不能直接计算导数值时，有什么优化算法？
无法直接计算导数？别担心，这些优化算法来帮你！
在许多实际问题中，我们都需要找到一个函数的最小值或最大值，这就是所谓的“优化”问题。而数学上最直接、最优雅的方法就是利用导数（或者更广义的梯度）来指引方向。导数告诉我们函数在某个点上变化最快的方向，所以我们可以沿着梯度的反方向（负梯度）一步步地“下山”，最终找到最低点。
然而，现实世界远比教科书上的理想模型复杂。很多时候，我们可能面临这样一个窘境：我们想优化的函数非常复杂，以至于无法直接写出其导数公式，或者即使写出来了，计算起来也极其耗时和困难，甚至可能存在数值不稳定的问题。 这种情况下，传统的基于梯度下降的方法就显得有些力不从心了。
别灰心！面对无法直接计算导数的情况，我们还有许多强大且实用的优化算法可供选择。这些算法要么通过巧妙的方法“近似”出导数信息，要么完全抛弃导数，转而探索其他有效的搜索策略。下面，我们就来一一揭秘这些“无导数”的优化利器。
一、 基于导数近似的算法：聪明地“猜”出导数
既然无法直接计算，那我们不如尝试“猜”一下导数。这里的“猜”并非随意乱猜，而是有科学依据的近似方法。
1. 有限差分法 (Finite Differences)
这是最直观也是最基本的一种导数近似方法。我们知道导数的定义是当两个点之间的距离趋近于零时，函数值之差除以这两个点之间的距离。在计算上，我们不可能让距离真的趋近于零，但我们可以选择一个足够小的步长 `h` 来近似这个过程。
对于一个多元函数 $f(mathbf{x})$，其中 $mathbf{x} = (x_1, x_2, dots, x_n)$，函数关于某个变量 $x_i$ 的偏导数 $frac{partial f}{partial x_i}$ 可以通过以下方式近似：
前向差分 (Forward Difference):
$frac{partial f}{partial x_i} approx frac{f(mathbf{x} + hmathbf{e}_i) f(mathbf{x})}{h}$
其中 $mathbf{e}_i$ 是一个单位向量，在第 $i$ 维上为 1，其余为 0。
后向差分 (Backward Difference):
$frac{partial f}{partial x_i} approx frac{f(mathbf{x}) f(mathbf{x} hmathbf{e}_i)}{h}$
中心差分 (Central Difference):
$frac{partial f}{partial x_i} approx frac{f(mathbf{x} + hmathbf{e}_i) f(mathbf{x} hmathbf{e}_i)}{2h}$
为什么中心差分更好？ 中心差分通常比前向差分和后向差分更精确，因为它考虑了函数在点 $mathbf{x}$ 两侧的变化，减少了由函数曲线的非对称性带来的误差。
优点：
实现简单，概念直观。
适用于任何可微函数，无论其解析形式如何。
缺点：
计算量大： 对于一个 $n$ 元函数，计算一个方向的梯度需要评估函数 $2n$ 次（中心差分）。如果每一步更新都需要计算梯度，那么计算成本会非常高。
精度问题： 选择的步长 `h` 需要权衡。如果 `h` 太大，近似误差会很大；如果 `h` 太小，计算两个非常接近的点的值时，可能会遇到浮点数的精度限制，导致结果不准确（数值不稳定）。
并非真正的梯度： 毕竟是近似，在某些复杂函数或极值点附近，近似的梯度可能与真实梯度有较大偏差，影响收敛速度和最终精度。
应用场景： 当函数表达式很复杂，难以推导解析导数，但函数评估本身并不算特别昂贵时，可以考虑使用。尤其是在算法原型验证或对精度要求不是非常苛刻的场景下。
2. 自动微分 (Automatic Differentiation AD)
自动微分绝对是现代优化领域的一大福音！ 它不是数值上的近似，而是利用计算机程序对函数计算过程的精确追踪，从而在计算过程中自动推导出导数值。它不是符号计算（如Mathematica或SymPy那样直接推导公式），也不是数值计算（如有限差分），而是一种全新的、高效的计算导数的方式。
自动微分的核心思想是“链式法则”。任何复杂的函数都可以分解成一系列基本运算（加、减、乘、除、sin、cos、exp等），每个基本运算都有已知的导数。自动微分通过记录和组合这些基本运算的导数，最终得到整个复杂函数的导数。
根据追踪计算过程的方式不同，自动微分主要分为两种模式：
前向模式 (Forward Mode AD):
这种模式将函数计算和导数计算“打包”在一起，沿计算图的方向前向传播。对于一个函数 $f:mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$，前向模式适合计算的是输入对输出的雅可比向量积 (JacobianVector Product JVP)。简单来说，就是计算一个输出对一个输入方向的导数。如果你想计算整个雅可比矩阵，就需要对每个输入维度分别执行一次前向模式。
反向模式 (Reverse Mode AD):
这种模式是现代深度学习中广泛使用的模式。它首先进行一次“前向计算”，记录下计算过程中所有中间变量的值和它们如何依赖于之前的变量。然后，它进行一次“后向传播”，沿着计算图的反方向，利用链式法则，从最终输出的梯度开始，逐层计算出所有中间变量对输出的梯度，最终得到输入对输出的梯度。反向模式最适合计算的是输出对输入的梯度 (Gradient)，即一个标量输出对一个向量输入的梯度。
为什么自动微分这么强大？
精确性： 它计算的是精确的导数值，不存在有限差分中的近似误差（除了浮点数的固有误差）。
效率： 相对于有限差分，尤其是对于高维输入、低维输出（标量损失函数对模型参数的梯度），反向模式的计算效率远高于数值差分。它只需要与计算函数本身大致相当的计算量。
易用性： 现代深度学习框架（如TensorFlow, PyTorch, JAX）都内置了强大的自动微分功能，用户只需编写函数的前向计算代码，框架会自动处理导数的计算。
优点：
计算导数精确且高效。
是当前深度学习等领域的首选优化方法。
缺点：
需要专门的工具或框架支持。
对于某些函数（例如涉及大量随机采样或复杂的控制流），实现起来可能更具挑战性。
应用场景： 几乎所有需要精确梯度信息的场景，特别是机器学习、深度学习模型的训练。对于我们讨论的“无法直接计算导数”的问题，如果函数本身是由一系列基本运算组合而成，自动微分是最佳解决方案。
二、 完全不依赖导数的优化算法：另辟蹊径的探索者
如果导数信息完全不可得，或者即使是近似导数也无法提供足够有效的指导，我们还可以转向那些不依赖任何导数信息的优化算法。这些算法通常通过直接探索函数的输出值来寻找最优解。
1. 随机搜索 (Random Search)
这是最简单直接的“无导数”方法。它的思想非常朴素：随机地在搜索空间中生成大量的候选解，然后评估这些候选解的目标函数值，并保留其中表现最好的一个。
优点：
极其简单，容易实现。
在某些高维搜索问题上，它可能比基于梯度的搜索更快找到一个“不错”的解，特别是在搜索空间中有许多局部最优解但全局最优解相对容易找到的情况下。
缺点：
效率极低： 除非函数非常简单且搜索空间很小，否则需要大量的采样才能找到接近最优解。
缺乏方向性： 完全是“盲人摸象”，没有利用到任何关于函数形状的信息。
应用场景： 仅作为一种基准方法或者在非常简单的调参问题上尝试。
2. 遗传算法 (Genetic Algorithms GA)
遗传算法是一种模仿自然选择和遗传机制的启发式搜索算法。它将问题的解看作是“染色体”，通过一系列操作（选择、交叉、变异）来产生下一代“种群”，并期望每一代种群都比上一代更优。
初始化： 随机生成一组初始解（种群）。
适应度评估： 计算种群中每个个体的目标函数值（适应度）。
选择： 根据适应度，选择更优的个体进入下一代。
交叉 (Crossover): 将两个父代个体的部分“基因”进行交换，产生新的子代。
变异 (Mutation): 以一定的概率随机改变个体的某个“基因”，增加种群的多样性。
迭代： 重复以上过程，直到满足停止条件（例如达到最大迭代次数或找到足够好的解）。
优点：
全局搜索能力强： 能够跳出局部最优解，找到全局最优解的可能性较大。
鲁棒性好： 对函数形式没有太多要求，甚至可以处理非连续或有噪声的目标函数。
并行化潜力大： 种群中的个体评估可以并行进行。
缺点：
收敛速度慢： 通常需要较多的迭代次数才能达到较高的精度。
参数多： 需要调整种群大小、交叉率、变异率等参数，对算法性能影响较大。
不保证找到全局最优： 仍然是一种启发式算法，不能绝对保证找到全局最优解。
应用场景： 复杂、多峰、非连续的优化问题，例如函数曲线非常复杂、难以用数学公式表达的情况，或者参数非常多且相互耦合时。也常用于组合优化问题。
3. 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)
模拟退火算法的思想来源于固体退火过程。在退火过程中，金属材料逐渐冷却，最终达到一个能量较低的稳定状态。模拟退火算法通过一个“温度”参数来控制探索的范围和接受劣解的概率。
初始化： 从一个初始解开始。
产生新解： 在当前解附近随机生成一个新解。
接受判断：
如果新解比当前解更好，则接受它。
如果新解比当前解差，则以一定的概率接受它。这个概率随着“温度”的降低而减小。这个“以概率接受更差解”的机制是模拟退火能够跳出局部最优的关键。
降温： 逐渐降低“温度”参数。
迭代： 重复以上过程，直到“温度”足够低，接近于停止。
优点：
避免陷入局部最优： 通过引入概率接受劣解的机制，能够在搜索早期探索更广泛的区域，从而提高找到全局最优解的概率。
实现相对简单： 与遗传算法相比，参数和操作更少。
缺点：
收敛速度和精度依赖于退火过程： 退火计划（降温策略）的选择非常关键，但没有普适的最佳策略。
对于非常平坦或狭窄的极值区域可能效率不高。
应用场景： 与遗传算法类似，适用于复杂的全局优化问题，尤其是在搜索过程中需要一定程度的“随机性”来跳出局部陷阱时。
4. 基于模型的优化 (ModelBased Optimization)
这类算法的核心思想是“构建一个关于目标函数的模型”，然后利用这个模型来指导搜索。当无法直接计算导数时，我们可以通过采样函数值来构建一个代理模型（surrogate model），然后在这个代理模型上进行优化。
高斯过程回归 (Gaussian Process Regression GPR):
高斯过程是一种非常强大的非参数模型，它可以对函数进行建模，并提供预测值以及预测的不确定性。通过在搜索空间中采样一些点，用高斯过程来拟合这些点，就可以得到一个关于目标函数的“猜测”。
贝叶斯优化 (Bayesian Optimization BO):
贝叶斯优化结合了高斯过程和采集函数 (Acquisition Function)。采集函数根据高斯过程模型提供的预测均值和方差（不确定性），来决定下一个最优的采样点。常见的采集函数有：
最大化概率改进 (Probability of Improvement PI): 优先选择那些有高概率改进当前最优解的点。
最大化预期改进 (Expected Improvement EI): 优先选择那些预期改进量最大的点，综合考虑了改进的可能性和改进的大小。
上置信界 (Upper Confidence Bound UCB): 优先选择那些预测值高或者不确定性大的点。
贝叶斯优化通过在“探索”（高不确定性区域）和“利用”（高预测值区域）之间取得平衡，来高效地找到目标函数的全局最优解。
优点：
Sample Efficiency 高： 相对于直接搜索或有限差分，贝叶斯优化通常只需要较少的函数评估次数就能找到好的解，这对于函数评估成本高昂的问题尤为重要。
不需要导数： 完全依赖函数评估值来构建模型。
能处理黑箱函数： 即使函数内部逻辑完全未知，只要能提供输入输出，就可以使用。
缺点：
计算成本： 构建高斯过程模型和优化采集函数本身可能需要一定的计算量，尤其是在维度较高时。
维度灾难： 随着输入变量维度的增加，高斯过程模型的性能会迅速下降。
应用场景： 函数评估成本非常高昂，或者函数形式未知且不可导的问题。例如：超参数调优、机器人控制策略学习、材料科学实验设计等。
5. 牛顿法和拟牛顿法 (Newton's Method and QuasiNewton Methods)
虽然我们说的是“不能直接计算导数”，但严格来说，牛顿法需要的是二阶导数（Hessian矩阵），而拟牛顿法则近似Hessian矩阵或其逆。这些方法虽然不直接使用一阶导数，但其优化思想也是基于函数的局部二次近似。
如果你的函数虽然难以计算一阶导数，但至少函数值可以计算，并且可以通过有限差分等方法近似Hessian矩阵（或其逆），那么这些方法也可以考虑。
牛顿法： 使用二阶泰勒展开近似函数，通过求解二次方程的最小值点来更新。需要计算Hessian矩阵。
拟牛顿法： 通过一系列迭代来更新Hessian矩阵的近似或者其逆矩阵的近似。常见的有BFGS算法、LBFGS算法等。它们通过使用梯度信息（即使是近似的）来构造Hessian的近似。
优点：
如果函数是凸的，收敛速度非常快（二次收敛）。
相较于梯度下降，在接近最优解时更快。
缺点：
对导数（或其近似）仍然有需求。
Hessian矩阵的计算或近似可能很复杂且计算量大。
需要函数是二次可微的。
应用场景： 当函数值和近似的Hessian信息可以获得时，尤其是在接近最优解的局部搜索阶段，它们会比梯度下降法更有效率。
如何选择合适的算法？
面对“无法直接计算导数”的问题，选择哪种算法取决于几个关键因素：
1. 函数的可评估性： 函数评估的成本有多高？如果成本很高，则优先考虑贝叶斯优化这类样本效率高的算法。如果成本不高，有限差分或自动微分（如果可能的话）可以考虑。
2. 问题的维度： 输入变量的数量对算法选择影响很大。高维问题上，维度灾难是一个重要考虑。遗传算法、模拟退火在处理高维问题上通常比高斯过程更稳定。
3. 对精度的要求： 对最终结果的精度要求有多高？自动微分提供最精确的导数，而数值方法会有近似误差。启发式算法可能无法保证找到全局最优。
4. 函数特性： 函数是光滑的还是不光滑的？是凸的还是非凸的？是否有噪声？这些都会影响算法的表现。例如，遗传算法和模拟退火对非凸函数和噪声更鲁棒。
5. 是否存在其他可计算的信息： 是否可以近似计算二阶导数？是否可以利用函数的其他属性？
总结一下一个大致的决策流程：
第一优先级： 检查函数是否可以使用自动微分。如果可以，这是最精确、最高效的选择，无论函数有多复杂。
第二优先级： 如果自动微分不可行，但函数可以接受有限数量的采样，并且函数评估成本不高：
尝试有限差分法，配合优化器（如LBFGS等拟牛顿法，它们可以用有限差分提供的梯度信息）。
考虑贝叶斯优化，特别是当问题维度不是非常高时，其样本效率优势明显。
第三优先级： 如果函数评估成本非常高，或者问题维度极高，或者函数非常复杂、非凸、有噪声：
遗传算法 或 模拟退火算法 是不错的选择，它们能够进行全局搜索，对函数形式要求低，但需要更多的迭代次数。
最后手段： 如果以上方法都不奏效，可以考虑最简单的随机搜索作为基线，或者尝试更专业的全局优化库。
在实际应用中，我们常常需要结合多种方法，或者对现有方法进行调整和改进。没有一种算法是万能的，理解它们的原理和优缺点，才能在面对各种挑战时做出最明智的选择。希望这些详尽的介绍能帮助你更好地理解如何在没有导数的情况下进行优化！
在许多实际问题中，我们都需要找到一个函数的最小值或最大值，这就是所谓的“优化”问题。而数学上最直接、最优雅的方法就是利用导数（或者更广义的梯度）来指引方向。导数告诉我们函数在某个点上变化最快的方向，所以我们可以沿着梯度的反方向（负梯度）一步步地“下山”，最终找到最低点。
然而，现实世界远比教科书上的理想模型复杂。很多时候，我们可能面临这样一个窘境：我们想优化的函数非常复杂，以至于无法直接写出其导数公式，或者即使写出来了，计算起来也极其耗时和困难，甚至可能存在数值不稳定的问题。 这种情况下，传统的基于梯度下降的方法就显得有些力不从心了。
别灰心！面对无法直接计算导数的情况，我们还有许多强大且实用的优化算法可供选择。这些算法要么通过巧妙的方法“近似”出导数信息，要么完全抛弃导数，转而探索其他有效的搜索策略。下面，我们就来一一揭秘这些“无导数”的优化利器。
一、 基于导数近似的算法：聪明地“猜”出导数
既然无法直接计算，那我们不如尝试“猜”一下导数。这里的“猜”并非随意乱猜，而是有科学依据的近似方法。
1. 有限差分法 (Finite Differences)
这是最直观也是最基本的一种导数近似方法。我们知道导数的定义是当两个点之间的距离趋近于零时，函数值之差除以这两个点之间的距离。在计算上，我们不可能让距离真的趋近于零，但我们可以选择一个足够小的步长 `h` 来近似这个过程。
对于一个多元函数 $f(mathbf{x})$，其中 $mathbf{x} = (x_1, x_2, dots, x_n)$，函数关于某个变量 $x_i$ 的偏导数 $frac{partial f}{partial x_i}$ 可以通过以下方式近似：
前向差分 (Forward Difference):
$frac{partial f}{partial x_i} approx frac{f(mathbf{x} + hmathbf{e}_i) f(mathbf{x})}{h}$
其中 $mathbf{e}_i$ 是一个单位向量，在第 $i$ 维上为 1，其余为 0。
后向差分 (Backward Difference):
$frac{partial f}{partial x_i} approx frac{f(mathbf{x}) f(mathbf{x} hmathbf{e}_i)}{h}$
中心差分 (Central Difference):
$frac{partial f}{partial x_i} approx frac{f(mathbf{x} + hmathbf{e}_i) f(mathbf{x} hmathbf{e}_i)}{2h}$
为什么中心差分更好？ 中心差分通常比前向差分和后向差分更精确，因为它考虑了函数在点 $mathbf{x}$ 两侧的变化，减少了由函数曲线的非对称性带来的误差。
优点：
实现简单，概念直观。
适用于任何可微函数，无论其解析形式如何。
缺点：
计算量大： 对于一个 $n$ 元函数，计算一个方向的梯度需要评估函数 $2n$ 次（中心差分）。如果每一步更新都需要计算梯度，那么计算成本会非常高。
精度问题： 选择的步长 `h` 需要权衡。如果 `h` 太大，近似误差会很大；如果 `h` 太小，计算两个非常接近的点的值时，可能会遇到浮点数的精度限制，导致结果不准确（数值不稳定）。
并非真正的梯度： 毕竟是近似，在某些复杂函数或极值点附近，近似的梯度可能与真实梯度有较大偏差，影响收敛速度和最终精度。
应用场景： 当函数表达式很复杂，难以推导解析导数，但函数评估本身并不算特别昂贵时，可以考虑使用。尤其是在算法原型验证或对精度要求不是非常苛刻的场景下。
2. 自动微分 (Automatic Differentiation AD)
自动微分绝对是现代优化领域的一大福音！ 它不是数值上的近似，而是利用计算机程序对函数计算过程的精确追踪，从而在计算过程中自动推导出导数值。它不是符号计算（如Mathematica或SymPy那样直接推导公式），也不是数值计算（如有限差分），而是一种全新的、高效的计算导数的方式。
自动微分的核心思想是“链式法则”。任何复杂的函数都可以分解成一系列基本运算（加、减、乘、除、sin、cos、exp等），每个基本运算都有已知的导数。自动微分通过记录和组合这些基本运算的导数，最终得到整个复杂函数的导数。
根据追踪计算过程的方式不同，自动微分主要分为两种模式：
前向模式 (Forward Mode AD):
这种模式将函数计算和导数计算“打包”在一起，沿计算图的方向前向传播。对于一个函数 $f:mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$，前向模式适合计算的是输入对输出的雅可比向量积 (JacobianVector Product JVP)。简单来说，就是计算一个输出对一个输入方向的导数。如果你想计算整个雅可比矩阵，就需要对每个输入维度分别执行一次前向模式。
反向模式 (Reverse Mode AD):
这种模式是现代深度学习中广泛使用的模式。它首先进行一次“前向计算”，记录下计算过程中所有中间变量的值和它们如何依赖于之前的变量。然后，它进行一次“后向传播”，沿着计算图的反方向，利用链式法则，从最终输出的梯度开始，逐层计算出所有中间变量对输出的梯度，最终得到输入对输出的梯度。反向模式最适合计算的是输出对输入的梯度 (Gradient)，即一个标量输出对一个向量输入的梯度。
为什么自动微分这么强大？
精确性： 它计算的是精确的导数值，不存在有限差分中的近似误差（除了浮点数的固有误差）。
效率： 相对于有限差分，尤其是对于高维输入、低维输出（标量损失函数对模型参数的梯度），反向模式的计算效率远高于数值差分。它只需要与计算函数本身大致相当的计算量。
易用性： 现代深度学习框架（如TensorFlow, PyTorch, JAX）都内置了强大的自动微分功能，用户只需编写函数的前向计算代码，框架会自动处理导数的计算。
优点：
计算导数精确且高效。
是当前深度学习等领域的首选优化方法。
缺点：
需要专门的工具或框架支持。
对于某些函数（例如涉及大量随机采样或复杂的控制流），实现起来可能更具挑战性。
应用场景： 几乎所有需要精确梯度信息的场景，特别是机器学习、深度学习模型的训练。对于我们讨论的“无法直接计算导数”的问题，如果函数本身是由一系列基本运算组合而成，自动微分是最佳解决方案。
二、 完全不依赖导数的优化算法：另辟蹊径的探索者
如果导数信息完全不可得，或者即使是近似导数也无法提供足够有效的指导，我们还可以转向那些不依赖任何导数信息的优化算法。这些算法通常通过直接探索函数的输出值来寻找最优解。
1. 随机搜索 (Random Search)
这是最简单直接的“无导数”方法。它的思想非常朴素：随机地在搜索空间中生成大量的候选解，然后评估这些候选解的目标函数值，并保留其中表现最好的一个。
优点：
极其简单，容易实现。
在某些高维搜索问题上，它可能比基于梯度的搜索更快找到一个“不错”的解，特别是在搜索空间中有许多局部最优解但全局最优解相对容易找到的情况下。
缺点：
效率极低： 除非函数非常简单且搜索空间很小，否则需要大量的采样才能找到接近最优解。
缺乏方向性： 完全是“盲人摸象”，没有利用到任何关于函数形状的信息。
应用场景： 仅作为一种基准方法或者在非常简单的调参问题上尝试。
2. 遗传算法 (Genetic Algorithms GA)
遗传算法是一种模仿自然选择和遗传机制的启发式搜索算法。它将问题的解看作是“染色体”，通过一系列操作（选择、交叉、变异）来产生下一代“种群”，并期望每一代种群都比上一代更优。
初始化： 随机生成一组初始解（种群）。
适应度评估： 计算种群中每个个体的目标函数值（适应度）。
选择： 根据适应度，选择更优的个体进入下一代。
交叉 (Crossover): 将两个父代个体的部分“基因”进行交换，产生新的子代。
变异 (Mutation): 以一定的概率随机改变个体的某个“基因”，增加种群的多样性。
迭代： 重复以上过程，直到满足停止条件（例如达到最大迭代次数或找到足够好的解）。
优点：
全局搜索能力强： 能够跳出局部最优解，找到全局最优解的可能性较大。
鲁棒性好： 对函数形式没有太多要求，甚至可以处理非连续或有噪声的目标函数。
并行化潜力大： 种群中的个体评估可以并行进行。
缺点：
收敛速度慢： 通常需要较多的迭代次数才能达到较高的精度。
参数多： 需要调整种群大小、交叉率、变异率等参数，对算法性能影响较大。
不保证找到全局最优： 仍然是一种启发式算法，不能绝对保证找到全局最优解。
应用场景： 复杂、多峰、非连续的优化问题，例如函数曲线非常复杂、难以用数学公式表达的情况，或者参数非常多且相互耦合时。也常用于组合优化问题。
3. 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)
模拟退火算法的思想来源于固体退火过程。在退火过程中，金属材料逐渐冷却，最终达到一个能量较低的稳定状态。模拟退火算法通过一个“温度”参数来控制探索的范围和接受劣解的概率。
初始化： 从一个初始解开始。
产生新解： 在当前解附近随机生成一个新解。
接受判断：
如果新解比当前解更好，则接受它。
如果新解比当前解差，则以一定的概率接受它。这个概率随着“温度”的降低而减小。这个“以概率接受更差解”的机制是模拟退火能够跳出局部最优的关键。
降温： 逐渐降低“温度”参数。
迭代： 重复以上过程，直到“温度”足够低，接近于停止。
优点：
避免陷入局部最优： 通过引入概率接受劣解的机制，能够在搜索早期探索更广泛的区域，从而提高找到全局最优解的概率。
实现相对简单： 与遗传算法相比，参数和操作更少。
缺点：
收敛速度和精度依赖于退火过程： 退火计划（降温策略）的选择非常关键，但没有普适的最佳策略。
对于非常平坦或狭窄的极值区域可能效率不高。
应用场景： 与遗传算法类似，适用于复杂的全局优化问题，尤其是在搜索过程中需要一定程度的“随机性”来跳出局部陷阱时。
4. 基于模型的优化 (ModelBased Optimization)
这类算法的核心思想是“构建一个关于目标函数的模型”，然后利用这个模型来指导搜索。当无法直接计算导数时，我们可以通过采样函数值来构建一个代理模型（surrogate model），然后在这个代理模型上进行优化。
高斯过程回归 (Gaussian Process Regression GPR):
高斯过程是一种非常强大的非参数模型，它可以对函数进行建模，并提供预测值以及预测的不确定性。通过在搜索空间中采样一些点，用高斯过程来拟合这些点，就可以得到一个关于目标函数的“猜测”。
贝叶斯优化 (Bayesian Optimization BO):
贝叶斯优化结合了高斯过程和采集函数 (Acquisition Function)。采集函数根据高斯过程模型提供的预测均值和方差（不确定性），来决定下一个最优的采样点。常见的采集函数有：
最大化概率改进 (Probability of Improvement PI): 优先选择那些有高概率改进当前最优解的点。
最大化预期改进 (Expected Improvement EI): 优先选择那些预期改进量最大的点，综合考虑了改进的可能性和改进的大小。
上置信界 (Upper Confidence Bound UCB): 优先选择那些预测值高或者不确定性大的点。
贝叶斯优化通过在“探索”（高不确定性区域）和“利用”（高预测值区域）之间取得平衡，来高效地找到目标函数的全局最优解。
优点：
Sample Efficiency 高： 相对于直接搜索或有限差分，贝叶斯优化通常只需要较少的函数评估次数就能找到好的解，这对于函数评估成本高昂的问题尤为重要。
不需要导数： 完全依赖函数评估值来构建模型。
能处理黑箱函数： 即使函数内部逻辑完全未知，只要能提供输入输出，就可以使用。
缺点：
计算成本： 构建高斯过程模型和优化采集函数本身可能需要一定的计算量，尤其是在维度较高时。
维度灾难： 随着输入变量维度的增加，高斯过程模型的性能会迅速下降。
应用场景： 函数评估成本非常高昂，或者函数形式未知且不可导的问题。例如：超参数调优、机器人控制策略学习、材料科学实验设计等。
5. 牛顿法和拟牛顿法 (Newton's Method and QuasiNewton Methods)
虽然我们说的是“不能直接计算导数”，但严格来说，牛顿法需要的是二阶导数（Hessian矩阵），而拟牛顿法则近似Hessian矩阵或其逆。这些方法虽然不直接使用一阶导数，但其优化思想也是基于函数的局部二次近似。
如果你的函数虽然难以计算一阶导数，但至少函数值可以计算，并且可以通过有限差分等方法近似Hessian矩阵（或其逆），那么这些方法也可以考虑。
牛顿法： 使用二阶泰勒展开近似函数，通过求解二次方程的最小值点来更新。需要计算Hessian矩阵。
拟牛顿法： 通过一系列迭代来更新Hessian矩阵的近似或者其逆矩阵的近似。常见的有BFGS算法、LBFGS算法等。它们通过使用梯度信息（即使是近似的）来构造Hessian的近似。
优点：
如果函数是凸的，收敛速度非常快（二次收敛）。
相较于梯度下降，在接近最优解时更快。
缺点：
对导数（或其近似）仍然有需求。
Hessian矩阵的计算或近似可能很复杂且计算量大。
需要函数是二次可微的。
应用场景： 当函数值和近似的Hessian信息可以获得时，尤其是在接近最优解的局部搜索阶段，它们会比梯度下降法更有效率。
如何选择合适的算法？
面对“无法直接计算导数”的问题，选择哪种算法取决于几个关键因素：
1. 函数的可评估性： 函数评估的成本有多高？如果成本很高，则优先考虑贝叶斯优化这类样本效率高的算法。如果成本不高，有限差分或自动微分（如果可能的话）可以考虑。
2. 问题的维度： 输入变量的数量对算法选择影响很大。高维问题上，维度灾难是一个重要考虑。遗传算法、模拟退火在处理高维问题上通常比高斯过程更稳定。
3. 对精度的要求： 对最终结果的精度要求有多高？自动微分提供最精确的导数，而数值方法会有近似误差。启发式算法可能无法保证找到全局最优。
4. 函数特性： 函数是光滑的还是不光滑的？是凸的还是非凸的？是否有噪声？这些都会影响算法的表现。例如，遗传算法和模拟退火对非凸函数和噪声更鲁棒。
5. 是否存在其他可计算的信息： 是否可以近似计算二阶导数？是否可以利用函数的其他属性？
总结一下一个大致的决策流程：
第一优先级： 检查函数是否可以使用自动微分。如果可以，这是最精确、最高效的选择，无论函数有多复杂。
第二优先级： 如果自动微分不可行，但函数可以接受有限数量的采样，并且函数评估成本不高：
尝试有限差分法，配合优化器（如LBFGS等拟牛顿法，它们可以用有限差分提供的梯度信息）。
考虑贝叶斯优化，特别是当问题维度不是非常高时，其样本效率优势明显。
第三优先级： 如果函数评估成本非常高，或者问题维度极高，或者函数非常复杂、非凸、有噪声：
遗传算法 或 模拟退火算法 是不错的选择，它们能够进行全局搜索，对函数形式要求低，但需要更多的迭代次数。
最后手段： 如果以上方法都不奏效，可以考虑最简单的随机搜索作为基线，或者尝试更专业的全局优化库。
在实际应用中，我们常常需要结合多种方法，或者对现有方法进行调整和改进。没有一种算法是万能的，理解它们的原理和优缺点，才能在面对各种挑战时做出最明智的选择。希望这些详尽的介绍能帮助你更好地理解如何在没有导数的情况下进行优化！
网友意见
Bayesian optimization
大意是我们首先对目标函数形状有个先验，然后在每次迭代 1. 在当前对目标函数形状的后验估计下（当然首次迭代就直接用先验），在某个“最可能是最优”的地方取点，获得其函数值；2. 根据刚才的点及其函数值，更新函数的后验估计。
上面说的“最优位置”一般是两个指标的折衷：1. 在当前后验估计下，函数最优值的位置（exploitation）；2. 尽量也试一试其他的位置，说不定有惊喜（exploration）。
以流行的
GP-UCB（Gaussian Process - Upper Confidence Bound）为例。我们把目标函数看成一个高斯过程（
Gaussian process）。那么在第次迭代，我们取，其中和分别为上一次迭代的后验均值和后验标准差在处的值，为某个系数（看论文）；然后通过和更新后验估计并得到和。不了解怎么更新的看维基页。很明显一项对应exploitation，而一项对应exploration。论文证明了这个策略的误差界。
这个东西有各种各样的推广，比如说针对 time-varying 的目标函数，比如说如何使所需迭代数更小。比较有意思的一篇论文是
Bayesian optimization explains human active search，从实验角度证明了 Bayesian optimization（不仅仅是GP-UCB）与人类优化策略之间的相似性。
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