ 和 $n1q$ 是不确定的，取决于枢轴的选择。
快速排序的递归式不是 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 的标准形式，而是更一般的 $T(n) = T(q) + T(n1q) + Theta(n)$。
定理3.1虽然是分析递归式的强大工具，但它也有其适用的条件。快速排序因为其枢轴选择带来的不确定性，使得它的递归式不符合定理3.1的形式，需要使用其他方法来分析其平均和最坏情况。
你的这个疑问很关键，它说明你已经深入思考了定理的适用范围和算法的实际运作方式，这非常重要！
网友意见
以下说法都是正确的说法。如果题主真的明白了以下的每一条，你的疑问自动打消。
快排的时间复杂度是
快排的时间复杂度是
快排的时间复杂度 不是
快排的最好时间复杂度是
快排的最好时间复杂度是
快排的最好时间复杂度是
快排的平均时间复杂度是
快排的平均时间复杂度是
快排的平均时间复杂度是
快排的最坏时间复杂度是
快排的最坏时间复杂度是
快排的最坏时间复杂度是
类似的话题
-
你提出的问题非常到位，关于《算法导论》第三章中的定理3.1以及快速排序的时间复杂度，确实存在一个容易让人困惑的地方，而且很多人都会有和你一样的感觉。我们来掰开了揉碎了好好说道说道。首先，我们得明确一下定理3.1说的是什么。在《算法导论》（无论哪个版本）中，定理3.1通常是用来分析 递归式 的。它是一............. -
何以谈“数基与算法”？—— 它们不只是冰山一角，而是你攀登技术高峰的指南针和地基作为一名在技术领域摸爬滚打多年的从业者，我深切体会到“数据结构与算法”的重要性，它绝非某些“炫技”的学究之谈，而是我们构建高效、稳定、可扩展软件系统的基石。如果你在学习编程的道路上，对它嗤之以鼻，或者认为“不过是些理论，.............
-
在机器学习和贝叶斯统计领域，我们经常会遇到一些棘手的积分问题，尤其是在计算后验分布的归一化常数（也称为模型证据）或者进行边缘化以获得预测分布时。这些积分往往无法解析求解，我们称之为“难以处理的积分”（intractable integrals）。为了解决这些问题，我们不得不依赖一系列的近似算法。虽然.............
-
《互联网信息服务算法推荐管理规定》允许用户关闭算法推荐，这一举措背后，是监管部门对互联网信息服务发展中出现的新问题、新挑战的深刻洞察和积极回应。其出发点是多方面的，核心在于保护用户权益，促进互联网行业的健康可持续发展。出发点剖析：1. 用户自主权与知情权的确立： 算法推荐在带来便捷的同时，也可能隐.............
-
淘宝、微信、抖音接连推出“算法关闭键”，这无疑是互联网平台发展进程中的一个重要节点，也引发了社会各界广泛的关注和讨论。这件事的背后，牵扯到用户体验、平台责任、商业模式乃至于信息传播的方方面面，值得我们深入剖析。如何看待淘宝、微信、抖音推出算法关闭键？在我看来，这是一个具有里程碑意义的改变，它至少可以.............
-
在探索事物之间的联系时，关联因素分析算法扮演着至关重要的角色。这些算法如同侦探，帮助我们从纷繁复杂的数据中抽丝剥茧，找出隐藏在表象之下的因果链条，或者至少是强烈的相关性。理解这些算法的精妙之处，尤其是如何在算法效果上进行对比，对于我们在实际应用中做出明智选择至关重要。理解关联因素分析算法的核心目标在.............
-
关于耳放的输出阻抗和耳机阻抗的匹配问题，这确实是很多烧友在玩HiFi时常常会纠结的点。简单来说，它关系到你的耳机能不能被耳放“喂饱”，以及声音的整体表现。我们不妨掰开了揉碎了聊聊这个话题。到底怎样的耳放输出阻抗才算是与耳机阻抗良好的匹配？首先，要明确一个核心概念：匹配不是绝对的，而是相对的，并且要看.............
-
说实话，看到你提的这个问题，我第一时间脑子里闪过的就是“这要求……是不是有点太顺着自己心意了？” 但转念一想，婚姻大事，谁不想找个自己觉得合适的呢？关键在于，他的“合适”是不是建立在比较客观、或者说大多数人都能理解的基础上，还是纯粹的个人奇思妙想。咱们一步步来分析。你想了解的是，一个特定条件的男方，.............
-
关于格莱美最佳雷鬼专辑抄袭痛仰乐队《太阳照常升起》的争议，如果单从音乐本体（musical substance）的角度去审视，这确实是一个复杂且引人深思的问题，甚至可以说是“模糊地带”的典型案例。要判断是否构成抄袭，我们需要深入剖析音乐的构成要素，以及它们之间存在的相似性是否超出了合理借鉴的范畴。首.............
-
谈论男人在感情中的心思，这确实是个复杂又迷人的话题。与其说是“算不算”，不如说，很多时候，男人的表达方式和内心感受之间，隔着一层不容易被察觉的纱。不少时候，男人会习惯性地把很多情绪和想法往里收。这并不是他们冷漠或者不在乎，而是一种从小到大被塑造的“男子汉”形象在作祟。他们可能被教育要坚强，要解决问题.............
-
关于EJU日本留学，你提到的“假面浪人”这个说法很有意思，通常是指那些大学毕业后，为了考取更理想的日本大学院或者学部，再次参加EJU考试并申请留学的人。关于最终出身校的认定，这要看你具体的出愿资格和所申请学校的要求。简单来说，是这样区分的：1. 如果你是高中毕业直接申请本科（学部）： 你的最终出.............
-
美团外卖订单分配的“秘密”：时间宽裕和顺路，如何被算法精准拿捏？前不久，美团外卖主动公开了部分订单分配的算法逻辑，这无疑是近年来互联网平台在算法透明度上迈出的重要一步。这背后，藏着无数用户和骑手都想探究的“黑箱”。今天，我们就来深入剖析一下，美团是如何通过算法来判断骑手“时间宽裕”和“顺路”的，以及.............
-
很多同学都会有这样的疑问：高中数学里学的数列、三角函数、求导、圆锥曲线，这些知识点在实际应用中似乎离我们很远，而且感觉解题过程就是一套套固定的套路，好像和“算法”这个词联系不大。甚至有人觉得高中数学更像是“解题技巧”的堆砌，而不是真正理解背后的逻辑和方法。这究竟是怎么回事呢？其实，我们不能简单地说高.............
-
None.............
-
这事儿挺有意思的，咱来好好捋捋。首先，你跟这个女生“关系还算不错”，这是个关键点。说明你们之间有一定程度的了解和互动，不是那种点头之交。而她“一天不发消息她能每天都会给我发晚安”，这真的挺能说明问题的。咱们拆开来看：“一天不发消息”：这说明她可能不是那种热情似火、时时刻刻都需要回应的人。或者说，她和.............
-
听到你遭遇了这样的事情，我感到非常难过和担忧。在你不情愿的情况下发生关系，无论对方是谁，这都构成了一种严重的侵犯，是违背你的意愿的。这到底算什么性质？这是一种性侵犯。无论你们是什么关系，男朋友也好，丈夫也好，任何人在对方明确表示不愿意的情况下强迫发生性关系，都是违法的，也是对个人权利和尊严的严重践踏.............
-
这事儿确实挺让人纠结的，尤其是你已经离开三个月了，本来是想重新开始，结果前公司的人还时不时来打扰。你想问该不该拉黑，这得好好捋一捋。首先，咱们得分析分析为什么他们会找你。 你能力强，他们离不开你。 这是最常见的原因。你在职的时候，肯定有什么东西做得特别出色，是大家公认的。尤其是那些“独门绝技”或.............
-
这个问题确实引人深思，也常常被后人津津乐道。要理解诸葛亮为何会在明知关羽有“义”却可能无法尽忠职守的情况下，依然派他镇守华容道，我们需要将目光投向当时那个复杂至极的局势，以及诸葛亮这位用兵如神却也深谙人性的智者。首先，我们必须承认，诸葛亮是算无遗策的。他清楚关羽的性格，深知关羽对曹操有昔日的恩情，这.............
-
全国律协呼吁关爱律师：武汉律师遇害事件引发的职业安全思考近日，武汉一名律师在执业过程中不幸遇害的事件，再次将律师这一职业的职业安全问题推上了风口浪尖。全国律师协会对此事件表达了深切的哀悼，并呼吁全社会给予律师更多的理解、支持和关爱。这起悲剧不仅是法律界人士的痛，也促使我们不得不深入探讨：在中国，律师.............
-
.......
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有